菲涅耳公式折反射定律

Chapter 1 理论基础

1.1 介质中的Maxwell’s equations 及物质方程

微分形式=t =J+t ==0B E D H D B ρ????-?

??????????????r v r r r r

g r g （1-1）

传导电流密度J 的单位为安培/米2(A/m 2)，自由电荷密度ρ的单位为库仑/米2(C/m 2)。同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）

00==()

J=D E E P

B H H M E εεμμσ?=+??=+????r r

v v r

r r r r v （1-2）

麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时间过程中电磁场的分布及变化情况。因此，所有关于电磁波的产生及传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方程组的问题，这也正是用以解决光波在各种介质、各种边界条件下传播问题的关键及核心。

1.2 积分形式及边界条件

由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E v 、D v 、B v 、H v

发生跃变，因此这些量的导数

往往不连续。这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell’s equations ，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。

积分形式0L S L S S S d E dl B d S dt d H dl I D d S dt D d S Q B d S ?=-???=+??

?

=??=????????????r

u r v v g g r u r r v v g g u r v g u r u r g ??òò （1-3）

得边界条件为21212121()0

()()()0n E E n H H n D D n

B B α

σ

??-=??-=???-=???-=?v v

v u r v v

v v v

v r v v （1-4）

式（1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见《光学电磁理论》P20）：

（1）电场强度矢量E v 的切向分量连续，n v

为界面的法向分量。

（2）αu r 为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时，αu r =0，此时H v

的切向

分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。 （3）σ为界面上的自由电荷面密度。

（4）磁感应强度矢量B r

的法向分量在界面上连续。

Chapter 2 电磁波在分层介质中的传播

2.1 反射定律和折射定律

光由一种介质入射到另一种介质时，在界面上将产生反射和折射。现假设二介质为均匀、透明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射和折射光均为平面光波，其电场表达式为

入射波0exp[()]i i i i E E i t k r ω=-r r

v r g 反射波0exp[()]r r r r E E i t k r ω=-r r r

r g

折射波0exp[()]t t t t E E i t k r ω=-r r r

r g

界面两侧的总电场为：

10020exp[()]exp[()]

exp[()]

i r i i i r r r t t t t E E E E i t k r E i t k r E E E i t k r ωωω?=+=-?+-???==-???r r r r r r r

r r r r

r r r 由电场的边界条件21()0n E E ?-=r

r r ，有

000exp[()]exp[()]exp[()]

i i i r r r t t t n E i t k r n E i t k r n E i t k r ωωω?-?+?-?=?-?r r r r r r

r r r r r r 欲使上式对任意的时间t 和界面上r r

均成立，则必然有：

i r t ωωωω=== （1-5）

i r t k r k r k r ?=?=?r r r r r r

（1-6）

可见，时间频率ω是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化。

()0

()0

r i t i k k r k k r ?-?=??-?=??r r r r r r

（1-7） 由于r r

可以在界面选取不同方向，上式实际上意味着矢量()r i k k -r r 和 ()t i k k -r r 均与界面

的法线n r

平行，由此可以推知，i k r 、r k r 、t k r 与n r 共面，该平面称为入射面。由此可得出结

论：反射波和折射波均在入射面。

上式是矢量形式的折、反射定律。将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得

cos(

)cos(

)cos(

)2

2

2

i i r r t t k k k π

π

π

θθθ-=-=- （1-8）

又由于1/i k n c ω=，1/r k n c ω=，2/t k n c ω=，得

12()

sin sin i r i t n n θθθθ

=??

=?反射角等于入射角（折射定律） （1-9） 2.2 菲涅耳公式

折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波传播方向之间的关系。而反射波、折射波和入

射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel 公式来描述。

电场E r

是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为‘s ’

分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为‘p ’分量。

首先研究入射波仅含‘s ’分量和仅含‘p ’分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场；然后根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。

（1）单独存在s 分量的情形

首先规定：电场和磁场的s 分量垂直于纸面， 向外为正，向为负。

在界面上电场切向分量连续：

21()0n E E ?-=r

r r

另外由式（1-5）、（1-6），可得

000is rs ts E E E += （2-1）

在界面上磁场的切向分量连续：

21()0n H H ?-=r r r

注意1H k E μω

=?r r r ，如图所示。所以同理有

000cos cos cos ip i rp r tp t H H H θθθ-+=- （2-2）

非磁性各向同性介质中E r 、H r

的数值之间的关系：

00B n H E c E H

μμ?==???⊥?r r 那么式（2-1）整理为

101020cos cos cos is i rs r ts t n E n E n E θθθ-+=- （2-3）

联立式（2-1）（2-3）可得

012012cos cos cos cos rs i t s is i t

E n n r E n n θθθθ-==

+

010122cos cos cos ts i

s is i t

E n t E n n θθθ=

=

+

（2）单独存在p 分量的情形

首先规定：p 分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。

根据E r 、H r

的边界条件得： 000is rs ts H H H +=

000cos cos cos ip i rp r tp t E E E θθθ+=

再利用E r 、H r

的数值关系以及正交性，得到

021021cos cos cos cos rp i t p ip i t E n n r E n n θθθθ-==+

010212cos cos cos tp i

p ip

i t

E n t E n n θθθ=

=

+ 综上所述，S 波及P 波的反射系数和透射系数的表达式为：

0120120210210101201021cos cos cos cos cos cos cos cos 2cos cos cos 2cos cos cos rs i t s is i t

rp i t p ip i t

ts i

s is i t tp i p ip i t E n n r E n n E n n r E n n E n t E n n E n t E n n θθθθ

θθθθθθθθθθ-?==?+?

?

-=

=?+??

?==

?+?

?==

?+?

sin()sin()tan()tan()2cos sin sin()2cos sin sin()cos()i t s

i t i t p i t i t s i t i t

p i t i t r r t t θθθθθθθθθθθθθθθθθθ-?=-?+?

-?

=?+??

?=?+?

?=?+-?

上面左边的式子就是著名的Fresnel 公式。利用折射定律，Fresnel 公式还可以写成右边的形

式。

2.3 反射波和透射波的性质

2.3.1 n1

（1）反射系数和透射系数

①两个透射系数t s 和t p 都随着入射角i θ增大而单调降低，即入射波越倾斜，透射波越弱，并且在正向规定下，t s 和t p 都大于零，即折射光不发生相位突变。

② r s 始终小于零，其绝对值随着入射角单调增大。根据正方向规定可知，在界面上反射波电场的s 分量振动方向始终与入射波s 分量相反，既存在π相位突变（又称半波损失）。

③对于r p，它的代数值随着入射角

i

θ单调减小，但是经历了一个由正到负的变化。由公式tan()

tan()

i t

p

i t

r

θθ

θθ

-

=

+

，当0

p

r=时有90

i t

θθ

+=o，即sin cos

i t

θθ

=，又由折射定律

12

sin sin

i t

n n

θθ

=，联立可得此时入射角为布儒斯特角12

1

B

n

tg

n

θ-

=。布儒斯特定律容：

如果平面波以布儒斯特角入射，则不论入射波的电场振动如何，反射波不再含有p分量，只有s分量；反射角与折射角互为余角。

（2）反射率和透射率

上图中

i

A

r

A

t

A为波的横截面面积，

A为波投射在界面上的面积。若入射光波的强度为is

I，则每秒入射到界面上

A面积的能量为

cos

is is i is i

W I A I Aθ

==

又由光强表达式2

||

2

n

I E

c

μ

=，上式可写成

2

1

00

||cos

2

is is i

n

W E A

c

θ

μ

=

类似地，反射光和折射光的能量表达式为

2

1

00

||cos

2

rs rs i

n

W E A

c

θ

μ

=

2

2

00

||cos

2

ts ts t

n

W E A

c

θ

μ

=

于是反射率和折射率分别为

2

2

2

1

||

cos cos

||

cos cos

rs rs

s s

is is

ts t ts t

s s

is i is i

W I

R r

W I

W I n

T t

W I n

θθ

θθ

?

===

?

?

?

?==?=?

??

类似地，当入射波只含有p 分量的时，可以求出p 分量的反射率R p 和透射率T p ：

2

221||cos cos ||cos cos rp rp p p ip ip tp tp t t p p ip i ip i W I R r W I W I n T t W I n θθθθ?===??

?

?==?=???

s R 与s T 之间、p R 与p T 之间均存在‘互补’关系，即：

1

1

s s p p R T R T +=??

+=?

这表明，在界面处，入射波的能量全部转换为反射波和折射波的能量（条件：界面处没有散射、吸收等能量损失）。

当入射波同时含有s 分量和p 分量时，由于两个分量的方向互相垂直，所以在任何地点、任何时刻都有：

2

22||||||i is ip E E E =+r

从而有：

i is ip i is ip I I I W W W =+?=+

类似还有r

rs rp W W W =+，t ts tp W W W =+

可以定义反射率R 和透射率T 为：

r i

W R W =

，t i

W T W =

注意：入射光波的s 分量(p 分量)只对折射率、反射率的s 分量(p 分量)有贡献。 如果入射波中s 和p 分量的强度比为α，i

is ip W W W α=+，则有：

1[]1s p R R R αα=

++和1[]1s p T T T αα

=++ 即R 和T 分别是s R 、p R 和s T 、p T 的加权平均。 但是仍然有：1R T

+=

正入射时，s 分量和p 分量的差异消失。若用R 0和T 0表示此时的反射率和透射率，则有：

2

2

1200

12

()n n R r n n -==+以及22

22120021124()n n n T t n n n ==

+

利用这两个等式可以估算非正入射但是入射角很小(30i

θ

2.3.2 n1>n2的情况

这种情形即由光密媒质入射到光疏媒质的情形。 由折射定律可知，

t i θθ<

把90t

θ=o 所对应的入射角称为全反射临界角，用c θ表示。即2

1sin c n n θ=。

因此分

i c θθ≤和i c θθ>两种情况来讨论。 （1）当

i c θθ≤时

此时90t θ≤o

，可以直接用Fresnel 公式来讨论反射波和折射波的性质，分析方法和n 1

的情形完全相同。