高考数学高频考点_必考点透析

高考数学必考考点题型

命题热点一 集合与常用逻辑用语

集合这一知识点是高考每年的必考内容，对集合的考查主要有三个方面：一是集合的运算，二是集合间的关系，三是集合语言的运用. 在试卷中一般以选择题的形式出现，属于容易题.集合知识经常与函数、方程、不等式等知识交汇在一起命题，因此应注意相关知识在解题中的应用.

常用逻辑用语也是每年高考的必考内容，重点考查：充分必要条件的推理判断、四种命题及其相互关系、全称命题与特称命题等，在试卷中一般以选择题的形式出现，属于容易题和中档题，这个考点的试题除了考查常用逻辑用语本身的有关概念与方法，还与其他数学知识联系在一起，所以还要注意知识的灵活运用。

预测 1. 已知集合{}

2|20A x x x =->，集合(,)B a b =，且B A ?，则a b -的取值范围是

A.(2,)-+∞

B.[2,)-+∞

C.(,2)-∞-

D.(,2]-∞-

解析：化简A 得{}{}2|20|02A x x x x x =->=<<，由于B A ?，所以02

a b ≥??≤?，

于是2a b -≥-，即a b -的取值范围是[2,)-+∞，故选B.

动向解读：本题考查集合间的关系，考查子集的概念与应用、不等式的性质等，解答时注意对集合进行合理的化简.

预测2. 若集合1|2,A x x R x ?

?=<∈????

，{}3|log (1)B x y x ==-，则A B 等于 A.φ B.1(,1)2 C. 1

(,0)(,1)2-∞ D. 1(,1]2 解析：依题意{}1|0,|12A x x x B x x ?

?=<>=

或，所以A B = 1(,0)(,1)2-∞ .故选C.

动向解读：本题考查集合的基本运算、函数的定义域、不等式的解法等问题，是高考的热点题型.在解决与函数定义域、值域、不等式解集相关的集合问题时，要注意充分利用数轴这一重要工具，通过数形结合的方法进行求解.

预测3. 已知命题:[0,

],cos 2cos 02p x x x m π?∈+-=为真命题，则实数m 的取值范围是 A. 9[,1]8-- B. 9[,2]8- C. [1,2]- D. 9[,)8-+∞ 解析：依题意，cos 2cos 0x x m +-=在[0,

]2x π∈上恒成立，即cos 2cos x x m +=.令221

9()cos 2cos 2cos cos 12(cos )48f x x x x x x =+=+-=+-，由于[0,]2

x π∈，所以

cos [0,1]x ∈，于是()[1,2]f x ∈-，因此实数m 的取值范围是[1,2]-，故选C.

动向解读：本题考查全称命题与特称命题及其真假判断，对于一个全称命题，要说明它是真命题，需要经过严格的逻辑推理与证明，要说明它是一个假命题，只要举出一个反例即可；而对于特称命题，要说明它是一个真命题，只要找到一个值使其成立即可，而要说明它是一个假命题，则应进行逻辑推理与证明.

预测4. “0a ≤”是“不等式2

0x ≥对任意实数x 恒成立”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：不等式20x ≥对任意实数x 恒成立，则有20a ?==≤，又因为

0a ≥，所以必有0a =，故“0a ≤”是“不等式20x ≥对任意实数x 恒成立”的必要不充分条件.故选B.

动向解读：本题考查充分必要条件的推理判断，这是高考的一个热点题型，因为这类问题不仅能够考查逻辑用语中的有关概念与方法，还能较好地考查其他相关的数学知识，是一个知识交汇的重要载体.解答这类问题时要明确充分条件、必要条件、充要条件的概念，更重要的是要善于列举反例.

命题热点二 函数与导数

函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容，主要考查：函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等，在高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点.

高考对导数的考查主要有以下几个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.

预测1. 函数a ax x x f +-=2)(2在区间)1,(-∞上有最小值，则函数x x f x g )()(=

在区间),1(+∞上一定

A ．有最小值

B ．有最大值

C ．是减函数

D ．是增函数

解析：函数()f x 图像的对称轴为x a =，依题意有1a <，所以()

()2f x a g x x a x x

==+-，()g x 在上递减，在)+∞上递增，故()g x 在(1,)+∞上也递增，无最值，选D.

动向解读：本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题.对于二次函数，高考有着较高的考查要求，应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法.在研究函数的单调性以及最值

问题时，要善于运用基本不等式以及函数(0)p y x p x

=+

>的单调性进行求解. 预测2. 如图，当参数λ分别取12,λλ时，函数2()(0)1x f x x x λ=≥+的部分图像分别对应曲线12,C C ，则有

A.120λλ<<

B. 210λλ<<

C.

120λλ<< D. 210λλ<< 解析：由于函数2()1x f x x

λ=+的图像在[0,)+∞上连续不间断，所以必有120,0λλ>>.又因为当1x =时，由图像可知12

2211λλ>++，故12λλ<，所以选A. 动向解读：本题考查函数的图像问题，这是高考考查的热点题型，其特点是给出函数图象，求函数解析式或确定其中的参数取值范围.解决这类问题时，要善于根据函数图象分析研究函数的性质，从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的性质，从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围.

预测3. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线12

y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是 A. 12m ≤- B. 12

m >- C. 2m ≤ D. 2m > 解析：'()x f x e m =-，曲线C 不存在与直线12

y x =垂直的切线，即曲线C 不存在斜率等于2-的切线，亦即方程2x e m -=-无解，2x e m =-，故20m -≤，因此2m ≤.

动向解读：本题考查导数的几何意义，这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内容，涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决，求解这类问题时，要始终以“切点”为核心，并注意对问题进行转化.

预测4. （理科）已知函数 为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是

A ．[1,0)-

B ．(0,)+∞

C ．[2,0)-

D ．(,2)-∞-

解析：若()f x 在R 上单调递增，则有02021a a a >??+>??+≤?

，a 无解；若()f x 在R 上单调递减，

则有02021a a a ??+≥?

，解得10a -≤<，综上实数a 的取值范围是[1,0)-.故选A.

动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：分段函数在R 上单调递增（减），不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点右侧的函数值.

（文科） 已知函数()()()

210(2)0x ax x f x a e x ?+≥?=?-

A. (2,3]

B.(2,)+∞

C.(,3]-∞

D.(2,3)

解析：若()f x 在R 上单调递增，则有02021a a a >??->??-≤?

，解得23a <≤；若()f x 在R 上单

调递减，则有02021a a a

，a 无解，综上实数a 的取值范围是(2,3].

动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时，要特别注意：分段函数在R 上单调递增（减），不仅要求函数在每一段上都要单调递增（减），还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点右侧的函数值.

预测5. （理科）设函数)1ln()(2++=x b x x f ，其中0≠b .（1）若12b =-，求)

(x f 在[1,3]的最小值；（2）如果()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；

（3）是否存在最小的正整数N ，使得当N n ≥时，不等式311ln

n n n n

+->恒成立. 解析：（1）由题意知，)(x f 的定义域为),1(+∞-， 12b =-时，由2/

122212()2011

x x f x x x x +-=-==++，得2x =（3x =-舍去）， 当[1,2)x ∈时，/()0f x <，当(2,3]x ∈时，/()0f x >，

所以当[1,2)x ∈时，()f x 单调递减；当(2,3]x ∈时，()f x 单调递增，

所以min ()(2)412ln3f x f ==-； （2）由题意2/

22()2011b x x b f x x x x ++=+==++在),1(+∞-有两个不等实根，即

2220x x b ++=在),1(+∞-有两个不等实根，

设()g x =222x x b ++，则480(1)0

b g ?=->??->?，解之得102b <<； （3）对于函数())1ln(2+-=x x x f ，令函数())1ln()(233++-=-=x x x x f x x h ，

则()1

)1(311232

32

/+-+=++-=x x x x x x x h ，()0),0[/>+∞∈∴x h x 时，当， 所以函数()x h 在),0[+∞上单调递增，又),0(,0)0(+∞∈∴=x h 时，恒有()0)0(=>h x h ，

即)1ln(32++

+>-恒成立. 显然，存在最小的正整数N=1，使得当N n ≥时，不等式23111ln n n n n +>-恒成立. 动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.

（文科）已知函数()3ln a f x ax x x

=+-.（1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 在[2,]e 上单调递增，求实数a 的取值范围.

解析：（1）当2a =时，2()23ln f x x x x =+

-，定义域为(0,)+∞. 2'2223232()2x x f x x x x

--=--=，令'()0f x =，得2x =（12x =-舍去），当x 变化时，()f x ，'()f x 的变化情况如下表:

所以函数()f x 在2x =时取得极小值，同时也是函数在定义域上的最小值(2)53ln 2f =-.

（2）由于'23()a f x a x x =--，所以由题意知，'23()0a f x a x x

=--≥在[2,]e 上恒成立. 即22

30ax x a x --≥，所以230ax x a --≥在[2,]e 上恒成立，即231x a x ≥-.

令23()1x g x x =-，而2

'2233()(1)

x g x x --=-，当[2,]x e ∈时'()0g x <，所以()g x 在[2,]e 上递减，故()g x 在[2,]e 上得最大值为(2)2g =，因此要使231

x a x ≥-恒成立，应有2a ≥. 动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型，这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段，以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.

命题热点三 立体几何与空间向量

（理科）高考对立体几何与空间向量的考查主要有三个方面：一是考查空间几何体的结

构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系；三是考查利用空间向量解决立体几何问题：例如利用空间向量证明线面平行与垂直、利用空间向量求空间角等.在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题.

（文科）高考对立体几何的考查主要有两个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系，线面平行、垂直关系的证明等；在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题.

预测1.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于

A B ．2

C ．

D ．6

解析：由正视图可知该三棱柱的底面边长等于2，高是1，所以其侧面积等于3216S =??=，故选D.

动向解读：三视图是高考的热点内容，几乎每年必考，除了考查对简单几何体的三视图的判断外，更多地是以三视图为载体考查几何体的体积、表面积的计算，在由三视图中给出的数据得出原几何体的有关数据时，要充分利用三视图“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”的性质.

预测2.平面α与平面β相交，直线m α⊥，则下列命题中正确的是

A. β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直

B. β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直

C. β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直

D. β内必存在直线与m 平行，却不一定存在直线与m 垂直

解析：假设l αβ= ，由于m α⊥，所以必有m l ⊥，因此在β内必存在直线l 与m 垂直；当αβ⊥时，可存在直线与m 平行，当α与β不垂直时，在β内一定不存在直线与m 平行.故选B. 动向解读：本题考查空间中线面、面面的平行与垂直关系的判断，其特点是以符号语

言给出，考查对相关定理的理解与运用，解决这类问题时，要熟练掌握相关的定理，善于利用一些常见的几何体作为模型进行判断，还要善于举出反例对命题进行否定.

预测3.（理科）正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，,E F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B --．

（1）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角E DF C --的余弦值；

（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？证明你的结论．

解：法一：（I ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ，

又AB ?平面DEF ，EF ?平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ．

（II ）∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角，

∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BCD ，取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ，∴EM ⊥平面BCD ， 过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF ，

∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角.

在Rt △EMN 中，EM =1，MN =23，∴tan ∠MNE

cos ∠MNE =7

21. （Ⅲ）在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE ，

证明如下：在线段BC 上取点P 。使BC BP 3

1=，过P 作PQ ⊥CD 与点Q ， ∴PQ ⊥平面ACD ∵3

3231==

DC DQ 在等边△ADE 中，∠DAQ=30° ∴AQ ⊥DE ∴AP ⊥DE. 法二：（Ⅱ）以点D 为坐标原点，直线DB 、DC 为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，2）B （2，0，0）C （0，)0,3,1(),1,3,0(),,0,32F E .

平面CDF 的法向量为)2,0,0(=DA 设平面EDF 的法向量为),,(z y x n =， A B C D E F

A B C D E F

则?????=?=?0

0n DE 即)3,3,3(0303-=?????=+=+n z y y x 取， 721||||,cos =>=

21；

x （Ⅲ）设3

32023),0,,(=∴=-=?y y y x P 则， 又)0,32,(),0,,2(y x PC y x BP --=-=， 323)32)(2(//=+∴-=--∴y x xy y x PC BP

把x y 3

1,34332=∴==代入上式得， 所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE.

动向解读：本题主要考查空间向量在解决立体几何问题中的应用，这是每年高考的必考内容，也是高考试卷中相对较为固定的考查模式，即以空间几何体为载体，考查空间中直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系的论证，考查空间中两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的求解等，有时还会以开放性的设问方式进行考查.这类问题通常可以有两种解法，一是利用有关的定理与性质直接进行论证和求解，二是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明或计算.这类考题通常有2至3个小问题，在解答过程要注意各个小问题结果之间的连贯性，这样可以简化解题过程，提高解题速度.

预测3.（文科）如图，平行四边形ABCD 中，1=CD ， 60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正

方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，H G ,分别是BE DF ,的中点．

（1）求证：CDE BD 平面⊥；

（2）求证：//GH 平面CDE ；

D E