高数练习题-专升本高数重点总结
第一章 函数与极限
考试要点：函数的概念，函数的几种常见性态，反函数与复合函数，初等函数。 题型一：求函数的定义域 题型二：判断函数是否相等
题型三：函数的有界性，单调性、奇偶性、周期性 题型四：反函数与复合函数 题型五：初等函数的判别 表现形式：选择题，填空题
1.1
11
1)1ln()(2
?+
?=x x x f 的定义域是（ ）
),1[:+∞A ),1(:+∞B )1,[:??∞C ]1,(:??∞D 2．函数f(x)=)1x ln(2x 3+++的定义域是（ ） A ．（-3
2，+∞） B ．（-∞，+∞） C ．[-32
，+∞）
D ．（-1，+∞）
3的定义域为[0，1]，则（ ） )(x f y =）的定义域2(x f ]10[:，A )10[:，
B ]11[:，
C ?)11(:，
D ? 4的定义域为则，)(x f ],1,0[()()(),0g x f x a f x a a =++?>的定义域是 。 5下列各选项中，（ ）中的函数是相等的。
x x f A ln 2)(:= 2ln )(x x g =x
x
x f B =
)(: 1)(=x g 2)(:x x f C = x x g =)( )1sgn()(:x x f D ??=
111101)(>=
?
???=x x x x g 高升专升本高等数学课程建设组M
6下列（ ）为同一函数
x x f A =)(: )tan(arctan )(x x g = 2)1lg()(:+=x x f B )1lg(2)(+=x x g
1)(:+=x x f C
11
)(2??=
x x x g 2
2
)(:+?=x x x f D ()g x = 7x x x f sec ln )(?=是（ ）
A．奇函数 B.偶函数 C.同期函数 D.有界函数 8函数f(x)=sinx-cosx+1是（ ）
A ．非奇非偶函数
B ．奇函数
C ．偶函数
D ．无界函数
9函数)
1(1
)(x x x f ?=
在（ ）内有界
A．（-1，0） B.（0，1） C.（1，2） D.（2，3） 10、设：x y sin 1= 2
sin 2x
y = )1tan(3+=x y )2arctan(4x y =同期为π的函数个数是（ ）
A：1 B：2 C：3 D：4
11、设：上单调增加，在上单调减少，则：下面错误的是（ ）
],[)(b a x f 的)(x g ],[b a ))((:x f f A 在上单调增加 在上单调减少 ],[b a ))((:x g f B ],[b a ))((:x f g C 在上单调增加 在上单调增加 ],[b a ))((:x g g D ],[b a 12、在区间[1，2]上（ ） 13)(23+?=x x x f A：单调增加且凹 B:单调增加且凸 C：单调减少且凹 D:单调减少且凸
13、在（）上有定义，则：)(x f l l ,?1
()(()())2h x f x f x =??是 函数。
14、，，则：2)(x x f =x e x g =)(=))((x g f （ ）
高升专升本高等数学课程建设组M
2
:x e A 2:x B e
2:x x C x e D :15、= )(1))((,sin )(2x x x f x x f ??，则?==，它的定义域是 。 16、)(2
1)(x x
e e x
f ??=
的反函数是： 17、设函数1,1()0,1x f x x ?≤?
=?>??， 则(sin )f x =
18、=?=
))(((,1
)(x f f ：f x x
x f 则 19、，则： ?
??<≥=010
0)(x x x f =))((x f f
20、 ??
?
???=101)(x f 111>= x e x g =)(则： =))((x g f =))((x f g 21、下列不是初等函数的是（ ） )ln(sin :2x y A = ???≤>=0 )(:2 x x x x x f B ?? ? 121)(:x x x x f C )0(:>=x x y D x 22、设f(x)=，则[f(x)]2（ ） ?? ? x ,10 x , 1A ．是连续函数 B ．不是连续函数 C ．是无界函数 D ．是非初等函数 1.2-1.10 高升专升本高等数学课程建设组M 考试要点：极限的概念及运算，极限的存在准则，两个重要极限，无穷大量与无穷小量，函数的连续性。 题型一：极限运算：0 ()0 a 型() b ∞∞型（C）∞?∞型（D）1∞型 (E)参数问题(F) 存在性判定(G) 无穷小量，无穷大量的性质(H) 极限基本准则 题型二：判断分段函数在分段点处的连续性或计算相应参数 题型三：求函数的间断点及其类型 题型四：利用零点定理证明 表现形式：选择题，填空题，计算题，证明题 题型一：极限运算 ()0 a 型 ①123lim 221?+?→x x x x ②2 3 21lim 4??+→x x x ③30sin lim x x tgx x ?→ ④11 lim 1??→m n x x x ⑤x x Sin x 5sin 3lim π→ ⑥)2cos 1)(21ln(arcsin )1(lim 2 0x x x e x x ?+?→ ∞ ∞ : )(b 型 ①1352lim 2 2+?++∞→x x x x x ②1 13)2(3)2(lim ++∞→+?+?n n n n n ③[]n n n n ln )1ln(lim ?+∞ → （C）型 ∞?∞①13 11( lim 31x x x ???→ ②)(lim 22x x x x x ??++∞→ ③)12(lim ??+∞ →n n n n 高升专升本高等数学课程建设组M （D） 1∞型 ①x x x x 1 0)22( lim ?+→ ②n n n )11(lim 2?∞→ ③e x k x x =++∞→12)1(lim ，则k = ④11 lim(sin cos )x x x x →∞+= （E）利用极限性质，求参数。 ①已知：31lim 221=?++→x b ax x x ，求a 和b 的值 ②已知：,0)1 (lim 2 =??+∞→b ax x x x 求a 和b 的值 [F]极限存在性判定 ① x x e 10 11 lim +→存在吗？ ②x x x 1 sin 1lim 0+→ 存在吗？ ③????????? +?=x e x n l x x f 11 .1)(2 1100≥≤< ① 是232)(?+=x x x f ,0→x )(x f x 的（ ） A：高阶无穷小 B：等价无穷小 C：同阶无穷小 D：低阶无穷小 ②下列是x 的等价无穷小量的是（ ） ,0+→x A： x six B：1-x cos C:x xsm 1 D x x ??+11 高升专升本高等数学课程建设组M ③=+∞ →)sin 1 2sin (lim x x x x x [H]利用极限基本定理，求极限。 ①12 11 1( lim 2 2 2 n n n n n ++ +++ +∞ →" ②12,n a a a ==="求： n n a ∞ →lim 题型二：判断分段函数在分段点处的连续性 ① ????x x x f 1 )(300>≤x x ② ??? ? ???+=q x x p x x x f 1sin sin 1 )( 000>= ? ???+???=b e e sm a x x f x x x 1)1(211()(2000>= ①x x f 1 sin )(= ②1 11)(??= x x e x f ③?????≤=?0 1)1ln(0)(11 x x x e x f x ④?????=≠??=0 2 10 4cos 1)(2x x x x x x f 题型四：利用零点定理证明 ① 设： ,,)(,)(],[)(证明且上连续在b b f a a f ，b a x f ><至少存在一点 ξξξ=∈),(b a )(f 使得 高升专升本高等数学课程建设组M ② 证明方程：01sin =++x x 在开区间)2 ,2(π π? 内至少有一个根。 ③证明方程式：),0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一正根，并且它不超过a+b ④后142)(23??+=x x x x f ),(+∞?∞上至少有三个零点 选择填空专项训练：1、 0 lim ()lim ()x x x x f x f ?+→→=x ()是f x 在0x 处连续的( ) A 充分条件但不是必要条件 B 必要条件但不是充分条件 C 充分必要条件 D 既不是充分条件也不是必要条件 2、 当时,0x →2x 是ln(1)x x ?+的( ) A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 等价无穷小 D 同阶但非等价无穷小 3、 1lim ( 1 x x x x →+∞+?=_______________. 4、 若极限21lim 21x x ax b x →++=?,则a=___________b=_____________. 5、若，下列说法正确的是（ ） lim (),x x f x →=∞0 lim ()x x g x →=∞A. B.0 lim[()()]x x f x g x →+=∞0 lim[()()]0x x f x g x →?= C.0 0sin() lim 0()() x x x x f x g x →?=+ D.0lim(()())x x f x g x →+=+∞ 6、 当时,0x →2(1cos )x ?是2x 的( ) A 高阶无穷小量 B 同阶但不是等价无穷小量 C 低阶无穷小量 D 等价无穷小量 7、 函数21()lim 1n n x f x x →∞+=+,则下面正确的是( ) A 不存在间断点 B 存在间断点0x = C 存在间断点1x = D 存在间断点1x =? 8、点是函数0x =111 x y e = ? 的( ) A 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 第二类间断点 高升专升本高等数学课程建设组M 9 设( ) 0(),f x x 在点连续则下列结论正确的是A B 0 lim ()0x x f x →=0 00 ()() lim x x f x f x x x →??存在 C D 00,()()x x f x f x →?当时为无穷小00,()()x x f x f x →?当时不是无穷小10.函数0()f x x x =在处连续是函数 ( ) 0x x =｜f(x)|在处连续的A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 11、设,0x →2tan x x x e e ?是的（ ） A 高阶无穷小 B 低阶无穷小 C 等阶无穷小 D 同阶非等价无穷小 计算题专项训练： 1、求极限.1211lim n n n ?? ???? +?∞→2、 计算x x x 5sin 2tan lim 0→. 3、求 .2sin sin tan lim 30x x x x ?→4、求 .1cos 1 )1(lim 3/120??+→x x x 5、求 1 21tan 1tan 1lim ?+??+→x x x x 6、计算 .) 1ln(lim 2cos 0x x e e x x x x +?→ 7、 计算 .sin cos 12lim 20x x x +?→8、 求 .cos sec ) 1ln()1ln(lim 220x x x x x x x ?+?+++→ 9、求 x x x x 3sin 1 cos 5tan lim 0+?→ 10求下列函数的间断点, 并判断其类型. 若为可去间断点. .1,00 1,)1(||)(22?? ???±=±≠?+=x x x x x x x f 及 高升专升本高等数学课程建设组M 2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学 试卷 一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分. 1. 函 数 x x y --= 5)1ln(的定义域为为 （ ） A.1>x 5 解： ?-x e x ~12~12 x e x -,应选B. 4.=?? ? ??++∞ →1 21lim n n n （ ） A. e B.2e C.3e D.4e 解：2)1(2lim 2 )1(221 21lim 21lim 21lim e n n n n n n n n n n n n n n =? ?? ????? ??? ??+=?? ? ??+=?? ? ? ? + +∞→+?∞ →+∞ →∞→,应选B. 5.设 ?? ? ??=≠--=0,0,11)(x a x x x x f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B.-1 C.21 D.2 1 - 解：2 1 )11(1lim )11(lim 11lim )(lim 0000 =-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2 1 )1()21(lim 0 =--→h f h f h ,则=')1(f （ ） A. 1 B.21- C.41 D.4 1 - 解：4 1 )1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='?='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h , 应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dy dx 为 （ ） A. )1()1(x y y x -- B.)1()1(y x x y -- C.)1()1(-+y x x y D.) 1() 1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++, 即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-, 高等数学测试（第二章） 一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→? 安徽省2012年普通高等学校专升本招生考试 高等数学 注意事项： 1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。 2．答题前将密封线内的项目填写完整。 一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分） 1.若函数??? ??>+≤=0,sin 0,3)(x a x x x e x f x 在0=x 在处连续，则=a （ C ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：由)0()00()00(f f f =-=+得231=?=+a a ,故选C. 2.当0→x 时，与函数2 )(x x f =是等价无穷小的是（ A ） A. )1ln(2 x + B. x sin C. x tan D. x cos 1- 解：由11ln(lim 1ln()(lim ) 22 0)20=+=+→→x x x x f x x ,故选A. 3.设)(x f y =可导，则'-)]([x e f =（ D ） A. )(x e f -' B. )(x e f -'- C. )(x x e f e --' D. )(x x e f e --'- 解：)()()()]([x x x x x e f e e e f e f -----'-='?'=',故选D. 4.设 x 1是)(x f 的一个原函数，则?=dx x f x )(3 （ B ） A. C x +2 2 1 B. C x +-221 C. C x +331 D. C x x +ln 414 解：因x 1是)(x f 的一个原函数,所以211)(x x x f -=' ??? ??=,所以 C x xdx dx x f x +-=-=??23 2 1)( 故选B. 5.下列级数中收敛的是（ C ） A. ∑∞ =-1 374n n n n B. ∑ ∞ =-1 2 31 n n C. ∑∞ =13 2 n n n D. ∑∞ =1 21sin n n 解：因121 )1(lim 212 2)1(lim 33313 <=+=+∞→+∞→n n n n n n n n ,所以∑∞=132n n n 收敛, 故选C. 普通专科教育考试 《数学（二）》 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20题。在每小题给出的四个备选项中， 选出一个正确的答案，并将所选项前面的字母填写在答题纸的相应位置上，填写在其他位置上无效。） 1.极限=+--+→2 32 lim 2 21x x x x x ( ) A.—3 B. —2 2.若函数()??? ? ???>=<+=?0 ,1 sin 0,00,sin 1 x x x x x a x x x 在0=x 处连续，则=a （ ） D.—1 3.函数()x f 在()+∞∞-,上有定义，则下列函数中为奇函数的是( ) A.() x f B.()x f C.()()x f x f -+ D.()()x f x f -- 4.设函数()x f 在闭区间[]b a , 上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()b f a f =，则曲线()x f y =在()b a ,内平行于x 轴的切线（ ） A.不存在 B.只有一条 C.至少有一条 D.有两条以上 5.已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为C (),2000102.02 ++=x x x C 则当产 量10=x ，其边际成本是（ ） A.—14 C.—20 6.设二元函数,xy y e x z +=则=??x z （ ） A. xy y e yx +-1 B.xy y ye yx +-1 C.xy y e x x +ln D.xy y ye x x +ln 7.微分方程y x e dx dy -=2的通解为（ ） A.C e e y x =-2 B.C e e y x =-212 C.C e e y x =-22 1 D.C e e y x =+2 8.下列级数中收敛发散的是（ ） A.∑∞ =1!1n n B.∑∞=123n n n C.∑∞ =+1 1n n n D.∑∞=13sin n n π 2011年成人高考专升本高数试题及答案 一、填空题：1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 1．若(),,2y xy y x y x f +=-+则()= y x f ,1()2x x y -． 2．=→x n i s x in s x x 1 lim 200． 3．设322++=ax x y 在1=x 处取得极小值，则a =4-． 4．设向量,23a i j b j k =-=-+ ， 则a b ?= 2． 5．=+?2 01x dt t dx d 212x x +． 二、选择题：6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内． 6．函数()41 922-+-=x x x f 的定义域是 [ C ] （A ） ()()∞+-∞-,22, ； （B ）()()3,22,3 --； （C ）)([]3,22,3 --； （D ）]()[()∞+--∞-,32,23, ． 7．曲线 26322-+=x x y 上点M 处的切线斜率为15，则点M 的坐标是 [ B ] （A ）)15,3(； （B ）)1,3(； （C ）)15,3(-； （D ）)1,3(-． 8．设cos(2)z x y =-，则z y ??等于 [ D] （A ）sin(2)x y --； （B ）2sin(2)x y --； （C ）sin(2)x y -； （D ）2sin(2)x y -。 9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是 [ D ] （A ）A x y =，[]2,1-∈x ； （B ）)1ln(x y +=，[]1,1-∈x ； （C ） x y 1 =，[]1,1-∈ x ； （D ）)1ln(2x y +=，[]3,0∈x . 10．无穷级数() ∑∞=-14/51 1n n n [ A ] （A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； 第三章 中值定理与导数的运用 §3.1 微分中值定理 1、证明: 2 22arctan arctan 1x x x π-=- , 在 1x <<+∞ 成立. 证明：令()2 22arc arc ,1x f x tgx t g x =--1x <<+∞， 因()()() () 22 2 2 2221222 112111x x x f x x x x x ---'=- ? +??-+ ?-?? ()()()()222222222212122 011141x x x x x x x ++=-=-=++-++ 所以()f x C =，又因 为 2arc arc ,13 f tg π==-所以C π=，得证！ 2、证明不等式: arc arc tga tgb a b -≤-. 证明：（1）当a b =时，不等式显然成立。 （2）当a b <时，令()[]arctan ,,,f x x x a b =∈则 ()[],f x a b 在上连续,在(),a b 可导,由拉格朗日中值定理知,存在 ()()()()(,),,a b f b f a f b a ξξ'∈-=-使即 ()2 1 arctan arctan ,(,),1b a b a a b ξξ-= -∈+ 故2 1 arc arc 1tga tgb b a a b ξ -= -≤-+，(,)a b ξ∈ （3）当a b >时，令()[]arctan ,,,f x x x b a =∈ 以下证法同（2）. 3、设()f x 在( , +)-∞∞满足()()f x f x '=()()f x f x '=,且 (0)1f =, 证明: ()x f x e =. 证明：令()(),( , +),x x e f x x ?-=∈-∞∞ ()()()()()0,,x x x x e f x e f x x e f x C ??---''=-+≡=≡因为所以 即()()()(),01,1,x f x Cf x f C f x e ====又因所以从而 4、设()f x 在[],a b 连续,在(),a b 二阶可导, 连接点(,())A a f a 和 (,())B b f b 的直线AB 与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c , 证 明: 在(),a b 内存在一点ξ,使()0f ξ=". 证明：因为直线AB 与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ,所以 ()()()() f b f c f c f a b c c a --=-- 由拉格朗日中值定理知：存在()1,,a c ξ∈使 ()()()1f c f a f c a ξ-'=-，存在()2,,c b ξ∈使()() ()2f b f c f b c ξ-'=-，从 而()1f ξ'=()2f ξ' 由罗尔定理知，存在()()12,,,a b ξξξ∈?使()0f ξ''= §3.2 洛必达法则 1、求下列极限 高等数学试题及答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设f(x)=lnx ，且函数?(x)的反函数1?-2(x+1) (x)=x-1 ，则 []?=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()0 2lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-?（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ?=+?-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ?→?=?==?= 4．设函数,1 31,1 x x x ?≤?->?22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但 不可导 D. 可导 5．设C +?2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2 2 2 2 -x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-1 4 )的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞ +++ +<= 8．arctan lim _________x x x →∞ = 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100 件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 全国教师教育网络联盟入学联考 (专科起点升本科) 高等数学备考试题库 2012 年 、选择题 1.设f (x)的定义域为0,1，则f(2x 1)的定义域为( 1 A: -,1 2 B: 1 , C: ,1 2 1 D: 1 2.函数f()x arcsin sinx的定义域为( ) A：, C： ,— 2 2 D: 1,1 3.下列说确的为( ) A:单调数列必收敛； B：有界数列必收敛； C:收敛数列必单调； D:收敛数列必有界? 4?函数f(X) A：有界 B:单调 C:周期 sinx不是( D:奇 5?函数y sin 3e 2x 1的复合过程为（ ） A: y 3 sin u v ,u e ,v 2x 1 B: y 3 u , u v sine ,v 2x 1 C: 3 2x 1 y u ,u sin v,v e D: y 3 u ,u sin v,v e w , w 2x 1 x 0 ，则下面说法不正确的为 （ ）. X 0 A:函数f （X ）在X 0有定义; B ：极限1X 叫f （x ）存在； C:函数f （X ）在X 0连续； D:函数f （x ）在x 0间断。 sin 4x 7.极限 lim =( ). x 0 x A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 8. lim(1 n A: 1 B: e C: e 5 D: 9. 函数y x （1 cos 3 x ）的图形对称于（ A: ox 轴； B:直线y=x ； C:坐标原点； D: oy 轴 3 10. 函数 f （x ） x sinx 是（ ）. A:奇函数； B:偶函数； C:有界函数； sin4x 6.设 f (x) —X — 1 20XX年成人高等学校招生全国统一考试 高等数学 答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效。 一、选择题：1－10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将近选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。 正确答案：A 【名师解析】根据函数的连续性立即得出结果 【名师点评】这是计算极限最常见的题型。在教学中一直被高度重视。 正确答案：C 【名师解析】使用基本初等函数求导公式 【名师点评】基本初等函数求导公式是历年必考的内容，我们要求考生必须牢记。 正确答案：B 【名师解析】根据基本初等函数求导公式和复合函数求导法则 正确答案：D 【名师解析】如果知道基本初等函数则易知答案；也能根据导数的符号确定 【名师点评】这是判断函数单调性比较简单的题型。 正确答案：A 【名师解析】基本积分公式 【名师点评】这是每年都有的题目。 【名师解析】求出积分区间，确定被积函数，计算定积分即可。 【名师点评】用定积分计算平面图形面积在历年考试中，只有一两年未考。应当也一直是教学的重点 正确答案：C 【名师解析】变上限定积分求导 【名师点评】这类问题一直是考试的热点，也始终是讲课的重点。 正确答案：D 【名师解析】把x看成常数，对y求偏导 【名师点评】本题属于基本题目，是年年考试都有的内容 正确答案：A 10、袋中有8个乒乓球，其中5个白色球，3个黄色球，从中一次任取2个乒乓球，则取出的2个球均为白色球的概率为 【名师点评】古典概型问题的特点是，只要做过一次再做就不难了。 二、填空题：11－20小题，每小题4分，共40分，把答案写在答题卡相应题号后。 正确答案：0 【名师解析】直接代公式即可。 【名师点评】又一种典型的极限问题，考试的频率很高。 正确答案：1 【名师解析】考查等价无穷小的定义 【名师点评】无穷小量的比较也是重点。本题是最常见的且比较简单的情况。 【名师解析】 性），分别求出左右极限并比较。 【名师点评】这道题有点难度，以往试题也少见。 高数章节习题练习 第一节函数极限持续 1、设()12x f x x = -，求[()]f f x 2、设 2,01()3,12 x x f x x x ?≤≤=? <≤? ，()x g x e =，求[()]f g x ． 3 、 ()ln(1)f x x =+- 4 、2 ()arccos(2)2 f x x x x =+---． 5、设()f x 和() g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试鉴定下列函数奇偶性． （1） ()()()()f x f x g x g x +-++- （2）()()()()f x f x g x g x --++- 6 、鉴定函数 ()ln(f x x =+奇偶性． 7、．22212 lim()n n n n n →∞++ + 8、．2 n n →∞ +++ + 9、．222lim(1)n n n n →∞++ 10、23lim( )21n n n n →∞ -+． ．sin lim x x x →∞． 11、．21lim 1 n x x x x n x →+++--． 12、0sin(1)lim 3x x e x →-． sin 0lim sin x x x e e x x →--． 13、23lim( )2x x x x →∞ ++． 14、11lim(sin cos )x x x x →∞ +． 【例1-6】已知()f x 是多项式，且32()2lim 2x f x x x →∞-=，0() lim 3x f x x →=，求()f x ． 【例1-7】当0x →时，比较下列无穷小阶． 1． 2x 比1cos x - 2、2x 比1-．3 、-比x ．4．2x 比 tan sin x x - 【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处持续性． 1 ．01 ()1,11,1x f x x x x ?≤? 在1x =处持续性． 2．1,0()ln(1),0 x e x f x x x ??<=? ?+≥? 在0x =处持续性． 【例1-9】当常数a 为什么值时，函数2,0 ()ln(1),0x a x f x x x x -≤?? =?+>?? 在0x =处持续？ 【例1-10】求下列函数间断点并判断其类型． 1． 1 ()x f x e = ． 2． ()sin x f x x = ． 3． 111()1 x x e f x e -= + ．4． 1arctan ,0()0, 0x f x x x ? ≠? =??=? ． 【例1-11】证明方程3 2410x x -+=在区间(0,1)内至少有一种根． 只供学习与交流 高等数学试题及答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设f(x)=lnx ，且函数?(x)的反函数1?-2(x+1) (x)=x-1 ，则 []?=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x 2．()0 2lim 1cos t t x x e e dt x -→+-=-?（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ?=+?-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） .lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ?→?=?==?= 4．设函数,1 31,1 x x x ?≤?->?22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ） A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但 不可导 D. 可导 5．设C +?2 -x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ） 2 2 2 2 -x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-1 4 )的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞ ++++<=L 8．arctan lim _________x x x →∞ = 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2 g C(g)=9+800 ，则生产100 件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________. 2013年成人高等学校专升本招生全国统一考试 高等数学（二） 答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．． 。 选择题 一、选择题：1~10 小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信点．．．．．．．．．． 上． 。 1、2 2lim x cos x x π → = A. 2 π B. 2 π - C. 2 π D. 2 π - 2、设函数ln 3x y e =-，则 dy dx = A. x e B. 1 3 x e + C. 13 D. 13 x e - 3、设函数()ln(3)f x x =，则'(2)f = A. 6 B. ln 6 C. 12 D. 16 4、设函数3()1f x x =-在区间(,)-∞+∞ A.单调增加 B.单调减少 C.先单调增加，后单调减少 D.先单调减少，后单调增加 5、 2 1 dx x ?= A. 1 C x + B. 2 ln x C + C. 1 C x - + D. 2 1C x + 6、 2 (1) x d dt t dx +?= A. 2 (1)x + B. 0 C. 31(1)3 x + D. 2(1)x + 7、曲线||y x =与直线2y =所围成的平面图形的面积为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8、设函数cos()z x y =+，则 (1,1)|z x ?=? A. cos 2 B. cos 2- C. sin 2 D. -sin 2 9、设函数y z xe =，则 2 z x y ???= A. x e B. y e C. y xe D.x ye 10、设A ，B 是两随机事件，则事件A B -表示 A.事件A ，B 都发生 B.事件B 发生而事件A 不发生 C.事件A 发生而事件B 不发生 D.事件A ，B 都不发生 非选择题 二、填空题：11~20小题，每小题4分，共40分，将答案填写在答题卡相应题．．．．．． 号后．．。 11、3123x x lim x →-= _______________. 12、设函数ln ,1,(),1x x f x a x x ≥?=?- 全国教师教育网络联盟入学联考 （专科起点升本科） 高等数学备考试题库 2012 年 、选择题 A: C ： , 2 2 D: 1,1 3.下列说法正确的为（ ） A:单调数列必收敛； B:有界数列必收敛； C:收敛数列必单调； D:收敛数列必有界. 4. 函数f （x ） sinx 不是（ ）函数 A: 有界 B: 单调 C : 周期 D : 奇 5. 函数y sin 3 e 2x 1的复合过程 为（ A: 3 y sin u, v u e ,v 2x 1 B: 3 y u ,u v sine , v 2x 1 C : 3 sin v,v ( 2x 1 y u ,u 9 D: y u 3,u sin v,v w e , w 2x 1 sin4x x 0 1. A: B: C: D: 2. 设f (x)的定义域为 1 ,1 2 丄1 2 1,1 2 1 2,1 函数 f (X arcsi n 0,1， sin x 则f （2x 1）的定义域为（ 的定义域为（ 6.设f (x) x 则下面说法不正确的为() 1 x 0 A：函数f(X)在x 0有定义; B：极限I］叫f (X)存在； C：函数f (x)在X 0连续; D:函数f (X)在x 0间断。 sin 4x ,、 7.极限lim =(). x 0 x A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 8. Iim(1 n A: 1 B: e C: D: 9. 函数y x(1 COS3x)的图形对称于( ). A: ox 轴； B:直线y=x ； C:坐标原点； D: oy轴 10. 函数f (x) x3S "乂是( ). A:奇函数； B:偶函数； C:有界函数； D:周期函数. 11. 下列函数中，表达式为基本初等函数的为( ) A: 2x2x x 0 y 2x 1 B: y 2x cosx C: y x D: y sin . x 12. 函数y sin x cosx 是A:偶函数； B:奇函数； C:单调函数； D:有界函数 sin 4x 13. lim ( ) x 0 sin3x A: 1 B: ■ （专科起点升本科） 高等数学备考试题库 2011年 一、选择题 1. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则)12(-x f 的定义域为（ ）. A: ??????1,21 B: 1,12?? ??? C: 1,12?????? D: 1,12 ?? ??? 2. 函数()()a r c s i n s i n f x x =的定义域为（ ）. A: (),-∞+∞ B: ,22ππ ??- ??? C: ,22ππ??-???? D: []1,1- 3.下列说法正确的为（ ）. A: 单调数列必收敛； B: 有界数列必收敛； C: 收敛数列必单调； D: 收敛数列必有界. 4.函数x x f sin )( =不是（ ）函数. A: 有界 B: 单调 C: 周期 D: 奇 5.函数1 23sin + =x e y 的复合过程为（ ）. A: 1 2,,sin 3+===x v e u u y v B: 12,sin ,3+===x v e u u y v C: 123,sin ,+===x e v v u u y D: 1 2,,sin ,3+====x w e v v u u y w 6.设?????=≠=001 4sin )(x x x x x f ，则下面说法不正确的为( ). A: 函数)(x f 在0=x 有定义； B: 极限)(lim 0 x f x →存在； C: 函数)(x f 在0=x 连续； D: 函数)(x f 在0=x 间断。 7. 极限x x x 4sin lim 0→= ( ). A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 8.5 1lim(1) n n n -→∞ +=（ ）. A: 1 B: e C: 5 e - D: ∞ 9.函数)cos 1(3 x x y +=的图形对称于（ ）. A: ox 轴； B: 直线y=x ； C: 坐标原点; D: oy 轴 10.函数x x x f sin )(3 =是（ ）. A: 奇函数； B: 偶函数； C: 有界函数； D: 周期函数. 11.下列函数中，表达式为基本初等函数的为（ ）. 关于专升本高等数学测试 题答案 This manuscript was revised on November 28, 2020 专升本高等数学测试题 1.函数x y sin 1+=是（ D ）． （A ） 奇函数； （B ） 偶函数； （C ） 单调增加函数； （D ） 有界函数． 解析 因为1sin 1≤≤-x ，即2sin 10≤+≤x , 所以函数x y sin 1+=为有界函数． 2.若)(u f 可导，且)e (x f y =，则有（ B ）； （A ）x f y x d )e ('d =； （B ）x f y x x d e )e ('d =； （C ）x f y x x d e )e (d =； （D ）x f y x x d e )]'e ([d =． 解析 )e (x f y =可以看作由)(u f y =和x u e =复合而成的复合函数 由复合函数求导法 ()x x u f u f y e )(e )(?'=''='， 所以 x f x y y x x d e )e ('d d =?'=． 3.? ∞+-0 d e x x =( B ); (A)不收敛; (B)1; (C)－１; (D)0. 解析 ? ∞ +-0 d e x x ∞+--=0 e x 110=+=． 4.2(1)e x y y y x '''-+=+的特解形式可设为（ A ）； (A)2()e x x ax b + ； (B) ()e x x ax b +； (C) ()e x ax b +； (D) 2)(x b ax +． 解析 特征方程为0122=+-r r ，特征根为 1r =2r =1．λ=1是特征方程的特征重根，于是有2()e x p y x ax b =+． 5.=+??y x y x D d d 22( C )，其中D ：1≤22y x +≤4； (A) 2π4 2 01 d d r r θ??； (B) 2π4 01 d d r r θ? ?； (C) 2π2 20 1 d d r r θ? ?； (D) 2π2 1 d d r r θ? ?． 解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式． 高等数学专升本试卷 考试说明： 1、考试时间为150分钟； 2、满分为150分； 3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效； 4、密封线左边各项要求填写清楚完整。 一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求.本题共有5个小题，每小题4分，共2０分） 1函数1 arccos 2 x y +=的定义域是 （ ） .A 1x < .B ()3,1- .C {}{}131x x x 二.填空题(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程, 本题共有10个小题，每小题4分,共40分) 1.2226 lim _______________.4x x x x →+-=- 2.设函数(), ,x e f x a x ?=?+? 00x x ≤>在点0x =处连续,则 ________________a =. 3.设函数x y xe =,则()''0__________________y =. 4.函数sin y x x =-在区间[]0,π上的最大值是_____________________. 5.sin 1_______________________.4dx π ??+= ?? ? ? 6.()() ____________________________.a a x f x f x dx -+-=????? 7.设()() x a x F x f t dt x a =-?,其中()f t 是连续函数， 则()lim _________________.x a F x + →= 8.设32, 2a i j k b i j k =--=+-r r r r r r r r ,则____________________.a b ?=r r 9.设()2,y z x y =+则()0,1____________________________. z x ?= ?（超纲，去掉） 10.设(){},01,11,D x y x y = ≤≤-≤≤则_____________________.D dxdy =??（超纲，去掉） 全国教师教育网络联盟入学联考 （专科起点升本科） 高等数学备考试题库 2012年 一、选择题 1. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则)12(-x f 的定义域为（ ）. A: ?? ? ???1,21 B: 1,12?? ??? C: 1,12?????? D: 1,12?? ?? ? 2. 函数()()a r c s i n s i n f x x =的定义域为（ ）. A: (),-∞+∞ B: ,22ππ ??- ??? C: ,22ππ??-???? D: []1,1- 3.下列说确的为（ ）. A: 单调数列必收敛； B: 有界数列必收敛； C: 收敛数列必单调； D: 收敛数列必有界. 4.函数x x f sin )(=不是（ ）函数. A: 有界 B: 单调 C: 周期 D: 奇 5.函数1 23sin +=x e y 的复合过程为（ ）. A: 12,,sin 3+===x v e u u y v B: 1 2,sin ,3+===x v e u u y v C: 123,sin ,+===x e v v u u y D: 12,,sin ,3+====x w e v v u u y w 6.设??? ??=≠=001 4sin )(x x x x x f ，则下面说法不正确的为( ). A: 函数)(x f 在0=x 有定义； B: 极限)(lim 0 x f x →存在； C: 函数)(x f 在0=x 连续； D: 函数)(x f 在0=x 间断。 7. 极限x x x 4sin lim 0→= ( ). A: 1 B: 2 C: 3 D: 4 8.51lim(1)n n n -→∞ +=（ ）. A: 1 B: e C: 5 e - D: ∞ 9.函数)cos 1(3 x x y +=的图形对称于（ ）. A: ox 轴； B: 直线y=x ； C: 坐标原点; D: oy 轴 10.函数x x x f sin )(3 =是（ ）. A: 奇函数； B: 偶函数； C: 有界函数； D: 周期函数. 专升本高数章节练习题 高数章节习题练习 第一节函数极限连续 1、设()12x f x x = -，求[()]f f x 2、设 2,01 ()3,12 x x f x x x ?≤≤=? <≤? ，()x g x e =，求[()]f g x ． 3、()arcsin(21)ln(1)f x x x =-+- 4、 21 ()arccos(2)2 x f x x x x -=+---． 5、设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试判定下列函数的奇偶性． （1） ()()()() f x f x g x g x +-++- （2） ()()()()f x f x g x g x --++- 6、判定函数2()ln(1)f x x x =+ +的奇偶性． 7、．2221 2lim()n n n n n →∞ +++L 8、．2 2 2 111lim( )1 2 n n n n n →∞ + ++ +++L 9、．22 2lim(1)n n n n →∞ ++ 10 、 23lim()21n n n n →∞-+． ．sin lim x x x →∞ ． 11、．21lim 1 n x x x x n x →+++--L ． 12 、 0sin(1)lim 3x x e x →-． sin 0lim sin x x x e e x x →--． 13、23lim()2x x x x →∞ ++． 14、11lim(sin cos )x x x x →∞+． 【例1-6】已知 ()f x 是多项式，且3 2()2lim 2x f x x x →∞-=，0() lim 3x f x x →=，求()f x ． 【例1-7】当0x →时，比较下列无穷小的阶． 1．2x 比1cos x - 2、2x 比 11x +-．3、 11x x +--比 x ．4．2x 比tan sin x x - 【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性． 1． 2,01 ()1,11,1x x f x x x x ?≤? 在1x =处的连续性． 2015年成人高等学校专升本招生全国统一考试 高等数学（一） 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内. 1. 当0≠b ，当0→x 时，bx sin 是2 x 的 （ ） A. 高阶无穷小量 B. 等价无穷小量 C. 同阶但不等价无穷小量 D. 低阶无穷小量 2. 设函数)(x f 可导，且2) 1()1(lim =-+→f x f x x ，则=')1(f （ ） A. 2 B. 1 C. 2 1 D. 0 3. 函数112)(3+-=x x x f 的单调减区间为 （ ） A. ),(+∞-∞ B. )2,(--∞ C. )2,2(- D. ),2(+∞ 4. 设0)(0='x f ，则0x x = （ ） A. 为)(x f 的驻点 B. 不为)(x f 的驻点 C. 为)(x f 的极大值点 D. 为)(x f 的极小值点 5. 下列函数中为x e x f 2)(=的原函数的是 （ ） A. x e B. x e 22 1 C. x e 2 D. x e 22 6. ?=dx x x 2 cos （ ） A. C x +-2 sin 2 B. C x +-2sin 2 1 C. C x +2 sin 2 D. C x +2sin 2 1 7. ?=02 x t dt te dx d （ ） A. 2 x xe B. 2 x xe - C. 2 x xe - D. 2 x xe -- 8. 设y x z =，则=??x z （ ） A. 1-y yx B. x x y ln C. 1 -y x D. x x y ln 1 - 9. 设32y x z +=，则=) 1,1(dz （ ） A. dy dx 23+ B. dy dx 32+ C. dy dx +2 D. dy dx 3+ 10. 级数 ∑∞ =-1 2)1(n n n k （k 为非零常数） （ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与k 的取值有关 二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分. 把答案填在题中横线上. 11. =+→220) 1ln(lim x x x _________. 12. 函数2 2 )(-+= x x x f 的间断点为=x _________. 13. 设x e x y +=2 ，则=dy _________. 14. 设100 )2(x y +=，则='y _________. 15. ?=-x dx 3_________. 16. ?-=+112 1dx x x _________. 17. ? =1 3dx e x _________. 18. 设x y z sin 2 =，则 =??x z _________. 19. 微分方程x y 2='的通解为=y _________.专升本高数真题及答案
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