赵树嫄微积分第四版第六章定积分

第六章 定积分的应用

第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 设 f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边,底为] ,[b a 的曲边梯形的面积A 。 1.化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值

),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (１）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则 A 相应地分成部分量 ),,2,1(n i A i =?,而 ∑=?=n i i A A 1 这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。 (2）用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样,和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1.能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (２) U 对于区间],[b a 具有可加性; (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2．写出计算U 的定积分表达式步骤

微积分第六章-定积分的应用

第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 §6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者 扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一

个实际问题的步骤。 §6.2 定积分在几何中的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?) (2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 22 2x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 )

高等数学积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+

14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++

定积分的应用教案

第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).

§6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b

数学建模-微积分模型

第四章 微积分模型 今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。 建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最 优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ； （3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量 为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。 易见 Q=rT (4.1) 一个周期的存贮费用 C 2= A c ds s q T 20 )(=? 一个周期的总费用 C =2 2 21rT c c + 每天平均费用

高等数学第六章定积分的应用

第六章 定积分的应用 §6.1 定积分的元素法 §6.2 平面图形的面积 一、填空题 1．定积分 ? b a dx x f )(的几何意义是 。 2． )(x f 、g(x)在[a,b] 上连续，则由y=f(x),y=g(x)和x=a,x=b 所围成图形的 面积A= 。 3．计算y 2=2x 与y=x-4所围成图形的面积时，选用 作积分变量较为简捷。 二、选择题 1．曲线y=x ln 与直线0,,1 === y e x e x 及所围成的区域的面积S= 。 （A ）、2)11(e - （B ）、e e 1- （C ）、e e 1+ （D ）、e 1 1+ 2．曲线r=2acos θ所围图形的面积A= 。 （A ）、 θθπ d a 22 0)c o s 2(2 1 ? （B ）、θθππd a 2)c o s 2(21?- （C ）、 θθπ d a 2 20 )c o s 2(2 1? （D ）、2θθπd a 220)cos 2(21? 3．曲线?????==t a y t x 3 3sin cos 所围图形的面积A= 。 （A ）、 28a π （B ）、24a π （C ）、283a π （D ）、22 a π 三、求下列各曲线所围成的图形的面积。 1． 曲线y=x 3-6x 与y=x 2所围成图形的面积。 2． 曲线y=-x 2+-3及共在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成图形的面积。

3． 曲线y=sinx 与y=sin2x(0)π≤≤x 所围成图形的面积。 4． r =3cos θθcos 1+=r 及所围成图形的面积。 5． 摆线?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x 的一拱（)20π≤≤t 与横轴所围成图形的面积。 四、在曲线族y=a(1-x 2)(a>0)中确定一条曲线，使该曲线和其在（-1，0）和（1，0）两点处 的切线所围图形的面积最小。

微积分公式与定积分计算练习

微积分公式与定积分计算练习(附加三角函数公式) 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 (１)()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? (2)()() ()() n n cu x cu x =??? ? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? (4) ()()() ()()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1) ()() ! n n x n = (2) ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则

高等数学第五章定积分总结

第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b

抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx

微积分公式大全

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++，　，　，　 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

第二章数学模型与定解问题

第二章数学模型与定解问题 2.1典型方程 三类基本的二阶偏微分方程是: (1)波动方程 0)(2 =++-zz yy xx tt u u u a u (2)热传导方程 0)(=++-zz yy xx t u u u k u (3)拉普拉斯方程 0=++zz yy xx u u u 许多数学物理问题都可归结为解偏微分方程的问题,特别是可归结为解上面所列举的三个偏微分方程的问题.我们将开始研究这些方程,首先仔细考察表示这些物理问题的数学模型. 2.2弦的振动 在数学物理中最重要的问题之一是拉紧的弦的振动问题.由于它较简单, 且经常出现在许多数学物理的分支中,所以在偏微分方程理论中把它作为一个典型的例子. 让我们考察一长为 l 的两端固定的拉紧的弦.我们的问题是要确定弦的运动方程,用它来描述在给定初始扰动后任一时刻t 的弦的位移u(x,t). 为了能.得出一个较简单的方程,我们作下面的一些假设: (1)弦是柔软与有弹性的,即它不能抵抗弯矩,因此在任何时刻弦的张力总是沿着弦的切线方向; (2)弦的每一段都不伸长,因此根据胡克(Hooke)定律,张力是常数; (3)弦的重量与其张力相比很小; (4)弦的偏移与其长度相比很小; (5)位移后的弦在任一点上的斜率与1相比很小; (6)弦只有横振动. 我们考察弦上一微小元素.设T 是如图2.1所示的两端点上的张力.作用在弦的这一微小元素上的垂直方向的力是: αβsin sin T T - 图（Figure ）2.1

根据牛顿第二运动定律,合力等于质量乘以加速度.因此 tt su T T ?=-ραβsin sin (2.2.1) 其中ρ是弦的密度,s ?是这一小段位移后的弦的弧长.因为位移后的弦的斜率很小,所以有 x s ?≈? 因为角α和β都很小,所以 ααtan sin ≈, ββtan sin ≈ 于是等式(2.2.1)变成 tt u T x ?=-ραβtan tan (2.2.2) 但是,由微积分学我们知道,在时刻t 有 x x u )(tan ≈α 及 x x x u ?+≈)(tan β 于是等式(2.2.2)可以写成 tt x x x x x u t u u x ρ =-??+])()([1 令x ?趋于零取极限,得 xx tt u a u 2 = (2.2.3) 其中ρ T a = 2 。方程(2.2.3)称为一维波动方程. 如果在弦的每单位长度上有外力F 作用着,方程(2.2.3)具有下列形式: f u a u xx tt +=2 (2.2.4) Where ρ F f = ,而外力可以是压力、重力、阻力以及其他力等 2.3膜的振动 膜振动方程在数学物理的许多问题中出现.在我们导出膜振动方程前,像在弦振动的情形中一样,我们作下列一些简化的假设: （1） 膜是柔软与有弹性的,即它不能抵抗弯矩,因此在任何时刻它的张力 总是在膜的切平面内; (2) 膜的每一块元素都没有伸张变形, 因此根据胡克定律, 张力是常数;

高等数学定积分应用习题答案

第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 22 =+b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>==

微积分公式与定积分计算练习大全

微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式） 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? （2）()() ( ) ()n n cu x cu x =??? ? （3）()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? （4） ()()() ( ) ()() ()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1） ()() ! n n x n = （2） ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则

微积分模型

第一篇 微积分模型 在微积分部分的应用实例中，通过对应用问题建模主要培养应用极限、连续、相对变化率、微元、无穷级数、最优化和微分与差分方程等思想解决实际应用问题的能力。 函数的性质包括分段性质、单调性、奇偶性等，由函数的基本性质可以产生对函数进行分类的方法。与函数基本特性相关的应用实例有：市话费是降了还是升了，外币兑换与股票交易中的涨跌停板，库存问题与库存曲线，“另类”的常量函数，蠓虫分类的初等数学模型，核军备竞赛问题等。 数列与函数的极限和函数连续性质是处理变量变化过程的工具，应用重要极限计算连续复利利率的计算，应用函数的连续性和介值定理解决特殊的应用问题。与极限和连续等内容相关的应用实例有：从科赫雪花谈起，复利、连续复利与贴现，出售相同产品的公司为什么喜欢扎堆，椅子为什么能放稳等。 导数、微分是函数的相对变化的极限过程，函数的特性和极值理论可以解决经济管理中的实际应用问题，导数、微分在经济管理中的应用反映为边际、弹性等。相关的应用实例有：影子为什么那么长，边际是什么？弹性是什么？商家应该怎样制定自己的价格策略？不同消费群体的需求弹性问题，机械与人工的调配问题，易拉罐的形状，这批酒什么时候出售最好，该不该接受供货商的优惠条件，作者与出版商的利益冲突等。 微元分析是微积分中一种重要的分析方法，特别是函数的连续求和归结为该函数的积分。与积分和微元分析内容相关的应用实例有：洛伦兹曲线与基尼系数，均匀货币流的总价值与投资回收期的计算，下雪时间的确定，第二宇宙速度是怎样计算出来的等。 离散变量的求和可以用无穷级数来表达，无穷级数的求和是一个极限过程。与无穷级数内容相关的应用实例有：最大货币供应量的计算，政府支出的乘数效应，运用现值计算进行投资项目的评估，谈谈龟兔赛跑悖论 等。 如果影响研究问题的主要因素有两个或者两个以上，则要用多元函数的微积分学来处理，涉及到多元函数偏导数、偏边际、偏弹性和交叉弹性、条件极值等内容。相关的应用实例有：空调销售量的预测，相互关联商品的需求分析，衣物怎样漂洗最干净，拉格朗日乘数与影子价格等。 变量的变化过程可以用微分方程或差分方程来描述，通过对微分方程或差分方程的建立与求解，可以研究变量的形态和变化规律。与微分方程和差分方程相关的应用实例有：人口模型，单种群动物模型，相对封闭环境中的传染病模型，江河污染物的降解系数，怎样计算固定资产的折旧，放射性元素衰变模型，市场上的商品价格是怎样波动的，再谈下雪时间的确定，溶液浓度模型，饲养物的最佳销售时机，信贷消费中每月还款金额的确定，资源的合理开发与利用，从诺贝尔奖谈起，蛛网模型，梵塔问题，平面内直线交点的个数，菲波那契数列的通项公式等。 1

数学建模微积分模型

第四章 微积分模型 今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。 建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最 优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ； （3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量 为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。 易见 Q=rT (4.1) 一个周期的存贮费用 C 2= A c ds s q T 20 )(=? 一个周期的总费用 C =2 2 21rT c c + 每天平均费用 2 )(21rT c T c T c += (4.2) 模型求解 求T ，使)(T c 取最小值。 由 0=dT dc ，得 2 12 1 2,2c r c Q rc c T = = (4.3)

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第六章习题详解

第六章 习题6-1 1. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a??. (2)令()1,()1e e x x f x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1e x x ≥+,又e x 1+x .所以 1 1 (1)e d d x x x x >+??. 4. 估计下列各积分值的范围：

微积分基本公式

微积分公式

tan -1 x = x-33x +55x -7 7 x +…+)12()1(12+-+n x n n + … (1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+! 3)2)(1(--r r r x 3 +… -1

微积分(经管类第四版)习题1-6答案

习题1-6 1(1)错.无穷小是趋向于0，非常小是趋向于负无穷 (2)对 (3)对 (4)错.，趋向于无穷大，则，设x x g x f x x g x x f ===)() (1)(1)(2 (5)错.，趋向于无穷小，则，设0)()()()(=+-==x g x f x x g x x f 2(1)无穷小 (2)无穷小 (3)无穷大 3，所以对任意给定的0,0-1 sin >≤εx x x 时为无穷小为，即故时，就有则当，，要取要使01sin 01sin lim 0-1sin 00-1sin 0→==<<<=<→x x x y x x x x x x x x εδεδε 4(1)3)23(lim 23lim =+=+∞→∞→x x x x x (2)2)2(lim 24lim 02 0=+=--→→x x x x x (3)∞→→→→x x x x cos -110cos -11cos 0，，时，当 5存在极限，1lim lim 0 /1==∞→∞→e e x x x

不存在极限，+∞==∞ →→e e x x x 0/10lim lim 6是有界函数，则假设x x y cos = ()，所以函数不是无穷大此时的情况，时，存在当内无界， 在故函数所以假设不成立， ，，使得显然不存在，00cos -cos cos cos ==∞→∞+∞=≤≤∴≤≤y x x x x y M x M M x x x x M x x 7是有界量，时，)(0x g x x → 是无穷大 即，则，时，恒有使得当，内无限增大，则存在在假设是无穷大，时，时，恒有使得当，内有界，则存在在假设)()(0)()(.)(000)()(.)(000)(222202*********x g x f M M x g x f M x f x x M x x x g x f x x M x g x x M x x x g ±=±≥±≥<-<><-<→≤<-<><-<δδδδ 8，内无限增大，则存在在假设’00)(0><-

微积分公式与定积分计算练习

微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式） 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵ 1 x x μμμ-= ⑶ ()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1ln x x '= ⑿ () 1 log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁ ( )arccos x '= ⒂ ()2 1arctan 1x x '= + ⒃ ()2 1arccot 1x x '=- +⒄()1x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±? ??? （2）()() ()() n n cu x cu x =? ??? （3） ()() ()() n n n u ax b a u ax b +=+???? （4） ()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1） () () ! n n x n = （2） () () n ax b n ax b e a e ++=?

(3)() () ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ? ?? ? ?(5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ? ?? ? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0 d c = ⑵ ()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷ ()cos sin d x xdx =- ⑸ ()2tan sec d x xdx = ⑹ ()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻ ()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼ ()x x d e e dx = ⑽ ()ln x x d a a adx = ⑾ ()1 ln d x dx x = ⑿ ()1 log ln x a d dx x a = ⒀ ( )arcsin d x = ⒁ ( )arccos d x = ⒂ ()21arctan 1d x dx x = + ⒃()2 1 arccot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则 ⑴ ()d u v du dv ±=± ⑵ ()d cu cdu =