高等几何复习分解

[课外训练方案]部分 第一章、仿射坐标与仿射变换

第二章、射影平面

一、主要内容：

基本概念： 射影直线与射影平面 ；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素 基本定理：

德萨格定理： 如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。 德萨格定理的逆定理： 如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点

对偶原理： 在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。 二、疑难解析

无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为P ∞，平面内原有的点叫做有限远点.

无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线.一般记为∞l ，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.

平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.

三、典型例题：

1、 求直线10x -= 与直线340x y -+=上无穷远点的齐次坐标

解：（1）直线10x -= 即 1x =它与y 轴平行 所以位y 轴上的无穷远点 (0,1,0) (2) 由直线340x y -+= 得1433y x =

+故无穷远点为1

(1,,0)3

或（3，1，0） 2、求证：两直线1230x x x +-= 和123220x x x -+= 的交点C 与两点

(3,1,2),(2,A B 三点共线

证明：解方程组：1231230

220

x x x x x x +-=??

-+=?的交点 (1,4,3)C --

因为行列式 143

3

1202

5

5

--= 所以三点共线 3、试证：两共轭复点的连线 是一实直线 证明：

23123,,),(,,)u u a u u u l

a l a l a l a l =1设a=(u 与是共轭复点，两点连线为由定理在上，在上，又在上，所以a 的共轭也在直线上

而两点确定一条直线所以，

312111221232

111113323

3()

()u u u u u u

l l u u u u u u u u u u u

u u u u u ==∴====与重合，故

即与都为实数

所以123::u u u 与一组实数成比例，即直线为实直线。

4、德萨格定理的逆定理：

如果两个三点形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线共点。

证明：如图三点形ABC 与111A B C 的三对应边交点,,L M N 共线，证明对应顶点连线共点 ，考虑三点形1BLB 与1CMC 则有对应顶点连线共点N ，故对应边的交点1,,A A O 共线

自测题

1、 证明：中心投影一般不保留共线三点的单比．

2、 设一平面内有几条直线12,,

,n l l l 用121,,,n T T T -分别表示1l 与2l ，2l 与31,,n l l -与n

l O

A

B

C

L

M

N

B1

A1

C1

间的中心投影．这一串中心投影的复合1221n n T T T T T --=????把1l 上的点对应到n l 上的

点，这种对应关系称为射影对应．举例说明对应点之间的连线一般不共点．

3、 设有两个相交平面1π和2π，如果以S 为中心做1π到2π的投影（S 不在1π和2π上），把

1π上一已知直线1l 投影到2π上直线2l ．证明：当S 变动时，已知直线1l 的象2l 总要通过

一个定点，或与定直线平行．

4、 设12:σππ→是平面1π与2π之间的中心投影．试讨论1π上两条平行直线的象在2π中

还是否平行，不平行有什么性质？同样在2π上两条平行直线在1π中的原象是否为平行线？

5、 试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．

第三章、射影变换与射影坐标

一、基本内容： 交比与调和比； 一维射影变换； 一维射影坐标； 二维射影变换于二维射影坐标 二、主要公式

1、 共线四点的交比：1231324

12341232314

()(,)()p p p p p p p p p p p p p p p p p p ?=

=?

2、 共点四线的交比：()sin ,sin ,(,)()sin ,sin ,abc a c b d ab cd abd b c a d <>?<>

==<>?<>

3、 两直线之间的射影变换：

非齐次坐标形式：1112'

1112

21222122

,0a a a x a x a a a x a +=

=≠+

齐次坐标形式：'11121111122

'

21222211222

,0a a x a x a x a a x a x a x ρρ?=+=≠?=+? 参数形式：'

'

0,0a b c d ad bc λλλλ+++=-≠

4、 二维射影变换：'111112213311

12

13

'

221122223321

2223'3

3113223333132

33

,0x a x a x a x a a a x a x a x a x A a a a x a x a x a x a a a ρρρ?=++?=++=≠??=++?

'11'22'33,det 0x x x A x A x x ρ???? ? ?

=≠ ? ? ? ?

????

三、典型例题：

1、 证明：1122(,)(,)A B CD A B CD =的充要条件是：1212(,)(,)A A CD B B CD = 证明：设11221122,,,A C k D A C k D B C n D B C n D =+=+=+=+ 则12112212

(,),(,)k k

A B CD A B CD n n =

= 若1122(,)(,)A B CD A B CD = 则

12111222

k k k n

n n k n ==或 而 11121222

(,),(,)k n A A CD B B CD k n =

= 所以有 1212(,)(,)A A C D B B C D

= 2、已知共点直线,,a b d 的方程为：:210,:320,:510a x y b x y d x -+=+-=-= 且1

(,)2

ab cd =

求直线c 的方程 解：先化为齐次线坐标[2,1,1],[3,1,2],[5,0,1]a b d --- 则有 d a b =+ 即1k = 令 c a nd =+ 则1(,)2n ab cd k == 所以12

n = 171

[,,0]222

c a b =+

=- 所以方程 为 70x y -= 3、设一直线上的点的射影变换是/

324

x x x +=+证明变换有两个自对应点，且这两自对应点

与任一对对应点的交比为常数。

解：令'

'

232

204

x x x x x x x +==

--=+由得 解得121,2x x =-= 即有两个 自对应点 设k 与'

324k k k +=

+ 对应，有'

5((1)2,)2

kk -=为常数 注：结果 有2

5

也对，不过顺序有别

4、试证圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束 证明：

如图：ABCD 为圆内接正方形，P 为圆上任意点。因为AD AB =所以PA 为角DPB 的平分线。

同理可证明PC 是角EPB 平分线。即,PA PC 是角DPB 的内外角平分线。 所以直线

,,,PD PA PB PC 构成调和线束。

5、试证:双曲型对合的任何一对对应元素 'P P →,与其两个二重元素,E F 调和共轭即

('

,PP EF )=-1

证明：,E F 为自对应元素，P 与1P 对应

则有11(,)(,)PP EF PP EF = 而 11

1

(,)(,)PP EF PP EF =

所以111(,)(,)

PP EF P P EF =

得 2

1(,)1PP EF = 因为1,P P 不重合

故1(,)1PP EF =-

6、求射影变换'112

'

22'33x x x x x x x

ρρρ?=+?=??=?

的不变点坐标

解: 由特征方程：

3

11001001-010

1λ

λλλλ

--===-得（）即

将122300

10000

x x x x λ+=??

==??=?

代入方程组 得20x = ,故20x =上的点都是不变点

20x =是不变点列。

自测题

1、 设124(1,1,1),(1,1,1),(1,0,1)P P P -为共线三点，且1234(,)2PP P P =求3P 的坐标。

2、 已知线束中 三直线,,a b c 求作直线d 使1

(,)2

ab cd =

3、 射影变换使直线上以0，1为坐标的点及无穷远点顺次对应-1，0，1求变换式，并判断

变换的类型。 4、 求两直线2

2

20ax hxy by ++=所构成角的平分线方程

5、 试证在同一直线上的四点的交比值与直线上摄影坐标系的选取无关。

6、 求射影变换'1123'2123'3

12322x x x x x x x x x x x x

ρρρ?=-+?

=+-??=++?的逆变换，并求出影消线对应直线的方程。

第四章 变换群与几何学

疑难解析

1． 变换群 （1）基本定义

射影变换群：射影平面上所有射影变换的集合构成射影变换群P ，它是一个八维群； 仿射变换群：仿射平面上所有仿射变换的集合构成仿射变换群A ，它是一个六维群； 相似变换群：平面上所有相似变换的集合构成相似变换群S ，它是一个四维群； 正交变换群：欧氏平面上所有正交变换的集合构成正交变换群M ，它是一个三维群。 四种变换群，就群的大小而言，它们的关系是：P A S M ???. （2）一一变换的集合G 构成群的充要条件是： ①若12,G ??∈，则12G ???∈（封闭性）；

②若G ?∈，则1

G ?

-∈（存在逆元）.

2．克莱因关于几何学的变换群观点 正交变换群→欧氏几何； 仿射变换群→仿射几何； 射影变换群→射影几何；

就变换群的大小来看，三种变换群的关系为：P A M ??； 从几何学研究的内容来看，它们的关系是：

欧氏几何?仿射几何?射影几何.

名称 射影几何 仿射几何 相似几何 欧氏几何 变换群

射影群

仿射群

相似群

正交群 研 究 对 象

射影性质

射影不变量 纯仿射性质

纯仿射不变量 射影性质

射影不变量

纯相似性质

纯相似不变量 纯仿射性质

纯仿射不变量 射影性质 射影不变量

纯度量性质

纯度量不变量

纯相似性质

纯相似不变量

纯仿射性质 纯仿射不变量 射影性质 射影不变量

主要不变性质

结合性

分割性

结合性

平行性

结合性

平行性

保角性

结合性 平行性 合同性 基本不变量 交比 单比 相似比

距离

例题选解

例1 证明：平面内有公共旋转中心的所有旋转变换构成群.

证明：不失一般性，可将旋转中心取为原点，则变换的一般式为：

cos sin sin cos x x y y x y θθ

θθ'=-??

'=+?

容易证明，这种变换对于乘法是封闭的，且逆变换也是以原点为中心的旋转变换（其实

就是旋转θ-的变换），所以这种变换的集合构成群.

例2 下面所说的名称或定理，哪些属于射影几何学？哪些属于仿射几何学？哪些属于欧氏几何学？（最大的） （1）梯形；（2）正方形；（3）离心率；（4）塞瓦定理与麦尼劳斯定理； （5）重心；（6）垂心；（7）平行四边形的对角线互相平分； （8）在平面内，一般位置的四条直线有六个交点； （9）含于半圆内的圆周角是直角；

（10）如果直线AB 与CD 相交，则AC 与BD 相交；

（11）二次曲线的中心；（12）德萨格定理. 分析：判定一个图形或定理属于哪一中几何学研究的对象，主要根据图形或定理所涉及的不变性和不变量来判定，例如涉及距离，线段或角的相等就属于欧氏几何学研究的范围，涉及直线的平行、线段的比例、线段的中点等就属于仿射几何学研究的对象，而仅与点、线、面之结合关系有关的就属于射影几何学研究的对象了. 解：（2）、（3）、（6）、（9）属于欧氏几何学；（1）、（4）、（5）、（7）、（11）属于仿射几何学；（8）、（10）、（12）属于射影几何学.

例3 为什么向量的数量积的概念在仿射几何里不存在？ 解：因为二向量,u v 的数量积为：

()cos ?=??,u v u v u v

而在仿射变换下，向量的长度和夹角都要改变，故向量的数量积概念在仿射几何里不存 在。

第五章 二次曲线的射影理论

本章是应用前面学习的射影变换和仿射变换的知识，来研究二次曲线的性质的。在射影平面上取定坐标系后，首先给出二阶（级）曲线的代数法定义，阐明其几何意义之后，给出二阶（级）曲线的射影定义，并研究二阶（级）曲线在射影变换下的不变性质。然后基于射影变换的基本不变性质（结合性）和不变量（交比），反映在二阶（级）曲线上，证明了两个著名的定理――巴斯卡定理和布利安香定理，这两个定理是相互对偶的。在此基础上，定义了二阶（级）曲线的极点和极线概念，导出了其求法。 在研究二次曲线的性质时对偶原理起着重要的作用。根据对偶原理，在射影平面内可将二次曲线看作点曲线（二阶点列），称为二阶曲线。也可以将曲线看作直线的包络，也就是看作是线曲线（二级线束），称为二级曲线，统称二次曲线。因此，对于二阶曲线的每一性质，都可以对偶地得出二级曲线的对偶性质。这一点在学习的过程中要加以注意。

本章最后，研究了二次曲线（只研究二阶曲线）的仿射性质：二阶曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线，给出了二次曲线的仿射分类：椭圆型曲线、双曲型曲线和抛物型曲线。在仿射平面上研究二阶曲线性质，是以无穷远直线在仿射变换下保持不变为基础来进行的，因此研究仿射性质要把握住无穷远元素。

疑难解析

1、二次曲线的概念

教材中首先给出了二次曲线的代数法定义：

二次曲线：满足二次方程

2

33322222111x a x a x a ++0

222322331132112=+++x x a x x a x x a

?

???

??==∑=ji ij j i ij ij a a x x a ,031或写成 的全体点

()321,,x x x 称为二阶曲线，二阶曲线是点的轨迹.

二级曲线：满足二次方程

2

33322222111μμμb b b ++0

222322331132112=+++μμμμμμb b b

?

???

??==∑=ji ij j i ij ij b b b ,031μμ或写成的直线的全体称为二级曲线，二级曲线看成是直线的包

络.

二阶曲线和二级曲线统称二次曲线。

两个不共心的射影线束（两个不共底的射影点列），对应直线的交点（对应点的连线）的全体连同两个线束的中心（两个点列的底）组成一条二阶曲线（二级曲线）.这实际上给代数定义找到了几何背景，由此引出了二次曲线的射影定义（也称作几何定义）： 二阶曲线：两个射影线束对应直线交点的全体称为二阶曲线。 二级曲线：两个射影点列对应点连线的全体称为二级曲线.

当成射影对应的两个线束（点列）为透视的，则此二阶曲线（二级曲线）退化为二直线（二点）。此时称该二阶曲线（二级曲线）为退化的二阶曲线（二级曲线）。

一个由射影线束生成的二阶（二级）曲线，可以由其上任意二点（二线）为中心（底）构成的射影线束（点列）生成.由此定理推出两个重要的结论： （1） 平面内给定无三点共线的五点（无三线共点的五条直线），可决定唯一一条二阶曲

线（二级曲线）.

（2） 二阶曲线上四定点（二级曲线上四条定直线）与其上任意第五点所连四直线（任意

第五条直线相交）所得四线（四点）的交比不变.

利用这两个结论可以解决有关二次曲线的作图问题。

2．巴斯卡（Pascal ）定理和布利安香（Brianchon ）定理

这是关于二次曲线的两个重要定理，要注意以下几点：

（1）这两个定理是两个对偶的定理，因此其一的证明完全可以从另一个对偶地得出，教材中已经给出这两个定理的证明。值得注意的是，巴斯卡定理的证明中，射影中心的选择可以是其中的任意两点，同理布利安香定理的证明中，点列的底的选择也是任意的两点。

（2）这两个定理的逆定理也是成立的。 （3）这两个定理的应用：

① 已知二阶曲线上的五个点利用巴斯卡定理可以作出第六个点（见典型例题）；对偶地，已知二级曲线上的五条切线，利用布利安香定理的逆定理可以作出第六条切线。 ② 可利用他们证明三点共线问题（见典型例题）；对偶地，也可用之证明三线共点问题。

3．二次曲线的极点与极线

极点与极线是关于二次曲线的重要概念，对于讨论二次曲线的仿射性质起着重要的

作用。

极点与极线的概念是由关于二阶曲线的调和共轭点引入的。

（1）调和共轭点：如果两点,P Q 被它们连线与二阶曲线Γ的交点12,M M 调和分离，

即12(,)1PQ M M =-，则称,P Q 关于Γ是调和共轭的.

（2）不在Γ上两点12312

(,,),(,,)P p p p Q q q q 关于Γ调和共轭当且仅当

0ij

i j a

p q =∑。

（3）一定点123(,,)P p p p 关于二阶曲线Γ：

0ij

i j a

p x =∑的调和共轭点123(,,)

Q q q q 的轨迹

0ij

i j a

p x =∑是一条直线.这条直线称为123(,,)P p p p 点的极线，而点

123(,,)P p p p 称为直线0ij i j a p x =∑的极点。

（4）不在二阶曲线Γ上两点123(,,)P p p p ，123(,,)Q q q q 关于Γ调和共轭的充要条件

是

0ij

i j a

p q =∑。

4．二阶曲线的切线

我们从讨论二阶曲线（二级曲线）与直线（点）的相关位置入手，推导出二阶曲线（二级曲线）的切线（切点）的方程。

设两点 ,P Q 的坐标为123(,,)P p p p ，123(,,)Q q q q ，则直线PQ 上任意点的坐标可以写成123,,x x x ，其中

(1,2,3)i i i x p q i λ=+=

（1）

为了求直线PQ 与二阶曲线

3

,1

0()ij i

j

ij ji i j a x x

a a ===∑

（2）

的交点，我们将（1）式代入（2）式，得

∑==++3

1

,0

))((j i j j i i ij

q p q p a

λλ

展开并整理，得

3333

2

,1

,1

,1

,1

()()0ij i j ij i j ij i j ij i j i j i j i j i j a q q a p q a q p a p p λλ====+++=∑∑∑∑ （3）

如果Q 点不在二阶曲线上，则（3）式是关于λ的二次方程，λ有二值适合（3）式，这两个值或实、或虚、或重合，所以直线PQ 与二阶曲线或相交，或相离，或相切。

由于ij ji a a =，所以

3

3

,1

,1

ij

i j ij i j

i j i j a

p q a q p

===

∑∑，因此（3）式可以写成

3

3

3

2

,1

,1

,1

()20ij i j ij i j ij i j i j i j i j a q q a p q a p p λλ===++=∑∑∑ （4）

显然当

333

2

,1

,1

,1

()()()0ij i j ij i j ij i j i j i j i j a p q a q q a p p ===-=∑∑∑ （5）

时，方程有二相等实根，即表示直线PQ 与二阶曲线相切。

若点123(,,)P p p p 在二阶曲线上，则切线方程为

3

,1

0ij

i j i j a

p x ==∑，写成矩阵形式为

()0

32132

1

=????? ??x x x A p p p

此方程表示过二阶曲线上一点123(,,)P p p p 的二阶曲线的切线方程。其中A 为二阶曲线的系数矩阵。

类似的方法，可以讨论二级曲线与点的位置关系，求出切点的方程和切点的坐标。在此留给同学们自己讨论。

例题选解

例1 求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：

130x x λ-=与230x x λ'-=，且210λλλλ''-++=.

解：射影对应式为：210λλλλ''-++=.

由二线束方程有：1233

,x x

x x λλ'=

=，代入射影对应式，经化简后得： 2122313320x x x x x x x +-+=.

例2 求证点坐标方程2

2y px =与线坐标方程221320pu u u -=表示同一条曲线. 证明：将2

2y px =化为齐次坐标方程为：221320x px x -=，

它的线坐标方程为：

12312

3

0001

00000

p u u p u u u u -=-，即221320pu u u -=.

同理可求出2

21320pu u u -=的点坐标方程为：

12

31230010001000

x p x x x x x -=-，即

221320x px x -=.

其非齐次坐标方程为：2

2y px =.

例3 求通过五点()()()()()1,0,1,1,0,1,1,2,1,1,2,1,1,3,0P Q R S T --的二次曲线.

解：设所求为：222

1112223331212232313132220a x a x a x a x x a x x a x x +++++=，将已知五点

的坐标分别代入所设方程，求出系数112233122313,,,,,a a a a a a 的比，即得所求：

222123123320x x x x x --+=.

例4 设自点()123,,P p p p 至二阶曲线0S =的切线的切点为11,H K ，自点()123,,Q q q q 至二阶曲线0S =的切线的切点为22,H K ，求证：1122,,,,,H K P H K Q 在同一个二阶曲线上，其方程为pq p q S S S S ?=?.

证明：因为11,H K 为0S =的过P 点的切线的切点，所以11,H K 的坐标满足0S =，0p S =，同理 22,H K 的坐标也满足0S =，0q S =.

现构造一个二阶曲线，使其通过1212,,,H H K K ，再确定待定系数λ，使二阶曲线也通

过另外两点. 设二阶曲线方程为：p q S S S λ=.

如果二阶曲线通过P ，则有pp qp pp S S S λ=，有qp S λ=，由于pq qp S S =，所以二阶曲

线 pq p q S S S S ?=?也通过Q 点.

故1122,,,,,H K P H K Q 在同一个二阶曲线上，其方程为pq p q S S S S ?=?.

例5 设六边形的三对对边互相平行，求证这个六角形内接于一条二次曲线.

证明：因三对对边互相平行，所以三对对边的交点都是无穷远点，所以这三点共一条无穷远直线，故有六边形之三对对边交点共线，根据帕斯卡定理之逆定理，这六边形内接于一条二次曲线.

例6 求两直线1123:20l x x x +-=和213:0l x x +=的交点关于二次曲线

222112223332316230x x x x x x x ++-+=

的极线方程.

解：经解联立方程得12,l l 的交点为()1,3,1P -.P 点的极线为0P S =，经计算得所求为：

30x =.

例7 求2

2

2

x y r +=的动切线关于2

2

1ax by +=的极点的轨迹方程. 解：将已知曲线方程化为齐次式：

222x y r +=化为22221230x x r x +-=

①

221ax by +=化为2221230ax bx x +-=

②

在①上任取一点()1

23,,x x x '''，则切线方程为： 21122330x x x x r x x '''+-=

③

设直线③关于222

1230ax bx x +-=的极点为()123,,x x x ，则有

11

22

233

,,.ax x bx x x r x '=??

'=??'=? 又因为

22221

230x x r x '''+-=.

所以

()

()

2

2

2

2

31220x ax bx r r ??

+-= ???

即

()2222221230r a x b x x +-=.

此即所求极点的轨迹方程，其非齐次坐标方程为：

()222221r a x b y +=.

自测题

1.试求点(-1，1)关于二阶曲线2

2

3210x xy y x y -+---=的极线。 2.如图，求作直线p 关于二次曲线Γ的极点。

3.△ABC 和△A ′B ′C ′同时外切于一二次曲线Γ，证明它们的六个顶点在另一个二次曲线上。

4.若有心二次曲线(中心为O)的一条直径p 通过一定点A ，则其共轭直径'

p 平行于A 的极线a ，

1.设λ，'λ分别表示点列l(P)中对应点的坐标参数，则下述变换为对合（ ）

A 4312'--=λλλ

B 2312'-+=λλλ

C 4312'++=λλλ

D 1

41

'--=λλλ

2.下述点偶是关于二阶曲线0522

2

21=+x x x 的一对共轭点（ ） A （1，0，0）与（0，1，0） B （2，2，0）与（1，2，3） C ．（1，1，1）与（2，-1，3） D （1，0，-1）与（1，4，1）

3.判别一条非退化二阶曲线是否为有心曲线的依据是（ ） A 33A 是否非零 B ∞Γl 与是否相切

C Γ是否有渐近线

D Γ的任一直径是否存在共轭直径

4. 两直线1123:20l x x x +-=和213:0l x x +=的交点关于二次曲线

222112223332316230x x x x x x x ++-+=

的极线方程为（ ）

A 30x =

B 121=+x x

C 12=x

D 131=+x x

5.直线340x y -+=上无穷远点的齐次坐标( )

A 1(1,,0)3

B （3，1，0）

C （1，0，-2）

D （1，0，-1）

6. 已知共点直线,,a b d 的方程为：:210,:320,:510a x y b x y d x -+=+-=-=

且1

(,)2

ab cd =

,直线c 的方程( ) A 70x y -= B 3x+y=1 C x=y D x-y=1

1. 求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：

130x x λ-=与230x x λ'-=，且210λλλλ''-++=.

2.求通过五点的二次曲线.

3.求四点顺这次序的交比.

4. 求222x y r +=的动切线关于221ax by +=的极点的轨迹方程.

5.求二次曲线的渐近线.

6.求射影变换的不变元素。

1.设P 、Q 、R 、S 是完全四点形的顶点，A=PS ×QR,B=PR ×QS,C=PQ ×RS,

证明A 1=BC ×QR,B 1=CA ×RP, C 1=AB ×PQ 三点共线.

2.

试证:双曲型对合的任何一对对应元素 '

P P →,与其两个二重元素,E F 调和共轭即

('

,PP EF )=-1

3证明以u 1u 3－u 22=0为线坐标方程的二次曲线，它的点坐标方程为4x 1x 3－x 22=0 。

4.设自点()123,,P p p p 至二阶曲线0S =的切线的切点为11,H K ，自点()123,,Q q q q 至二阶曲线0S =的切线的切点为22,H K ，求证：1122,,,,,H K P H K Q 在同一个二阶曲线上，其方程为pq p q S S S S ?=?