代数变形中常用的技巧

浅谈数学中的变形技巧

浅谈数学中的变形技巧目录摘要 ............................................................................................................................ I ABSTRACT ................................................................................................................ I I 第一章绪论. (1) 第二章数学变形的概述 (1) 2.1 什么是数学变形 (1) 2.2 在中学数学中常用的基本方法 (2) 第三章变形技巧在初等数学中的一些应用 (2) 3.1一元二次方程的变形技巧 (3) 3.2三角函数的变形技巧 (4) 3.3 “0”的变形技巧 (7) 3.4 “1”的变形技巧 (9) 第四章代数变形中常用的技巧 (11) 4.1 代数恒等式和恒等变形 (11) 4.2 代数中常见的变形 (12) 4.2.1 整式变形 (12) 4.2.2 分式变形 (13) 4.2.3 根式变形 (18) 4.2.4 指数变形 (21) 4.2.5 对数变形 (22) 4.2.6 复数变形 (23) 第五章结论 (24) 参考文献 (25) 致谢 (26)

浅谈数学中的变形技巧浅谈数学中的变形技巧学生：冯继东指导老师：郑宗剑摘要变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍了变形技巧在初等数学和代数中的一些应用。掌握好并灵活应用这些技巧，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。关键词：初等数学;代数;变形;技巧 I

谈变形技巧在初等数学中的一些应用

谈变形技巧在初等数学中的一些应用摘要:变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。在数学解题中，为了完成论证，求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍了在初等数学中的" " ，" " ，三角函数，一元二次方程等的变形应用。掌握好并灵活运用它，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。关键词:初等数学；变形；技巧数学是一个有机的整体, 各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透, 从而构成了一个互相交错的立体空间. 所以, 为了培养数学学习中的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及综合应用数学知识分析解决实际问题的能力, 除了对各单元知识, 及一些开放探索性问题, 实践应用性问题等综合内容进行系统复习外, 在最后阶段的复习中, 应对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视, 并有意识地运用一些数学思想方法去解决问题, 这样才能使我们的数学学习提高到一个新的层次、新的高度.常用的数学方法, 是针对各种不同的数学知识而定的一种策略. 不同的问题可以用不同的方法, 相同的问题也可以有各种不同的方法 ( 即所谓的一题多解 ). 各种数学方法与数学知识一样, 是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富, 并且是数学知识所不能替代的.在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：? 逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色。? 数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法。代数中常用图象法，解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。这些方法极为重要，应用也很广泛。数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之。而变形也是数学中的一种重要的方法之一。变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。例如勾股定理可表述为，亦可表述为等。若问？，这显然是一个不屑回答的问题，但若问1=？就成了最富灵活性的问题，例如等。可见"变形"实在是一个内涵十分丰富的概念，在某些著名数学问题的解决中，变形技巧的巧妙运用也是至关重要的一环。我们在数学解题中，为了完成论证，求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍" " ，" " ，三角函数，一元二次方程等的变形应用，希望对这几方面的变形应用的介绍，对于其他的解题变形能起到抛砖引玉的功效。下面我们分别来谈谈这几种变形技巧的应用。 1.1 一元二次方程的变形技巧

代数变形中常用的技巧

代数变形中常用的技巧数学与应用数学专业摘要：代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。关键词代数变形技巧两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。这些知识都是代数中的最基础的知识。有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2 分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。解：设y-z=a, z-x=b, x-y=c,则a+b+c=0，y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a, x+y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2 =b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2 =-a2 -b2-c2-2ac-2ab-2bc =-(a+b+c)2 =0 例2：分解因式 ①(1-x2)(1-y2)-4xy ②x4+y4+ x2y2 分析：本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从其含平方的项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解。①题先将括号展开，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。②题用添项、减项法加上x2y2再减去x2y2，即可配方，然后再进行变形分解。解：①原式= 1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy =(1-2xy+x2y2)-( x2+2xy+ y2)

高中数学函数最值问题的常见求解方法

一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值．解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ．二、判别式法对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值．例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值．解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5 ≤ y ．因此 4 5 max = y ，无最小值．例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ．同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ．注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法例4：已知函数1 1 34522+++=x x x y ，求y 的最值．解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ．因此 7max =y ，1min -=y ．

浅谈数学中的变形技巧

浅谈数学中的变形技巧永城职业学院基础部邮编476600 陈颂地址：河南省永城市东城区学府路002号摘要：在数学的解题过程中，我们经常需要对一些公式或者概念做一些变形。比如将等式变形，不等式变形，根据概念变形等等。本文针对这三个方面做一些讨论，对数学中几种题型的解题思路做一个总结，希望会对在迷茫中的学生们有一个启发作用。关键词：等式；不等式；变形在数学的解题过程中，我们经常需要对一些公式或者概念做一些变形。比如将等式变形，不等式变形，根据概念变形等等。本文针对这三个方面做一些讨论，对数学中几种题型的解题思路做一个总结，希望会对在迷茫中的学生们有一个启发作用。一、等式变形例如：1cos sin 22=+αα的变形我们知道，1cos sin 22=+αα是三角函数中一个非常基础而且重要的公式。许多相关公式也可以与这个公式相互照应。例如，由公式r y =αsin ，r x =αcos ，（知识点：角的概念的推广）我们把此代入公式得到： 122=?? ? ??+??? ??r x r y ，即222r y x =+，此式由勾股定理得出。又若在一个直角三角形中，我们有c a = αsin ，c b =αcos ，则代入公式有 122=?? ? ??+??? ??c b c a 即222c b a =+，即为勾股定理。二、不等式变形例如：不等式ab b a 222≥+的变形。以上不等式可以变形为：0222≥-+ab b a ，由完全平方公式得：()02≥-b a ，此式显然成立。故原不等式成立。我们再将公式变形得：ab b a ≥+2 2 2，此式不太常用，但是我们可以熟悉一下这个形式。

代数变形常用技巧及其应用概要

代数变形常用技巧及其应用摘要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法

The common skills and application of the algebra distortion Abstract The algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on. Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method

浅谈中学数学中若干变形技巧

浅谈中学数学中的若干变形技巧-中学数学论文浅谈中学数学中的若干变形技巧江苏高邮市三垛中学赵静变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。变形是为了达到某种目的而采用的“手段”，是化归、转化的准备阶段。本文旨在通过探讨变形技巧在数列问题、不等式问题、因式分解等问题中的若干应用，来揭示中学数学常见的一些变形技巧，帮助学生掌握变形的一般规律与特点，培养良好的发散性思维与创新精神。一、掌握变形技巧的意义在代数运算中变形是用来帮助解答疑难问题时，在原代数式基础之上进行转换的方法。我们在解题时，由于条件不充分或者不明显，常常需要求助于变形做适当的转换。变形的意义在于把题目中的已知与求解的有关性质联系起来，从而使题目中分散的元素集中，把问题转化为另一种形式，便于利用有关的定义、公理、定理等达到解题的目的；当题中的条件与结论之间的关系不够明确时，变形还可以把所需的关系揭露出来，使隐蔽的条件显现，把复杂的问题化简，从而找到解决问题的途径。二、变形技巧在数列中的应用（一）给定初始条件，数列的递推方程为：an+1=pan+q（p≠1）型

等形式的变形，在不等式中还可以通过变元与消元、增、减项变成“积”一定以及放缩法等形式来变形，在因式分解中还可以通过主元变形等，这里就不再一一叙述。总之变形是为了便于利用某些理论进行运算架设的桥梁，是把代数式中固有的但不很明显的性质得以明确地显示出来的催化剂。变形的用途很广，虽然题目千差万别，解题方法多种多样，变形也因题而异．只要我们大胆探索，深入

研究，就会找到其内在的规律。参考文献： [1]马永传．递推数列通项公式求法及技巧[J]．六安师专学报，1999. [2]郭立军．运用基本不等式的变形技巧[J]．数学学习与研究(教研版)，2008. [3]候有歧.运用均值不等式解题的变形技巧[J].中学数学杂志，2007. [4]李开丁.在证明不等式中几种常用的等价变形形式[J].高等数学研究，2004. [5]郭茂华．因式分解中常用的几类变形技巧[J]．时代数学学习，1998.

代数变形

2006年江苏省数学奥林匹克夏令营讲座代数变换、代数变形的方法与技巧蔡玉书 1.将一些结构各异的式子看成一个整体，用一个字母或用另外的式、量来替换表示，易于使复杂问题明朗化、简单化。这种解决问题的方法叫做替换法。 (1) 整式替换例1 分解因式(x 4+x 2－4)( x 4+x 2+3)+10.(第12届“五羊杯”竞赛题) 例2 已知x ,y 是正整数，并且xy +x +y =23,x 2y +xy 2=120,则x 2+y 2= .(2001年全国初中联赛) 例3已知实数a ,b 满足a 3+b 3+3ab =1,则a +b = .(2004年全国初中联赛) (2) 分式替换例4已知关于x 的方程(a 2－1)(x x －1)2－(2a +7)(x x －1 )+1=0有实数根. ①求a 的取值范围； ②若原方程的两个实数根为x 1,x 2，且x 1x 1－1 + x 2x 2－1 = 311,求a 的值. (3) 根式替换例5 计算9a 9a +a +9 a 29a 2+a +9 a 39a 3+a +…+9 a 89a 8+a = . (第16届“五羊杯”竞赛题) (4) 常值替换例6 证明1997×1998×1999×2000+1是一个整数的平方，并求出这个整数.(1997年安徽省数学竞赛) 例7 计算(74+64)(154+64)(234+64)(314+64)(394+64)(34+64)(114+64)(194+64)(274+64)(354+64) .(第9届华罗庚金杯赛) 例8 计算1+112+122+1+122+122+1+132+142+…+1+120032+120042 . (第9届华罗庚金杯赛) 2.代数式的恒等变形包括整体代入、因式分解、配方、配对、分母有理化、分子有理化等。例9 若3x 2－x =1,则9x 4+12x 3－3x 2－7x +2001的值等于 .(2001年武汉市数学竞赛) 例10 设x 3－32x 2+6x －22－8=0,则x 5－41x 2＋1的值为 .(2002年“五羊杯”竞赛题) 例11设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab , 求a + b a －b 的值.(2002年全国初中数学竞赛)

三角函数变换的方法总结

三角函数变换的方法总结三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不为0，求a、b的关系。解析：已知显然有：由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0 即有：acosθ＋b=0 又 a≠0 所以，cosθ＝－b/a ③ 将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a 即a4＋b4＝2a2b2 ∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。（2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。解析：设θ＋15°＝α，则原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα ＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα ＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα ＝0 点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝Ａsin （α＋β） ∴ sin （α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos （α＋β） sinβ

导数大题方法总结(实用)

导数大题方法汇总报告一总论一般来说，导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答题方法的汇总报告。二主流题型及其方法 *（）求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若()在时取得极值，试求所给函数中参数的值。或者是()在( , ())处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是：先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令，()的导数为零，求解出函数中所含的参数的值，然后检验此时是否为函数的极值。注意：①导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。②遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。别人送分，就不要客气。③求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。切线要写成一般式。 *（）求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。这一类题问法都比较的简单，一般是求()的单调（增减）区间或函数的单调性，以及函数的极大（小）值或是笼统的函数极值。一般来说，由于北京市高考不要求二阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。这类问题的方法是：首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。这种方法我认为比较累，而且容易丢掉一些情况没有进行讨论，所以比较推荐第二种方法，就是所谓的一步到位型，先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值，然后以这些值为分界点，分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论，这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论，而且还会是自己做题更有条理，更为高效。极值的求法比较简单，就是在上述步骤的基础上，令导函数为零，求出符合条件的根，然后进行列表，判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性，进而确定该点为极大值还是极小值，最后进行答题。最值问题是建立在极值的基础之上的，只是有些题要比较极值点与边界点的大小，不能忘记边界点。注意:①要注意问题，看题干问的是单调区间还是单调性，极大值还是极小值，这决定着你最后如何答题。还有最关键的，要注意定义域，有时题目不会给出定义域，这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。②分类要准，不要慌张。③求极值一定要列表，不能使用二阶导数，否则只有做对但不得分的下场。 *（）恒成立或在一定条件下成立时求参数范围这类问题一般都设置在导数题的第三问，也就是最后一问，属于有一定难度的问题。这就需要我们一定的综合能力。不仅要对导数有一定的理解，而且对于一些不等式、函数等的知识要有比较好的掌握。这一类题目不是送分题，属于扣分题，但掌握好了方法，也可以百发百中。方法如下：做这类恒成立类型题目或者一定范围内成立的题目的核心的四个字就是：分离变量。一定要将所求的参数分离出来，否则后患无穷。有些人总是认为不分离变量也可以做。一些简单的

高中数学经典解题技巧和方法：三角变换与解三角形.

高中数学经典解题技巧：三角变换与解三角形一、三角变换及求值解题技巧： 1．在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形（1）；（2）角的变换；（3）。 2．利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。例1：已知向量,且 (Ⅰ求tan A的值；(Ⅱ求函数R的值域解析：（Ⅰ）由题意得m·n=sinA-2cosA=0, 因为cosA≠0,所以tanA=2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

因为x R,所以.当时，f(x有最大值，当sinx=-1时，f(x有最小值-3 所以所求函数f(x的值域是二、正、余弦定理的应用解题技巧：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。 2．在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。例2：（2010·辽宁高考理科·Ｔ17）在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C 的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.

因式分解常见变形技巧

因式分解的常见变形技巧技巧一符号变换有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x) 指点迷津 y-x= -(x-y) 体验过程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n)=2n(x-y) 小结符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。实践题1 分解因式：-a 2-2ab-b 2 实践详解各项提出符号，可用平方和公式. 原式=-a 2-2ab-b 2=-( a 2+2ab+b 2)= -(a+b)2 技巧二系数变换有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。体验题2 分解因式 4x 2-12xy+9y 2 体验过程原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x -3y)2 小结系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。实践题2 分解因式2 21439 xy y x ++ 实践详解原式=(2x )2+2.2x ?3y ?+(3y )2=(2x +3y ) 技巧三指数变换有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。体验题3 分解因式x 4-y 4 指点迷津把x 2看成(x 2)2,把y 4看成(y 2)2,然后用平方差公式。体验过程原式=(x 2)2-(y 2)2=(x 2+y 2)(x 2-y 2)=(x 2+y 2)(x+y)(x-y) 小结指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。实践题3 分解因式 a 4-2a 4b 4+b 4 指点迷津把a 4看成(a 2)2，b 4=(b 2)2 实践详解原式=(a 2-b 2)2=(a+b)2(a-b)2

向量解题技巧

一、怎么样求解向量的有关概念问题掌握并理解向量的基本概念１.判断下列各命题是否正确 (1)若c a c b b a ===则,,； (2)两向量b a 、相等的充要条件是b a =且共线、b a ； (3)b a =是向量b a =的必要不充分条件； (1)若D C B A 、、、是不共线的四点，则C D B A =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (2)D C B A =的充要条件是A 与C 重合，D B 与重合。二、向量运算及数乘运算的求解方法两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a 与b 不共线，则b a b a -+与是以a 与b 为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若),(),,(2211y x B y x A ，则 =-=A O B O B A ),(),(),(12121122y y x x y x y x --=-。例1 若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则a b b a --== 例2 若向量____)2,1(),1,1(),1,1(=-=-==c c b a 则 b a D b a C b a B b a A 2 123.2123.2321.2321.+---+- 例3 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点满足C B O A O C O βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹为（） 52. 02.0)2()1.( 01123.22=-+=-=-+-=-+y x D y x C y x B y x A 例4 O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足 )(C A C A B A B A A O P O ++=λ，),0[+∞∈λ，则P 的轨迹一定过ABC ?的（） .A 外心 .B 内心 .C 重心 .D 垂心例5 设G 是ABC ?内的一点，试证明: (1)若G 是为ABC ?重心，则0 =++C B B G A G ；

基本不等式的八种变形技巧

基本不等式的八种变形技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：加上一个数或减去一个数使和或积为定值函数f (x )＝4 x －3＋x (x <3)的最大值是( ) A ．－4 B ．1 C ．5 D ．－1 【解析】因为x <3，所以3－x >0，所以f (x )＝－???? ?? 43－x ＋（3－x ）＋3≤－24 3－x ·（3－x ）＋3＝－1.当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时等号成立，所以f (x )的最大值是－1. 【答案】 D 平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．若x >0，y >0，且2x 2 ＋y 2 3 ＝8，求x 6＋2y 2的最大值． [思路点拨] 由于已知条件式中有关x ，y 的式子均为平方式，而所求式中x 是一次的，且根号下y 是二次的，因此考虑平方后求其最值．【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2????1＋y 2 3≤3·? ?? ??2x 2 ＋1＋y 2322＝3×??? ?922.当且仅当2x 2＝1＋y 23，即x ＝32，y ＝42 2 时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为9 2 3. 展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求????1a ＋1???? 1b ＋1的最小值． [思路点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．【解】由题得????1a ＋1????1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b ＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3 ab ＋1，

代数变形常用技巧

代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。这些知识都是代数中的最基础的知识。有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。解：设y-z=a, z-x=b, x-y=c,则a+b+c=0，y+z-2x=b-c, x+z-2y=c-a, x+y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2 =b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2 =-a2 -b2-c2-2ac-2ab-2bc =-(a+b+c)2 =0 例2：分解因式 ① (1-x2)(1-y2)-4xy ② x4+y4+ x2y2 分析：本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从其含平方的项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解。①题先将括号展开，并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分组就可以配成完全平方式。②题用添项、减项法加上x2y2再减去x2y2，即可配方，然后再进行变形分解。解：①原式= 1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy

向量解题技巧

因式分解的常见变形技巧

因式分解的常见变形技巧技巧一符号变换有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x) 指点迷津 y-x= -(x-y) 体验过程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n) =2n(x-y) 小结符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。实践题1 分解因式：-a 2-2ab-b 2 实践详解各项提出符号，可用平方和公式. 原式=-a 2-2ab-b 2 =-( a 2+2ab+b 2) = -(a+b)2 技巧二系数变换有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。体验题2 分解因式 4x 2-12xy+9y 2 体验过程原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2 =(2x -3y)2 小结系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。实践题2 分解因式2 21439 xy y x ++ 实践详解原式=(2 x )2+2.2x ?3y ?+(3y )2 =(2x +3 y )2 技巧三指数变换有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。体验题3 分解因式x 4-y 4

指点迷津把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。体验过程原式=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y) 小结指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。实践题3分解因式a4-2a4b4+b4 指点迷津把a4看成(a2)2，b4=(b2)2 实践详解原式=(a2-b2)2 =(a+b)2(a-b)2 技巧四展开变换有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。体验题4a(a+2)+b(b+2)+2ab 指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。体验过程原式= a2+2a+b2+2b+2ab = a2+ b2+2a+2b+2ab = a2+ b2+2(a+b+ab) 小结展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，当于重新分组。实践题4x(x-1)-y(y-1) 指点迷津表面上看无法分解因式，展开后试试：x2-x-y2+y。然后重新分组。实践详解原式= x2-x-y2+y =(x2-y2)-(x-y) =(x+y)(x-y)-(x-y) =(x-y)(x+y-1) 技巧五拆项变换有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。体验题5 分解因式3a3-4a+1 指点迷津本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为-4，提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成 -3a-a试试。体验过程原式= 3a3-3a-a+1 =3a(a2-1)+1-a =3a(a+1)(a-1)-(a-1) =(a-1)[3a(a+1)-1] =(a-1)(3a2+3a-1) 另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。