苏州大学人工智能复习AI Ultimate Edition Part2

二：计算题、推理、表示。

（把下面的例题看懂了，紧接着的习题看看就行）

1.归结推理；

1）证明A→B（定理）是重言式，等价于证A∧﹁B是矛盾式。使用归结法就是从A∧﹁B出发。

2）建立子句集S

将A∧﹁B化成合取范式，如

P ∧ (P ∨R) ∧ (﹁P ∨﹁Q) ∧(﹁ P∨R)

形式，子句集合为：

S = {P , (P ∨R) , (﹁P ∨﹁Q), (﹁ P∨R)}

3）对S作归结

对S的子句作归结（消互补对），如子句P ∨R 与﹁P ∨﹁Q 作归结，得归结式R ∨﹁Q ,并将这一归结式放入S中，重复这过程。

4）直到归结出矛盾式。

设C1=L∨C1’， C2=﹁L∨C2’为两个子句，有互补对L和﹁L，则新子句:

R(C1,C2)= C1’∨C2’称作C1,C2的归结式。

归结过程就是对S的子句求归结式的过程：C1∧C2 =>R(C1,C2), R(C1,C2)是子句C1,C2的逻辑推论。

归结推理举例；

((P→﹁Q)∧(﹁R→P)∧Q)=>R

证明：先将((P→﹁Q)∧(﹁R→P)∧Q)∧﹁R化为合取范式

(﹁P∨﹁Q)∧(R∨P)∧Q∧﹁R

建立子句集S={﹁P∨﹁Q,R∨P,Q,﹁R}

归结过程：(1) ﹁P∨﹁Q

(2) R∨P

(3) Q

(4) ﹁R

(5) ﹁P (1)(3)归结

(6) P (2)(4)归结

(7) 矛盾 (5)(6)归结

tableau推理举例

((P→﹁Q)∧(﹁R→P)∧Q)=>R

证明：先将((P→﹁Q)∧(﹁R→P)∧Q)∧﹁R化为合取范式

(﹁P∨﹁Q)∧(R∨P)∧Q∧﹁R

(1) ﹁P∨﹁Q

(2) R∨P

(3) Q

(4) ﹁R

(5) R ∧ P

(6) ﹁P ∧﹁Q

2.合一算法

替换：是形如{t1/v1,…,tn/vn}的一个有限集合，其中vi是变量符号，ti是不同于vi的项，并且在此集合中没有在斜线符号后面有相同变量符号的两个元素。称ti为替换的分子，vi为替换的分母。

合一：替换θ称为表达式集合{E1,…,Ek}的合一，

当且仅当E1 θ= E2 θ=…= Ek θ。表达式集合{E1,…,Ek}称可合一的，

如果存在关于此集合的一个合一。

表达式集合{P(a,y), P(x,f(b))}是可合一的，其合一θ为

θ={a/x, f(b)/y}

一阶谓词归结推理

假设有以下前提知识：

（1）自然数是大于零的整数；

（2）所有整数不是偶数就是奇数；

（3）偶数除以2是整数。

求证：所有自然数不是奇数就是一半为整数的数。

（1）定义谓词

N(x)表示x是自然数； I(x)表示x是整数；

E(x)表示x是偶数； O(x)表示x是奇数；

GZ(x)表示x大于零； S(x)表示x除以2；

（2）将前提条件及要求证的问题分别以谓词公式表示出来。

F1: ?x(N(x)→GZ(x)∧I(x))

F2: ?x(I(x)→E(x)∨O(x))

F3: ?x(E(x)→I(S(x)))

G: ?x(N(x)→(O(x)∨I(S(x))))

（3）把F1、F2、F3和?G化成子句集。

①?N(x)∨GZ(x)

②?N(u)∨I(u))

③?I(y)∨E(y)∨O(y))

④?E(z)∨I(S(z)))

⑤ N(t)

⑥?O(t)

⑦?I(S(t))))

(4)利用归结原理对上述子句进行归结推理

⑧?I(t)∨E(t) ③⑥归结，δ={t/y}

⑨?E(t) ④⑦归结，δ={t/z}

⑩?I(t) ⑧⑨归结

⑾?N(t) ②⑩归结

⑿ NIL ⑤⑾归结

二阶Hanoi塔问题（状态空间法）

解：初始状态：A,B依次放在1柱上；

目标状态：A,B依次放在3柱上。

条件是每次可移动一个盘子，盘子上方是空项方可移动，而且任何时候都不允许大盘在小盘子之上。

（1）定义问题状态的描述形式

设用S K=(S K A,S KB)表示问题的状态，S KA表示盘子A所在的柱号， S KB表示盘子B所在的柱号

（2）问题的可能状态共9种

S0=(1,1) S1=(1,2) S2=(1,3)

S3=(2,1) S4=(2,2) S5=(2,3)

S6=(3,1) S7=(3,2) S8=(3,3)

问题的初始状态集合为S={S0},目标状态集合为G={S8}

（3）定义一组算符F。定义算符A(i,j)表示把盘子A从第i号柱子移到第j号柱子上的操作；算符B(i,j)表示把盘子B从第i号柱子移到第j号柱子上的操作；F共有12个算符，它们分别是

A(1,2),A(1,3),A(2,1),A(2,3),A(3,1),A(3,2)

B(1,2),B(1,3),B(2,1),B(2,3),B(3,1),B(3,2)

为了求解该问题，根据该状态空间的9种可能状态和12种算符，构造状态空间图。

从初始状态（1，1）（状态S0）到目标节点（3，3）（状态 S8)的任何一条通路都是问题的一个解，最短的路径长度为3，它由A(1,2)，B(1,3)，A(2,3)

组成。

作业：用状态空间搜索法求解农夫、狼、羊、菜问题。（状态空间法）

A farmer with his goat, wolf and cabbage come to a river that they wish to cross. There is a boat, but it only has room for two, and the farmer is the only one that can row. If the goat and cabbage get in the boat at the same time, the cabbage gets eaten. Similarly, if the wolf and goat are together without the farmer, the goat is eaten. Devise a series of crossings of the river so that all concerned make it across safely.

作业：修道士和野人问题。（状态空间法）设有3个修道士和3个野人来带河边，打算用一条船从河的左岸到河的右岸去。但该船每次只能装载两个人，在任何岸边野人的数目都不得超过修道士的人数，否则修道士就会被野人吃掉，假设野人服从任何一种过河安排，请使用状态空间搜索法，规划一个使全部6个人安全过河的方案。

不确定性推理

多个独立证据推出同一假设的合成算法

例：设有如下规则：

R1：IF E1 THEN H (0.8)

R2：IF E2 THEN H (0.6)

R3：IF E3 THEN H (-0.5)

R4：IF E4 AND E5 OR E6 THEN E1 (0.7)

R5：IF E7 AND E8 THEN E3 (0.9)

在系统运行中已从用户处得CF(E2)=0.8, CF(E4)=0.5, CF(E5)=0.6, CF(E6)=0.7, CF(E7)=0.6, CF(E8)=0.9，

求H的综合可信度CF(H)。

(1) 求证据E4、E5、E6逻辑组合的可信度

CF(E4 AND (E5 OR E6))

= min{CF(E4),max{CF(E5),CF(E6)}}

= min{0.5,max{0.6,0.7}}

= 0.5

(2)根据规则R4求CF（E1）

CF（E1) =0.7*max{0, CF(E4 AND (E5 OR E6))}

=0.7*0.5=0.35

(3)求证据E7、E8逻辑组合的可信度

CF(E7 AND E8 )=min{CF(E7), CF(E8)}

=min{0.6,0.9}=0.6

(4)根据规则R5求CF（E3）

CF（E3）=0.9*max{0, CF(E7 AND E8 )}

=0.9*0.6=0.54

(5)根据规则R1求CF1（H）

CF1(H)=0.8*max{0,CF(E1)}=0.8*0.35=0.28

(6)根据规则R2求CF2（H）

CF2(H)=0.6*max{0,CF(E2)}=0.6*0.8=0.48

(7)根据规则R2求CF3（H）

CF3(H)=-0.5*max{0,CF(E3)}

=-0.5*max{0,0.54}=-0.27

模糊理论

为表示模糊性，查德将经典集合扩展到模糊集。

设U是论域，μA是把是把任意x∈U映射为[0,1]上某个值的函数，即μA：U→[0,1]

x→μA(x)

则μA为定义在U上的一个隶属函数，

由μA(x) (x∈U)所构成的集合A称为U上的一个模糊集，

μA(x)称为x对A的隶属度。

解：设论域为U={x1,x2,x3,x4,x5}。为了表示模糊集，可将职工的百分制成绩除以100，这样就得到了一个从论域U到[0,1]上的映射。

x1：85分μA(x1)=0.85

x2：75分μA(x2)=0.75

x3：90分μA(x3)=0.90

x4：98分μA(x4)=0.98

x5：87分μA(x5)=0.87

?模糊集A={0.85,0.75,0.90,0.98,0.87}

?

?模糊集的基本运算

?（1）模糊集的相等与包含：

?定义1：设A、B是论域U上的两个模糊集，如果对任意x∈U，均有μA(x)=μB(x)，则称A和B相等，记为A=B。

?定义2：设A、B是论域U上的两个模糊集，如果对任意x∈U，均有μB(x)≤μA(x)，则称A包含B，记为B?A。

?

?

贴近度的计算；

例：设论域U={a,b,c,d,e}

A=0.6/a+0.8/b+1/c+0.8/d+0.6/e+0.4/f

B=0.4/a+0.6/b+0.8/c+1/d+0.8/e+0.6/f

求贴近度(A,B)=?

解： A·B=∨(μA(u i)∧μB(u i))=0.4∨0.6∨0.8∨0.8∨0.6∨0.4

=0.8

A⊙B=∧(μA(u i)∨μB(u i))=0.6∧0.8∧1∧1∧0.8∧0.6=0.6

(A,B)=1/2*[A·B+(1-A⊙B)]=1/2*[0.8+(1-0.6)]=0.6

构造模糊关系R扎德的两种方法：

条件命题的极大极小规则R m

条件命题的算术规则R a

设A、B分别表示为：

A=∫μA(u)/u B=∫μB(v)/v

则：

R m=(A?B)∪(?A?V)=∫(μA(u)∧μB(v))∨(1-μA(u))/(u,v)

R a=(?A?V)⊕(U?B)=∫1 ∧(1-μA(u)+μB(v))/(u,v)

其中⊕表示有界和,定义为: A⊕B=min{1,μA(u)+μB(u)}

对于模糊假言推理,已知证据是x is A’,且(A,A’)>λ,则由R m和R a求得B m’和B a’分别为:

B m’=A’?R m

B a’=A’?R a

构造模糊关系R扎德的两种方法

设U=V={1,2,3,4,5}

A=1/1+0.5/2

B=0.4/3+0.6/4+1/5

模糊规则为：

IF x is A THEN y is B (λ)

证据为 x is A’且有(A,A’)>λ。

求：B m’,B a’。

解：先求R m和R a。由前面R m和R a定义，知R m(i,j)与R a(i,j)分别为：

R m(i,j)=(μA(u i)∧μB(v j))∨(1-μA(u i))

R a(i,j)=1∧(1-μA(u i)+μB(v j))

R m(i,j)和R a(i,j)分别是R m和R a的第i行第j列元素。

例如：R m(1,3)= (μA(u1)∧μB(v3))∨(1-μA(u1))

=(1∧0.4)∨(1-1)=0.4

R a(1,3)=1∧(1-μA(u1)+μB(v3))

=1∧(1-1+0.4)=0.4