2测量误差与数据处理
果总是与被测量的真实量值不一致，即任何测量都不可避免地存在着测量误差。为了减小和消除测量误差对测量结果的影响，需要研究和了解测量误差及测量不确定度。本章包括三个部分的内容。第一部分是测量误差，包括测量误差的基本概念、各类测量误差的处理方法、误差的传递、误差的合成与分配等；第二部分是测量不确定度，包括测量不确定度的概念和表示方法、测量不确定度的评定等；第三部分是数据处理。
2.1 测量误差的基本概念
2.1.1 测量误差存在的必然性和普遍性
在测量过程中，由于实验原理和实验方法的不完善，所采用的测量装置性能指标的局限，在环境中存在着各种干扰因素，以及操作人员技术水平的限制，必然使测量值与被测量的真实量值之间存在着差异。测量结果与被测量的真实量值之间的差异，称为测量误差，简称误差。
误差公理认为：在测量过程中各种各样的测量误差的产生是不可避免的，测量误差自始至终存在于测量过程中，一切测量结果都存在误差。因此，误差的存在具有必然性和普遍性。
随着科学技术的发展和我们认识水平的不断提高，可以将测量误差控制得越来越小，但是测量误差的存在仍是不可避免的。
2.1.2 有关量值的几个基本概念
1．真值
真值是指在一定的时间和空间条件下，能够准确反映某一被测量真实状态和属性的量值，也就是某一被测量客观存在的、实际具有的量值。
2．理论真值和约定真值
真值有理论真值和约定真值两种。
理论真值是在理想情况下表征某一被测量真实状态和属性的量值。理论真值是客观存在的，或者是根据一定的理论所定义的。例如，三角形三内角之和为180°。
由于测量误差的普遍存在，一般情况下被测量的理论真值是不可能通过测量得到的，但却是实际存在的。
由于被测量的理论真值不能通过测量得到，为解决测量中的真值问题，只能用约定的办法来确定真值。约定真值就是指人们为了达到某种目的，按照约定的办法所确定的量值。约定真值是人们定义的，得到国际上公认的某个物理量的标准量值。例如：光速被约定为3×108m／s；以高精度等级仪器的测量值约定为低精度等级仪器测量值的约定真值。
3．实际值
在满足实际需要的前提下，相对于实际测量所考虑的精确程度，其测量误差
可以忽略的测量结果，称为实际值。实际值在满足规定的精确程度时用以代替被测量的真值。例如在标定测量装置时，把高精度等级的标准器所测得的量值作为实际值。
4．测量值和指示值
通过测量所得到的量值称为测量值。测量值一般是被测量真值的近似值。 由测量装置的显示部件直接给出来的测量值，称为指示值，简称示值。 5．标称值
测量装置的显示部件上标注的量值称为标称值。因受制造、测量条件或环境变化的影响，标称值并不一定等于被测量的实际值，通常在给出标称值的同时，也给出它的误差范围或精度等级。
2.1.3 测量误差的定义
测量误差，简称误差，它的定义为被测量的测量值与真值之差，即 误差＝测量值－真值
2.1.4 误差的表示方法
误差常用的表示方法有三种：绝对误差、相对误差和引用误差。 1．绝对误差
绝对误差△的定义为被测量的测量值x 与真值L 之差，即
x L ?=- （2-1）
绝对误差具有与被测量相同的单位。其值可为正，亦可为负。由于被测量的真值L 往往无法得到，因此常用实际值A 来代替真值，因此有
x A ?=- （2-2）
在用于校准仪表和对测量结果进行修正时，常常使用的是修正值。修正值用来对测量值进行修正。修正值C 定义为
C A x =-=-? （2-3）
修正值的值为绝对误差的负值。测量值加上修正值等于实际值，即x ＋C ＝A 。通过修正使测量结果得到更准确的数值。
采用绝对误差来表示测量误差往往不能很确切地表明测量质量的好坏。例如，温度测量的绝对误差δ=±1℃，如果用于人的体温测量，这是不允许的；但如果用于炼钢炉的钢水温度测量，就是非常理想的情况了。
2．相对误差
相对误差δ的定义为绝对误差△与真值L 的比值，用百分数来表示，即
00100L
δ?
=? （2-4）
由于实际测量中真值无法得到，因此可用实际值A 或测得值x 代替真值L 来计算相对误差。
用实际值A 代替真值L 来计算的相对误差称为实际相对误差，用δA 来表示，即
00100A A
δ?
=? （2-5）
用测得值x 代替真值L 来计算的相对误差称为示值相对误差，用δx 来表示，
即
00100x x
δ?
=
? （2-6） 在实际应用中，因测得值与实际值相差很小，即A ≈x ，故δA ≈δx ，一般δA
与δx 不加以区别。
采用相对误差来表示测量误差能够较确切地表明测量的精确程度。
3．引用误差
绝对误差和相对误差仅能表明某个测量点的误差。实际的测量装置往往可以在一个测量范围内使用，为了表明测量装置的精确程度而引入了引用误差。
引用误差定义为绝对误差△与测量装置的量程B 的比值，用百分数来表示，即
00100B
γ?
=? （2-7）
测量装置的量程B 是指测量装置测量范围上限x max 与测量范围下限x min 之差，即
m a x
m i B x x =- 引用误差实际上是采用相对误差形式来表示测量装置所具有的测量精确程度。
测量装置在测量范围内的最大引用误差，称为引用误差限γm ，它等于测量装置测量范围内最大的绝对误差△max 与量程B 之比的绝对值，即
m a x
00100m B
γ?=
? （2-8） 测量装置应保证在规定的使用条件下其引用误差限不超过某个规定值，这个规定值称为仪表的允许误差。允许误差能够很好地表征测量装置的测量精确程度，它是测量装置最主要的质量指标之一。
2.1.5 测量误差的来源
测量误差的来源很多。根据测量误差的来源，测量误差归纳起来有如下几个方面：
1．测量环境误差
任何测量都有一定环境条件，如温度、湿度、大气压、机械振动、电源波动、电磁干扰等等。测量时，由于实际的环境条件与所使用的测量装置要求的环境条件不一致，就会产生测量误差，这种测量误差就是测量环境误差。
2．测量装置误差
对测量中所使用的测量装置的性能指标有一定的要求。由于实际测量所使用的测量装置的性能指标达不到要求，或安装、调整、接线不符合要求，或使用不当，或因内部噪声、元器件老化等使测量装置的性能劣化等等，都会引起测量误差，这种测量误差就是测量装置误差。
3．测量方法误差
由于测量方法的不合理或不完善，测量所依据的理论不严密等等，也会产生
测量误差，这种测量误差就是测量方法误差。例如，用电压表测量电压时，由于没有正确地估计电压表的内阻而引起的误差；用近似公式、经验公式或简化的电路模型作为测量依据而引起的误差；通过测量圆的半径来计算其周长，因所用圆周率π为近似值而引起的误差，都是测量方法误差。
4．测量人员误差
由于测量操作人员的操作经验、知识水平、素质条件的差异，操作人员的责任感不强、操作不规范和疏忽大意等等原因，也会产生测量误差，这种测量误差就是测量人员误差。
2.1.6 测量误差的类型
很多原因可以产生测量误差，根据研究目的的不同，通常将测量误差可按不同的角度进行分类。
1．系统误差、随机误差和粗大误差
根据测量误差的性质和表现形式，可将误差分为系统误差、随机误差和粗大误差。
（1）系统误差
在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的数值大小和符号都保持不变的误差，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差的主要特性是规律性。
（2）随机误差
在相同的条件下，对同一被测量进行多次重复测量时，所出现的数值大小和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差。随机误差的主要特性是随机性。
（3）粗大误差
明显地偏离被测量真值的测量值所对应的误差，称为粗大误差。
在实际测量中，系统误差和随机误差之间不存在明显的界限，两者在一定条件下可以相互转化。对某项具体误差，在一定条件下为随机误差，而在另一条件下可为系统误差，反之亦然。
2．基本误差和附加误差
任何测量装置都有一个正常的使用环境要求，这就是测量装置的规定使用条件。根据测量装置实际工作的条件，可将测量所产生的误差分为基本误差和附加误差。
（1）基本误差
测量装置在规定使用条件下工作时所产生的误差，称为基本误差。
（2）附加误差
在实际工作中，由于外界条件变动，使测量装置不在规定使用条件下工作，这将产生额外的误差，这个额外的误差称为附加误差。
3．静态误差和动态误差
根据被测量随时间变化的速度，可将误差分为静态误差和动态误差。
（1）静态误差
在测量过程中，被测量稳定不变，所产生的误差称为静态误差。
（2）动态误差
在测量过程中，被测量随时间发生变化，所产生的误差称为动态误差。
在实际的测量过程中，被测量往往是在不断地变化的。当被测量随时间的变
化很缓慢时，这时所产生的误差也可认为是静态误差。
2.1.7 测量的精度
为了定性地描述测量结果与真值的接近程度和各个测量值分布的密集程度，
引入了测量的精度。测量的精度包含了准确度、精密度和精确度这三个概念。
1．测量的准确度
测量的准确度表征了测量值和被测量真值的接近程度。准确度越高则表征测
量值越接近真值。准确度反映了测量结果中系统误差的大小程度，准确度越高，
则表示系统误差越小。
2．测量的精密度
测量的精密度表征了多次重复对同一被测量进行测量时，各个测量值分布的
密集程度。精密度越高则表征各测量值彼此越接近，即越密集。精密度反映了测
量结果中随机误差的大小程度，精密度越高，则表示随机误差越小。
3．测量的精确度
测量的精确度是准确度和精密度的综合，精确度高则表征了准确度和精密度
都高。精确度反映了系统误差和随机误差对测量结果的综合影响，精确度高，则
反映了测量结果中系统误差和随机误差都小。
对于具体的测量，精密度高的准确度不一定高；准确度高的，精密度也不一定
高；但是精确度高的，精密度和准确度都高。
的射击打靶的结果作
为例子来加深对准确
图2-1 度、精密度和精确度的
理解。在图2-1中每个
点代表弹着点，相当于
测量值；圆心位置代表
靶心，相当于被测量真
值。图（a）的弹着点分散，但比较接近靶心，相当于测量值分散性大，但比较接
近被测量真值，表明随机误差大，精密度低；系统误差小，准确度高。图（b）的
弹着点密集，但偏离靶心较大，相当于测量值密集，但偏离被测量真值较大，表
明随机误差小，测量精密度高；系统误差大，准确度低。图（c）的弹着点密集且
比较接近靶心，相当于测量值密集且比较接近被测量真值，表明系统误差和随机
误差都小，精确度高。
在应用准确度、精密度和精确度时，应注意：它们都是定性的概念，不能用
数值作定量表示。
2.2 随机误差的处理
2.2.1 随机误差的产生和处理原则
随机误差是在测量过程中，因存在许多独立的、微小的随机影响因素对测量
造成干扰而引起的综合结果。这些微小的随机影响因素既有测量装置方面的因素，
也有环境方面的因素和人员方面的因素。由于人们对这些微小的随机影响因素很难把握，一般也无法进行控制，因而对随机误差不能用简单的修正值来校正，也不能用实验的方法来消除。
单个随机误差的出现具有随机性，即它的大小和符号都不可预知，但是，当重复测量次数足够多时，随机误差的出现遵循统计规律。由此可见，随机误差是随机变量，测量值也是随机变量，因此可借助概率论和数理统计的原理对随机误差进行处理，做出恰当的评价，并设法减小随机误差对测量结果的影响。
2.2.2 随机误差的统计特征和正态分布
1．随机误差的统计特征
对同一个被测量进行多次等精度的重复测量时，可得到一系列不同的测量值，通常把进行多次测量得到的一组数据称为测量列。若测量列不包含系统误差和粗大误差，则该测量列及其随机误差具有一定的统计特征。
下面先看一个测量的实例。等精度测量某工件直径n ＝150次，测量值范围在6.31～6.41mm 。
将测量值范围分成11个等间隔区间。若被测量的真值为L ＝6.36mm ，误差值δi ＝x i －L 。区间间隔Δx ＝△δ＝0.0 1mm 。测量值落在（x i ±Δx ／2）范围内，或误差值出现在（δi ±Δδ／2）范围内的次数为n i 。将测量结果统计并列成表2-1。
误差在（δi ±Δδ／2）范围内出现的次数n i 与总
次数n 的比值f i ＝n i ／n 称为频率。今在以频率（f i ）为纵坐标，以误差（δ）为横坐标的直角坐标图上，以区间间隔Δδ为宽度，各频率f i 值为高度画出长方形，得到如图2-2所示的频率直方图。 对于同一组测量数据，取不同的区间间隔值Δδ，
所得的频率值f i 是不同的，间隔值Δδ越大，频率值
f i 也越大，因而所得的频率直方图也不相同。为避免间
隔值的影响，常取p i ＝n i ／（n Δδ）作为纵坐标，p i
称为频率密度。以δ为横坐标，频率密度p i 为纵坐标
所得的图仍称为频率直方图，其图形与图2-2类似。
当测量次数n →∞时，且令Δδ→d δ， n i →dn （d δ，dn 均为无穷小量），则
图2-2
折线趋于平滑曲线，频率密度也就趋于概率密度。
根据概率论，随机误差的概率密度函数定义为
()1l i m i n n dn
f n n d δδδ
→∞==? （2-9）
式中 n ——测量总次数；
n i ——误差在（δi ±Δδ／2）范围内出现的次数。
概率密度函数f （δ）对应的曲线称为概率
密度分布曲线，如图2-3所示。图中
()dn
f d n
δδ=
就是曲线下面的右阴影部分的面积，称之为概率元。概率元实质上就是随机误差出现在区间
（δ，δ＋d δ）的概率，可表示为
{}(),dn
P d f d n
δδδδδ+== （2-10）
随机误差出现在区间（－∞,δ）的概率，即曲线下面的左阴影部分的面积，可表示为
(){}(),F P f d δ
δδδδ
-∞
=-∞=?
（2-11） F （δ）称之为随机误差的分布函数。
随机误差的概率密度函数f （δ）与其分布函数F （δ）互为微积分关系，即
()()()()0l i m F F dF f d δδδδδδδδ?→+?-????==? （2-12） 若测量列不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的随机误差具有以下四个
统计特征：
①对称性：随机误差可正可负，绝对值相等的正、负误差出现的概率相等，其概率密度分布曲线以纵轴为对称；
②单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率要大，误差值越小出现的概率越大，其概率密度分布曲线在δ＝0处有一峰值；
③有界性：当误差｜δ｜→∞，则误差出现的概率趋于零。可见在一定的测量条件下，误差的绝对值一般不会超过一定的界限；
④抵偿性：正误差和负误差可相互抵消，随着测量次数n →∞，随机误差的代数和趋于零，即
1l i m 0n
i n i δ→∞
==∑ （2-13）
应该指出，随机误差的上述统计特征是在造成随机误差的随机影响因素很多，且测量次数足够多的情况下归纳出来的，但并不是所有的随机误差都具有上述特征。当造成随机误差的随机影响因素不多，或某种随机影响因素的影响特别显著时，随机误差可能不呈现上述特征。
2．随机误差的正态分布
由以上四个统计特征出发，可导出随机误差的概率密度函数为
图2-3
(
)2
2f δσδ-=
（2-14） 式中，ζ称为标准差，它的意义在后面再作详细阐述。概率密度函数f （δ）为式（2-14）的随机变量所服从的分布称为正态分布。绝大多数随机误差服从正态分布。
按正态分布概率密度函数所得的曲线称为正态分布曲线。随机误差的正态分布曲线如图2-4所示。
正态分布随机误差的分布函数为：
22
2()F e
d δδ
σδδ-
-∞
=
（2-15）
服从正态分布的测量值x ，其概率密度函数为 (
)()22
x L f x σ--
=
（2-16）
测量值的正态分布曲线如图2-5所示，它
具有以下特点：
①曲线关于x ＝L 对称；
②是单峰曲线，在x ＝L
处有最大值
()f L =
③曲线以横轴为渐进线，x 离L 越远，f
（x ）的值就越小，当x →∞时将趋近于横轴； ④L 决定了曲线的中心位置。若固
定ζ的值而改变L 的值，则图形沿着横轴水平移动，而不会改变图形的形状，如图2-6所示。
在误差理论中，正态分布占有重要的地位。实践表明，在绝大多数情况下，测量值及随机误差是服从正态分布的。当然，并不是所有的测量值和随机误差都是服从正态分布的，也有一些误差服
从均匀分布、泊松分布等非正态分布。
概率论中的中心极限定理指出：对于服从任何分布的独立的随机变量，当其数量足够多时，这些随机变量的总和近似地服从正态分布，随机变量的数量越多则越近似。也就是说，相互独立的随机变量，其总和的分布是以正态分布为其极限分布。根据中心极限定理，尽管某些随机影响因素造成的随机误差不服从正态分布，但只要这些造成随机误差的影响因素足够多，而个别因素造成的影响在总的影响中所起的作用又很小，则由这些影响因素产生的随机误差就应该是服从或近似服从正态分布的。基于以上原因，正态分布是研究和分析随机误差的基础。在满足一定要求的前提下，把随机误差看成是服从正态分布的，具有普遍性和实用性。
2.2.3 测量值和随机误差的数字特征
图2-4
图
2-5
f (图2-6
测量值和随机误差都是随机变量，有关随机变量的一些概念和处理方法可直接用于对测量值和随机误差的分析和处理。
1．测量值和随机误差的数学期望与算术平均值
（1）测量值和随机误差的数学期望
根据概率论与数理统计，连续型随机变量ξ的数学期望定义为： ()()E f d ξξξξ
∞-∞
=?
（2-17） 它是随机变量ξ的一阶原点矩，表征了随机变量ξ的中心位置。数学期望是随机
变量的一个数字特征值。
设随机误差δ服从正态分布，将其概率密度函数表达式（2-14）代入式（2-17），可求得
()0E δ= （2-18） 式（2-18）表明：服从正态分布的随机误差的数学期望等于零。这说明，服从正态分布的随机误差总体分布的中心为0，意味着随机误差围绕着0出现，且在δ＝0处有最大的概率值。
设测量值x 服从正态分布，将其概率密度函数表达式（2-15）代入式（2-17），求得
()E x L = （2-19） 式（2-19）表明：服从正态分布的测量值x 的数学期望等于被测量的真值L 。这说明，服从正态分布的测量值x 总体分布的中心为真值L ，意味着测量值x 围绕着真值L 取值，且在真值L 处有最大的概率值。
测量的目的是得到被测量的真值，而测量值的数学期望等于真值，我们只要求得测量值的数学期望，即可得到被测量的真值。我们对某个被测量进行等精度测量，只要测量装置有足够高的灵敏度和分辨力，则可进行无限多次测量，所有可能的测量值就构成一个无限总体，这个无限总体的数学期望即为被测量的真值。这就意味着，我们想要通过测量得到被测量的真值，就必须作无限次等精度测量，以得到测量值的无限总体，这在实际上是无法做到的。在实际测量中我们只能做有限次等精度测量，取得有限个测量值，也就是说，只能得到测量值的一个容量有限的样本。由于测量值的无限总体无法得到，因此我们只能根据所得到的样本对测量值的数学期望——真值进行估计。
（2）测量值的算术平均值
n 次等精度测量测量值的算术平均值定义为
121
1n
n i i x x x x x n n =+++==∑ （2-20）
设被测量的真值为L ，各测量值与真值的误差为δ1、δ2、…、δn ，则有
1122n n x L x L x L δδδ=-??=-?
???=-?
（2-21） 式（2-21）两边求和，得
()1
1
1
n
n
n
i
i
i i i i x
L x n L
δ
====
-=-∑∑∑ （2-22） 由式（2-22）可得
11
11n n
i i i i x x L n n δ====+∑∑ （2-23）
由随机误差的抵偿性，当测量次数n →∞时，有 1l i m 0
n
i n i δ→∞
==∑ 故有
l i m
n x L →∞
= （2-24） 式（2-24）表明，当测量次数n →∞时，测量值的算术平均值会收敛于被测量
的真值。但在实际测量中，进行无限次测量是不可能的，只能进行有限次测量。当测量次数为有限次时，只要测量次数足够多，测量值的算术平均值处于真值的附近，随着测量次数的增加而趋于真值，因此我们可以认为测量值的算术平均值是最接近于真值的近似值。
进一步分析还可证明，测量值的算术平均值x 的数学期望等于真值L ，即
()E x L =。这意味着，当测量次数n →∞时，全体测量值的算术平均值等于真值。而在有限次等精度测量中，可用有限次测量值的算术平均值作为被测量真值的最佳估计值。
在实际的等精度测量中，由于随机误差的存在而无法得到被测量的真值，但我们可用测量值的算术平均值代替真值作为测量结果。
（3）残余误差
测量值与算术平均值的差称为残余误差，简称残差。用v i 表示残差，则有
i i v x x =- ()n i ,,2,1 = （2-25） 残余误差有两个重要的性质：
①一组测量值的残余误差的代数和等于零，即
10n
i
i v
==∑ （2-26）
②一组测量值的残余误差的平方和为最小，即
21
m i n
n
i
i v
==∑ （2-27） 这个性质是最小二乘法的理论基础。
2．测量列的方差、标准差和精密度参数 （1）测量列的方差和标准差
根据概率论，连续型随机变量ξ的方差定义为 ()()()2
D E f d ξξξξξ∞
-∞=-???
?? （2-28）
它是随机变量ξ的二阶中心矩，表征了随机变量ξ相对于其数学期望E （ξ）的分散程度。
对于离散型随机变量，其方差则可定义为
()()2
1
1l i m n
n i D E n ξξξ→∞==-????∑ （2-29） 由于方差的物理意义不够明显，在实际工作中，常采用标准差ζ来表征随机变量的分散程度。标准差ζ定义为方差的正平方根值，即
σ= （2-30） 方差或标准差是随机变量的又一个数字特征值。 各次测量的测量值可视作离散型随机变量。对一被测量进行无限多次等精度测量，各次测量的测量值组成无限测量列。根据式（2-29）和式（2-30），无限测量列中各测量值x i 的真误差（x i －L ）的平方和的算术平均值，再开方所得的数值，即为测量列的标准差ζ。故可得测量列标准差的定义式
l i n σ= （2-31）
标准差也称为方均根偏差。
正态分布的测量值与相应的随机误差有同一形状的正态分布曲线，只是坐标原点沿着横坐标平移了L ，因此测量值与相应的
随机误差有同样的标准差值。
测量列的标准差表征了测量值和随机
误差的分散程度，它决定了测量值和随机误
差概率密度分布曲线的形状。如图2-7所示，标准差ζ的数值愈小，概率密度分布曲线形状愈陡峭，说明测量值和随机误差的分散性
小，测量的精密度高；反之，ζ的数值愈大，
概率密度分布曲线形状愈平坦，说明测量值和随机误差的分散性大，测量的精密度低。
将正态分布随机误差的概率密度函数f （δ）的表达式（2-14）对δ求二阶导数，并令二阶导数()0f δ''=，可得δ＝±ζ。由此可得标准差的几何意义：标准差就是概率密度分布曲线拐点的横坐标。
标准差ζ的值决定于测量条件，测量条件一旦确定后，ζ的值也就唯一地确定了。在一定测量条件下所进行的等精度测量，其中任一次测量所得的测量值及相应的随机误差不可预知，但它们都有同一个标准差ζ的值。在不同的测量条件下对同一被测量所进行的两组等精度测量，其标准差ζ的值往往是不相同的。
应该指出，标准差ζ不是误差的一个具体值，而是表征测量值和随机误差分散性的一个特征参数。
（2）测量列的精密度参数
测量的精密度是一个定性的概念，它定性地反映了在一定测量条件下进行等精度测量所得测量值和随机误差的分散程度。为了能够定量地评定测量值和随机误差的分散程度，引入测量列的精密度参数。
能够用来评定测量列精密度的参数有多个，目前最常用的测量列精密度参数是
图2-7
测量列标准差。对于服从正态分布的测量值和随机误差，测量列标准差一定，它们的正态分布曲线的形状就完全被确定了，测量的精密度也就确定了。
（3）测量列标准差的估计
式（2-31）给出了测量列标准差的定义式，但要按式（2-31）来求出测量列标准差必须满足两个条件：一是测量次数n →∞，即必须得到测量值的无限总体；二是要求得到各测量值的真误差，也即必须得到被测量的真值。在实际测量中，这两个条件往往是无法满足的，我们只能进行有限次测量，也不可能得到被测量的真值，因此不能按式（2-31）来求出测量列的标准差。
对于有限次等精度测量，由于被测量的真值L 无法得到，也就得不到各测量值的真误差δi ，但可用算术平均值x 来代替真值求得各测量值的残余误差v i ，因而可利用残余误差v i 来代替真误差δi 对标准差ζ做出估计。通过推导，可以得到如下的贝塞尔公式：
?s σ=== （2-32） 贝塞尔公式用算术平均值x 代替真值μ，用残余误差v i 代替真误差δi 。考虑
到测量次数n 为有限次，是根据所得到的测量值样本来对无限总体的标准差做出
估计，因而所求得的是标准差的估计值σ
?。σ?也可记作s 。 3．测量列算术平均值的标准差
（1）测量列算术平均值的精密度参数
有限次等精度测量以测量列算术平均值作为真值的最佳估计值，也就是以测量列算术平均值作为测量结果。我们对某一个量作n 次重复测量，可以得到一个测量列，求出一个算术平均值x 。如果我们重复上述过程m 次，就可以得到m 个测量列，求出m 个算术平均值12,,,m x x x 。由于随机误差的存在，这m 个算术平均值都不可能完全相同。它们围绕着被测量的真值有一定的分散性，因此有必要考虑算术平均值的精密度。测量列算术平均值可视为随机变量，因而可用测量列算术平均值的标准差作为测量列算术平均值的精密度参数。
（2）测量列算术平均值标准差的估计
可以证明，测量列算术平均值标准差x σ为测量列标准差σ
的
x σ=
（2-33）
在实际测量中往往只能得到σ的估计值s ，因此只能用s 代替σ来计算x σ，因而只能得到x σ的估计值x s ，即
x s == （2-34） （3）等精度测量的测量次数
由上式可知，随着测量次数的增多，算术平均值的标准差减小，亦即作为测量结果的算术平均值的精密度提高。因此，在等精度测量中，为了提高测量结果的精密度，应进行多次重复测量。
由于算术平均值的标准差x σ与测量次数n 的平方根n 成反比，因此x σ随着n 增大而减小的速度越来越小，如图2-8所示。当n ＞10后，n 再增加时，x σ的减小效果已不明显。同时，当测量次
数过多时也不能保证测量条件不改变；另外，测量次数增加以后，计算量和时间也增加了。鉴于以上原因，一般等精度测量的测量次数取n ≤10即可。
例2-1 对某工件的尺寸进行了10次等精度测量，测得值为：10.0040，10.0057，10.0045，10.0065，10.0051，10.0053，10.0055，10.0050，10.0062，10.0054mm 。试计算测量列的算术平均值、标准差和算术平均值标准差。
解：为计算方便，免出差错，可采用表格形式运算，见表2-2。
计算测量列的算术平均值
1
110.00532n
i i x x n ===∑
计算各测量值的残余误差。将测量列算术平均值和残余误差的计算结果填入表2-2中。
计算各测量值残余误差的平方值及平方和，并将计算结果填入表2-2中。 应用贝塞尔公式估算测量列的标准差
140
0.00074s m m == 估算例2-1的测量列算术平均值标准差 74
0.00023x s mm =
== 2.2.4 随机误差的概率计算
图2-8
1．随机误差的概率积分
若随机误差的概率密度函数为f （δ），则随机误差出现在区间〔a ，b 〕的概率为
{}()b a
P a b f d
δδδ≤≤=? （2-35） 在实际应用中，通常考虑随机误差出现在对称区间〔－a ，a 〕的概率，则有
{}()a
a
P a f d δδδ-≤=?
（2-36）
若随机误差服从正态分布，将正态分布的概率密度函数代入上式，并考虑到概率密度函数具有对称性，有 {}22
a
P a e
d δσδδ-
≤=
（2-37）
上式称为正态分布随机误差的概率积分。
令a ＝t ζ，有
{}22
t P t e
d δσσδσδ-
≤=
（2-38）
令z δ
σ
=
，作变量置换，有 {}()
()22
2z t P z t e
d z t
e r
f t φ-
≤==
（2-39）
式中 ()22
z t
t e
d z φ-
=
为拉普拉斯函数；
()()2erf t t φ=，称为误差函数。
因为Φ（t ）的被积函数的原函数不是初等函数，所以无法用牛顿-莱布尼兹公式来计算这个积分。但是，当积分的上限（即t ）给定了以后，我们可以用矩形法、梯形法或抛物线法等数值积分方法近似计算这个积分的值。为方便计算，将拉普拉斯函数的数值列成表格，称拉普拉斯函数表，如表2-3所示。应用拉普拉斯函数表，可大大简化随机误差概率积分的计算。
2．随机误差的置信度
对于服从正态分布的随机误差，当概率密度函数确定后，其概率密度分布曲线也就确定了。若给定一个概率值p （0＜p ＜1），则能确定一个对称的误差区间〔－a ，a 〕，满足P ｛－a ≤δ≤a ｝＝p 。误差区问〔－a ，a 〕称为置信区间，所对应的概率值p 称为置信概率。置信区间表征随机误差的变化范围，置信概率表征随机误差出现的可能程度。置信区间越宽，相应的置信概率就越大。置信区间和置信概率共同表明了随机误差的可信赖程度。把置信区间和置信概率两者结合起来，统称为置信度。a 为置信区间的界限值，称为置信限。往往将置信限a 表示为标准差的倍数，即a ＝t ζ，t 称为置信因子。令α＝1－p ，α称为显著水平或显著度，它表示随机误差在置信区间以外出现的概率。
当t ＝1，置信区间为〔－ζ，ζ〕，相应的置信概率p ＝2Φ（1）＝2×0.3413
＝0.6826，置信水平α＝1－p＝0.3174≈1／3，这意味着大约每3次测量中有一次
测得值的误差落在置信区间〔－ζ，ζ〕之外。
当t＝2，置信区间为〔－2ζ，2ζ〕，相应的置信概率p＝2Φ（2）＝2×0.4772
＝0.9544，置信水平α＝1－p＝0.0456≈1／22，这意味着大约每22次测量中有一
之外。
当t＝3，置信区间为〔－3ζ，3ζ〕，
相应的置信概率p＝2Φ（3）＝2×
0.49865=0.9973，置信水平α＝1－p＝
图2-9 0.0027≈1／370，这意味着大约每370次测
量中有一次测得值的误差落在置信区间〔－
3ζ，3ζ〕之外。
置信区间与相应的置信概率的关系，如
图2-9所示。
常用在一定置信概率下的置信区间的
大小来表示测量列的精密程度，置信区间愈小，则测量列的精密程度就愈高。
2.2.5 等精度测量的极限误差和测量结果的表示
1．测量的极限误差
测量的极限误差定义为在给定的置信概率条件下，误差出现的极限范围。测
量的极限误差是一个极端误差值，当给定置信概率p，测量结果的误差的绝对值超
过该极端误差的概率为（1－p）。
根据上面的计算，测量值的误差的绝对值超过2ζ的概率为0.0456，即在22
次测量中有一次测量值的误差的绝对值超过2ζ；测量值的误差的绝对值超过3ζ
的概率为0.0456，即在370次测量中有一次测量值的误差的绝对值超过3ζ。由于
在一般测量中，测量次数极少是超过几十次的，因此可以认为绝对值大于2ζ或3
ζ的误差是不可能出现的，通常取定置信概率p＝0.9544或p＝0.9973，即取定置
信因子t ＝2或t ＝3来确定极限误差。
2．单次测量的极限误差和测量结果的表示
对于大多数工程测量，由于对测量没有要求给出误差的确切值，往往所采用的测量装置的精确度较低，很难反映出测量误差的变化，因此一般只进行单次测量。对于部分精密测量，根据实际需要对测量结果的精确度要求不是很高，且对一定的测量条件下的标准差已知，往往也只进行单次测量。
对于单次测量，就用单次测量的测量值x m 作为测量结果。
单次测量的极限误差用δ
lim 来表示，
则lim t δλ=。
λ为测量结果的精密度参数，t 为置信因子。
若事先通过测定已知一定测量条件下的标准差ζ，则ζ即可作为单次测量结果的精密度参数λ。若事先未知标准差，则可根据单次测量的测量值来估计标准差，用标准差的估计值s 作为单次测量结果的精密度参数λ。显然，这时不能采用贝塞尔公式来进行估计，而是取s ＝1.25δ作为标准差的估计值。在这里，δ＝x m －A ，实际值A 可用足够精确的方法通过测定来确定。
置信因子t ，可取定置信概率p ，按正态分布来确定。通常取定p ＝0.95，t ＝1.960；p ＝0.9545，t ＝2；p ＝0.99，t ＝2.576；p ＝0.9973，t ＝3。
单次测量的测量结果表示为：
l i m m x x δ=± （p ＝×××） （2-40） 因在不同的置信概率p 下有不同的极限误差δlim ，因此一般应在测量结果后标注所取的置信概率p 。
例2-2 用百分表测量某工件的厚度。已知测量的标准偏差为ζ＝0.0023mm 。一次测量的测得值为x m ＝2.352mm 。试写出测量结果。
解：取定置信概率p ＝0.9973，按正态分布可得置信因子t ＝3，测量的极限误差为
δlim ＝t ζ＝3×0.0023＝0.0069≈0.007 则测量结果可表示为
x ＝x m ±δlim ＝2.352±0.007mm （p ＝0.9973）
3．多次重复测量的极限误差和测量结果的表示 多次重复测量以算术平均值x 作为测量结果。
多次重复测量的极限误差用lim x δ来表示，则lim x t δλ=。λ为测量结果的精密度参数，t 为置信因子。
多次重复测量以算术平均值的标准差x σ作为测量结果的精密度参数λ。即
x λσ==
（2-41）
若事先通过测定已知一定测量条件下的标准差ζ，则将已知的ζ值代入上式进行计算；若事先未知标准差，则可根据多次测量的测得值估计标准差，用标准差的估计值s 代入上式进行计算。 置信因子t 可分两种情况来确定：
①若标准差已知，则可取定置信概率p ，按正态分布来确定置信因子t ；
②若标准差未知，须根据多次测量的测得值来估计标准差，但不能按正态分布来确定置信因子t 。
下面对后一种情况做进一步的讨论。
在有限次测量中，算术平均值不再服从正态分布，而是服从自由度γ＝n －1的t 分布。
t 分布又称学生分布，它是一种连续型随机变量的概率分布。服从自由度为γ的t 分布的随机变量t ，它的概率密度函数为
(
)()12
212,12t f t γγγγγ-++??Γ ?????
=+
???
?
? ???
（2-42） 式中，Γ（m ）为伽玛函数，其表达式为
()10m t m t e dt ∞
--Γ=?
给定置信区间[],t t αα-，随机变量t 落入该区间的概率p 即为相应的置信概率。根据概率积分，置信概率
[]()0
12,t p P t t
t f t d t α
αααγ
=-=-≤≤=?
（2-43）
α为显著性水平。p 及α的值与αt 、γ有关。给定置信概率p 或显著性水平α，根据自由度γ＝n －1，可由式（2-42）和式（2-43）计算相应的αt 值。为便于应用，将计算所得αt 数值列成数值表，称t 分布表，见表2-4。
在确定极限误差lim x δ时，置信因子t 须按t 分布来确定，这时(),t t αγα=。
(),t αγα可通过取定置信概率p ＝1－α，按自由度γ＝n －1在t 分布表中查出。
多次重复测量的测量结果表示为：
l i m x x x δ=± （p ＝×××） （2-44） 例2-3 在例2-1的等精度测量中，若事先已知测量列的标准差ζ＝0.0006mm ，测量的算术平均值为10.00532x mm =，试写出测量结果。
解：因标准差已知，置信因子可按正态分布确定。取定置信概率p ＝0.9973，则t ＝3。测量的极限误差
6
0.0006
x U t mm σ±==
==± 故测量结果可表示为
x ＝10.0053±0.0006mm （p ＝0.9973）
例2-4 若上述测量事先未知测量列的标准差，试写出测量结果。
解：因标准差事先未知，置信因子按t 分布确定。取定置信概率p ＝0.99，显著水平α＝0.01，自由度γ＝n －1＝10－1＝9，查t 分布表得置信因子t ＝3.2498。测量的算术平均值为mm x 00532.10=，算术平均值的标准偏差0.00023x s mm =。故测量的极限误差
l i m 3.24980.00023
0.00
07x x ts mm δ==?= 故测量结果可表示为
x ＝10.0053±0.0007mm （p ＝0.99）
2.4 粗大误差的处理
2.4.1 粗大误差的产生和处理原则
明显地偏离了被测量真值的测量值所对应的误差，称为粗大误差。粗大误差的产生，有测量操作人员的主观原因，如读错数、记错数、计算错误等，也有客观外界条件的原因，如外界环境的突然变化等。
含有粗大误差的测量值称为坏值。测量列中如果混杂有坏值，必然会歪曲测量结果。
为了避免或消除测量中产生粗大误差，首先要保证测量条件的稳定，增强测量人员的责任心并以严谨的作风对待测量任务。
对粗大误差的处理原则是：利用科学的方法对可疑值做出正确判断，对确认的坏值予以剔除。
2.4.2 坏值判别准则
对可疑值是否是坏值的正确判断，须利用坏值判别准则。这些坏值判别准则建立在数理统计原理的基础上，在一定的假设条件下，确立一个标准作为对坏值剔除的准则。其基本方法就是给定一个显著水平α，然后按照一定的假设条件来确定相应的置信区间，则超出此置信区间的误差就被认为是粗大误差，相应的测量值就是坏值，应予以剔除。这些坏值判别准则都是在某些特定条件下建立的，都
有一定的局限性，因此不是绝对可靠和十全十美的。下面介绍三个最常用的坏值判别准则。
1．拉伊达准则
凡残余误差大于三倍标准差的误差就是粗大误差，相应的测量值就是坏值，应予以舍弃。其数学表达式为
3b b v x x σ=-> （2-45） 式（2-45）中，x b 为坏值；v b 为坏值的残余误差；x 为包括坏值在内的全部测量值的算术平均值，ζ为测量列的标准差，可用估计值s 来代替。
拉伊达准则又称3ζ准则，它的理论基础是正态分布理论。拉伊达准则方法简单，它不需要查表，便于应用，但在理论上不够严谨，只适用于重复测量次数较多（n ＞50）的场合。若测量次数不够多，使用拉伊达准则就不可靠，一般无法从测量列中正确判别出坏值来。
2．格拉布斯准则
凡残余误差大于格拉布斯鉴别值的误差就是粗大误差，相应的测量值就是坏值，应予以剔除。其数学表达式为
(),b b a v x x G n P σ=->???? （2-46）
式（2-46）中，x b 为坏值；v b 为坏值的残余误差；x 为包括坏值在内的全部
测量值的算术平均值，ζ为测量列的标准差，可用估计值s 来代替；G （n ，P a ）为格拉布斯临界系数，〔G （n ，P a ）〕ζ为格拉布斯鉴别值，它与测量次数n 和取定的置信概率P a 。表2-5给出了对应不同测量次数n 和不同置信概率P a 的格拉布斯临界系数G （n ，P a ）。
表2-5 格拉布斯临界系数(),a G n P
应用格拉布斯准则时，先计算测量列的算术平均值和标准差；再取定置信概率P a ，根据测量次数n 查出相应的格拉布斯临界系数G （n ，P a ），计算格拉布斯鉴别值〔G （n ，P a ）〕s ；将各测量值的残余误差v i 与格拉布斯鉴别值相比较，若满足式（2-46），则可认为对应的测量值x i 为坏值，应予剔除；否则x i 不是坏值，不予剔除。
格拉布斯准则在理论上比较严谨，它不仅考虑了测量次数的影响，而且还考虑了标准差本身存在误差的影响，被认为是较为科学和合理的，可靠性高，适用于测量次数比较少而要求较高的测量列。格拉布斯准则的计算量较大。
3．肖维勒准则
凡残余误差大于肖维勒鉴别值的误差就是粗大误差，相应的测量值就是坏值，应予以剔除。其数学表达式为
()b b c v x x Z n σ=->????
（2-47） 式（2-47）中，x b 为坏值；v b 为坏值的残余误差；x 为包括坏值在内的全部
测量值的算术平均值，ζ为测量列的标准差，可用估计值s 来代替；Z c （n ）为肖维勒临界系数，〔Z c （n ）〕ζ为肖维勒鉴别值，它们与测量次数n 有关。表2-6给出了对应不同测量次数n 的肖维勒临界系数Z c （n ）。
查出相应的肖维勒临界系数Z c （n ），计算肖维勒鉴别值［Z c （n ）］s ；将各测量值的残余误差v i 与肖维勒鉴别值相比较，若满足式（2-47），则可认为对应的测量值x i 为坏值，应予剔除；否则x i 不是坏值，不予剔除。
肖维勒判别准则与拉伊达准则同样，它的理论基础也是正态分布理论，但较拉伊达准则细化，准确性较高。肖维勒判别准则的可靠性和准确性没有格拉布斯准则高，但比格拉布斯准则简单。
2.4.3 坏值的判别与剔除
应用上述坏值判别准则，每次只能剔除一个坏值，剔除一个坏值后需重新计算测量列的算术平均值和标准差，再进行判别，直至无坏值为止。
例2-5 多次重复测量某工件的厚度，得测量列为：36.44，39.27，39.94，39.44，38.91，39.69，39.48，40.56，39.78，39.35，39.86，39.71，39.46，40.12，39.39，39.76mm ，试判定该测量列是否存在坏值，若有坏值，则将其剔除。
解：应用格拉布斯准则来判别。采用表格形式运算，见表2-7。
第二章 误差和分析数据处理
第二章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。(10)在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：（1）系统误差；校准砝码。 （2）系统误差；校准仪器。 （3）系统误差；校准仪器。 （4）系统误差；控制条件扣除共沉淀。 （5）系统误差；扣除试剂空白或将试剂进一步提纯。 （6）系统误差；在110℃左右干燥后称重。 （7）系统误差；重新选择指示剂。 （8）偶然误差；最后一位是估计值，因而估计不准产生偶然误差。 （9）系统误差；校准仪器。 （10）系统误差；重新选择分析条件。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。
测量误差与数据处理(2)
结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半，就认为系统误差已可忽略不计。 §4测量不确定度 在测量过程中，当对同一物理量进行多次重复测量时，影响测量结果的不重复和不准确的原因很多，例如，测量仪器不准确，测量方法不完善，对被测量定义的方法不完整、不理想或不完善，赋予计量标准的值和标准物质的值不准确，测量人员的主客观因素及环境的影响等，使得测量结果只能是近似值。实践证明，测量误差是客观存在的，由于真值未知，因此也就不可能确切地得到测量误差，由此引出了用测量不确定度来说明和衡量测量结果的质量。 不确定度是误差理论发展和完善的产物，是建立在概率论和统计学基础上的新概念，目的是为了澄清一些模糊的概念和便于使用。它表示由于测量误差的影响而对测量结果的不可信程度或有效性的怀疑程度，或称为不能肯定的程度。它是定量说明测量结果的质量的一个参数。测量值在某个区域内以一定的概率分布，表示被测量分散性的参数就是测量不确定度，它不说明测量结果是否接近真值。 多年来，世界各国对测量结果不确定度的估计方法和表达方式存在的不一致性，影响了计量和测量成果的相互交流。为此，1993年国际不确定度工作组制定了Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement(测量不确定度表达导则)，经国际计量局等国际组织批准执行，由国际标准化组织(ISO)公布。这里将采用符合国际和国家标准的对误差理论和测量不确定度的表示方法。 §4.1 不确定度的术语 不确定度是说明测量结果的参数，它用于表达被测量值可能的分散程度。这个参数用标准偏差表示，也可以用标准偏差的倍数或置信区间的半宽度表示。根据计算及表示方法的不同，有以下几个专用术语。 (1)标准不确定度:测量结果的不确定度由多种原因引起，一般来源于随机性或模 糊性。所有这些不确定度的来源都会影响测量结果，其综合效应使测量结果的可能值服从某种概率分布。用概率分布的标准偏差表示的不确定度就称为标准不确定度，用符号u表示。因为测量不确定度往往是由多种原因产生，对每个 u表示。标准不确不确定度来源评定的标准偏差，称为标准不确定度分量，用 i 定度有两类评定方法：A类评定和B类评定。(a)A类标准不确定度:用统计方 u表示。(b)B类标准不法得到的不确定度，称为A类标准不确定度。用符号 A 确定度用非统计方法得到的不确定度，即根据资料或假设的概率分布估计的标 u表示。A类标准不准偏差表示的不确定度，称为B类标准不确定度，用符号 B 确定度和B类标准不确定度仅仅是评定方法不同。 (2)合成标准不确定度:由各不确定度分量合成的标准不确定度，称为合成标准不 确定度。当测量结果是由若干其他量求得的情况下，测量结果的标准不确定度 u表示。合成标准等于各其他量的方差和协方差相应和的正平方根，用符号 C 不确定度仍然是标准(偏)差，表示测量结果的分散性。合成的方法，常被称为“不确定度传播律”。
02-误差及数据处理
二、误差及数据处理（277题） 一、选择题( 共120题) 1. 2 分(0201) 下列表述中,最能说明随机误差小的是-------------------------------------------------------( ) (A) 高精密度 (B) 与已知的质量分数的试样多次分析结果的平均值一致 (C) 标准差大 (D) 仔细校正所用砝码和容量仪器等 2. 2 分(0202) 以下情况产生的误差属于系统误差的是-----------------------------------------------------( ) (A) 指示剂变色点与化学计量点不一致 (B) 滴定管读数最后一位估测不准 (C) 称样时砝码数值记错 (D) 称量过程中天平零点稍有变动 3. 2 分(0203) 下列表述中,最能说明系统误差小的是-------------------------------------------------------( ) (A) 高精密度 (B) 与已知的质量分数的试样多次分析结果的平均值一致 (C) 标准差大 (D) 仔细校正所用砝码和容量仪器等 4. 2 分(0204) 下列各项定义中不正确的是--------------------------------------------------------------------( ) (A) 绝对误差是测定值与真值之差 (B) 相对误差是绝对误差在真值中所占的百分比 (C) 偏差是指测定值与平均值之差 (D) 总体平均值就是真值 5. 1 分(0205) 在定量分析中,精密度与准确度之间的关系是----------------------------------------------( ) (A) 精密度高,准确度必然高(B) 准确度高,精密度也就高 (C) 精密度是保证准确度的前提(D) 准确度是保证精密度的前提 6. 2 分(0206) 当对某一试样进行平行测定时,若分析结果的精密度很好,但准确度不好,可能的原因是----------------------------------------------------------------------------------------------------------( ) (A) 操作过程中溶液严重溅失(B) 使用未校正过的容量仪器 (C) 称样时某些记录有错误(D) 试样不均匀 7. 2 分(0207) 下列有关随机误差的论述中不正确的是----------------------------------------------------( ) (A) 随机误差具有随机性 (B) 随机误差具有单向性 (C) 随机误差在分析中是无法避免的 (D) 随机误差是由一些不确定的偶然因素造成的 8. 2 分(0208) 分析测定中随机误差的特点是----------------------------------------------------------------( ) (A) 数值有一定范围(B) 数值无规律可循
第二章误差及数据处理
第二章误差及数据处理 （第一部分） 一、选择题 1. 从精密度好就可断定分析结果可靠的前提是（） A. 随机误差小； B. 系统误差小； C. 平均偏差小； D. 相对偏差小。2．以下哪些是系统误差的特点（A、C、E）；哪些是偶然误差的特点（）。 A．误差可以估计其大小； B．数值随机可变； C．误差是可以测定的； D．在同一条件下重复测定中，正负误差出现的机会相等，具有抵消性； E．通过多次测定，均出现正误差或负误差。 3．准确度、精密度、系统误差、偶然误差之间的关系正确的是（）。 A．准确度高，精密度一定高； B．偶然误差小，准确度一定高； C．准确度高，系统误差、偶然误差一定小； D．精密度高，准确度一定高； E．偶然误差影响测定的精密度，但不影响准确度。 4、下列有关随机误差的论述中不正确的是（） A.随机误差在分析中是不可避免的； B.随机误差出现正误差和负误差的机会均等； C.随机误差具有单向性； D.随机误差是由一些不正确的偶然因素造成的。 5．消除或减免系统误差的方法有（）；减小偶然误差的方法有（）。 A．进行对照试验； B．进行空白试验； C．增加测定次数； D．遵守操作规程； E．校准仪器； F．校正分析方法。 6．下列情况对分析结果产生何种影响（A.正误差；B.负误差；C.无影响；D.降低精密度） （1）标定HCl溶液时，使用的基准物Na2CO3中含少量NaHCO3（）。 （2）在差减法称量中第一次称量使用了磨损的硅码（）。 （3）把热溶液转移到容量并立即稀释至标线（）。 （4）配标准溶液时，容量瓶内溶液未摇匀（）。 （5）平行测定中用移液管取溶液时，未用移取液洗移液管。（） （6）将称好的基准物倒入湿烧杯。（）
2误差和数据处理思考习题答案
第2章误差和分析数据的处理 思考题 1．正确理解准确度和精密度，误差和偏差的概念。 答：准确度表示分析结果的测量值与真实值接近的程度。准确度的高低，用误差来衡量，误差表示测定结果与真实值的差值。精密度是表示几次平行测定结果相互接近的程度。偏差是衡量测量结果精密度高低的尺度。 2．下列情况各引起什么误差，如果是系统误差，应如何消除？ （1）砝码腐蚀——会引起仪器误差，是系统误差，应校正法码。 （2）称量时试样吸收了空气中的水分——会引起操作误差，应重新测定，注意防止试样吸湿。 （3）天平零点稍变动——可引起偶然误差，适当增加测定次数以减小误差。 （4）天平两臂不等长——会引起仪器误差，是系统误差，应校正天平。 （5）容量瓶和吸管不配套——会引起仪器误差，是系统误差，应校正容量瓶。 （6）天平称量时最后一位读数估计不准——可引起偶然误差，适当增加测定次数以减小误差。 （7）以含量为98%的金属锌作为基准物质标定EDTA的浓度——会引起试剂误差，是系统误差，应做对照实验。 （8）试剂中含有微量被测组分——会引起试剂误差，是系统误差，应做空白实验。 （9）重量法测定SiO2时，试液中硅酸沉淀不完全——会引起方法误差，是系统误差，用其它方法做对照实验。 3．什么叫准确度，什么叫精密度？两者有何关系？ 答：精密度是保证准确度的先决条件。准确度高一定要求精密度好，但精密度好不一定准确度高。系统误差是定量分析中误差的主要来源，它影响分析结果的准确度；偶然误差影响分析结果的精密度。 4．用标准偏差和算术平均偏差表示结果，哪一个更合理？ 答：标准偏差。 5．如何减少偶然误差？如何减少系统误差？ 答：通过对照实验、回收实验、空白试验、仪器校正和方法校正等手段减免或消除系统误差。通过适当增加测定次数减小偶然误差。
实验数据误差分析和数据处理
第二章实验数据误差分析和数据处理 第一节实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实
验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=1 21 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑== +???++= 1 2222 21 均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 2 1212 121ln ln ln x x x x x x x x x -=--=对 (2-4) 应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。当1x /2x ≤2时，可以用算术平均值代替对数平均值。 当1x /2x =2，对x =, =x , (对x -x )／对x =%, 即1x /2x ≤2，引起的误差不超过%。
《误差理论与数据处理》答案要点
《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试 问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
2测量误差与数据处理
果总是与被测量的真实量值不一致，即任何测量都不可避免地存在着测量误差。为了减小和消除测量误差对测量结果的影响，需要研究和了解测量误差及测量不确定度。本章包括三个部分的内容。第一部分是测量误差，包括测量误差的基本概念、各类测量误差的处理方法、误差的传递、误差的合成与分配等；第二部分是测量不确定度，包括测量不确定度的概念和表示方法、测量不确定度的评定等；第三部分是数据处理。 2.1 测量误差的基本概念 2.1.1 测量误差存在的必然性和普遍性 在测量过程中，由于实验原理和实验方法的不完善，所采用的测量装置性能指标的局限，在环境中存在着各种干扰因素，以及操作人员技术水平的限制，必然使测量值与被测量的真实量值之间存在着差异。测量结果与被测量的真实量值之间的差异，称为测量误差，简称误差。 误差公理认为：在测量过程中各种各样的测量误差的产生是不可避免的，测量误差自始至终存在于测量过程中，一切测量结果都存在误差。因此，误差的存在具有必然性和普遍性。 随着科学技术的发展和我们认识水平的不断提高，可以将测量误差控制得越来越小，但是测量误差的存在仍是不可避免的。 2.1.2 有关量值的几个基本概念 1．真值 真值是指在一定的时间和空间条件下，能够准确反映某一被测量真实状态和属性的量值，也就是某一被测量客观存在的、实际具有的量值。 2．理论真值和约定真值 真值有理论真值和约定真值两种。 理论真值是在理想情况下表征某一被测量真实状态和属性的量值。理论真值是客观存在的，或者是根据一定的理论所定义的。例如，三角形三内角之和为180°。 由于测量误差的普遍存在，一般情况下被测量的理论真值是不可能通过测量得到的，但却是实际存在的。 由于被测量的理论真值不能通过测量得到，为解决测量中的真值问题，只能用约定的办法来确定真值。约定真值就是指人们为了达到某种目的，按照约定的办法所确定的量值。约定真值是人们定义的，得到国际上公认的某个物理量的标准量值。例如：光速被约定为3×108m／s；以高精度等级仪器的测量值约定为低精度等级仪器测量值的约定真值。 3．实际值 在满足实际需要的前提下，相对于实际测量所考虑的精确程度，其测量误差
§2 误差与数据处理 - 习题和自测题 - 习题
§2误差与数据处理-> 习题和自测题-> 习题 1. 分析过程中出现下面的情况，试回答它是什么性质的误差，如何改进？ （1）过滤时使用了定性滤纸，最后灰分加大； （2）滴定管读数时，最后一位估计不准； （3）试剂中含有少量的被测组分。（参考答案） 答： （1）重量分析中，过滤时使用了定性分析滤纸，最后灰分增大，属于系统误差，改进的办法是改用定量分析滤纸或做空白实验进行校正。 （2）滴定管读数时，最后一位估读不准，属于偶然误差，可以增加平行测量次数。（3）试剂中含有少量被测组分，引起了系统误差，应做空白实验进行校正。 2. 测定某样品中的含氮量，六次平行测定的结果是20.48％，20.55％，20.58％，20.60％，20.53％，20.50％。 （1）计算这组数据的平均值、中位数、极差、平均偏差、标准偏差、变异系数和平均值的标准偏差。 （2）若此样品是标准样品，含氮量为20.45%，计算以上测定的绝对误差和相对误差。（参考答案） 答： (1)
(2) 3. 测定试样中CaO含量，得到如下结果：35.65％，35.69％，35.72％，35.60％，问： （1）统计处理后的分析结果应该如何表示？ （2）比较95%和90%置信度下总体平均值和置信区间。（参考答案） 答： (2) 当置信度为95%，t=3.18： 即总体平均值的置信区间为（35.58，35.74）； 当置信度为90%，t=2.35： 即总体平均值的置信区间为（35.60，35.72）。 4. 根据以往的经验，用某一种方法测定矿样中锰的含量的标准偏差（即δ）是0.12%。现测得含锰量为9.56%，如果分析结果分别是根据一次、四次、九次测定得到的，计算各次结果平均值的置信区间（95%置信度）。（参考答案）
第二章误差与数据处理
第二章 定量分析误差与数据处理 一、选择题 1、以加热驱除水分法测定CaSO4. 21 H2O 中结晶水的含量时，称取试样0.2000g ；已知天平称量误差为±0.1mg ，分析结果的有效数字应取 A 、一位 B 、四位 C 、两位 D 、三位 2、测得某种新合成的有机酸pKa 值为12.35，其Ka 值应表示为 A 、4.467×10-13 B 、4.47×10-13 C 、4.5×10-13 D 、4×10-13 3、下述情况中，使分析结果产生负误差的是 A 、以盐酸标准溶液测定某碱样，所用滴定管未洗净，滴定时内壁挂液珠 B 、测定H2C2O4.H2O 的摩尔质量时，草酸失去部分结晶水 C 、用于标定标准溶液的基准物质在称量时吸潮了 D 、滴定时速度过快，并在到达终点后立即读取滴定管读数 4、果要求分析结果达到0.1%的准确度，使用灵敏度为0.1mg 的天平称取试样时，至少应称取 A 、0.1g B 、0.2g C 、0.05g D 、0.5g 5、NaOH 标准溶液因保存不当吸收了CO2，若以此NaOH 溶液滴定H3PO4至第二个计量点，则H3PO4的分析结果将 A 、偏高 B 、偏低 C 、无影响 D 、不能确定 6、在无限多次测量中，关于标准偏差σ与平均偏差δ之间的关系式，正确的是 A 、σ<δ B 、4σ=3δ C 、σ=0.8δ D 、3σ=4δ 7、某学生用d 4法则判断异常值的取舍时，分以下四步进行，其中错误的步骤为 A 、求出全部测量值的平均值x B 、求出不包括待检值（x ）的平均偏差 1-n d C 、求出待检值与平均值之差的绝对值 x x - D 、将x x -与41-n d 进行比较 8、两位分析人员对同一试样用相同方法进行分析，得到两组分析数据，若欲判
误差与数据处理
误差与数据处理 一、测量与误差 1、所谓测量：就是用计量仪器对被测物理量进行量度。 2、测量值：用测量仪器测定待测物理量所得的数值。 3、真值：任一物理量都有它的客观大小，这个客观量称为真值。 最理想的测量就是能够测得真值，但由于测量是利用仪器，在一定条件下通过人来完成的，受仪器的灵敏度和分辨能力的局限性，环境的不稳定性和人的精神状态等因素的影响，使得待测量的真值是不可测得的。 4、误差：测量值和真值之间总会存在或多或少的偏差，这种偏差就称为测量值的误差。设被测量的真值为 a,测量值为x,则测量误差为我们所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差，因而误差存在于一切测量之中。 5、测量的任务是： （1）设法使测量值中的误差减到最小。 （2）求出在测量条件下被测量的最近真值。 （3）估计最近真值的可靠程度 二、误差的分类： 1、系统误差： ●系统误差：在同一条件下（观察方法、仪器、环境、观察者不变）多次测量同一物理量时，符号和绝对值保持不变的误差叫系统误差。当条件发生变化时，系统误差也按一定规律变化。系统误差反映了多次测量总体平均值偏离真值的程度。 例如：用天平测量物体质量，当天平不等臂时，测出物体质量总是偏大或偏小；再例如当我们的手表走的很慢时，测出每一天的时间总是小于24小时。 ●产生系统误差的原因： （1）仪器误差：由测量仪器、装置不完善而产生的误差。 （2）方法误差（理论误差）：由实验方法本身或理论不完善而导致的误差。 （3）环境误差：由外界环境（如光照、温度、湿度、电磁场等）影响而产生的误差。 （4）读数误差：由观察者在测量过程中的不良习惯而产生的误差。
●系统误差的消除： 由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）不完善、环境影响而产生，在实验过程中要不断积累经验，认真分析系统误差产生的原因，采取适当的措施来消除。 例如：对不等臂天平，可以用交换被测物和砝码的位置，分别测出被测物质量和， 则待测物的质量 2、偶然误差 ●偶然误差（随机误差）： 在同一条件下，多次测量同一物理量时，测量值总是有稍许差异而变化不定，这种绝对值和符号经常变化的误差称为偶然误差。 ●偶然误差的规律性： （1）绝对值相等的正的误差和负的误差出现的机会相同。 （2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。 （3）超出一定范围的误差基本不出现。 ●偶然误差的消除： 在一定测量条件下，增加测量次数，可以减小测量结果的偶然误差，使算术平均值趋于真值。因此，可以取算术平均值为直接测量的最近真值（最佳值）。 3、绝对误差： ●绝对误差：测量值x与被测量真值a之差，同被测量有相同单位，它反映了测量值偏离真值的大小。这种有单位的误差称为绝对误差。 在同一测量条件下，绝对误差可以表示一个测量结果的可靠程度；但比较不同测量结果时，问题就出现了。例如：用米尺测量二个物体的长度时，测量值分别是0.1m和1000m,它们的绝对误差分别是0.01m和1m,虽然后者的绝对误差远大于前者，但是前者的绝对误差占测量值的10%，而后者的绝对误差仅占测量值的0.1%，说明后一个测量值的可靠程度远大于前者，故绝对误差不能正确比较不同测量值的可靠性。 4、相对误差： ●相对误差：测量值的绝对误差与测量值之比叫相对误差。相对误差是一个比值，没有单位，通常用百分比表示。
第二章 误差和分析数据处理例题及解答
第二章 误差和分析数据处理 练习题 一、选择题 1．在定量分析中，精密度与准确度之间的关系是（ ） A ．精密度高，准确度必然高 B ．准确度高，精密度也就高 C ．精密度是保证准确度的前提 D ．准确度是保证精密度的前提 2．下列各项定义中不正确的是（ ） A ．绝对误差是测定值与真值之差 B ．相对误差是绝对误差在真值中所占的百分率 C ．偏差是指测定值与平均值之差 D ．总体平均值就是真值 3．以下关于偶然误差的叙述正确的是（ ） A ．大小误差出现的几率相等 B ．正负误差出现的几率相等 C ．正误差出现的几率大于负误差 D ．负误差出现的几率大于正误差 4．可用下列何种方法减免分析测试中的系统误差（ ） A ．进行仪器校正 B ．增加测定次数 C ．认真细心操作 D ．测定时保持环境的湿度一致 5．下列哪种方法可以减小分析测定中的偶然误差（ ） A ．对照试验 B ．空白试验 C ．仪器校正 D ．增加平行试验的次数 6．对32O Fe 试样进行多次平行测定得到的平均含量为25.14%，其中某个测定值25.10%与此平均值的相对偏差为（ ） A ．0.16% B ．0.04% C ．0.08% D ．0.14% 7．下列各数中，有效数字位数为四位的是（ ） A ．mol c H 0003.0=+/L B ．pH=10.42 C ．=)(MgO W 19.96% D ．4000 8．配制1000ml 0.1mol/L HCl 标准溶液，需量取8.3ml 12mol/L 浓HCl ，从有效数字和准确度判断下述操作正确的是（ ） A ．用滴定管量取 B ．用量筒量取 C ．用刻度移液管量取 二、填空题 1．测定的准确度用 来衡量，精密度用 来衡量。 2．由滴定管放出24.06mlNaOH 标准溶液，其读数的绝对误差是 。 3．已知某物体的真实重量是2.3281g ，现称量的结果是2.3280g ，则它的相对误差为 。 4．当测量次数趋近于无限多次时，偶然误差的分布趋向 。其规律为正 负误差出现的概率 ，小误差出现的 ；大误差出现的 。 5．下列各数的有效数字是几位？ 0.0060 ；5.028?1024 ；10.000 ； 1.0?10-5 ；pH=8.00 ；lgK=1 2.3 。
(整理)实验数据误差分析和数据处理.
第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值
误差和分析数据处理(2)
Analytical chemistry Errors and data treatment (2)
二、有效数字及运算法则 2
非测量所得的自然数 测量次数、样品份数 计算中的倍数 反应中的化学计量关系 各类常数 测量所得的数字 测量值 数据计算的结果 3 数字位数应与分析方法的准确度及仪器测量的精度相适应
4 有效数字: 分析工作中实际能测得的数字 1. 有效数字(significant figure) ?在记录测量数据时，只保留一位可疑数（欠准数）?只有数据的末尾数欠准，误差是末位数的±1个单位 ? 有效数字位数反映了测量和结果的准确程度，决不能随意增加或减少
5 m ◇分析天平(称至0.1mg):12.8228g (6), 0.2348g (4) , 0.0600g (3) ◇千分之一天平(称至0.001g): 0.235g (3)◇1%天平(称至0.01g): 4.03g (3), 0.23g (2)◇台秤(称至0.1g): 4.0g (2), 0.2g (1) V ☆滴定管(量至0.01mL):26.32mL (4), 3.97mL (3) ☆容量瓶:100.0mL (4),250.0mL (4)☆移液管:25.00mL (4); ☆量筒(量至1mL或0.1mL):25mL (2), 4.0mL (2) 重量分析和滴定分析允许的误差一般在±0.2%之内，各测量数据应保留四位有效数字，注意计算结果的有效数字位数
6?数字1~9均为有效数字 ?数字前0不是有效数字,其他数字之间的0计入有效数字: 0.0304(3)?数字后的0，在小数中，计入有效数字位数：0.03400(4)?数字后的0，在整数中，含义不清楚时, 最好用指数形式表示: 1000 (1.0×103, 1.00×103, 1.000 ×103) ?很小的数字，也可以用指数形式表示，但有效数字位数需保持不变:0.000018 → 1.8 ×10-5 ?变换单位时，有效数字位数需保持不变：0.0038g→3.8mg ?数据的第一位数≥8的,可多计一位有效数字，如9.35×104(4), 95.2%(4), 8.65(4) ? 对数的有效数字位数按小数部分数字的位数计,其整数部分的数字 只代表原值的幂次，如pH=10.28(2), 则[H +]=5.2×10 -11有效数字位数
第2章、误差和分析数据处理(答案)
第2章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免方法。 ①砝码受腐蚀；②天平的两臂不等长；③容量瓶与移液管未经校准；④在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；⑤试剂含被测组分；⑥试样在称量过程中吸湿；⑦化学计量点不在指示剂的变色范围内；⑧读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；⑨在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符；⑩在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：①系统误差——仪器误差，校准砝码 ②系统误差——仪器误差，校准天平 ③系统误差——仪器误差，做校正实验，使其体积成倍数关系 ④系统误差——方法误差，做对照实验，估计分析误差并对测定结果加以校正 ⑤系统误差——试剂误差，做空白试验，减去空白值 ⑥系统误差——操作误差，防止样品吸水，用减重法称样，注意密封 ⑦系统误差——方法误差，改用合适的指示剂，使其变色范围在滴定突跃范围之内 ⑧偶然误差 ⑨系统误差——仪器误差，校正仪器波长精度 ⑩系统误差——方法误差，重新设计实验条件 2. 说明误差与偏差、准确度与精密度的区别与联系。在何种情况下可用偏差来衡量测量结果的准确程度？ 答：准确度表示测量值与真实值接近的程度，用误差来衡量；精密度表示平行测量间相互接近的程度，用偏差来衡量；精密度是准确度的前提条件。 在消除系统误差的前提下偏差可用来衡量测量结果的准确程度。 3. 为什么统计检测的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 答：精确度为准确度的前提，只有精确度符合要求，准确度检验才有意义。
2误差及数据处理
%54.206%50.20%53.20%60.20%58.20%55.20%48.206 54321=+++++=+++++=n x x x x x x x Chapter 2 思考题 1.分析过程中出现下面的情况，试回答它造成什么性质的误差，如何改进？ （1）过滤时使用了定性滤纸，最后灰分加大； （2）滴定管读数时，最后一位估计不准； （3）试剂中含有少量被测组分。 答：（1）为系统误差，可改用定量滤纸； （2）为随机误差，可增加测定次数取平均值； （3）为系统误差，可用不含被测组分的试剂或做空白实验加以校正 习题 2.1 测定某样品中氮的质量分数时，六次平行测定的结果是20.48%、20.55%、 20.58%、20.60%、20.53%、20.50%。 （1）计算这组数据的平均值、中位数、极差、平均偏差、标准差、变异系数和 平均值的标准差； （2）若此样品是标准样品，其中氮的质量分数为20.45%，计算以上测定结果的 绝对误差和相对误差。 解: (1) (2) %54.202 %55.20%53.20~=+=x ()%22.0%100%54.20%046.0%046.016%)04.0(%)01.0(%)06.0(%)04.0(%)01.0(%)06.0(1 %037.06%04.0%01.0%06.0%04.0%01.0%06.0% 12.0%48.20%60.202 22222 26 54321=?===-+++++=--==+++++=+++++==-=∑x s cv n x x s n d d d d d d d R i %019.06 %046.0===n s s x %44.0%100% 45.20%09.0%100% 09.0%45.20%54.20=?=?==-=-=T E E T x E a r a
分析化学基础知识——第二课 误差及分析数据的处理
第二课误差及分析数据的处理 一、误差分类及产生原因 （一）系统误差及其产生原因 （二）偶然误差及其产生原因 （一）系统误差（可定误差）由可定原因产生 1.特点： 具单向性（大小、正负一定） 可消除（原因固定） 重复测定重复出现 2.分类： （1）按来源分 a.方法误差：方法不恰当产生 b.仪器与试剂误差：仪器不精确和试剂中含被测组分或不纯组分产生 c.操作误差：操作方法不当引起 （2）按数值变化规律分 a.恒定误差 b.比值误差 （二）偶然误差（随机误差，不可定误差）由不确定原因引起 特点： 1）不具单向性（大小、正负不定） 2）不可消除（原因不定） 但可减小（测定次数↑） 3）分布服从统计学规律（正态分布） 二、误差的表示方法 （一）准确度与误差 （二）精密度与偏差 （三）准确度与精密度的关系 （一）准确度与误差 准确度：指测量结果与真实值的接近程度 误差： （1）绝对误差：测量值与真实值之差 （2）相对误差：绝对误差占真实值的百分比 注：μ未知，δ已知，可用χ代替μ ·误差的特点 误差有正负、大小之分，“+”表示测量值比真实值大，“-”表示测量值比真实值小·准确度与误差的关系 误差的绝对值越大，测量的准确度越差
注：1）测高含量组分，RE可小；测低含量组分，RE可大 2）仪器分析法——测低含量组分，RE大 化学分析法——测高含量组分，RE小 真实值知道吗？ （1）约定真值： 长度、质量、时间、电流强度、热力学温度、发光强度、物质的量 （2）标准值： 采用可靠的分析方法，在不同实验室，由不同分析人员对同一试样反复测定，将测定数据用数理统计方法处理求得的测量值 （二）精密度与偏差 精密度：平行测量的各测量值间的相互接近程度 偏差： （1）绝对偏差：单次测量值与平均值之差 （2）相对偏差：绝对偏差占平均值的百分比 （3）平均偏差：各测量值绝对偏差的算术平均值 （4）相对平均偏差：平均偏差占平均值的百分比 （5）标准偏差： （6）相对标准偏差（变异系数） 平均偏差与标准偏差： S对单次测量偏差平方和不仅避免单次测量偏差相加时正负抵消，更重要的是大偏差能更显著地反映出来，能更好地说明数据的分散程度。 实际应用中更多使用标准偏差、相对标准偏差
第二章误差和分析数据处理课后习题答案
第二章误差和分析数据处理 1、指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系 统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免方法。 答：①砝码受腐蚀： 系统误差(仪器误差)；更换砝码。 ②天平的两臂不等长： 系统误差(仪器误差)；校正仪器。 ③容量瓶与移液管未经校准： 系统误差(仪器误差)；校正仪器。 ④在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀： 系统误差(方法误差)；修正方法，严格沉淀条件。 ⑤试剂含被测组分： 系统误差(试剂误差)；做空白实验。 ⑥试样在称量过程中吸潮： 系统误差(操作误差)；严格按操作规程操作。 ⑦化学计量点不在指示剂的变色范围内： 系统误差(方法误差)；另选指示剂。 ⑧读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准： 偶然误差；严格按操作规程操作，增加测定次数。
⑨在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符： 系统误差(仪器误差)；校正仪器。 10、进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。 解：(1)3 4 102.5410 6.1615.144.102.52-?=??? (2)6102.900.0001120 5.1021.143.01?=?? (3) 4.020.0020342.512104.0351.04 =???- (4) 53.01.050 102.128.10.03242 =??? (5) 3.193.5462 107.501.89405.422.512.28563 =??-+?- (6)pH=2.10，求[H +]=？。[H +]=10-2.10=7.9×10-3。 11、两人测定同一标准试样，各得一组数据的偏差如下： ① 求两组数据的平均偏差和标准偏差； ② 为什么两组数据计算出的平均偏差相等，而标准偏差不等； ③ 哪组数据的精密度高？
误差与数据处理.
第3章 误差与数据处理 思 考 题 1．准确度和精密度，误差和偏差。 答：准确度是指测定值x 与真实值μ相接近的程度。准确度的高低用误差来衡量。误差是测定值x 与真实值μ之间的差值，误差越小，则分析结果准确度越高。误差可分为绝对误差和相对误差两种，其分别表示为 绝对误差 E a = μ-x 相对误差 E r = %x 100?-μ μ 而精密度是指在确定条件下，几次测定结果相一致的程度，即反映几次测定结果的重现性。精密度的好坏用偏差来衡量。偏差是指个别测定结果x 与几次测定结果的平均值x 之间的差别。偏差越小，测定结果的精密度越好。 偏差也有绝对偏差和相对偏差之分。其分别表示为 绝对偏差 x x d -= 相对偏差 = r d %x d 100? 精密度是保证准确度的先决条件。精密度差，所得结果不可靠，但精密度好也不一定能准确度高。 2. 下列情况分别引起什么误差？如果是系统误差，应如何消除？ （1）砝码被腐蚀； （2）天平两臂不等长； （3）重量分析中杂质被其沉淀； （4）天平称量时最后一位读数估计不准； （5）试剂含被测组分。 答：（1）系统误差。可用标准砝码校正； （2）系统误差。校正仪器； （3）系统误差。改变沉淀剂或做对照试验； （4）偶然误差。 （5）系统误差。做空白试验； 3. 误差既然可用绝对误差表示，为什么还要引人相对误差？ 答：绝对误差只能表示误差绝对值的大小，而相对误差表示误差在真实值中所占的百分 率。当绝对误差相等时，相对误差并不一定相同，即同样的绝对误差，当被测定的量较 大时，相对误差就比较小，测定的准确度也就比较高。因此，用相对误差来表示各种情