中考复习几何探究题(含答案)

几何探究题

1题（1）如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点． ①如图1，求证：ABE ADC △≌△；

②探究：如图1，BOC ∠=；如图2，BOC ∠=； 如图3，BOC ∠=．

（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正边形的一组邻边；AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点．

①猜想：如图4，BOC ∠=（用含的式子表示）； ②根据图4证明你的猜想． 2题.请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，是线段()()a a b a b +-的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究与的位置关系及

PG

PC

的值． 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及PG

PC 的值；

（2）将图1中的菱形BEFG 绕点顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线恰好与菱形ABCD 的边在同一

条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你

的猜想并加以证明． （3）若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠

=<<αα，将菱形BEFG 绕点顺时针旋转任意角度，原问题中

的其他条件不变，请你直接写出PG

PC

的值（用含的式子表示）． 3题。如图，等腰梯形ABCD 中，AB =4，CD =9，∠C =60°，动点P 从点C 出发沿CD 方向向点D 运动，动点Q 同时以相同速度从点D 出发沿DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD 的长；

（2）设CP =x ，问当x 为何值时△PD Q 的面积达到最大，并求出最大值；

（3）探究：在BC 边上是否存在点M 使得四边形PD Q M 是菱形？若存在，请找出点M ，并求出BM

的长；不存在，请说明理由.

4题已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别时，

2222PA PB PC PD 、、和（2）

证明你的结论．

D A B

E F C P G 图1 D C

G P

A B E

F

图2

答：对图（2）的探究结论为____________________________________． 对图（3）的探究结论为_____________________________________． 证明：如图（2）

5题如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；

（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 6题如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与

C 、

D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，

连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (ab ，k 0)，第(1)

题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由． （3）在第(2)题图5中，连结DG 、，且a =3，b =2，k =

1

2

，求22BE DG +的值． 7题正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F 。如图1，当点P 与点O 重合时，显然有DF ＝CF ． ⑴如图2，若点P 在线段AO 上（不与点A 、O 重合），PE ⊥PB 且PE 交CD 于点E 。 ①求证：DF ＝EF ；

②写出线段PC 、PA 、CE 之间的一个等量关系，并证明你的结论； ⑵若点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），PE ⊥PB 且PE 交直线CD 于点E 。请完成图3并判断⑴中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明） 8

(00)，，(6

A

秒1OC AO 向终点运（1）用含的代数式表示OP OQ ，；

（2）当1t =时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标； （3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？与AC 能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．

（第22题）

图1

图2

图3

9题（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD

AB 与CD 的位置关系，并说明理由．

（2）结论应用：

①如图2，点M ，N 在反比例函数x

k

y =

（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ． 试证明：MN ∥EF ．

②若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3

所示，请判断 MN 与EF 是否平行．

1题。（1均为等边三角形， AD ∴=AE 且60BAD CAE ∠=

BAD CAE ∴∠∠+∠DAC BAE ∠=∠ 证法二： AD ∴=60CAE =

ADC ∴△ABE ADC ∴△≌△．

②120，，．（2）①

360

n

②证法一：依题意，知BAD ∠和CAE ∠都是正边形的内角，AB AD =，AE AC =，

BAD DAE CAE DAE ∴∠-∠=∠-∠，即BAE DAC ∠=∠． ·

····························· 11分 ABE ADC ∴△≌△． ·

················································································· 12分 ABE ADC ∴∠=∠，180ADC ODA ∠+∠=，180ABO ODA ∴∠+∠= ·

·········· 13分 (2)180360

180180n BOC DAB n n

-∴∠=-∠=-

= ········································ 14分

证法二：同上可证 A B E A D C △≌△． ·

························································ 12分 ABE ADC ∴∠=∠，如图，延长交CO 于，

180AFD ADC DAF ∠+∠+∠= ································ 13分 360

180BOC DAF BAD n

∴∠=∠=-∠=

··················· 14分 证法三：同上可证 A B E A D C △≌△． ·

························································ 12分 180(360)BOC BAC DAC ∴∠=--∠-∠ ······················································ 13分

即360

180BOC BAD n

∠=-∠=

··································································· 14分 证法四：同上可证 A B E A D C △≌△． ·

························································ 12分 AEB ACD ∴∠=∠．如图，连接，BEC BOC OCE ∠=∠+∠

图 3

D

BOC AEC ACE ∴∠=∠+∠．···································· 13分 即360180BOC CAE n

∠=-∠

=

······························· 14分 2题⑴ 线段与的位置关系是PG PC ⊥；

PG

PC

=． ·

······················································································ 2分 ⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化．

证明：如图，延长交于点，连结CH CG ，． 是线段的中点， 由题意可知AD FG ∥． 四边形ABCD 是菱形，

由60ABC BEF ∠=∠=，且菱形BEFG

的对角线恰好与菱形ABCD 的边在同一条直线上， 可得60GBC ∠=．

四边形BEFG 是菱形，

即120HCG ∠=． PG

PC

∴= ·

··················

···············································

············· 6分 ⑶

PG

PC

=tan(90)-α． 8分 3题（1）解法一：如图25-1 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E . 依题意，DE=25

2

49=

-. …………………………2 在Rt △ADE 中，AD=5

225

60=?=?cos DE . ………5分

解法二：如图25-2

过点A 作AE ∥BC 交CD 于点E ，则CE=AB=4 . …2分∠AED=∠C=60°.

又∵∠D=∠C=60°， ∴△AED 是等边三角形 .

∴AD=DE=9－4=5 . …………………………………5分 （2）解：如图25-1

∵CP=x ，h 为PD 边上的高,依题意，△PDQ 的面积S 可表示为：

S=21

PD ·h ………………………………………6分 =21

(9－x)·x ·sin60°

D

C

G P

A

B

F

H

图25-1

图25-2

=43

(9x －x2)

=－43(x －29

)2＋16381. …………………………………………………

8分

由题意，知0≤x ≤5 . ……………………………………………………… 9分 当x =

2

9

时（满足0≤x ≤5），S 最大值=16381. …………………………… 10分

（3）证法一：如图25-3

假设存在满足条件的点M ，则PD 必须等于D Q . ………………………… 11分

于是9－x =x ，x =

2

9

. 此时，点P 、Q 的位置如图25-3所示，连Q P .

△PD Q 恰为等边三角形 .

过点Q 作Q M ∥DC ，交BC 于M ，点M 即为所求.

连结MP ，以下证明四边形PD Q M 是菱形 .

易证△MCP ≌△Q DP ，∴∠D=∠3 . MP =PD ∴MP ∥Q D ,∴四边形PD Q M 是平行四边形 .

又MP =PD ,∴四边形PD Q M 是菱形 . ………………………………… 13分 所以存在满足条件的点M ，且BM =BC －MC =5－29=2

1

. ………………… 14分 [注] 本题仅回答存在，给1分. 证法二：如图25-4

假设存在满足条件的点M ，则PD 必须等于D Q . ………………………… 11分

于是9－x =x ，x =

2

9. 此时，点P 、Q 的位置如图25-4所示，△PD Q 恰为等边三角形 .

过点D 作DO ⊥P Q 于点O ，延长DO 交BC 于点M ，连结PM 、Q M ，则DM 垂直平分P Q ，

∴ MP =M Q .

易知∠1=∠C . ∴P Q ∥BC .

又∵DO ⊥P Q ， ∴MC ⊥MD ∴MP =

2

1

CD =PD 即MP =PD =D Q =Q M

∴四边形PD Q M 是菱形 ……………………………………………………… 13分

所以存在满足条件的点M ，且BM =BC －MC =5－

29=2

1

……………… 14分 4题结论均是P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2（图2 2分，图3 1分） 证明：如图2过点P 作MN ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ，

因为AD ∥BC ，MN ⊥AD ，所以MN ⊥BC

图25-3

图

25-4

在Rt △AMP 中，P A 2＝PM 2＋MA 2 在Rt △BNP 中，PB 2＝PN 2＋BN 2 在Rt △DMP 中，PD 2＝DM 2＋PM 2 在Rt △CNP 中，PC 2＝PN 2＋NC 2

所以P A 2＋PC 2＝PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2 PB 2＋PD 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2

因为MN ⊥AD ，MN ⊥NC ，DC ⊥BC ，所以四边形MNCD 是矩形 所以MD ＝NC ，同理AM ＝ BN ，

所以PM 2＋MA 2＋PN 2＋NC 2＝PM 2＋DM 2＋BN 2＋PN 2 即P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2 5题解：（1）(31)E ，；(12)F ，． （2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 设点的坐标为(0)n ，，其中0n >， 顶点(12)F ，，

设抛物线解析式为2

(1)2(0)y a x a =-+≠． ①如图①，当EF PF =时，22

EF PF =， 解得10n =（舍去）；24n =． 解得2a =．

抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ ②如图②，当EP FP =时，2

2

EP FP =， 解得5

2

n =-

（舍去）．

③当EF EP =时，3EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是2

2(1)2y x =-+．

（3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小．

如图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接E F ''，分别与轴、轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点． 又

5EF =

5FN NM ME EF +++=，此时四边形MNFE 的周长最小值是5+

6题(1)①,BG DE BG DE =⊥………………………………………………………………2分

②,BG DE BG DE =⊥仍然成立 ……………………………………………………1分

在图（2）中证明如下

∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形

∴BCG DCE ∠=∠…………………………………………………………………1分

∴BCG DCE ??? （SAS ）………………………………………………………1分

又∵BHC DHO ∠=∠0

90CBG BHC ∠+∠=

∴BG DE ⊥…………………………………………………………………………1分

（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立 …………………………………………………2分

简要说明如下

∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，

且AB a =，BC b =，CG kb =，CE ka =(a b ≠，0k >)

∴BCG DCE ??………………………………………………………………………1分

又∵BHC DHO ∠=∠0

90CBG BHC ∠+∠=

∴BG DE ⊥……………………………………………………………………………1分

（3）∵BG DE ⊥∴2

2

2

2

2

2

2

2

BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =，2b =，

12 ∴2

2

2

2

22

365

231()2

4

BD GE +=+++=………………………………………………1分 ∴2

2

65

4

BE DG +=

………………………………………………………………………1分 7题⑴①略；②PC －PA ＝CE ；⑵结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA －PC ＝CE ；

8题解：（1）6OP t =-，2

3

OQ t =+．

（2）当1t =时，过点作1DD OA ⊥，交于，如图1， 则53DQ QO ==

，43

QC =， （3）①PQ 能与AC 平行．

图1

若PQ AC ∥，如图2，则

OP OA

OQ OC

=， 即

66

233

t t -=+，149t ∴=，而703t ≤≤， ②不能与AC 垂直．

若PE AC ⊥，延长QE 交于，如图3，

则

2

33

35t QF OQ AC OC +

==．

又

Rt Rt EPF OCA △∽△，PE OC

EF OA

∴

=

， 3.45t ∴≈，而7

03

t ≤≤，

不存在．

9题（1）证明：分别过点C ，D ，作CG ⊥AB ，DH ⊥AB ， 垂足为G ，H ，则∠CGA ＝∠DHB ＝90°．……1分

∴ CG ∥DH ．

∵ △ABC 与△ABD 的面积相等，

∴ CG ＝DH ． …………………………2分 ∴ 四边形CGHD 为平行四边形．

∴ AB ∥CD ． ……………………………3分 （2）①证明：连结MF ，NE ． …………………4分

设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2

∵点M ，N 在反比例函数x

k

y =（k ＞0∵ ME ⊥y 轴，NF ⊥x 轴， ∴ OE ＝y 1，OF ＝x 2．

∴ S △EFM ＝

k y x 21

2111=?，………………5分 S △EFN ＝k y x 2

1

2122=?．………………6分

∴S △EFM ＝S △EFN ．……………… 7分

由（1）中的结论可知：MN ∥EF ． ………8分 ②MN ∥EF ． …………………10分 （若学生使用其他方法，只要解法正确，皆给分．）