全等三角形单元培优测试卷
全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．
【答案】(－4，2)或(－4，3)
【解析】
【分析】
【详解】
把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.
故答案为(－4，2)或(－4，3).
2．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________
【答案】4
【解析】
如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=
12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC?BD=12×4×2=8×12
=4（cm 2）．
故答案是：4．
3．如图，点A,B,C 在同一直线上,△ABD 和△BCE 都是等边三角形，AE,CD 分别与BD,BE 交
于点F,G，连接FG，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥C D⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
易证△ABE≌△DBC，则有∠BAE＝∠BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌△DBG，则有
AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG是等边三角形，证得∠BFG＝∠DBA＝60°，则有FG∥AC，由∠CDB≠30°，可判断AD与CD的位置关系．
【详解】
∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ABD＝∠CBE＝60°．∵点A、B、C在同一直线上，∴∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°．在△ABE和△DBC中，
∵
BD BA
ABE DBC
BE BC
∠∠
=
?
?
=
?
?=
?
，∴△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∴①正确；
在△ABF和△DBG
中，
60
BAF BDG
AB DB
ABF DBG
∠∠
∠∠
=
?
?
=
?
?==?
?
，∴△ABF≌△DBG，∴AF＝DG，BF＝BG．
∵∠FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴②正确；
∵AE＝CD，AF＝DG，∴EF=CG；∴③正确；
∵∠ADB＝60°，而∠CDB=∠EAB≠30°，∴AD与CD不一定垂直，∴④错误．
∵△BFG是等边三角形，∴∠BFG=60°，∴∠GFB＝∠DBA＝60°，∴FG∥AB，∴⑤正确．故答案为①②③⑤．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE≌△DBC是解题的关键．
4．如图，在直角坐标系中，点()
8,8
B-，点()
2,0
C-，若动点P从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/
cm s，设点P运动时间为t秒，当BCP
?是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值__________________．
【答案】2秒或46秒或14秒
【解析】
【分析】
分两种情况：PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP 的长度，即可求出t 的值．
【详解】 解：如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，作BE ⊥y 轴于点E ，分别以点B 和点C 为圆心，以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ，点H 和点G
∵点B （-8，8），点C （-2，0），
∴DC=6cm ，BD=8cm ，由勾股定理得：BC=10cm
∴在直角三角形COG 中，OC=2cm ，CG=BC=10cm ，
∴2210246(cm)-=，
当点P 运动到点F 或点H 时，BE=8cm ，BH=BF=10cm ，
∴EF=EH=6cm
∴OP=OF=8-6=2（cm ）或OP=OH=8+6=14（cm ），
故答案为：2秒，6秒或14秒．
【点睛】
本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．
5．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ?，连接BF ，
则BF的最小值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，转换BF=GE，然后即可求得其最小值.
【详解】
以BD为边作等边三角形BDG，连接GE，如图所示：
∵等边三角形BDG，等边三角形DEF
∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF
∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD，即∠BDF=∠GDE
∴△BDF≌△GDE（SAS）
∴BF=GE
当GE⊥AC时，GE有最小值，如图所示GE′，作DH⊥GE′
∴BF=GE=CD+1
2
DG=2+1=3
故答案为：3.
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.
6．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图
中找一个格点C ，使△ABC 是等腰三角形，这样的格点C 有________个。
【答案】8
【解析】
【分析】
分别以A 、B 点为圆心，AB 为半径作圆，找到格点即可（A 、B 、C 共线除外）；此外加上在AB 的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.
【详解】
解：以A 点为圆心，AB 为半径作圆，找到格点即可，（A 、B 、C 共线除外）；以B 点为圆心，AB 为半径作圆，在⊙B 上的格点为C 点；在AB 的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC 是等腰三角形的格点C 有8个．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
7．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.
【答案】
1
702n -? 【解析】
【分析】 根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.
【详解】
在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°
可得：∠1BAA =∠1BA A =70°
在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2
可得：∠112A B A =∠121A A B
根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B
∴∠112A B A =∠121A A B =
702? 同理可得：∠232A A B =
2702? ∠343A A B =
3702? …….
以此类推：∠A n =
1702n -? 故答案为：
1702
n -?. 【点睛】
本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..
8．如图，△ABC 中，AB =AC =12厘米，BC =9厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以v 厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动。若点Q 的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD 与△CQP 全等时，v 的值为_____________
【答案】2.25或3
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：①若△BPD ≌△CPQ ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米，BP=CP=12BC=12
×9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若
△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出
96
3
vt
vt t
?
?
-
?＝
＝
，解得：v=3．
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，∴BD=6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=1
2
BC=
1
2
×9=4.5（厘米），
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），
∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，
则有
96
3
vt
vt t
?
?
-
?＝
＝
，
解得：v=3
∴v的值为：2.25或3厘米/秒
故答案为：2.25或3.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
9．在下列结论中：①有三个角是60?的三角形是等边三角形；②有一个外角是120?的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60?，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.
【详解】
有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.
故此题正确的是①②③④.
【点睛】
此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.
10．已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，
△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．
【答案】64a
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2，进而得出A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2…从而得到答案．
【详解】
∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．
∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．
又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．
∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a．
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．
∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，
∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，
A5B5=16B1A2=16a，以此类推：A7B7=64B1A2=64a．
故答案为：64a．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题的关键．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】D
【解析】
【分析】
本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP、BP为腰或以BP、AB为腰．则满足条件的点P可求．
【详解】
由题意可知：以AP、AB为腰的三角形有3个；
以AP、BP为腰的三角形有2个；
以BP、AB为腰的三角形有2个．
所以，这样的点P共有7个.
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．
12．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点显然符合题意．以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交与两点（O点除外）．以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，
13．如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据周角的定义先求出∠BPC 的度数，再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形，∠PBC 即可求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．
【详解】
根据题意，BPC 36060290150∠=-?-= ， BP PC =，
()
PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；
根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；
∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD//BC ，②正确；
∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，
∴PC ⊥AB ，③正确，
所以四个命题都正确，
故选D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.
14．如图，30MON ∠=?．点1A ，2A ，3A ，?，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，?，在射线OM 上，112A B A ?，223A B A ?，334
A B A ?，?均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ?的边长为（ ）
A ．20172
B ．20182
C ．20192
D ．20202
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质和30MON ∠=?，可求得1130∠=?OB A ，进而证得11OA B ?是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ?是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得
规律333、
、=???=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果． 【详解】
解：∵30MON ∠=?，112A B A ?是等边三角形，
∴11260∠=?B A A ，1112A B A A =
∴1111230∠=∠-∠=?OB A B A A MON ，
∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ?是等腰三角形，
∴111=A B OA ，
∵11OA =，
∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，
同理可得22OA B ?是等腰三角形，可得222=A B OA =2，
同理得23342==A B 、34482==A B ，
根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ?的边长为20182，
故选：B ．
【点睛】
本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．
15．如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）
A 36
B 33
C ．6
D ．3
【答案】D
【解析】
分析：作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N ，如图，利用轴对称的性质得
MP=MC ，NP=ND ，3∠BOP=∠BOD ，∠AOP=∠AOC ，所以
∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN 周长最小，作OH ⊥CD 于
H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．
详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH=DH，
∵∠OCH=30°，
∴OH=1
2
OC=
3
2
，
CH=3OH=3 2 ,
∴CD=2CH=3．
故选D．
点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
16．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(1，0)、(2，3)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C有( )个.
A．9 B．7 C．8 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若CA=CB，②若BC=BA，③若AC=AB）讨论，通过画图就可解决问题．
【详解】
①若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．
∵A（1，0），B（2，3），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点C1，C2．
②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有3个交点（A点除外）C3，
C4，C5；
③若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点C6，C7，C8，C9．而C8（0，-3）与A、B在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个．
综上所述：符合条件的点C的个数有8个．
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．
17．如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G，∠3=∠H，△AGH的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．
故选D．
考点：轴对称的应用；路径最短问题．
18．已知：如图，ABC ?、CDE ?都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ?是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ?△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；
③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ?,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ?的形状；
④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ?△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ?,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.
【详解】
①正确，理由如下：
∵ACB DCE α∠=∠=,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE,
又∵CA=CB,CD=CE,
∴ACD BCE ?△△(SAS),
∴AD=BE,
故①正确；
②正确，理由如下：
由①知，ACD BCE ?△△，
∴∠CAD=∠CBE,
∵∠DOB 为ABO 的外角,
∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,
∴∠CBA+∠BAC=180°-α,
即∠DOB=180°-α,
故②正确；
③错误，理由如下：
∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,
∴AM=
12AD,BN= 12
BE, 又∵由①知，AD=BE,
∴AM=BN,
又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,
∴CAM CBN ?(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,
∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,
∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,
∴MCN △不是等边三角形，
故③错误；
④正确，理由如下：
如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，
由①知，ACD BCE ?△△，
∴∠CEO=∠CDP ,
又∵CE=CD,EO=DP ,
(SAS),
∴CEO CDP
∴∠COE=∠CPD,CP=CO,
∴∠CPO=∠COP,
∴∠COP=∠COE,
即OC平分∠AOE,
故④正确；
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.
19．如图，∠AOB＝30o，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R。若△PQR 周长最小，则最小周长是( )
A．6 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【解析】
作点P关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连=接OE、OF，
∵P、E关于OA对称，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，
同理可证OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，
∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴EF=12，
∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12.
故选B.
点睛：本题关键在于利用轴对称的性质确定△PQR 周长最小时点Q、R的位置，再结合等边三角形的判定求出△PQR 的周长.
20．如图，已知，点A（0，0）、B（43，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角
形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，…则第2017个等边三角形的边长等于（ ）
A ．20153
2 B ．201632 C ．2017327 D ．201932
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
根据锐角三函数的性质，由OB=3OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A 1AB=60°，进而可得∠CAA 1=30°，∠CA 1O=90°，因此可推导出∠A 2A 1B=30°，同理得到∠CA 2B 1=∠CA 3B 2=∠CA 4B 3=90°，∠A 2A 1B=∠A 3A 2B 2=∠A 4A 3B 3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA 1=OCcos ∠CAA 1=3B 1A 2=1232?2017个等边三角形的边长为：201713()432?=. 故选A.
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.
《全等三角形》培优题型全集
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2 《全等三角形》培优题型全集 题型一：倍长中线（线段）造全等 1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于 F ，且 AE=EF ，求证：AC=BF A C E F 2、如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是______. D C B A 3、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( ) A 、1 八年级数学全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________． 【答案】5(0,5),(0,4),0, 4?? ??? 【解析】 【分析】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可． 【详解】 有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=； ∴D （0，5）； ②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4， ∴P （0，4）； ③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ， 由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-， ∴OC ＝54 ， ∴C （0，54 ）； 故答案为：5(0,5),(0,4),0, 4? ? ???． 【点睛】 本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 2．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中 A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 （考查内容：边角边） 命题人：吴全胜1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。 7、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB AC=，DF AE=，AD EA⊥，AD FD⊥，垂足分别是A、D。求证：FDC EAB? ? ? 8、已知：如图，AC AB=，AE AD=，2 1∠ = ∠。求证：ACE ABD? ? ?。 9、如图，在ABC ?中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FE DE=，CE AE=， AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB∠ = ∠，BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OC OA=，OD OB=。 求证：DC∥AB。 12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DC AB=，DB AC=。求证：C B∠ = ∠。 13、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证：(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD． 15、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证： BE=AD D C A B E 2017中考全等三角形经典培优题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C 3已知：∠1=∠2，CD=DE，EF ? = ∠90 ACB BC AC=MN C MN AD⊥D MN BE⊥E1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE+ =； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立， 请给出证明；若不成立，说明理由. 15如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证： （1）EC=BF；（2）EC⊥BF C D B A B C D P D A C B F A E D C B A P E D C B A D C B M F E C B A C B D E F A E B M C F B A C D F 2 1 E 16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． A B C D E F 图9 全等三角形证明经典（答案） 1. 延长AD到E,使DE=AD, 则三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE 全等三角形培优讲义 The final edition was revised on December 14th, 2020. 全等三角形常见辅助线作法 【知识导图】 【导学】全等三角形 第一部分：知识点回顾 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三 角形，可作底边上的高，利用“三线合 一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式 是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换 中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是 将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 第二部分：例题剖析 精准诊查 概念 三边之和大于等于第三边稳定性 与三角形有关的线段 高 中线角平分线 与三角形有关的角 三角形内角和定理三角形的外角 直角三角形 性质判定 多边形及其内角和 三角形 D C B A E D F C B A E D C B A D C B A O E D C B A 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝ AC+BD 3、如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=， 040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用： 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD 全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线 八年级全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ， 故①正确； 若∠EBC=∠C ，则∠C= 12 ∠ABC ， ∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°， 故②错误； ∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线， ∴∠ABF=∠EBD ， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ， 又∵∠BAD=∠C ， ∴∠AFE=∠AEF ， ∴AF=AE ， 故③正确； E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 全等三角形证明 1、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 2.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 3、P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 4、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证： AC-AB=2BE 5、已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 6、（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． F A E D C B 7．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 8、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 M F E C B A 9.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 O E D C B A 全等三角形证明题专练 1、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 3、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 A E D C B A B C D E F O 4、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 5、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。 （１） 请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。 你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： ______________（不再添加其他线段，不再标注或使用 其他字母，不必写出证明过程） 6、已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 F E D C A B G H A B C D E F 7、已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A’B’C’。 8、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。求证：OE=OF 。 A B C D E F O 9、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 O B A C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4 全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可 供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合） ，交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得 人教版八年级上册数学全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中 °90 ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=? ∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ == ∴°60CFA AFJ ∠=∠= ∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中 °30FAI FAE ∠=∠= ∴12 IF FJ AF == 设FJ x = 7,4CF BF == 则47x x +=- 3 2x ∴= 2AF FJ = AF ∴= 3 【点睛】 此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点. 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧， ,82,38BD BC BAC DBC =∠=?∠=?，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________． 全等三角形提优训练（一） （全等三角形的性质与判定的应用） 知识点 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角,常用到以下方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角. （3)有公共边的，公共边常是对应边． （4)有公共角的，公共角常是对应角. (５)有对顶角的,对顶角常是对应角. (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角），一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法: 一、全等三角形 注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等; ②全等三角形面积相等． 全等三角形证明的思路： ?? ? ?? ??? ???? ? ? ????? ?? ? ?? ?????? ???????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 练习: １、如图,在平面上将△ABC 绕B 点旋转到△A’BC’的位置时，AA’∥BC ，∠ABC ＝70°,则∠CBC’为_＿__＿___度． 2、如图∠1＝∠２＝200，AD ＝A Ｂ， ∠Ｄ＝∠B ，E 在线段BC 上，则∠A ＥＣ= 3、如图所示，ABC ADE △≌△,BC 的延长线交DA 于F ,交DE 于G ， 105ACB AED ∠=∠=,15CAD ∠=,30B D ∠=∠=,则1∠的度数为 ４、已知:如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O=70°，∠C=25°，则∠A ＥB=_____＿__度. 5、如图,D E ，分别为ABC △的AC ,BC 边的中点,将此三角形沿DE 折叠,使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°,则APD ∠等于 6、如图,在Rt △A ＢC 中,已知∠A ＣB ＝90°,∠Ａ＝5０°，将其折叠,使点A 落在边CB 上点A ′处,折痕为ＣD,则∠Ａ′ＤB ＝ 7、如图，已知△ＡBC 为 等 边三角形, 点D 、E 分别在变边BC 、ＡC 上,且AE=CD,ＡD 与ＢE 相交于点Ｆ,则：∠BFD= 8、如图，点A 、C 、B 在同一直线上,△DAC 和△EBC 均是等边三角形，ＡE 与BD 交于点O ，AE 、 . A B C D E 12A B C D E A B D C E .34 21D C B A 全等三角形综合试题 1、如图，∠1=∠2，∠C=∠D ，AC 、BD 交于E 点，求证：CE=DE 2、如图，已知AB=AD ，AC 平分∠DAB ，求证：EDC EBC ∠=∠。 3、已知如图，E.F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF,求证：AC 与BD 互相平分. 4、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．猜想线段AC 与EF 的关系，并证明你的结论. 5、如图∠ABC ＝90°AB ＝BC ，D 为AC 上一点分别过A.C 作BD 的垂 线，垂足分别为E.F,求证：EF ＝CF －AE. 6、如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，E.F 是BD 上两点，且BF ＝DE ，则图中共有 对 全等三角形. 7、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，OE=OF,图中全等三 角形共有______对. 8、两三角形有以下元素对应相等，不能判定全等的是（ ） A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边 9、如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ） A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 面积相等 10A. 11、如图在ABC ?中，?=∠90C ，AC=BC ，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB=6cm 则DEB ?的周长是（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9 cm 12、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB 与CD 相等吗？请你说明理由. 13、已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (1)求证：BF=AC ； (2)求证：CE=2 1 BF ； 14、如图,已知在△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 上一点,BF =CD ,CE =BD ,那么∠EDF 等于( ) A..90°－∠A B. 90°－ 21∠A C. 180°－∠A D. 45°－2 1 ∠A 15、已知如图(1)，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 的 一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：(1)BD ＝DE ＋CE ；(2)若直线AE 绕A 点旋转到(2)位置时(BD ＜CE)，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予证明．(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时，(BD ＞CE)，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD 、DE 、CE 的关系． 16、已知：如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，CDA BAD ∠=∠。 求证：DCB ABC ∠=∠。 5—132，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在ACM 和△BCN ，连结AN 、BM ，分别交CM 、CN 于点P 、Q ．求证：PQ ∥AB ． A B E O F D C F G E D C B A A B F D E A B C E F D A C B 全等三角形的提高拓展训练 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 全等三角形证明经典题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C 全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF , G为DF中点，连接EG, CG. (1 )直接写出线段EG与CG的数量关系； (2)将图1中厶BEF绕B点逆时针旋转450，如图2所示，取DF中点G,连接EG, CG. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1) 中的结论是否仍然成立？ 图1图2图3 学习参考 2、数学课上，张老师出示了问题：如图1 ,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点. AEF 90°，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE= EF. 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M ,连接ME，则 AM = EC,易证△ AME =△ ECF ,所以AE EF . 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1)小颖提出：如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (2)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条 件不变，结论AE= EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 图1图2图3 3、已知Rt A ABC 中，AC BC,Z C 90, D 为AB 边的中点，EDF 90° EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F. 1 当EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1），易证S A DEF S A CEF S A ABC- 2 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S A DEF、S A C EF、S A ABC又有怎样的数量关 系？请写出你的猜想，不需证明 F 图 1图2 全等三角形培优经典题 全等三角形培优习题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）直接写出线段EG与CG的数量关系； （2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ A D E G 图1 F A D C G 图2 F A E 图3 D 2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC的中点．90 AEF ∠=o，且EF交正方 形外角DCG ∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的 中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A D F C G E 图A D F C G E 图 A D F C G E B 图 八年级上册全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 _________ . 【答案】3 【解析】 【分析】 过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明 CAI?BAJ，求出° 7830 ∠=∠=，然后求出 1 2 IF FJ AF ==，，通过设FJ x =求出x，即可求出AF的长. 【详解】 解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在CAE和BAD中 AC AB CAE BAD AE AD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴CAE?BAD ∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠（8字形） ∴° 120 CFD ∠= 在CAI和BAJ中 °90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=? ∴CAI ?BAJ ,AI AJ CI BJ == ∴°60CFA AFJ ∠=∠= ∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中 °30FAI FAE ∠=∠= ∴1 2 IF FJ AF == 设FJ x = 7,4CF BF == 则47x x +=- 32x ∴= 2AF FJ = AF ∴= 3 【点睛】 此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点. 2．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=?， 92AEB ∠=?，则EBD ∠的度数为 ________ ． D A B C E 全等三角形培优练习 一、选择题 1.（2009·江苏中考）如图，给出下列四组条件： ①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 2.（2009·太原中考）如图，ACB A CB ''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A.20° B.30° C.35° D.40° 3.（2010·温州中考）如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，过点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于E ，则图中与△ABC 全等的三角形共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4、（2007·中山中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） （Ａ）三条中线的交点 （Ｂ）三条高的交点 （Ｃ）三条边的垂直平分线的交点 （Ｄ）三条角平分线的交点 5．将长为13 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 6.如图所示，90E F ∠=∠=，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM △≌△．其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、（2009·温州中考）如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A.PA PB = B.PO 平分APB ∠ C.OA OB = D.AB 垂直平分OP 8．如图，△ABC 是不等边三角形，DE=BC ，以D 、E 为两个顶点作位置不同的三角形．使得所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以作出（ ） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个 9、尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、 OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于1 2CD 长为半径画弧，两弧交 于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 10、下列叙述： ①任意一个三角形的三条高至少有一条在此三角形内部；②以a,b,c 为边，且a+b=c, 可以构成一个三角形；③一个三角形内角之比为3：2：1，此三角形为直角三角形；④两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；⑤两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；⑥三个角对应相等的两个三角形全等，其中正确的有（ ） A 、① ③ ⑤ B 、② ④ ⑥ C 、① ③ ④ D 、① ② ③ ④ O D P C A B E D C B A 第8题图 A E F B C D M N 三角形培优练习题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 3已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C A D B C A B C D E F 2 1 B A C D F 2 1 E 5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°， 求证：AE=AD+BE 6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB 9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求 证：AD +BC =AB ． 11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。 P D A C B F A E D C B P E D C B A D C B A 求证：AM 是△ABC 的中线。 13已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。 求证：BE =CD ． 14在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立， 请给出证明；若不成立，说明理由. 15如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF M F E C B A A C B D E F八年级数学全等三角形单元培优测试卷
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