三角形的稳定性教学案
三角形的稳定性教学案
教学目的：
知识与能力：
1、通知过观察、实践、想象、推理、交流等活动，让学生了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。
2、培养实事求是的学习作风和学习习惯。
过程与方法：
1、通过提问、合作讨论以及小组交流方式探究三角形的稳定性。
2、实物演示，激发学习兴趣，活跃课堂气氛。
3、探究质疑，总结结果。和学生共同探究三角形稳定性的实例，回答课前提出的疑惑。
情感，态度和价值观
1、引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力。
2、通过合作交流，养成学生互助合作意识，提高数学交流表达能力。
教学重、难点。
重点：了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用。
难点：准确使用三角形稳定性于生产生活之中。
课前准备：木条（用硬纸条代替）若干、小钉若干、小黑板。
教学设计：
一、提示教学目标：
1、问：三角形定义？三角形高线、中线和角平分线是直线、射线吗？还是线段。学生集体回答后，指定个别同学回答。
2、本节课学习三角形稳定性，并板书课题。完成的教学目标是通过观察、实践、想象、推理、小组交流合作，使同学们了解三角形
具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用，培养同学们实事求是的学习作风和学习习惯，以及自主学习和独立思考的能力。
二、自主学习。
1、盖房子时，在窗框架未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，如图，为什么要这样做呢？
要想知道这个问题的答案，
请同学们自学教材P67-68
教材内容。
2、自学完之后请同学们回答学到了什么？教师根据同学们的回答进行简要归纳？
三、自学检测、请同学们完成对下列两个问题的分析和讨论。
1、P68课堂练习，下列图形中哪些具有稳定性？
2、P69习题5选择题。
下列图形中具有稳定性的是（）
A、正方形
B、长方形
C、直角三角形
D、平行四边形
四、合作学习。把同学们四人分成一组，发给5张硬纸条，4枚图钉分组合作探究实验。
1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的
形状会改变吗？
教师巡回检查并指导，引导学生归纳
指定让个别同学归纳结论。
2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
教师巡回检查并指导，引导学生
归纳，指定让个别同学归纳结论。
3、在四边形木架上再钉上一根木条，将它的一对顶点连接起来，它的形状会改变吗？
教师巡回检查并指导，引导学生
归纳，指定让个别同学归纳原因。
4、问：把四边形变成具有稳定性至少用几根木条。引导学生归纳。
答：至少用一根。
五、指导学习
1、通过同学们的自主学习和实验归纳得出：
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
2、①要想使四边形没有稳定性变得具有稳定性，怎么办？
把它改造成两个三角形，推而广之，对五边形呢？
②回答课前提出的问题。指定让个别同学回答。
③提问：四边形变成具有稳定性至少用一根木条，五边形至少用两根？有什么规律，引导学生归纳。
3、三角形稳定性应用举例
①钢架桥②起重机吊臂③屋顶钢架④自行车三角架⑤移动塔⑥电力供电输送塔
4、四边形具有不稳定性应用举例。
①活动衣架②放缩尺③商场、银行的推拉活动门
六、作业
1、举出两个生活中应用三角形稳定性的实例
2、将几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（）
3、（P70）要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少钉上几根木条？五边形和六边形呢？（画图并回答）
4、要使一个七边形木架不变形，至少要钉上根木条；
要使一个n边形木架不变形，至少要钉上根木条；
七、布置家庭作业：配套练习册P31.8
八、教学反思：
新人教版八年级数学下册学案：三角形的中位线导学案
第十八章 平行四边形 . . . ∠ADC DE. . 1 .2 DE BC DE BC 求证：∥，
分析： 证法 1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ， ∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ， ∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是 ________________， ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12 DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ． ∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ． ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 要点归纳：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 符号语言：△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， 12 =. DE BC DE BC 则， 重要结论：①中位线DE 、EF 、DF 把△ABC 分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和BDEF ，四边形BFED 和CFDE ，四边形ADFE 和DFCE. ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
《三角形中位线》的教学反思
教学反思 本节课采用“问题—探究—发现—应用”的启发性教学模式，把大部分时间交给了学生，让学生充分动脑、动手、动口进行探究性的学习。而教师不是一位旁观者，而是一位引导者、合作者，组织者。整节课教师注意提高学生的逻辑证明能力，强调直观与抽象结合，让学生又一次经历了数学的快乐之旅。 在《三角形中位线》的教学中，我深切的感受到新课程在教材上紧紧围绕着这三个目标设计的。这节课的教学目标有以下三点：1、了解三角形的中位线的概念。2、理解并掌握三角形的中位线的性质；3、探索三角形的中位线的性质的一些简单应用。本节的教学重点和难点有以下两点：1、本节教学的重点是三角形的中位线定理。2、三角形的中位线定理的证明有较高的难度，是本节教学的难点。 在课堂一开始，我创设了一个问题情景怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？引出课题然后学生齐读学习目标，让学生带着目标自学课本并完成导学案归纳三个问题。让学生通过独立思考，小组合作讨论等方式形成了解决这个问题的直观感受和实际体验。通过学生们实际的操作，体会到了学数学和做数学的乐趣，在一定程度上提高了学生学习数学的兴趣，培养了学生的合作能力，并在一定程度上让学生在过程中感受知识的形成。使学生对知识的理解更到位，更具理解性。 经过这个问题的思考和解决，自然的引入了三角形中位线的概念，并在所证明的图形中隐含着三角形中位线和底边的关系。在处理这个问题上，我给了学生的探索和讨论尽可能的提供了条件。放手让学生大胆的猜想并尝试证明，我认为在这一点上，是这堂课比较成功的地方。 接下来的问题是三角形中位线定理的证明，在处理这个问题上，我把重点放在了让学生体会思考证明思路上，尤其是辅助线的做法上，为什么要这样做辅助线，这样做辅助线以后，构造了什么样的图形，形成了什么样的隐含条件，这些条件在定理的证明过程中起到了什么作用，以及在证明过程中各个条件之间的转换。把这些问题交给学生自己思考，交流，提高了学生自主学习的能力。教师在这一过程中只起到引导和点拨的作用，在这一点上，也是我自认为比较成功的地方。
《三角形的稳定性》教案设计
三角形的稳定性教案 三维目标 1．通过实践活动，使学生进一步掌握三角形的稳定性． 2．培养学生从周围生活中发现数学问题，?运用所学知识解决实际问题的能力．从而使学生体验到数学与日常生活的密切联系． 3．在活动中培养学生知识迁移的能力、创造性思维能力． 教学重点:三角形具有确定性． 教学难点:三角形的稳定性在实际生活中的应用． 教学过程 导入新课 活动1．问题： 通过观察，你发现生活中哪些物体的结构是三角形？ 设计意图：从学生生活经验出发，通过学生的观察结果，让学生感知数学与生活的联系．师生行为：学生汇报观察结果：房梁、建筑工地的脚手架、自行车车架、乐谱架、起重机的起重臂等． （教师播放实物投影） 师：生活中有那么多物体的结构是三角形，为什么要把它们做成三角形呢？ 因为三角形具有稳定性． 我们这节课就来研究：三角形的稳定性． 推进新课 活动2．1．以四个同学为一合作小组． 2．探究下列问题： （1）如图1（1），将三根木条用钉子钉成一个三 角形木架，然后扭动它，?它的形状会改变吗？ （2）如图1（2），将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，?它的形状会改变吗？ 设计意图：通过观察、推断、实际操作，获得数学猜想和数学经验，体会数学活动充满探索性和创造性． 师生行为：教师示范钉钉，然后要求小组内要合理分工，密切配合，合作完成，教师巡
视指导． 学生实践后知道： 三角形木架的形状没有改变，而四边形木架的形状发生了变化． 师：由此我们可以验证哪些结论？ 生：三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性． 活动3．小组讨论：用什么方法能使这个不稳定的四边形变得稳定呢？ 讨论出方案后，再合作完成，比一比哪组的工程师最聪明？ 设计意图：通过对问题的反思，获得解决问题的经验，培养学生良好的认知习惯．师生行为：教师到学生中了解讨论与实践的情况． 学生以组来汇报讨论结果，并展示其作品．可能出现多种方法： 方法一：在木条衔接处用粗钉子钉牢． 方法二：沿四边形的对角线加一根木条[如图2①]． 方法三：从顶点到对边的顶点加一根木条[如图2②]． 方法四：从对边之间加一根木条[如图2③]． 方法五：加两根木条[如图2④]． ①②③④ 学生自己评说各小组的加固方法． 教师适当引导，让学生给“加固”后的四边形框架施加较大外力，验证其牢固程度．说明：（1）当给四边形加一根支架，出现了三角形时，四边形就能稳定．?如方法二、三，但当四边形加了支架后，仍没有出现三角形时，还不会稳固．如方法一、四．（2）方法五的四边形虽然稳定，但多加了木条，会浪费材料的． 活动4．问题 1．如图3，在四边形木架上再钉一木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，这对木架的形状还会改变吗？
3.6 三角形、梯形的中位线 (1)导学案
3.6 三角形、梯形的中位线 (1) 学习目标： 知识：1.探索并掌握三角形中位线的概念及性质。 2.会利用三角形中位线的性质解决相关问题。 3.体会转化的思想方法。 能力：在观察、操作、归纳、推理等探究过程中，发展合情推理能力。 情感：在合作、探究过程中，体会成功的喜悦，调动学生学习的积极性。 学习重点：三角形中位线性质的探索及其初步应用。 学习难点：运用转化思想解决有关问题。 一、情境创设：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 二、探索活动： 1.操作：将一张三角形纸片剪成两部分， 使分成的两部分能拼成一个平行四边 形。(小组讨论) 步骤：(1)剪一个三角形，记为△ABC ； (2)分别取AB 、AC 的中点D 、E ，连接 DE ； (3)沿DE 将△ABC 剪成两部分并将△ADE 绕点E 旋转180到△CFE 的位置得四边 形BCFD 。(学生继续完成操作) 2.讨论：(1)四边形BCFD 为平行四边形吗？为什么？ (2)线段DE 与线段BC 有怎样的关系，为什么？ 3.归纳： 叫做三角形的中位线。 说说三角形中位线与三角形中线的区别： 三角形中位线的性质： 三．典型例题： 例1 如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？ 例2 在□ABCD 中，AC 、BD 交于O ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、OB 、CD 、OD 的中点。说明： ∠HEF=∠FGH 。 四、巩固练习 1．△ABC 的各边边长为4、6、8，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，则DE= ； EF= ；FD= 。 A D E F C B F A O H G D C B E F E H G D C B A
三角形的中位线定理教案公开课
18.1.2三角形的中位线 一、教学目标 1、知识与技能 理解三角形中位线的概念,会证明三角形中位线定理，理解三角形中位线定理。能较熟练地应用三角形中位线定理进行有关的证明和计算。 2、过程与方法 使学生经历三角形中位线性质的“探索-发现-猜想-证明”的过程，发展学生推理论证的能力。体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。从而培养学生分析问题、解决问题的能力。 3、情感态度价值观 通过情境引入，激发学生的求知欲，通过三角形中位线定理的证明，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。 二、教学重点难点 【重点】三角形中位线的定义和性质。 【难点】三角形中位线定理的证明。 三、教学方法 启发式教学法、谈话讨论法。 四、教具学具准备 电脑、投影仪和三角形卡片。 五、教学过程 （一）复习平行四边形的性质和判定 （二）情境引入 现有一块三角形的蛋糕，要把它分成4块大小、形状完全相同的三角形蛋糕，该怎么分？（三）新知探究，合作交流
1.三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. [问题1]一个三角形有几条中位线？（3条） [问题2]下列各图中的D、E是各边的中点，哪条是中线？哪条是中位线呢？ [问题3]三角形中线与中位线有什么区别？（端点不同） 2.三角形的中位线的性质 (1).猜想:观察图形,猜想DE与BC有何位置关系,有何数量关系？ (2).度量：度量一下你手中的三角形，看看是否有DE=1/2BC？ (3).证明：（你是如何验证DE∥BC,DE=1/2BC？） 将△转化为（展示过程） (4).归纳总结：三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.
【教学设计】《三角形的稳定性》(人教)
《三角形的稳定性》 本节教材是初中数学八年级第 11章第 1节的内容， 是初中数学的重要内容之一。 本节课是三角形有关概念后的一节独立内容，与前后知识联系不大，但在实际生活中应用广泛。所以采用对比的方法使学生在亲身操作体验中认识“三角形具有稳定性而四边形不具有稳定性以及生活中既要用到三角形稳定性，也要用到四边形的不稳定性”。另外使学生获得如何把不稳定的四边形转化为稳定的方法，从而感受数学的价值。 【知识与能力目标】 1. 通知过观察、实践、想象、推理、交流等活动，让学生了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。 2.培养实事求是的学习作风和学习习惯。 【过程与方法目标】 1.通过提问、合作讨论以及小组交流方式探究三角形的稳定性。 2.实物演示，激发学习兴趣，活跃课堂气氛。 3.探究质疑，总结结果。和学生共同探究三角形稳定性的实例，回答课前提出的疑惑。 【情感态度价值观目标】 1.引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力。 2.通过合作交流，养成学生互助合作意识，提高数学交流表达能力。
【教学重点】 了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用 【教学难点】 准确使用三角形稳定性与生产生活之中 相关课件，相关教具等。 一。回顾旧知提出问题 （设计说明：通过问题对已学知识进行回顾，以此来巩固基础知识的运用，并引入新课。） 问题1：如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE=CE，AF是三角形的角平分线。那么三角形的三边有什么关系?根据上述条件，你还能得到什么结论? 学生回答：三角形两边之和大于条三边，还可以得到AD是三角形BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠BAF=∠CAF，S△ABE=S△ACE。 问题2：在我们的生产和生活中哪里用到了三角形? 学生回答：房屋的人字梁、大桥钢架、索道支架、建筑用的三角架等。 （教学说明：教师在利用问题让学生回顾所学知识的时候，不仅要让学生说出结论，还要说明得到结论的根据。问题2的设立要让学生体会三角形在生产和生活中的应用，并引导而思考为什么要在这些地方用三角形。） 二、探索新知解决问题 1。通过实际操作探索三角形的稳定性
人教版八年级下册数学第3课时 三角形的中位线(导学案)
18.1.2 平行四边形的判定 镇海中学陈志海 第3课时三角形的中位线 一、新课导入 1.导入课题 同学们，前面我们学习平行四边形时，常把它分割成三角形来研究，今天我们反过来利用平行四边形来研究三角形的有关问题. 2.学习目标 （1）知道什么是三角形的中位线. （2）知道三角形中位线的性质. 3.学习重、难点 重点：三角形的中位线及其性质. 难点：三角形中位线性质的运用. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：P47练习下面至P48探究上面的内容. （2）自学时间：3分钟. （3）自学方法：看书，看图，认识三角形中位线的意义. （4）自学参考提纲： ①画图说明什么是三角形的中位线，一个三角形有几条中位线？三角形的中位线与中线有什么不同？怎么区分？ ②如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、DF、AE、BF、CD，则图中的中线是AE、BF、CD，中位线是DE、DF、EF. 2.自学：结合自学参考提纲进行自主学习. 3.助学 （1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握中位线的准确含义. ②差异指导：指导中位线与中线的区别. （2）生助生：学生之间相互交流、研讨疑难之处.
4.强化:三角形中位线的意义. 1.自学指导 （1）自学内容：三角形中位线与第三边的位置和大小关系. （2）自学时间：10分钟. （3）自学方法：测量中位线长、第三边长并猜想. （4）探究提纲： ①任画一个三角形，取三边的中点并相互连接，然后量中位线长和第三边长，重复画几次，看结果如何. ②通过测量一条中位线长与第三边的长，你有什么发现吗？ ③如右图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，试量一下DE、BC的长，比较量出的数据，你有什么发现？DE与BC在位置上有什么关系吗？说出你的猜想. ④结合你的实验猜想出三角形的中位线的性质是 1 , 2 DE BC DE BC =. 2.自学：学生结合探究提纲自主探究学习. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：关注学生画图、度量的情况及判断总结的结论是否合理. ②差异指导：指导学生结合测量数据进行猜想并归纳. （2）生助生：学生研讨疑难之处. 4.强化：三角形中位线的性质. 1.自学指导 （1）自学内容：探究三角形中位性质的证明方法. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：由DE=12BC思考DE怎么处理可使BC=2DE. （4）探究提纲： 如右图，D、E分别为AB、AC的中点， 求证： 1 2 DE BC DE BC = ，.
三角形中位线定理 初中八年级下册数学教案教学设计课后反思 人教版
科目数学年级八课题第18章平行四边形判定 （3） 课时微课6分钟左右 主备教师张保丽审核教师 教学目标 知识与技能三角形中位线及其定理的证明，利用三角形中位线定理解决问题. 过程与方法通过三角形中线定理的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力. 情感态度价值观 培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中 的应用价值. 教学重难点重点：三角形中位线，三角形中位线定理的证明. 难点：平行四变形的判定定理和三角形中位线定理的应用. 教学准备几何画板，多媒体课件等 教学过程设计（通案）个性设计（个 案） 一引入 我们已经研究了平行四边形的判断，继续证明三角形中位线定理．二学习指导指导学生阅读第47-48页内容，探究提出的问题 三探究内容 例如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中 点，求证：DE∥BC且DE= 2 1 BC． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关 系，利用几何画板演示。想已学过的知识，可以把 要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行 四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这 就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形． 方法：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连 接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为 AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形 ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC， 因为DE= 2 1 DF，所以DE∥BC且DE= 2 1 BC． 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 【思考】： （1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线 有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ （答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主 利用几何画板 演示操作
初中数学 第三章 三角形 全章导学案
第四章 三角形 4.1 认识三角形（1） 学习目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力； 2、能证明出“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”； 3、按角将三角形分成三类。 学习重难点：三角形内角和定理推理和应用。 学习设计： （一） 预习准备 （1）预习书62－65页 （2）思考①三角形的角之间的关系①三角形的分类 （3）预习作业 三角形中角的关系：（1）三角形的三个内角之和是 ；（2）直角三角形的两个锐角 三角形的分类：按角分为三类： 三角形； 三角形和 三角形。 （二） 学习过程 例1 证明三角形的内角和为180° 例2 在①ABC 中，（1）0 82,42,C A B ∠=∠=∠则= （2）5,A B C C ∠+∠=∠∠那么= （3）在①ABC 中，C ∠的外角是120°，B ∠的度数是A ∠度数的一半，求①ABC 的三个内角的度数
变式训练：在①ABC 中（1）00 78,25,B A C ∠=∠=∠则= (2)若C ∠=55°，010B A ∠-∠=,那么A ∠= ,B ∠= 例3 已知①ABC 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=,试判断此三角形是什么形状？ 变式训练：已知①ABC 中，0 90,2,A B B C ∠-∠=∠=∠试判断此三角形是什么形状？ 例4 如图，在①ABC 中，090ACB ∠=,CD ①AB 于点D ， 1,2?A B ∠∠∠∠与有何关系与呢 例5 如图，已知0 60,30,20,A B C BOC ∠=∠=∠=∠求的度数。 2 1D C B A O C B A
初中数学八年级《三角形的稳定性》优秀教学设计
三角形的稳定性 内容解析 本节课是在学生学习了三角形的有关概念、三角形的三边关系、三角形的高、中线及角平分线，知道三角形的两边之和大于第三边的基础上，来学习三角形的稳定性．它不仅是对前面所学知识的应用，也为后续学习多边形的知识打基础．教材先设置了两个实际问题，这些图形的设计都应用到三角形的图案，设计为三角形的目的是使之结构坚固和稳定，由此引出三角形的稳定性．再通过探究、讨论“三角形三边确定了，形状不会改变；而四边形的四边确定了，形状会改变”．最后通过生产和生活中的一些应用，加深学生对所学内容的理解． 本节课的教学重点是：三角形的稳定性． 二、目标和目标解析（一）教学目标1．认识三角形的稳定性，并会用其解决一些实际问题．2．通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段．（二）教学目标解析1．探索三角形的稳定性和四边形的不稳定性，体会从具体到抽象的研究问题方法．2．了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性有关应用，感悟数学的价值．3．运用三角形的稳定性以及四边形的不稳定性，解决一些实际问题． 三、教学问题诊断分析对于三角形的稳定性，应侧重让学生理解只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性．即三角形的稳定性不是“拉不动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”．教学时注意引导学生动手操作，动脑思考，小组交流，
取长补短，帮助学生理解三角形的稳定性，并联系生活中的应用，区分四边形的不稳定性和稳定性的相对性． 本节课的教学难点为：三角形的稳定性的理解． 四、教学过程设计 （一）创设情境，提出问题问题1 工程建筑中经常要采用三角形的结构，如屋顶钢架其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木．为什么要这样做呢？师生活动：让学生观察思考，初步感知三角形稳定性的重要性．追问1：下面我们再欣赏一组图片，找出它们的共同点．师生活动：学生观察图片思考，小组讨论，教师进行适当引导和评价．【设计意图】让学生初步感知三角形的稳定性与实际生活紧密联系，体会研究三角形稳定性的必要性． （二）动手操作，形成新知问题2动手做一做：将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？（2）将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？（2）（3）在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？师生活动：学生通过动手操作，独立思考在小组中讨论，汇报自己的发现，学生之间互相补充，老师对有困难的小组加以引导，一起概括出三角形的稳定性实质应是“三角形三边的长确定了，其形状和大小就确定了；四边形四边的长确定了，其形状还会发生改变”．【设计意图】学生动手操作，动脑思考，通过互帮互学的形式明确三角形具有稳定性以及四边形具有不稳定
《三角形的特性》导学案
《三角形的特性》导学案 教学目标： 、通过动手操作和观察比较，使学生认识三角形，知道三角形的特征及三角形高和底的含义，会在三角形内画高。 2、通过实验，使学生知道三角形的稳定性及其在生活中的应用。 3、培养学生观察、操作的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。 4、体会数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。 教学重点、难点： 重点：理解三角形的含义，掌握三角形的特征、特性。 难点：三角形高的确定及画法。 教具、学具准备： 教师准备：多媒体，硬纸条制作的长方形和三角形，三角板，作业纸等。 学生准备：学具小棒、彩色笔、三角板，直尺等。 教学过程： 一、联系生活，情境导入 师：为了上好今天这节课，老师特意拍了一些漂亮的图片，考考你们，看你们能否发现你比较熟悉的图形？（播放：三角形的木梯、空调外机的支架和电视塔） 学生自由汇报。
师：老师很高兴你们都有一双智慧的眼睛。 师：你还能说出生活中哪些物体上有三角形吗？ 生：红领巾、房梁、自行车、交通标志牌、电视接收塔、高压线塔…… 师：从你们的回答中老师感受到你们都是善于观察、善于发现的好孩子！三角形在我们的生活中应用很广泛，而且把我们的生活装扮的很漂亮，今天这节课我们就来进一步认识三角形。（板书课题：三角形的特性） 二、操作感知，理解概念 三角形对大家来说并不陌生，老师带来几个与三角形有关的问题，敢不敢挑战一下？（敢） 出示问题 （1）画一个你喜欢的三角形，想一想三角形有几条边？几个角？几个顶点？把各部分名称标在你画的三角形上。 （2）判断：你认为下列图形中哪些是三角形请用“√”标记 （3）结合画三角形和判断三角形的过程，在小组内说一说你认为什么样的图形叫做三角形？ （要求：独立完成后在小组内交流。） 学生汇报： 生1：三角形有三条边，三个角，三个顶点。
三角形的中位线导学案
三角形的中位线--------导学案 射洪县洋溪中学校刘勇 一、学习目标： 掌握三角形中位线的概念、三角形中位线的定理。 二、情感目标 经历探究三角形中位线定理的过程，从中得到数学的乐趣。 三、能力目标： 通过对例题的理解。步骤的掌握、注意解题格式。 四、重点：掌握和运用三角形中位线定理。 五、难点：三角形中位线定理的证明。 六、教学方法：多媒体教学共析法 七、教学过程： （一）情境引入： 问题：A、B两点被池塘隔开,如何测量A、B两点距离呢？为什么?（多媒体展示）（二）新知介绍 A 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图，D、E是AB、AC中点，我们就把DE叫△ABC 的中位线D E 注意： 1、三角形的中位线和中线区别： B C 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段 A 三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段 2、理解三角形的中位线定义的两层含义: ①∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线 ②∵DE为△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、AC的中点 3、一个三角形共有条中位线。 B C （三）中位线的性质： A 1 2 已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线 B C 求证：DE ∥BC，且DE=1/2BC
语言描述：∵DE是△ABC的中位线 ∴DE∥BC，DE=1/2BC 用途：①证明平行问题②证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2 友情提示：中点想到-------中线、中位线 A 基础练习一： 1.如图1：在△ABC中，DE是中位线 D E （1）若∠ADE=60°，则∠B= 度，为什么？ （2）若BC=8cm，则DE= cm，为什么？ B C 2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别是各边中点 B EF=3cm，DF=4cm，DE=5cm， D F 则△ABC的周长= cm A E C 3、解决课前问题：（见课件） （四）典型例题分析： 例1：求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形 A H B C 练习二：1、顺次连接四边形各边中点得到的是 2、顺次连接矩形各边中点得到的是 3、顺次连接菱形各边中点得到的是 4、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的是 5、顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的是 ★6、顺次连接四边形各边中点得到正方形，那么这个四边形的特点是 矩形菱形对角线互相垂直的四边形 对角线相等的四边形
《三角形中位线定理》教案
4.5三角形中位线定理 【教案背景】 1、面向学生：初二学生 2、课时：1课时 3、学科：数学 4、学生准备：提前预习本节课的内容，2张三角形纸，剪刀. 【教材分析】 1、教材的地位和作用： 本节教材是浙江教育出版社的八年级数学下册第四章第五节的内容。三角形中位线既是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形性质等知识内容的应用和深化，同时为进一步学习等腰三角形的中位线打下基础，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了归纳、类比、转化等化归思想，它是数学解题的重要思想方法，对拓展学生的思维有着积极的意义。 2、教学目标 （一）知识目标 （1）理解三角形中位线的概念 （2）会证明三角形的中位线定理 （3）能应用三角形中位线定理解决相关的问题； （二）过程与方法目标 进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力。体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用。 （三）情感目标 通过拼图活动，来激发学生的求知欲，进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度。 3.重点与难点 重点：理解并应用三角形中位线定理。 难点：三角形中位线定理的证明和运用。 【教学方法】 学生在前面的数学学习中具有了一定的合作学习的经验，为了让学生进一步经历、猜测、证明的过程，我采取：启发式教学，在课堂教学，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和总结，使学生充分地参与教学全过程。
【教学过程】 本节课分为五个环节：设景激趣，引入新课概念学习，感悟新知拼图活动，探索定理巩固练习，强化新知小结归纳，作业布置 （一）设景激趣，导入新课 动手实践探索（请您做一做：让学生拿出自己预先准备好的三角形纸板） 1、找出三边的中点 2、连接6点中的任意两点 3、找找哪些线是你已经学过的，哪些是未曾学过的 设计意图： 在本环节，让学生经过动手操作，学生会发现有3条是已经学过的中线，有3条是没有学过的。最终给出三角形中位线的定义。也引出了本节课的课题：三角形的中位线。这样做，既让学生得出三角形中位线的概念又让学生在无形中区分了三角形的中线和三角形中位线 （二）概念学习，感悟新知 三角形中位线的定义： 连接三角形两边中点的线段,叫做三角形的中位线 如图，DE、EF、DF是三角形的3条中位线。 跟踪训练： ①如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的； ②如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。设计意图： 学以致用，为了及时的使学生加深三角形中位线的概念印象，为后面的探究打下基础，设立了以上两道简单的抢答题，让学生学会及时的从图中找出信息。 （三）拼图活动、探索定理 C B A F E D C B E D
三角形全章节导学案
C A B 七年级下册数学 第七章 三角形 课题 7.1.1 三角形的边 【学习目标】 1.了解三角形的概念及其基本元素。并能用符号语言表示。 2.理解三角形三边之间的关系。 【导学指导】 一、自主学习 认真阅读课本第69页——70页上面，解决以下问题： 1. 举出几个日常生活中三角形的例子。 2. 由______________的三条线段______相接所组成得图形叫做三角形。 3.如图，三角形可记作 ，读作 ； 图中线段 是三角形的边； 点 是三角形的顶点； 是三角形的内角，简称三角形的角． 图中△ABC 的三边，也分别可用________表示． 顶点A 的对边为 或_______，∠B 对边为 __ 或______； 边AB 、AC 边的夹角为 ，∠A 、∠B 的夹边为 ． 4.（1）三角形按三个内角的大小，可以将三角形分为 ， 和 。 （2）按边三类： 叫做等边三角形。 叫等腰三角形，在等腰三角形中， 都叫腰， 叫做底， 叫做顶角， 叫做底角。 5.如图，在等腰⊿ABC 中，AB=AC, ______________是腰，_____ 是底边， 是顶角，_______ 是底角。 二、合作探究 三角形的三边关系 1．是否任意的三条线段都能围成三角形？同学之间利用带来的小棒进行实验． 2．能围成三角形的三条线段应满足什么条件？（小组交流） 如图， 将其中一根小棒用橡皮筋代替，进行实验探究． 有BC ＜AB+AC （为什么？） 结论 三角形三边关系为： ① ． ② ． 三、课堂检测 c b C a A B
1.三角形任意两边的和____第三边，任意两边的差_____第三边。 如图在三角形ABC中，AB+BC____AC, AC+BC____AB, AB-AC___BC. 2．如图中有个三角形，在△ABE中，边AE所对的角是，∠ABE所对的边是；边AD在△ADE中，是的对边，在△ADC中，边DC是的对边． 3.一个等腰三角形的周长为18㎝一边长为5㎝则另两边的长为． 4.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）． A.3cm，5cm ，8cm B.8cm，8cm，18cm C.0．1cm，0．1cm，0．1cm D.3cm，40cm，8cm 5．如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（） A.5 B.6 C.7 D.8 6.有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3㎝，4㎝，8㎝（2）5㎝，6㎝，11㎝（3）5㎝，6㎝，10㎝ 7．有四根木条，长度分别为6cm，5cm，4cm，2cm，选其中三根首尾相接构成三角形，则可选择的种数有（） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 8.以4长线段为底，1㎝长的险段为腰，能否组成一个等腰三角形？如果以4㎝长的线段为底组成一个等腰三角形，腰长应在什么范围内？ 9.若等腰三角形的两边长分别为3和6，求其周长． 10．已知一个三角形的三边长分别为x、2x－1、5x－3，其中有两边相等，求此三角形的周长． 【归纳小结】今天你学到了那些知识？ 七年级下册数学第七章三角形
三角形稳定性教案
§7.1.3三角形的稳定性 教学目标 1、三角形的稳定性 2、三角形的稳定性在实际生活中的应用 教学重点 三角形具有稳定性 教学难点 三角形的稳定性在实际生活中的应用 教学过程 一.引入新课 盖房子时,在窗框未安装好之前. 如图,为什么要这样做呢?(三角形具有稳定性) 这节课我们就来学习:§7.1.3 二.讲授新课 1.我们来探究下面的问题 ①如图(1) 木架,然后扭动它,它的形状回改变吗?(不会改变) ②如图(2), 将四根木条用钉子钉成一个四边形 木架,然后扭动它,它的形状回改变吗? (会改变) ③如图(3),在四边形木架上再钉一根木条,将它 的一对顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状还 会改变吗?(不会改变) 图2 2. 归纳得出: 图3 三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状改变.就是没三角形具有稳定性,而四边形没有稳定性. 1.三角形的稳定性在实际生活中的应用. (1)窗框在未安装好之前斜钉一根木条,分成两个三角形. (2)钢架桥的钢架做成三角形 (3)起重机的力臂做成三角形 (4)房顶钢架做成三角形 提问学生:四边形易变形是优点还是缺点？生活中又有那些应用。 2.四边形的不稳定性的应用 （1）活动挂架。 （2）放缩尺 （3）制定推拉窗门 例1.如图所示：一扇窗户打开后，用窗钩AB将其固定这里运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 解；A 点拔：三角形的稳定性在生活中应用。三．学生练习：P75 练习题 四．小结： 本课课你学到了那些知识？ 三角形的稳定性以及在实际生活的应用布置作业 P75 5 P76 9
三角形的中位线导学案
1 三角形的中位线 一、 知识框架 二、 目标点击 1、探索并掌握三角形中位线定理. 2、会利用三角形中位线定理进行计算和证明. 三、 (重)难点预见 学习重点：利用三角形中位线定理进行计算和证明. 学习难点：探索三角形中位线定理. 四、 学法指导 1、结合教材和预习学案，先独立思考，遇到困难小对子之间进行帮扶交流完成学习任务。 2、学具准备：三角板（或直尺），量角器。 五、 自主探究 1、 学一学 叫做三角形的中位线. 任意画一个△ABC ，你能画出它的一条中位线吗？它有几条中位线？ 思考：三角形的中位线与三角形的中线是一回事吗？为什么？ 2、量一量 任意画△ ABC ，如图(2),设AB 、AC 边的中点分别为D ，E ，连接DE ，分别度量∠ADE 与∠B 的大小，你发现DE 与BC 有怎样的位置关系？分别量出线段DE 与BC 的长，你发现DE 与BC 之间有怎样的数量关系？对于△ABC 其他的两条中位线，重复上面的实验，你会得到什么结论？ 3、 猜一猜 归纳上面的测量结果，你认为三角形的中位线具有什么性质？ 4、证一证 已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 边的中点， 求证：D E ∥BC DE= 2 1BC （温馨提示：同学们可以用相似三角形的性质证明，也可以 延长DE 到F,使EF=DE,构造平行四边形来进行证明。） A B C 图（1） A B C 图（2） A C D E
2 通过刚才的证明，你能叙述你所证明的结论吗？你能编制一个小口诀来进行快乐记忆吗？ 如果写成 “∵” “∴”形式该怎么写？ ∵ ∴ . 六、基础在线 口诀引领：中点见中点，形成中位线，有了中位线，解题就好办。 （1） 已知：如图，△ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ， 如果AB=6cm ，AC=8 cm ，BC=10 cm 。那么△DEF 的周长是 cm. （2）在菱形ABCD 中，如图，E 、F 分别是AB 、AC 的中点， 如果EF=2cm ，那么菱形ABCD 的周长是 cm. （3） 求证：三角形的中位线与第三边的中线互相平分. 七、能力升级 如图，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、 DA 的中点. 求证：四边形EFGH 是平行四边形. （温馨提示：同学们可以连接对角线，将四边形转化为 三角形，利用三角形的中位线定理进行证明。） 八、经典分析 利用三角形的中位线定理判定四边形的形状 （一）结论：顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形为平行四边形。 B A F C A D E H D G C A F B
三角形中位线的性质教学反思
《三角形的中位线的性质》教学反思 这节课主要内容是三角形的中位线概念及性质.教学所要达到的目标是：（1）知识与技能目标，理解三角形中位线定义与性质，会应用三角形中位线解决实际问题；（2）过程与方法目标，通过经历探究三角形中位线定义、性质的过程，感受三角形中位线定理的应用思想；（3）在教学中不但培养学生良好的探究意识和合作交流的习惯，体会数学推理的应用价值。教学的重点是，三角形中位线定理；难点是三角形中位线定理的形成和应用。 一、实现教学目标的措施 1.为了让学生能很好地理解三角形的定义与性质，突破三角形中位线定理形成这个难点，我采用了如图（1）的引入，对图（2）的探索，让学生利用单行 本动手实践，探索发现，同桌之间相互交流，用合情的推理、抽象归纳出三角形的中位线的定义，以及中位线与第三边平行的事实。并进一步地运用合情推理，采用测量方法使学生感知中位线的长等于第三边长的一半。从而使学生在开课不久就能基本上理解了三角形中位线的定义和它的性质的两个结论，很自然地从合情推理发展到逻辑演绎推理，学生更进一步地认识到三角形中位线性质定理的正确性，加深了对定理的理解。随后安排三道选择或填空题对三角形中位线定理及时地进行巩固，效果非常好。 2.为了培养学生会应用三角形中位线定理解决实际问题的能力，在对例1的教学中，我始终只做一个引领者，学生是解决问题的主人。在整个过程中，我利用课件引导学生畅所欲言，各抒己见。从题意的分析到例题的解答全部由学生在合作完成，同学们想出了好几种颇有见解的解法，当时收获可真不少。 3.为了加深学生对三角形中位线的定义和定理的理解和提高他们运用知识的能力，在教材配备的练习题不是很适合这节教学内容的情况下，我自编练习题如下： 如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点，AB ＝6，BC ＝10，AC ＝8.试求出线段DE 、EF 、 FD 、AD 的长与∠EDF 的大小. 这道题目在屏幕上一出现，同学们真是如同鱼 ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ A B 图2 A C B D E
教案--三角形的稳定性
三角形的稳定性 一、新课导入 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅 常常先在窗框上斜钉一根木条（如右图），为什么 这样做呢？ 二、学习目标 1、了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性， 2、理解稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用。 三、研读课本 认真阅读课本的内容，完成以下练习。 （一）划出你认为重点的语句。 （二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。 活动1、自主探究 1、如图（1），用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状 会改变吗？ 2、如图（2），用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状 会改变吗？ 3、如图（3），在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然 后扭动它，它的形状会改变吗？ （2） 活动2、议一议 从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。 三角形木架形状改变，四边形木架形状改变，这就是说，三角形具有性，四边形不具有性。 斜钉一根木条的四边形木架的形状改变，原因是四边形变成了两个三角形，这样就利用了三角形的。 活动3、看一看，想一想 三角形的稳定性和四角形的不稳定性在生活中都有广泛应用。 你知道课本图7.1-8和图7.1-9中的例子哪些是利用三角形的稳定性？哪些是利用四角形的不稳定性？你能再举一些例子吗？ （三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？ 五、强化训练 【A】组 1、下列图形中具有稳定性的有 （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、在建筑工地我们常可看见如右图所示，用木条EF 固定矩形门框ABCD的情形.这种做法根据( ) A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.三角形的稳定性 D.垂线段最短 3、下列图形具有稳定性的有（） A.梯形 B. 长方形 C. 直角三角形 D. 正方形 【B】组 4、如右图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定， 这里所运用的几何原理是_____ ____。 5、我们学校的大门是电动推拉门，这种门工作的原理 是根据四边形的。 【C】组 6、（开放题）三角形具有稳定性，而其它多边形不具有稳定性，要使多边形也具有稳定性必须额外加一些线段，将其转化为几个三角形。试探究要使四边形不变形，至少需要加条线段，五边形至少需要加条线段，六边形至少需要加条线段，n边形（n﹥3）最少需要条线段才具有稳定性。
三角形的稳定性教学设计
“三角形的稳定性”教学设计 【教学目标】 1．通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．毛 2．体会稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用． 【教学重点与难点】 教学重点：了解三角形的稳定性及其在生产、生活是实际应用． 教学难点：1．三角形稳定性的得出． 2．体会三角形的稳定性在生产和生活中的应用． 【教学方法】 让学生在实践中进行探索，通过动手操作体会三角形的稳定性，并用生活中的实例让学生感受数学在生活中应用． 【教学过程】 一．回顾旧知提出问题 （设计说明：通过问题对已学知识进行回顾，以此来巩固基础知识的运用，并引入新课．） 问题1：如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE=CE，AF是三角形的角平分线．那么三角形的三边有什么关系?根据上述条件，你还能得到什么结论? 学生回答：三角形两边之和大于条三边，还可以得到AD是三角形BC
边上的高，AE是BC边上的中线，∠BAF=∠CAF，S△ABE=S△ACE．问题2：在我们的生产和生活中哪里用到了三角形? 学生回答：房屋的人字梁、大桥钢架、索道支架、建筑用的三角架等．（教学说明：教师在利用问题让学生回顾所学知识的时候，不仅要让学生说出结论，还要说明得到结论的根据．问题2的设立要让学生体会三角形在生产和生活中的应用，并引导而思考为什么要在这些地方用三角形．） 二、探索新知解决问题 1．通过实际操作探索三角形的稳定性 （设计说明：通过学生亲自动手实验得出三角形的稳定性，并能体会三角形的稳定性在生产和生活中的应用．） 问题1：如图，在盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条．为什么要这样做? 学生讨论，得出各种结论． 问题2：用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗?学生动手操作，通过实验得出结论：它的形状不会改变．
19.1.2三角形的中位线(学案)
19.1.2平行四边形的判定2 班级_______________姓名________________学号_________________小组_______________ 学习目标：①理解并掌握三角形中位线的概念及性质定理②能应用中位线的性质定理解题 一、温故知新 二、探究问题 如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的中点，分别连接DE 、EF 、FD ，请你猜想，此时图中有无平行四 边形？若有请列出来。 ________________________________________________ 分步探究： 1、研究DF 与BC 的关系（注：要从位置关系与数量关系两方面讨论） 猜想：①位置关系___________________________ ②数量关系___________________________ 已知：在△ABC 中，D 、F 分别是AB 、AC 边上的中点 求证：__________________________________________ 证明：延长DF 至M ，使DF=FM 连接CM ∵ D 、F 分别是AB 、AC 的中点 ∴____ = ____，____ = ____ 在△AFD 与△CFM 中 ∵ ?? ??? （像DF 这样的线就叫做三角形的中位线，具有一些特殊的性质） 2、归纳概念——三角形中位线的定义及性质定理 ⑴定义：_____________________________________________ 图示： A B C D E F A B C D F ∴△AFD ≌△CFM （ ） ∴MC = _____ = _____ ∴∠______ =∠ ______ ∴________∥_________ ∴MC ______BD ∴四边形BCMD 为平行四边形 ∴BC=DM=2DF ，BC ∥DM ∴DF _____ 12 BC A B C D F