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渐开线标准直齿齿形：轮齿的轮廓线就是渐开线。

一：基本概念介绍

渐开线：

将一端系有铅笔的线缠在圆筒的外周上，然后在线绷紧的状态下将线渐渐放开。此时，铅笔所画出的曲线即为渐开曲线。圆筒的外周被称为基圆。

一个示例：8齿渐开线齿轮示例。

将圆筒8等分后，系上8根铅笔，画出8条渐开曲线。然后，将线向相反方向缠绕，按同样方法画出8条曲线，这就是以渐开曲线作为齿形，齿数为8的齿轮。

当直线沿一圆周作相切纯滚动时，直线上任一点在与该圆固联的平面上的轨迹k0k，称为该圆的渐开线。

渐开线的性质

(1)直线NK = 曲线N K0

(2) 渐开线上任意一点的法线必切于基圆，切于基圆的直线必为渐开线上某点的法线。与基圆的切点Ｎ为渐开线在ｋ点的曲率中心，而线段NK是渐开线在点ｋ处的曲率半径。

(3)渐开线齿廓各点具有不同的压力角，点Ｋ离基圆中心Ｏ愈远，压力角愈大。

(4)渐开线的形状取决于基圆的大小，基圆越大，渐开线越平直，当基圆半径趋于无穷大时，渐开线成为斜直线。（故齿条的齿轮廓线为斜线）

(5)基圆内无渐开线。

渐开线的方程式

rk为渐开线再任意点K的向径。

模数：

模数是决定齿大小的因素。齿轮模数被定义为模数制轮齿的一个基本参数，是人为抽象出来用以度量轮齿规模的数。目的是标准化齿轮刀具，减少成本。直齿、斜齿和圆锥齿齿轮的模数皆可参考标准模数系列表。

分度圆上的齿距p对Π的比值称为模数，用m表示，单位为mm，即m=p/Π，已标准化。模数是齿轮的主要参数之一，齿轮的主要几何尺寸都与模数成正比，m越大，则齿距p越大，轮齿就越大，轮齿的抗弯能力就越强，所以模数m又是轮齿抗弯能力的标志。

不同模数的轮齿大小对比。

分度圆：为了便于设计、制造及互换，我们把齿轮某一圆周上的比值规定为标准值(整数或较完整的有理数)，并使该圆上的压力角也为标准值，这个圆称为分度圆，其直径以d表示。因轮齿分度圆上的齿槽宽e=齿厚s。故s=e=Πd/2z，故p=2s=2e=Πd/z。

设d/z=m，即为模数。p=Πm。

基圆

基圆是形成渐开线齿形的基础圆。分度圆是决定齿轮大小的基准圆。基圆与分度圆是齿轮的重要几何尺寸。渐开线齿形是在基圆的外侧形成的曲线。在基圆上压力角为零度。

由此可见：齿数，模数，压力角是决定渐开线形状的三个基本参数。

压力角：

分度圆上的压力角简称为压力角，即rk=r(分度圆半径)，以α表示。我国国家标准规定的标准压力角为20°。

压力角是决定齿轮齿形的参数。即轮齿齿面的倾斜度。压力角（α）一般采用20°。以前，压力角为14.5°的齿轮曾经很普及。

压力角是在齿面的一点（一般是指节点）上，半径线与齿形的切线间所成之角度。如图所示，α为压力角。因为α’=α，所以α’也是压力角。

齿顶圆：轮齿齿顶所对应的圆称为齿顶圆，其直径用da表示。

齿根圆：齿轮的齿槽底部所对应的圆称为齿根圆，直径用df表示。

齿厚：任意直径dk的圆周上，轮齿两侧齿廓间的弧长称为该圆上的齿厚，用si表示。

齿槽宽：任意直径dk的圆周上，齿槽两侧齿廓间的弧长称为该圆上的齿槽宽，用ei表示，齿距：相邻两齿同侧齿廓间的弧长称为该圆上的齿距，用Pi表示。Pi=si+ei。

分度圆的齿槽宽e=齿厚s。

齿顶高：轮齿上介于齿顶圆和分度之间的部分称为齿顶，其径向高度称为齿顶高，用ha

表示。

齿根高：轮齿上介于齿根圆和分度之间的部分称为齿根，其径向高度称为齿根高，用hf表示。

齿全高：齿顶高+齿根高。h=ha+hf=（da-df）/2。公式中 da为齿顶圆直径，df为齿根圆

直径。

顶隙：顶隙c=c*m是指一对齿轮啮合时，一个齿轮的齿顶圆到另一个齿轮的齿根圆的径

向距离。顶隙有利于润滑油的流动。

标准齿轮：分度圆上齿厚与齿槽宽相等，且齿顶高和齿根高为标准值的齿轮为标准齿轮。

c*=0.25,h*=1。（c*为顶隙系数，h*为齿顶高系数）

标准中心距：一对齿轮啮合传动时，中心距等于两分度半径之和。以a表示。

节点：一对渐开线齿廓不论在哪一点啮合传动，其啮合点的公法线必与这对齿轮的连心线

交于一定点，这个定点就是节点。

节圆：以齿轮中心为圆心过节点所作的圆称为节圆。

节线：一对齿廓啮合过程中节点在齿轮上的轨迹称为节线，节线是圆形的称为节圆。具有

节圆的齿轮为圆形齿轮，否则为非圆形齿轮。

变位齿轮可分为角变位和高变位齿轮。

角变位：当一对齿轮啮合，总变位系数不等于0时，啮合角不等于压力角。

高变位：当总变位系数等于0时，一个正变位、另一个负变位，啮合角等于压力角，只是齿轮齿顶高、齿根高发生变化。

负变位齿轮：在加工标准齿轮的位置上，如果齿轮刀具，靠近齿轮一段距离xm，则得到

负变位齿轮

正变位齿轮：如果齿轮刀具，远离齿轮一段距离xm，则得到正变位齿轮。x就是变位系数，负变位时是负值，正变位时是正值；m是齿轮模数。

变位量：变位量是x与m的乘积。变位齿轮，模数、压力角、分度圆直径、齿距，都不变；正变位齿轮，齿厚、齿根圆、齿顶圆，都变大，齿根高变小、齿顶高变大；负变位齿轮则

相反。

变位齿轮与标准齿轮的区别：

变位齿轮与标准齿轮相比，其模数、齿数、压力角均无变化；但是正变位时，齿廓曲线段

离基圆较远，齿顶圆和齿根圆也相应增大，齿根高减小，齿顶高增大，分度圆齿厚与齿根

圆齿厚都增大，但齿顶容易变尖。负变位时，齿廓曲线段离基圆较近，齿顶圆和齿根圆也

相应减小，齿根高增大，齿顶高减小，分度圆齿厚和齿根圆齿厚都减小。

变位齿轮就是它的齿高和标准的不一样，比如：标准的渐开线1模数50齿20度压力角的圆柱齿轮，它的齿顶高、齿根高、和全齿高分别是1、1.25和2.25，这样的齿轮它的分度圆和齿节圆是同一个圆。如果你的齿轮不是这三个数字那它的分度圆和齿节圆就不是同一

个圆。这就又引出了一个问题：分度圆和齿节圆是不是同一个圆的意义在哪里呢？我们知道，两个齿轮啮合时，齿与齿之间存在一个不产生滑移的啮合点，这个点围绕圆心旋转一

周产生的轨迹就是所谓分度圆。当然，这是对标准齿轮而言的，数值上它等于模数×齿数，

它也是一个理想值。但实际上，变位齿轮啮合时，这个不产生滑移的啮合点围绕圆心旋转

一周所产生的圆数值上不等于模数×齿数，我们说现在这个圆叫齿节圆。这个圆所以不在

分度圆上是因为我们根据需要让齿轮变了位（齿深不标准造成）。

好，我们再讨论齿轮为什么要变位。齿轮变位的原因大致有以下几种：

1、为了凑对中心距

比如：有一台进口设备，里面一对英制齿轮经常坏，为了加工方便把它改为公制齿轮，英

制齿轮和公制齿轮的中心距肯定不一样，要凑对这个中心距最简单的办法就是让齿轮变位。

2、为了避免根切

比如：由于某种特定需要某齿轮的齿数到了最少齿数的零界点时，为了避免加工时的根切

只能采用变位。

3、为了提高齿轮的强刚度

比如：某结构空间比较小却要承受比较大的力，空间小就不可能采用大模数齿轮，除了材料、热处理等因素外考虑使齿轮比较壮实也是一个办法，这时也要采用变位。

二、渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动

渐开线齿轮的啮合

两个标准的渐开线齿轮的分度圆在标准的中心距下相切啮合。

两轮啮合时的模样，看上去就像是分度圆直径大小为d1、d2两个摩擦轮（Friction wheels）在传动。但是，实际上渐开线齿轮的啮合取决于基圆而不是分度圆。

两个齿轮齿形的啮合接触点按P1—P2—P3的顺序在啮合线上移动。请注意驱动齿轮中黄色的轮齿。这个齿开始啮合后的一段时间内，齿轮为两齿啮合（P1、P3）。啮合继续，当啮合点移动到分度圆上的点P2时，啮合轮齿只剩下了一个。啮合继续进行，啮合点移动到点P3时，下一个轮齿开始在P1点啮合，再次形成两齿啮合的状态。就像这样，齿轮的两齿啮合与单齿啮合交互重复传递旋转运动。

基圆的公切线A一B被称为啮合线。齿轮的啮合点都在这条啮合线上。

啮合线

齿轮在传动过程中，各对轮齿的接触点，总是落在两基圆的内公切线上，由于各对轮齿的所有接触点，在啮合过程中总是沿着这条内公切线一点一点地依次前进，所以又称它为啮合线。

啮合线、齿廓接触点的公法线、正压力方向线都是两基圆的一条内公切线。

啮合角

过节点所作的两节圆的内公切线(t — t)与两齿廓接触点的公法线所夹的锐角。用a'表示。一对齿廓啮合过程中，啮合角始终为常数。当中心距加大时，啮合角随中心距的变化而改变。啮合角是随中心距而定的常数。

啮合角在数值上等于节圆上的压力角。

当两齿轮制成后，基圆半径便已确定，以不同的中心距(a或a')安装这对齿轮，其传动比不会改变。

因rb=rcosa=r'cosa'

故rb1+rb2=（r1+r2）cosa=（r1‘+r2’）cosa‘

得acosa=a’cosa‘

所以，将中心距增大，这时两轮的分度圆不再相切，而是相互分离。两轮的节圆半径大于各自的分度圆半径，其啮合角也大于分度圆的啮合角。

正确啮合条件

两齿轮的相邻两对轮齿分别K在和K'同时接触，才能使两个渐开线齿轮搭配起来并正确的传动。

连续传动的条件

一对渐开线轮齿的啮合过程

一对轮齿在啮合线上啮合的起始点——从动轮2的齿顶圆与啮合线N1N2的交点B2。一对轮齿在啮合线上啮合的终止点——主动轮的齿顶圆与啮合线N1N2的交点B1。

实际啮合线——线段B1B2

理论啮合线——线段N1N2

重合度

齿轮传动是依靠各对齿轮的依次啮合来实现的，实际啮合线的长度与基圆齿距的比值称为重合度。

要保持两齿轮在传动中连续平稳，就必须保证在前一对齿廓啮合结束前（至少是同时），后一对齿廓已经进入啮合，否则就会传动中断。在右图中可见，当一对齿在B1点脱开啮

合时，一对齿正好进入啮合，如果再加大基圆齿距使啮合点再分开，就会出现前一对齿在B1点脱开时，后一对齿还未能到达B2点啮合的情况，从而使传动中断或不平稳；如果反之，如果减小基圆齿距使啮合点再靠近，就会出现前一对齿在B1点脱开时，后一对齿早已到达B2点啮合的情况，从而确保了传动的连续和平稳 [1] 。也就是说，基圆齿距必须小于（最多等于）实际啮合线长度B1B2。实际啮合线长度与基圆齿距的比值称为齿轮啮合的重合度，用表示，即：

重合度必须大于（或至少等于）1，才能使一对啮合的齿轮实现连续平稳传动。

重合度的计算

由此可得重合度和模数无关，和齿数z成正比，当齿数z趋于无穷大时（齿条），重合度=1.981，还随啮合角（=压力角（标准安装情况下））成反比，齿顶圆压力角成正比，即和齿顶高系数h*成正比。

cosαa1=ra1/rb1=（z+2h*）m/（zmcosα）=（z+2h*）/z

渐开线齿条

1.几何特点

（1）同侧齿廓为互相平行的直线。

（2）齿条齿廓上各点的压力角均相等，且数值上等于齿条齿形角。

（3）凡与齿条分度线平行的任一直线上的齿距和模数都等于分度线上的齿距和模数。

2、渐开线齿轮齿条的啮合特点

1）齿轮齿条传动的中心距为齿轮中心到齿条分度线的垂直距离。齿轮齿条传动也具有中