大学物理教案 机械振动与机械波

教学目标 1.掌握简谐振动的定义、表达方式、简谐振动的合成方法；了解自由、阻尼、强迫等各类简谐振动的特点和规律。

2.掌握振动和波的关系、波的相干条件、叠加原理、驻波的形成条件、驻波的振幅、相位和能量的空间分布，半波损失。

3.学会建立波动方程。 教学难点 多自由体系的小振动

第十一章 机械振动

振动是指物体或系统在其平衡位置附近的往复运动。(例子：物体位置、电流强度、电压、电场强度、磁场强度等)。

物体或系统质点数是无穷的，自由度数也是无穷的，因此存在空间分布和时间分布，需要用偏微分方程描述 (如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或未知函数与几个变量有关，而且未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。例如弦包含很多的质点，不能用质点力学的定律研究，但是可以将其细分成若干个极小的小段，每小段可以抽象成一个质点，用微分的方法研究质点的位移，其是这点所在的位置和时间变量的函数，根据张力，就可以建立起弦振动的偏微分方程) 。

一、简谐振动(单自由度体系无阻尼自由小振动)

虽然多质点的振动要用偏微分方程描述，但是我们可以简化或只考虑细分成的每一小段，那么就成为单质点单自由度(只需一个坐标变量)的振动。

2222

22222,,0

cos():0i i t F k k

F kx a x m m m d x d x a x a x dt dt

x A t Ae e i ，令特征方程特征根：?ωωωωω?λωλω=-=

=-==-=∴+==+=+==±A (振幅)、?(初相位)都是积分常数，k 为倔强系数。

在微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶。

形如

()()dx P t x Q x dt +=的方程为线性方程，

其特点是它关于未知函数x 及其导数dx

dt

都是一次的。若()0Q x =，则()0dx

P t x dt

+=称为齐次的线性方程。

二阶常系数齐次线性微分方程的解法：

()()

1

2

121212121,212cos sin t t

t

t x c e c e x c c t e i x e c t c t λλλαλλλλλαβββ≠=+==+=±=+

由cos()sin()x A t v A t ω?ωω?=+?=-+

按周期定义，

()()cos()cos sin()sin A t A t T A t A t T ω?ω?ωω?ωω?+=++????

-+=-++????

，同时满足以上两方程的T 的

最小值应为

2

，所以2

T

，于是

1,2T

，称为圆频率或角频率。不像A 、

?，由初始条件决定，由固有参量k 和m 决定，与初始条件无关，故称为振子的固有频

率。简谐振动的状态的物理量位置和速度随时间变化，但只要()t ω?+相同，振动的状态就相同，所以()t ω?+是决定振动状态的物理量，称为位相。是位相的变化速率，单位是弧度/秒。

由于复数平面上任一点对应一个矢量，还可以用一个旋转矢量来描述简谐振动。

在相空间中，简谐振动由一条椭圆曲线所描述：

位移和动量 cos(),sin()x A t p mv m A t ω?ωω?=+==-+

满足椭圆方程 22

22

1()x p A m A ω+

= 举例：单摆的摆动

弹簧振子和单摆都是在弹性力或准弹性力作用下作简谐振动的保守系统，称为谐振子。由于弹性力是保守力，简谐振动中机械能是守恒的，于是

22

2222222

11cos (),sin()221sin (),221

2p k p k E kx kA t p m A t p k E m A t m m

E E E kA ω?ωω?ωω?ω=

=+=-+==+==+=

振动的合成与分解

①同方向、同频率的两简谐振动的合成(矢量法)

312123123i i i i t

x x x x Ae A e A e e ???ω??=++=++??

I.

21

2,0,1,2,k k 则12A

A A ，即当两分振动的相位差为的偶数

倍时，合振动的振幅为两分振动振幅之和。

II.

2

1

21,0,1,2,k k 则12A

A A ，

即当两分振动的相位差为的奇数倍时，合振动的振幅为两分振动振幅之差。

III.

2

1为一般值，则

1212A A A A A 。

②同方向、不同频率的两简谐振动的合成(三角函数法)—参见拍

③振动方向垂直的两谐振动的合成(三角法、计算机法)

212

1

2

1

1

2

121

221

21

12

222

2

22

2

1

1

2

21

221212

21

1cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos

sin sin

cos

cos cos sin sin cos cos 2cos cos

sin sin sin cos cos si x

t t A y t t A x y t A A x y xy

t A A A A x t A 2

1

2

12121

221

21

12

222

2

22

2

1

1

2

21

221212

222

2

1

21

2

212

12

n sin sin sin sin cos cos sin

sin sin

sin

sin sin cos sin cos cos 2

sin sin

cos sin 2

cos()sin t y t t A x y t A A x y xy

t A A A A x y xy

A A A A

若频率比为简单整数比，则合成曲线是稳定的封闭的，运动也具有周期性，其轨迹称为李萨如图形。

I.

若

2

1

0，则2

1A y

x A II. 若

2

21

1

,A y

x A III. 若

2221

2212,12

x y y

A A

IV. 若

2221

2

212

3,12

x y y A A

二、单自由度体系的小振动

单自由度指只需要一个坐标就可以确定系统的位置。

1. 自由振动

势能()V q 在平衡位置0q q =附近展开得

22

00021()()()()2q q dV d V V q V q q q q q dq dq ????=+-+-+

? ?????

11

22

112

2

12cos(),cos()

cos cos sin sin ,

cos cos sin sin

x

A t

y

A t

x

y

t t t t A A

第一项为常数，可取为势能的零点。因在稳定平衡位置势能取驻值(导数为0的点称为函数的驻点，在驻点取得的函数值为驻值，而极值点0x 是指函数在邻域()00,x x δδ-+)内，

()0f x 是函数的最大值或最小值)，第2项中的一阶导数为零。记

2212q

d V k dq ??

= ???

0x q q =-

得 212

V kx = 考虑到对稳定约束

0t ?=?r

，根据i i i q q t ααα

??=+??∑r r r ，可得动能

2

2

2201

1221211

(),()

22

i i i i

i i i i i i i i i i i T m q m q q m q q t q q q t m t T a q q mx m a q ααβαααβαααβα??????

??????=+=?+? ? ? ? ?????????????

???+ ????=≈=∑∑∑∑∑∑∑其中r r r r r r r 于是拉氏函数22

1122

L T V mx kx =-=

-。代入拉氏方程得 200mx kx x x ω+=+=或

其中ω=

上述方程有自由振动解：()cos x A t ωφ=+。A 为振幅，φ为初相位。

附注：拉格朗日方程

,,222222

22211111

(1,2,,)

1

11()()()2

22i i i i i i i i i N N N N N i i i i m x m y Y m z Z i N T m x y z m x y z m x y z ==X ====+++

+++=++∑

(1-1)(1-2)

如果讨论是“保守力系”(指力学系统中的力所作之功，仅与起末位置有关，而与具体

路径无关。具有此性质的力场，一定可以引入一位置函数(,,)V x y z ，而此力所作之功为

x y z F dx F dy F dz dV ++=-，按功与路径无关的性质，dV 应为一全微分

V V V

dV dx dy dz x y z

???=

++???，两式比较得,,i i i i i i V V V Y Z x y z ???X =-=-=-???，由此

得到

(1-6)

于是，由(1-1)得

0,0,0i i i i

i i d T V d T V d T V

dt x x dt y y dt z z ????????????+=+=+

= ? ? ????????????? 引入拉格朗日函数111111(,,,

,,,,,,,

,,,)N N N N N N L L x y z x y z x y z x y z T V ==-，可

将(1-6)式写成 (1-7)

将方程(1-7)的直角坐标,,x y z 换成广义坐标，即得描述具有s 个自由度系统的拉氏方程。

0(1,2,,)i i

d L L

i s dt q q ????-

= = ?????

2.

阻尼振动

当速度不大时，阻力与速度的一次方成正比，方向相反，即

-b R =x

运动方程变为m

+k b x x =-x ，即

2

0+βω

x x +x = (1-8)

其中b m β=

，令t x Ae λ=，代入(1-8)，得220+λβλω=+，解出'

2

i βλω-±=，其中'ωω≈=(因为阻尼系数β通常很小)。于是

()'2

cos t x Ae t β

ωφ-=+

(1-9)

当存在阻尼时，解是随时间减小的。

3. 受迫振动

若系统除存在阻尼外，还有固有性外力(策动力)，()cos F t F t Ω=，则运动方程变为

cos +b k F t Ωx x +x =

即 2

cos +f t βωΩx x +x = (1-10)

其中F

f m

=

，式(1-10)的通解可写成一个特解与相应的齐次方程的通解(1-9)之和。后者随时间衰减，逐渐趋向于零。其特解试探形式为

()cos x A t ψ=Ω+

代入(1-10)得

()()22

2

2

cos sin sin cos 0

A f

ωψβψω

ψβψ??-Ω-Ω=??-Ω+Ω=可解得

0(1,2,,)i i

d L L

i N dt x x ????-= = ?????

()()()()()()()

()()()()()()

()

()

()()()2

224

2

22

2

22

222222222

2

2

2

2222222222

2

2

2

2

2

2

2222222222

2

2

2-cos -sin --cos -sin -cos -2-sin sin -cos sin -sin sin --cos sin ---A ωψβψω

ωψβψωψωββψβψωψψωψβψβωωψβψωβωωβ=

??ΩΩ??

Ω

??ΩΩ=ΩΩΩ

??

Ω

??+Ω=Ω++Ω+Ω??

Ω=Ω

+Ω

=

??

Ω+Ω???+=Ω?

Ω+ΩΩ

()()()()()()

()

2222-1**222242-1

-122222--cos sin 0-1,-1---cos cos -sin 0sin ---tan -i j

ij ij A f A A A is A M transpose A

A f f A A A f f ωβψψβωωβωψψωβψψβωββψω+??ΩΩ????= ? ? ? ?ΩΩ?????

?==????ΩΩΩ??????=?=Ω+Ω ?

? ? ? ? ? ?ΩΩΩ??

???????

?

Ω∴=Ω

()()

222arctan

-f βψωΩ

=Ω?

当Ωω=时，发生共振，振幅为f A β=

Ω

。 举例1：弦振动方程

弦上取一段微元[],x x x +?，在任一时刻t 这一段弦所受诸力应当平衡，即张力+惯性力+外力=0。

惯性力：2222

(,)(,)

x x

x

u x t u x t dx x t t ρρ+???-

=-????

外力：

(,)(,)x x

x

f x t dx f x t x ρρ+?=??

x ，x 均为[],x x x +?中的点。

张力：惯性力和外力均垂直于x 轴，故张力在x 方向的投影的代数和为零。

2112

2

1

222

2

()cos ()cos 0cos |11tan 1cos |1

1tan 1x x x T x x T x u x u x αααααα+?+?-==

=

≈+???

+ ????=

=

≈+???

+ ????

，

1α是张力()T x 的方向与水平方向的夹