2009年高考安徽数学(理科)试题及参考答案

2009年高考安徽数学理科试题及答案

第I 卷 (选择题 共50分)

一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）i 是虚数单位，若

17(,)2i

a bi a

b R i

+=+∈-，则乘积ab 的值是（ ） （A ）-15 （B ）-3 （C ）3 （D ）15 （2）若集合{}

21|21|3,0,3x A x x B x

x ?+?

=-<=

则A ∩B 是（ ）

（A ） 11232x x x ??-<<-<

或 (B) {}

23x x <<

(C) 122x x ??-<

? （3

）

（A ）22124x y -= （B ）22142x y -= （C ）22146x y -= （D ）221410

x y -=

(4)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）

（A ）p:a c +＞b+d , q:a ＞b 且c ＞d

（B ）p:a ＞1,b>1， q:()(10)x

f x a b a =-≠>的图像不过第二象限 （C ）p: x=1, q:2

x x =

（D ）p:a ＞1, q: ()log (10)a f x x a =≠>在(0,)+∞上为增函数 （5）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，

则使得n S 达到最大值的n 是（ ）

（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 18 （6）设a ＜b,函数2

()()y x a x b =--的图像可能是（ ）

（7）若不等式组0

3434x x y x y ≥??+≥?

?+≤?

所表示的平面区域被直线

4

3

y kx =+

分为面积相等的两部分，

则k 的值是（ ） （A ）

73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34

（8）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调区间是（ ）

（A ）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ （B ）511[,],1212k k k Z ππππ++∈

（C ）[,],36k k k Z ππππ-+∈ （D ）2[,],63

k k k Z ππππ++∈

（9）已知函数()f x 在R 上满足2

()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点

(1,(1))f 处的切线方程是（ ）

（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+ （10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ） （A ）

175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。 (11）若随机变量X ～2

(,)μσ，则()P X μ≤=________.

(12)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为()4R π

θρ=

∈，它与曲线12cos 22sin x y α

α

=+??

=+?（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=_______.

(13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______.

（14）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o

. 如图

所示，点C 在以O 为圆心的圆弧

上变动.若,OC xOA yOB =+

其中

,x y R ∈,则x y +的最大值是=________.

（15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。

○

1相对棱AB 与CD 所在的直线异面； ○

2由顶点A 作四面体的高，其垂足是?BCD 的三条高线的交点； ○

3若分别作?ABC 和?ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ○

4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。 （16）（本小题满分12分） 在?ABC 中，sin(C-A)=1, sinB=13

。 （I ）求sinA 的值；

(II)设，求?ABC 的面积。

（17）（本小题满分12分）

某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A 感染的。对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是

12。同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是1

3

。在这种假定之下，B 、C 、D 中直接．．受A 感染的人数X 就是一个随机变量。写出X 的分布列(不要求写出计算过程),并求X 的均值（即数学期望）.

如图，四棱锥F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC=2，

，AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE=1，CF=2。 （I ）求二面角B-AF-D 的大小；

（II ）求四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 公共部分的体积。

（19）（本小题满分12分） 已知函数2

()(2ln ),0f x x a x a x

=-

+->，讨论()f x 的单调性.

（20）（本小题满分13分）

点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，00cos ,sin ,0.2x a y b π

βββ==<<直线

2l 与直线00122:

1x y l x y a b

+=垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ.

（I ）证明: 点P 是椭圆22

221x y a b

+=与直线1l 的唯一交点；

（II ）证明:tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列。

首项为正数的数列{}n a 满足2

11(3),.4

n n a a n N ++=

+∈ （I ）证明：若1a 为奇数，则对一切2,n n a ≥都是奇数； （II ）若对一切n N +∈都有1n n a a +>，求1a 的取值范围。

答案

一．选择题：BDBAB CACAD 二．填空题：11：1

2

12

： 13：127 14：2 15：○1○4○5

三．解答题

16解：（I ）由sin()1,,C A C A ππ-=-<-<知2

C A π

=+

。

又,A B C π++=所以2,2

A B π

+=

即2,0.2

4

A B A π

π

=

-<<

故2

1cos 2sin ,12sin ,sin 33

A B A A =-=

= (II)由（I

）得：cos 3

A =

又由正弦定理，得：sin ,sin sin sin BC AC A

BC AC A B B ==?=

所以11

sin cos 22

ABC

S AC BC C AC BC A ?=??=??=

17.解：随机变量X 的分布列是

X 的均值111111233266

EX =?+?

+?=。 附：X 的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是

1

：

在情形①和②之下，A 直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A 直接感染了两个人；在情形⑥之下，A 直接感染了三个人。

18.解：（I ）(综合法)连接AC 、BD 交于菱形的中心O ，过O 作OG ⊥AF ，G 为垂足。 连接BG 、

DG 。

由BD ⊥AC,BD ⊥CF,得：BD ⊥平面ACF ，故BD ⊥AF.

于是AF ⊥平面BGD,所以BG ⊥AF,DG ⊥AF,∠BGD 为二面角B-AF-D 的平面角。 由FC ⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=

4

π

.

由OB ⊥OG

得∠BGD=2∠BGO=2

π

.

(向量法)以A 为坐标原点，BD 、AC 、AE

方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空

间直角坐标系(如图).

于是((0,2,2).B D F 设平面ABF 的法向量1(,,)n x y z = ，则由1100n AB n AF ??=???=??

得02220

x y y z ?-

+=???+=?。 令1,z =

得1

x y ?=??=-??

1(1,1)n =-

同理，可求得平面ADF

的法向量21,1)n =-

。

由120n n ?=

知，平面ABF 与平面ADF 垂直，

二面角B-AF-D 的大小等于

2

π。 （II ）连EB 、EC 、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H ，则四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 的公共部分为四棱锥H-ABCD 。 过H 作HP ⊥平面ABCD ，P 为垂足。

因为EA ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，，所以平面ACFE ⊥平面ABCD ， 从而,.P AC HP AC ∈⊥

由

1,HP HP AP PC CF AE AC AC +=+=得2

3

HP =。

又因为1

2

ABCD S AC BD =?=菱形

故四棱锥H-ABCD

的体积139

ABCD V S HP =

?=菱形 19.解：()f x 的定义域是(0,+∞),222

22

()1.a x ax f x x x x -+'=+-=

设2()2g x x ax =-+,二次方程()0g x =的判别式2

8a ?=-.

① 当2

80,0a a ?=-<>

，即0a <<0x >都有()0f x '>. 此时()f x 在(0,)+∞上是增函数。

② 当280,0a a ?=-=>,

即a =

x =有()0f x '=,对其余的0x >都有

()0f x '>, 此时()f x 在(0,)+∞上也是增函数。

③ 当2

80,0a a ?=->>

，即a >

方程()0g x =

有两个不同的实根1x =

,2x =,120x x <<.

此时()f x 在(0,

2a 上单调递增, 在(22a a -是上单调递减, 在)+∞上单调递增.

20.解：（I ）（方法一）由00221x y x y a b +=得22

020(),b y a x x a y =-代入椭圆22221x y a b +=,

得2222

2002422

2000

21()(1)0b x b x b x x a a y a y y +-+-=. 将00cos sin x a y b ββ

=??

=?代入上式,得222

2cos cos 0,x a x a ββ-?+=从而cos .x a β=

因此,方程组22

22

002

211

x y a b x y x y a b ?+=????+=??有唯一解00x x y y =??=?,即直线1l 与椭圆有唯一交点P.

(方法二)显然P 是椭圆与1l 的交点，若Q 111(cos ,sin ),02a b βββπ≤<是椭圆与1l 的交点，

代入1l 的方程

cos sin 1x y a b

ββ

+=，得11cos cos sin sin 1,ββββ+= 即11cos()1,,ββββ-==故P 与Q 重合。

（方法三）在第一象限内，由22221x y a b +=可得0y y ==

椭圆在点P 处的切线斜率20

020

(),b x k y x a y '===-

切线方程为200020(),b x y x x y a y =--+即00221x x y y

a b

+=。

因此，1l 就是椭圆在点P 处的切线。

根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线1l 的唯一交点。

（II ）00tan tan ,y b

x a

αβ==1l 的斜率为2020,x b y a -2l 的斜率为2020tan tan ,y a a x b b γβ== 由此得2

tan tan tan 0,αγβ=≠tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列。 21.解：（I ）已知1a 是奇数，假设21k a m =-是奇数，其中m 为正整数，

则由递推关系得213

(1)14

k k a a m m ++==-+是奇数。 根据数学归纳法，对任何n N +∈，n a 都是奇数。 （II ）（方法一）由11

(1)(3)4

n n n n a a a a +-=

--知，1n n a a +>当且仅当1n a <或3n a >。 另一方面，若01,k a <<则113

014

k a ++<<=；若3k a >，则2133 3.4k a ++>

= 根据数学归纳法，1101,01,;33,.n n a a n N a a n N ++<?>?∈ 综合所述，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >。

（方法二）由21213

,4a a a +=>得211430,a a -+>于是101a <<或13a >。 22111133()()

,444

n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++--=-=

因为2113

0,,4

n n a a a ++>=所以所有的n a 均大于0，因此1n n a a +-与1n n a a --同号。

根据数学归纳法，n N +?∈，1n n a a +-与21a a -同号。

因此，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >。