北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》优质课教案_12
数据的数字特征
教学目标
1、知识与技能
（1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．
（2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差．
在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释．2
3、情感态度价值观
通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性．
教学重点、难点
教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差．
教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据．
教学设计：
（1）教法构想
本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用．通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息．（2）学法指导
学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合．
课时计划：2课时
教学过程：
一、【情景引入】
提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成．工作人员由五个领工和十个工人组成．工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈．小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元．你在学徒期每周75元，不过很快就可以
加工资了．”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表．”工资表如下：
这到底是怎么了？（学生思考交流）
教师点出课题：数据的数字特征
二、【探求新知】
数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征．
请大家思考，初中时我们学习了几个统计量？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考．
1、平均数、中位数、众数
某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下：
（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？为什么？
（4）公司经理会选取上面哪个数据来代表该公司员工的月工资情况？
税务官呢？工会领导呢？
通过这个问题的解决，我们应该认识到，各个不同的统计量适用于刻画不同
的统计数据，并且有着各自的特点．
平均数：一般地，对于N 个数N x x x ,,,21 ，我们把
N
x x x N
+++ 21叫做这
N 个数的算术平均数，简称平均数．平均数是数据的重心，它是反映数据集中趋势的一项指标．它的优点在于：对变量的每一个观察值都加以利用，比起众数与中位数，它会获得更多的信息；但是平均数对个别的极端值敏感，当数据有极端值时，最好不要用均值刻画数据．
众数：一组数据中出现次数最多的数据．众数着眼于对各数据出现的次数的考察, 是一组数据中的原数据，其大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其众数往往是我们关心的一种统计量. 注意：（1）一组数据中的众数有时不只一个，如数据2、3、-1、2、l 、3中， 2和3都出现了2次，它们都是这组数据的众数．
（2）如果出现个数一样的数据，或者每个数据都只有一次，那么众数可以 不止一个或者没有．
中位数：将一组数据从小到大排列或从大到小排列，处在中间位置上一个数据（或中间两个数据的平均数）．中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数据大，对于非对称的数据集，中位数更能实际地描述数据的中心．某些数据的变动对它的中位数影响不大．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势．
注意：（1）求中位数要将一组数据按大小顺序，而不必计算，顾名思义，中位数
就是位置处于最中间的一个数（或最中间的两个数的平均数），排序时，从小到大或从大到小都可以．
（2）在数据个数为奇数的情况下，中位数是这组数据中的一个数据；但在
数据个数为偶数的情况下，其中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等．
在同一组数据中,众数、中位数和平均数也各有其特性:
（1）中位数与平均数是唯一存在的,而众数是不唯一的；
（2）众数、中位数和平均数在一般情况下是各不相等,但在特殊情况下也可 能相等．如,在数据6、6、6、6、6中,其众数、中位数、平均数都是6． （3）众数和中位数可以代表数据分布的大体趋势，缺点在于并没有对数据
中的其它值加以利用．到底用什么统计量来刻画数据，需要结合数据的特点及你想要说明的问题进行选择．不同的人立场不同，会选择不同额统计量来说明他的观点，这也就是我们要对统计结论进行批判性思维的原因． 2、极差、方差
甲、乙两台机床同时生产直径是40mm 的零件．为了检验产品的质量，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，结果如下：
那么，我们可以用哪些数据来刻画数据的离散情况呢？
方法1、极差
甲：40.2-39.8=0.4（mm ），乙：40.1-39.9=0.2（mm ）； 方法2、方差
甲：()10221
11400.02610i i s x ==-=∑，乙：()1022
21
1400.00610i i s x ==-=∑；
方法3、
甲：()()404039.84039.840100.14mm -+-++-÷=， 乙：()()4040404039.940100.06mm -+-++-÷=；
方法4、
甲：()()33
3
404039.84039.840100.005mm -+-+
+-÷=
乙：()()3
3
3
4040
404039.940
100.0006mm -+-+
+-÷=
那么，在刻画数据的离散程度时，这个统计量应该满足哪些原则呢？
（1）应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息； （2）仅用一个数值来刻画数据的离散程度；
（3）对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值也大． 极差是指一组数据内的最大值和最小值之间的差． 极差=最大值—最小值
极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能
细致地反映测量值彼此相符合的程度．极差是总体标准偏差的有偏估计值，当乘以校正系数之后，可以作为总体标准偏差的无偏估计值，它的优点是计算简单，估算大致范围时用它.
极差大的那一组不一定方差大，反过来，方差大的，极差不一定也大． 方差，是一组数据据内，每个数与平均数的差数的平方和．
方差是表现数据的离散程度的（波动情况），方差越小，数据的离散程度越小，也就越接近平均值,当要求某问题的稳定程度就用它.
计算公式：设在一组数据,,12n x x ,x …中，x -
是它们的平均数，则方差为：
2
22
2121[()()()]---=-+-+⋯+-n S x x x x x x n
3、标准差
方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画数据离散程度的一种理想度量应该具有与原始数据相同的单位，因而引入标准差，标准差更能反映数据的离散程度．
标准差（Standard Deviation ），也称均方差（mean square error ），是各数据偏离平均数的距离的平均数，在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion ）上的测量．标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度．测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值， 与测量资料具有相同单位． 一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别．标准差能反映一个数据集的离散程度．平均数相同的，标准差未必相同．标准差的意义：标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确；反之,标准差越低,代表实验的数据越精确．
注：以上各量都带单位． 三、【知识应用】
例 甲、乙两名战士在相同条件下各射击靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．
（1）分别计算以上两组数据的平均数； （2）分别求出这两组数据的方差；
（3）请根据这两名射击手的成绩画出折线统计图，并估计这两名战士的 射击情况．
解：（1）
7107768=++++=
甲x （环），7
105
776=++++= 乙x （环）
（2）22221
[(87)(67)(77)] 3.010=
-+-++-=s 甲（环2
）
22221
[(67)(77)(57)] 1.210
=-+-+
+-=s 乙（环2
）
（3）因为=甲x 乙x ，所以说明甲、乙两名战士的平均水平相当．
又因为>甲2s 乙2s ，所以说明甲战士射击情况波动大．
故乙战士比甲战士射击情况稳定．
四、【课堂练习】
1、一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋20双，其中各种尺码的鞋的销量 如表所示：
指出这组数据的众数、中位数、平均数．
解：30cm ，21cm 的鞋各出现5次，故众数为30cm ，21cm ；
求中位数时应注意，在排列数据时应考虑每一个数出现的次数，本题 中共有20514352=+++++个数据，第10位数据为23，第11位 数据是25，
故中位数
2
24
23+＝24(cm) ． 平均数为
6.2420
25
4215233202281305=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(cm) 2、下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：
请参照这个表解答下列问题：
（1）用含x ，y 的式子表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ； （2）若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求,x y 的值． 解：（1）3559
40
x y f ++=
；
（2）依题意，有3541
11{
x y x y +=+=解得74{
x y ==
3、（2007海南高考，理11）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各 射箭20次，三人的测试成绩如下表： 甲的成绩：
乙的成绩：
丙的成绩：
12
3s s s 、、分别表示甲、乙、丙三名射箭运动员这次测试成绩的标准差， 则有（C ）
A.123s s s >>
B.312s s s >>
C.213s s s >>
D.231s s s >>
4、课本第31页 练习 五、【课堂小结】
本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用，
1、一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数．数据
12,,
,n x x x 的平均数为12n
x x x x n
++
+=
．平均数对数据有“取齐”的作
用，代表该组数据的平均水平．
2、一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．一组数据的中位数是唯一的，反映了数据的集中趋势．
3、一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了数据的集中趋势．
4、一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况．
5、方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用2s 表示，通常用公式
2222121
[()()()]n s x x x x x x n
=-+-+
+-来计算．反映了数据的离散程
度．方差越大，数据的离散程度越大．方差越小数据的离散程度越小．
6、标准差等于方差的正的平方根，即s =组数据围绕平均数的波动程度的大小．
六、【分层作业】
1、课本第23页 习题1—4 1、2
2、课本第69页 复习参考题一 A 组5、6
3、创新设计相关内容
4、阅读课本第29—30页 利用信息技术计算数字特征
北师版数学高一课时作业 1.4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差- 4.2 标准差
1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2标准差 一、选择题 1．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x为() A．21 B.22 C．20 D.23 2．下列说法正确的是() A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大 B．平均数反映数据的集中趋势，标准差则反映数据离平均值的波动大小 C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和 D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 3．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，下列说法正确的有() ①甲队的技术比乙队好； ②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球； ④甲队的表现时好时坏 A．1个 B.2个 C．3个 D.4个 4．在一次歌声大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下： 9.48.49.49.99.69.49.7 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为() A．9.40.484 B.9.40.016 C．9.50.04 D.9.50.016 5．已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有() A．a>b>c B.a>c>b C．c>a>b D.c>b>a 6．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是() A．众数 B.平均数
高中数学统计.板块四.统计数据的数字特征.学生版
一．随机抽样 1．随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法： ⑴简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样． 抽出办法：①抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法． ②随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表．表中每一位置出现各个数字的可能性相同． 随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法． 简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法． ⑵系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的抽样方法． 抽出办法：从元素个数为N 的总体中抽取容量为n 的样本，如果总体容量能被样本容量整 除，设N k n =，先对总体进行编号，号码从1到N ，再从数字1到k 中随机抽取一个数s 作 为起始数，然后顺次抽取第2(1)s k s k s n k +++-，，，个数，这样就得到容量为n 的样本．如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样． 系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样． ⑶分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样． 分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛． 2．简单随机抽样必须具备下列特点： ⑴简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N 是有限的． ⑵简单随机样本数n 小于等于样本总体的个数N ． ⑶简单随机样本是从总体中逐个抽取的． ⑷简单随机抽样是一种不放回的抽样． ⑸简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n N ． 3．系统抽样时，当总体个数N 恰好是样本容量n 的整数倍时，取N k n =； 若N n 不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量n 整除．因为每个个体被剔除的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍 知识内容 板块四.统计数据的数字特征
北师大版高中数学必修3《一章 统计 4 数据的数字特征 4.1平均数、中位数、众数、极差、方差》优质课教案_12
数据的数字特征 教学目标 1、知识与技能 （1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息． （2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差． 在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释．2 3、情感态度价值观 通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性． 教学重点、难点 教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差． 教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据． 教学设计： （1）教法构想 本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用．通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息．（2）学法指导 学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合． 课时计划：2课时 教学过程： 一、【情景引入】 提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成．工作人员由五个领工和十个工人组成．工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈．小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元．你在学徒期每周75元，不过很快就可以
加工资了．”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表．”工资表如下： 这到底是怎么了？（学生思考交流） 教师点出课题：数据的数字特征 二、【探求新知】 数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征． 请大家思考，初中时我们学习了几个统计量？它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点？请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考． 1、平均数、中位数、众数 某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下： （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； （2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？ （3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？为什么？ （4）公司经理会选取上面哪个数据来代表该公司员工的月工资情况？ 税务官呢？工会领导呢？ 通过这个问题的解决，我们应该认识到，各个不同的统计量适用于刻画不同
北师大版数学高一必修3教案1.4.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差
§4数据的数字特征 4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4．2 标准差 整体设计 教学分析 在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题．在这个基础上，高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，达到在具体的问题中能根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征． 三维目标 1．能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力． 2．通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力． 重点难点 教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用． 教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路 那么怎样判断中国女排和俄罗斯女排的队员谁的身材更为高大？我们分别求出两队球员的平均身高，谁的平均身高数值大，谁的身材就更高大，教师点出课题：数据的数字特征．思路 2.小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成．工作人员由五个领工和十个工人组成．工厂经营得很顺利，需要增加一个新工人，小亮需要一份工作，应聘而来与小明交谈．小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元．你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了．”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么
可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表．”工资表如下： 人员 小明 小明弟弟 亲戚 领工 工人 周工资 2 400 1 000 250 200 100 人数 1 1 6 5 10 合计 2 400 1 000 1 500 1 000 1 000 这到底是怎么了？教师点出课题：数据的数字特征． 推进新课 新知探究 提出问题 1．什么叫平均数？有什么意义？ 2．什么叫中位数？有什么意义？ 3．什么叫众数？有什么意义？ 4．什么叫极差？有什么意义？ 5．什么叫标准差？有什么意义？ 6．什么叫方差？有什么意义？ 讨论结果： 1．一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数．数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n .平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水 平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质． 2．一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势． 3．一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势． 4．一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况． 5．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用公式 s ＝1n [x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2 ]来计算． 可以用计算器或计算机计算标准差．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差大，数据的离散程度大；标准差小，数据的离散程度小．标准差的取值范围是[0，＋∞)． 样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差的计算步骤： (1)计算样本数据的平均数，用x 来表示； (2)计算每个样本数据与样本数据平均数的差：x i －x (i ＝1,2，…，n )； (3)计算x i －x (i ＝1,2，…，n )的平方； (4)计算这n 个x i －x (i ＝1,2，…，n )的平方的平均数，即方差； (5)计算方差的算术平方根，即为样本标准差． 6．方差等于标准差的平方，即s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2 ]，与标准 差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的程度的大小．方差的取值范围是[0，＋∞)． 应用示例
1.5数据的数字特征 教案(高中数学北师大版必修3)
第六课时 1.5数据的数字特征 自主学习 教学目标 1．熟练掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等概念． 2．会根据问题的需要选择不同的统计量表达数据的信息． 三、教学重、难点 教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用. 教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息. 四、设计思路 1、教法构想：本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均 数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用.通过具体的实例，让学 生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息. 2、学法指导：学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合. 教学导引 1．平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度 2．标准差：s＝s2＝(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n－x)2 n. 3．标准差的单位与原始测量单位相同，在统计中，我们通常用标准差刻画数据的离散程度． 对点讲练 知识点一众数、中位数及平均数的应用 例1 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到 30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看 法． 例1解(1)平均数是x＝
5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋5×2 500＋3×2 000＋20×1 500 33 ≈2 091(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)平均数是x ＝ 20 000＋30 000＋3 500×2＋3 000＋5×2 500＋3×2 000＋20×1 500 33 ＝3 288(元)． 中位数是1 500元，众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 点评 (1)在研究实际问题时，根据实际要解决的问题与平均数、中位数、众数的特点分别作以比较，应用相关知识求出有关量． (2)当数据较大，求平均数时通常减去某一个常数，如本例中可先减一个1 500，然后再求较为简单． 变式迁移1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示： 分别求这些运动员成绩的众数、中位数和平均数(平均数的计算结果保留到小数点后第2位)，并对这些成绩数据作出科学的评判． 变式迁移1 解 在这17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75；表中的17个数据看成按从小到大顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中 间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平均数是x ＝1 17×(1.50×2＋ 1.60×3＋…＋1.90×1)≈1.69(m)．故这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75 m 、1.70 m 、1.69 m. 在以上数据中，运动员成绩的众数是1.75 m ，说明成绩为1.75 m 的人数最多；运动员成绩的中位数是1.70 m ，说明成绩在1.70 m 以下和1.70 m 以上的人数各占一半；运动员成绩的平均数是1.69 m ，说明所有参赛运动员的平均成绩是1.69 m. 知识点二方差、标准差的计算 例2 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下： 问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？ 例2 解 x 甲＝1 5 ×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，
2019-2020学年高中数学 第1章 统计 4 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.
4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4．2 标准差 一、平均数、中位数、众数 1．众数的定义 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个． 2．中位数的定义及求法 把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数． 3．平均数的定义 如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n n ，叫作这n 个数的平均数． 二、极差、方差、标准差 1．标准差、方差 (1)标准差的求法： 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示． s (2)方差的求法： 标准差的平方s 2 叫作方差． s 2＝1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] 其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本均值． (3)方差的简化计算公式：
s 2＝1 n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2 ] ＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2. 2．极差 一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差． 3．数字特征的意义 平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度． 思考：一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？ [提示] 一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个． 1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数的大小关系是( ) A ．平均数＞中位数＞众数 B ．平均数＜中位数＜众数 C ．中位数＜众数＜平均数 D ．众数＝中位数＝平均数 D [可得该组数据的平均数、中位数和众数均为50.] 2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( ) A. 6 5 B.65 C. 2 D ．2 D [∵样本的平均数为1，即15×(a ＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a ＝－1，∴样本方差s 2 ＝15×[(－ 1－1)2 ＋(0－1)2 ＋(1－1)2 ＋(2－1)2 ＋(3－1)2 ]＝2.] 3．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，则x 等于( ) 18 0 1 17 0 3 x 8 9 A.5 B ．6 C ．7 D ．8 D [由题意知，10＋11＋0＋3＋x ＋8＋9＝7×7，解得x ＝8.] 4．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
2020_2021高中数学第一章统计1.4.1_2平均数中位数众数极差方差标准差北师大版必修3
课时作业5 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列说法正确的是( ) A ．在两组数据中，平均数较大的一组方差较大 B ．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小 C ．求出各个数据与平均数的差的平方后再相加，所得的和就是方差 D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 解析：由平均数、方差的定义及意义可知选B. 答案：B 2．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表所示： 环数 7 8 9 人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是( ) A ．5 B ．6 C ．4 D ．7 解析：设成绩为8环的人数为x ，则有7×2＋8x ＋9×3x ＋2＋3 ＝8.1，解得x ＝5，故选A. 答案：A 3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为 ( ) 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A. 3 B.2105 C ．3 D.85 解析：因为x ＝100＋40＋90＋60＋10100 ＝3， 所以s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝1100 (20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝160100＝85 ， 所以s ＝2105 .故选B. 答案：B 4．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为 91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367
2019-2020年高中数学北师大版必修3第一章《统计》(估计总体的数字特征)word教案
2019-2020年高中数学北师大版必修3第一章《统计》（估计总体的 数字特征）word教案 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 （2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。 （3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 （4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 2、过程与方法： 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 3、情感态度与价值观： 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 二、重点与难点 重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。 三、教学方法： 探究归纳，思考交流 四、教学过程 （一）、创设情境 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。 （二）、探究新知 <一>、众数、中位数、平均数
〖探究〗：（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？ （2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论） 初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。 〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答） 分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。 〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？ 分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。 〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）（图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。 〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例） <二>、标准差、方差 1．标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。
北师大版高中高二数学必修3《数据的数字特征》评课稿
北师大版高中高二数学必修3《数据的数字特征》评课稿 一、课程概述 《数据的数字特征》是北师大版高中高二数学必修3中的 一节课程。本节课主要介绍了用于描述数据的数字特征的概念、计算方法以及应用场景。通过本节课的学习，学生将能够深入理解数据的变化规律，了解数据分布的特点，掌握通过数字特征进行数据分析的方法。 二、课程目标 1.了解描述数据分布的概念和方法； 2.掌握常用的数字特征计算公式； 3.学会应用数字特征进行数据分析； 4.培养学生的数据分析能力和解决实际问题的能力。 三、教学重点 •数字特征的概念和计算方法； •应用数字特征进行数据分析。 四、教学内容 1. 数据的数字特征概述 在实际生活和科学研究中，我们经常会遇到大量的数据， 如何从这些数据中提取有用的信息就成为一个重要的问题。数据的数字特征就是用来描述数据的统计量，通过对数据的数字特征进行计算和分析，我们可以更好地理解数据的性质和规律。
2. 常用的数字特征 (1) 平均数 平均数是描述一组数据中的集中趋势的常用数字特征，它 表示数据的平均水平。计算平均数的方法有简单平均数和加权平均数两种。 (2) 中位数 中位数是将一组数据按照大小排列后处于中间位置的数值，它可以描述数据的典型值。计算中位数的方法是将数据从小到大排列，如果数据的个数是奇数，则中位数就是中间的那个数；如果数据的个数是偶数，则中位数是中间两个数的平均值。 (3) 众数 众数是一组数据中出现次数最多的数值，它可以描述数据 的出现频率。一组数据可以有一个众数，也可以有多个众数，甚至没有众数。 (4) 极差 极差是一组数据的最大值与最小值之间的差值，它可以描 述数据的变化范围。 (5) 方差和标准差 方差和标准差是描述一组数据的离散程度的数字特征。方 差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，标准差是方差的平方根。 3. 数字特征的应用 数字特征在实际应用中具有广泛的应用场景。比如，在经 济学中，可以用平均数、方差等数字特征来描述经济指标的变化情况；在医学研究中，可以用中位数、众数等数字特征来描
高一数学北师大版必修教案：第一章统计《估计总体的数字特征》
§1.5估计总体的数字特征(二) 一、教学目标： 1、知识与技能： （1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 （2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。 （3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。 （4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 2、过程与方法： 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。 3、情感态度与价值观： 会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。 二、重点与难点 重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。 三、教学方法： 探究归纳，思考交流 四、教学过程 （一）、创设情境 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。 （二）、探究新知 <一>、众数、中位数、平均数 〖探究〗：（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论） 初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。 〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答） 分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。 〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？ 分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。由此可以估计出中位数的值为2.02。 〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）（图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的。 〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例） <二>、标准差、方差 1．标准差 平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断。某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高。但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质。因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态。 例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
北师大版高中数学必修三数据的数字特征同步练习(二)
高中数学学习材料 （灿若寒星精心整理制作） 数据的数字特征同步练习(二) 1．下列说法错误的是（） A．平均数、众数、中位数、极差、标准差都是统计量 B．中位数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量 C．刻画数据离散程度的度量，其理想形式应满足三条原则：充分利用所得到的数据，提供更确切的信息；仅用一个数值来刻画数据的离散程度； 当数据集离散程度越大时，该数值越大 D．由于标准差的单位与原始测量单位相同，所以在统计中通常用标准差来刻画数据的离散程度 2．某学校教师的月工资情况如下表： 则该学校教师的月工资的平均数为__________． 中位数为_________．众数为___________． 3．利用信息技术计算一组数据的数字特征时，我们常常利用计算机_________软件或利用科学计算器的________功能． 4．用随机抽样的方法从高一（1）班和该一（2）班中各抽取10名男生，测得他们的身高分别为（单位：cm）： 高一（1）班：162 168 175 177 180 176 177 173 177 169 高一（2）班：167 182 174 178 183 160 173 164 165 178 （1）分别计算两班10名男生的平均身高及标准差． （2）若要由一个班组成仪仗队，你建议由哪班组成，为什么？
5．用抽样考察去估计总体是一种推断性的统计方法，样本平均数能估计，样本方差能估计，样本的频率分布能估计。 6．一组数据的平均数为1，标准差为2，如果在这组数据中增加一个1，它的平均数会改变吗？它的标准差会改变吗？ 7．下表是某次辩论赛中甲、乙双方辩手的成绩，如果以此来评定胜负你认为哪方是优胜者？为什么？ 一辩二辩三辩四辩甲方80 76 35 86 乙方75 64 60 78 8．你能举例说明众数在生活中的应用吗？
北师大版高中数学必修3第1章《平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差》练习
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A ．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大 B ．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小 C ．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和 D ．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 【解析】 平均值的大小与方差的大小无任何联系，故A 错，由方差的公式s 2＝1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]知C 错．对于D ，方差大的表示其射击环数比较分散，而非射击水平高，故D 错． 【答案】 B 2．一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 为 ( ) A ．21 B ．22 C ．20 D ．23 【解析】 由中位数的概念知x ＋23 2＝22，所以x ＝21. 【答案】 A 3．(2016·长沙四校联考)为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图1-4-3所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是( ) 图1-4-3 A ．中位数为83 B ．众数为85 C ．平均数为85 D ．方差为19
【解析】易知该同学的6次数学测试成绩的中位数为84，众数为83，平均数为85. 【答案】 C 4．为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可推断我国13岁男孩的平均身高为() A．1.54 m B．1.55 m C．1.56 m D．1.57 m 【解析】x＝300×1.60＋200×1.50 300＋200 ＝1.56(m)． 【答案】 C 5．为了普及环保知识，增强环境意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图1-4-4所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为x，则() 图1-4-4 A．m e＝m0＝x B．m e＝m0＜x C．m e＜m0＜x D．m0＜m e＜x 【解析】由图知30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分、10个人得5分、6个人得6分、3个人得7分，2个人得8分、2个人得9 分、2个人得10分，中位数为第15、16个数的平均数，即m e＝5＋6 2＝5.5,5出 现次数最多，故m0＝5.x＝1 30(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9 ＋2×10)≈5.97.
高中数学数据的数字特征课文知识点解析
数据的数字特征-课文知识点解析 要点提炼 1.众数、中位数、平均数 在教材所给问题中，甲组数据的中位数是21 （18+22）=20；众数 是10、18、30；平均数是22.2.乙组数据的中位数是21（27+31）=29；众数是23、24；平均数是28.6. 我们再看下面的例子： 假设我们通过抽样，获得了某城市100位居民2003年的月均用水量（单位：t ）. 3.1 2.5 2.0 2.0 1.5 1.0 1.6 1.8 1.9 1. 3.4 2.6 2.2 2.2 1.5 1.2 0.2 0.4 0.3 0. 3.2 2.7 2.3 2.1 1.6 1.2 3.7 1.5 0.5 3.3.3 2.8 2.3 2.2 1.7 1.3 3.6 1.7 0.6 4.3.2 2.9 2.4 2.3 1.8 1.4 3.5 1.9 0.8 4.3.0 2.9 2.4 2.4 1.9 1.3 1.4 1.8 0.7 2.2.5 2.8 2.3 2.3 1.8 1.3 1.3 1.6 0.9 2.2.6 2.7 2.4 2.1 1.7 1.4 1.2 1.5 0.5 2.2.5 2.6 2.3 2.1 1.6 1.0 1.0 1.7 0.8 2.2.8 2.5 2.2 2.0 1.5 1.0 1.2 1.8 0.6 2.作出这些样本数据的频率直方图. 频率 组距月均用水量(t ) 0.500.400.300.200.10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 图1－5－1 从图1－5－1中可以看出月均用水量的众数是2.25 t （最高矩形的中点）.这组数据的中位数可经计算求得为2，那能否从频率分布直方图中估计中位数呢？我们知道在这组数据中有50%的数小于或等于中位数，也有50%的数大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计中位数的值（如图1－5－2虚线处代表中位数的估计值）.由图1－5－2显示，大部分居民的月均用水量在中部，但也有少数居民的月均用水量特别高，因此，应该对这部分居民的用水量作出合理限制. 如果有n 个数x1，x2，…，xn ，那 么它们的平均数为x =n 1 （x1+x2+… +xn ）. 全析提示 一组数据的众数、中位数、平均数既可以由计算得出，也可以在数据的频率直方图中显现出来.在图1－5－1中我们能更容易地理解它们的意义和作用. 思维拓展 中位数不受少数几个极端值的影响.
2020-2021学年数学北师大版必修3学案：1.4数据的数字特征含解析
2020-2021学年数学北师大版必修3学案：1.4数据的数字特 征含解析 §4 数据的数字特征 知识点一众数、中位数、平均数 [填一填] 1．众数 (1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数． (2)特征：一组数据的众数可能多个，也可能没有，它反映了该组数据的频率分布． 2．中位数 (1)定义：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数． (2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势． 3．平均数 (1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商叫作这组数据的平均数，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n . (2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的平均水平，但平均数受数据中的每一个数据的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．[答一答] 1．一组数据的平均数是否一定能说明现实中的平均水平？提示：在用平均数估计总体时，样本中的每一个数据都会影响到平均数的大
小，因此在实际操作中，一定要注意异常数据对平均数的影响，以便作出正确估计． 比如：某地区的年平均家庭年收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭年收入普遍较高．但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭年收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入．知识点二标准差、方差、极差 [填一填] 4．标准差 (1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用以下公式来计算 s 可以用计算器或计算机计算标准差． (2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小． 5．方差 (1)定义：标准差的平方，即 s 2 ＝1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． (2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的 (3)取值范围：s2≥0. 6．极差 (1)定义：一组数据的最大值和最小值的差称为这组数据的极差． (2)特征：表示该组数据之间的差异情况． [答一答] 2．怎样正确理解标准差与方差． 提示：①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，
2017-2018学年高中数学北师大版三教学案：第一章§4数据的数字特征含答案
[核心必知] 1．众数、中位数、平均数 （1）众数的定义： 一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数,一组数据的众数可以是一个，也可以是多个． (2)中位数的定义及求法: 把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数（或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数． （3）平均数： ①平均数的定义： 如果有n个数x1、x2、…、x n，那么错误!＝错误!,叫作这n个数的平均数． ②平均数的分类： 总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数． 样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数． 2．标准差、方差
(1）标准差的求法： 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．s＝错误!. (2)方差的求法： 标准差的平方s2叫作方差． s2＝错误!［（x1－错误!)2＋(x2－错误!）2＋…＋(x n－错误!）2］． 其中，x n是样本数据，n是样本容量，错误!是样本均值． (3)方差的简化计算公式： s2＝错误![(x错误!＋x错误!＋…＋x错误!)－n错误!2] ＝错误!（x错误!＋x错误!＋…＋x错误!）－错误!2. 3．极差 一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差． 4．数字特征的意义 平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度． [问题思考］ 1．一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？ 提示:不一定．若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数；不是,可以是一个，也可以是多个．
2．如何确定一组数据的中位数？ 提示：（1）当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数． （2）当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值． 讲一讲 1。据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元）如下： （1) (2）假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是
高中数学 第一章 统计 4.1-4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差教学案 北师大版必修
4．1 & 4.2 平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差 预习课本P25～31，思考并完成以下问题 (1)什么是平均数、中位数、众数？ (2)什么是极差、方差、标准差？ (3)方差、标准差的计算公式是什么？ [新知初探] 1．平均数、中位数、众数 (1)平均数 如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ， 叫作这n 个数的平均数． (2)中位数 把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数． (3)众数 一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个． [点睛] 如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；假设一组数据中，每个数据出现的次数一样多，那么认为这组数据没有众数． 2．极差、方差、标准差 (1)极差 一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差． (2)方差 标准差的平方s 2 叫作方差．
s 2＝1 n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． 其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数． (3)标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝ 1n [ x 1－x 2 ＋x 2－x 2 ＋…＋x n －x 2 ]. [点睛] (1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． (2)标准差、方差为0时，说明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性． (3)标准差的大小不会超过极差． [小试身手] 1．判断正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．( ) (2)一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半那么不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．( ) (3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．( ) (4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) (5)数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.那么这一组数据的众数和中位数分别为( ) A ．84,68 B ．84,78 C ．84,81 D ．78,81 解析：选C 将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81. 3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如下图，那么该学生这几次数学测试的平均成绩为________． 解析：根据茎叶图提供的信息知，这几次测试成绩为53,60,63,71,74,75,80.所以所求