振动与冲击 JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK

第26卷第4期

Vol. 26 No. 4 2007

振

动与冲击 JOURNAL OF

VIBRATION AND SHOCK

运用小波分析方法进行结构模态参数识别

朱宏平，翁顺

(1.华中科技大学土木工程与力学学院，武汉430074)

摘要结构的模态参数反映了结构自身特性，是基于动态特性的结构损伤识别和健康评估的重要因子。本文首 先介绍了环境激励下基于小波分析的模态参数识别方法，针对土木工程结构的前几阶自振频率处于低频区域以及环境激 励下结构响应信号信噪比很低的特点，着重论述了采用小波方法抑制原始测量信号中的高频成分（即噪音），从而突出结 构低频特性的降噪处理方法的基本原理。通过比较传统傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换三种方法对一实际高层 建筑结构现场测试信号的处理结果以及有限元分析结果，认为小波分析方法可以更精确、更有效地识别工程结构的模态 参数。

关键词：傅里叶变换，短时傅里叶变换，小波变换，降噪，模态参数

中图分类号：TN911.6; TU311.4 文献标识码：A

在高层建筑抗震、抗风、健康监测及损伤诊断等研 究中，结构模态参数是非常重要的设计参数之一，基于 环境激励的模态参数识别方法越来越受到人们的重 视[1]

。目前国内外在结构模态参数识别方面的研究方 法有很多，主要可以分为：①频域方法：它是建立在频 响函数的理论基础上的，频域法的最大优点是利用频 域平均技术，最大限度地抑制了噪声影响，使模态定阶 问题容易解决，但也存在着如功率泄露、频率混叠、离 线分析等问题)②时域方法:是直接利用响应的时域信 号进行模态参数识别。与频域法相比，时域法对于分 离密集模态有更好的效果;③小波分析法[2(

:比短时傅 里叶变换具有更好的时频窗口特性，克服了傅里叶变 换中时-频分辨率恒定的弱点，因此它能在具有足够 时间分辨率的前提下分析信号中的短时高频成分，又 能在很好的频率分辨率下估计信号中的低频。④基于 H HT 变换的非平稳信号的处理方法：它以瞬时频率 为基本量，以固有模态信号为基本信号，用于非平稳 信号处理;⑤基于模拟进化的模态参数识别的方法：

该方法实现了基于达尔文进化理论的整体优化算法 用于识别线性振动结构的模态参数。基于模拟进化 的模态参数识别方法用于测试噪音是很可靠的，但该 方法用于识别更复杂模态的现实问题上，还需要更进 一步研究。

本文针对实际工程，对环境激励下的高层建筑振 动响应信号采用小波方法进行分析[3 (

，有效地识别高 层建筑固

有模态参数，并同传统傅里叶变换、短时傅里 叶变换的结果相比较，证实了小波分析方法在处理随

基金项目：国家自然科学基金（50378041)和教育部新世纪优秀人才基金 (2004年）资助

收稿日期：2006 -06 -21修改稿收到日期:2006 -07 -27

第一作者朱宏平博士，教授，博士生导师,1965年11月生 机信号方面的优

越性。由于环境激励下的振动测试信 号信噪比低[4(，对信号分析造成一定的干扰，本文用小 波分析方法对测试信号进行降噪处理，结果表明小波 方法能有效抑制噪音，还原真实信号，提取更多有用 信息。

1小波分析方法基本理论

傅里叶变换的实质是把波形分解成许多不同频率 正弦

波的叠加，是傅里叶级数在连续情况下的推广，函 数!") "L 1

($)的傅里叶变换为：

%(!) = fV !

/( ( D

⑴

J — A

短时傅里叶变换在傅里叶分析基础上引入时域信 息的最初尝试，它的基本思想是:把信号划分成许多小 的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便 确定该时间间隔存在的频率。以高斯函数g a (/)=

为窗的短时傅里叶变换可定义为[;(

：

考虑信号"（t) = A( t) COS (!)的解析信号"(t)=

2 !&a

从频域上看，用不同尺度作小波变换相当于用一 组带通滤波器对信号进行带通滤波处理。在表达式 (6 )中.求得信号在固定小波函数l#,b( t)上的分量.对 参数a 和b 进行展开后，就得到任何时刻，任意精度的 频谱了。但是对实际计算来讲,这样的代价太高,类似 傅里叶级数的想法，把参数a 或6或（a, b )同时做离 散,得到离散小波变换。离散小波函数可表示为：

#3 = a '#( a ' - 40 )，j,4 " 6 (7 )

离散小波变换的系数可表示为：

1,4 ( t) = \_A f( t) #3,4 ( t) dt (8 )

设函数##( t) " L 2 ($)，如果存在两个常数 A.B. 且0<4

A % 3"6 #(2'!) I 2 %

B (9)

几乎处处立，如果A=B 则称为最稳定条件。那 么函数序

列丨12,(4)丨叫做函数/的二进小波变换： 1/(4) = [/(t)，#2,(4)]

1 广 =去f /(t )#$ (2-t - 4)dt (10)

2 J-A 由小波的定义可知，小波函数和其傅里叶变换

#o ,b( !)满足窗函数的条件，小波函数的时间窗和频率 窗可以表示为： #a ，b (t) ： [ b + at 0 - a $#，b + at 0 + a $# ] #" t)经伸缩和平移所产生的函数族：

#a.b( () &

~dr ：t )的小波变换的关系

(12)

! A( b) 2

(13)

w f (a,b) (17)

LA >

[ 1( a

，b) ] = !d b 2 &0

单自由度粘性阻尼系统脉冲响应函数经过小波变换 后，由其模及相位可以得到：

-db(ln I 1= a ，b) I

%! (1 = )

j a >[ 1( a ，b)]

!d

db

同理，多自由度粘性阻尼振动系统脉冲响应函数可以 写成：

(19)

+ o

a

式中a >0是尺度参数,6是平移参数.其值可正可 负。小波变换实际上是将待分析信号向一系列小波基 #a,b ( t)上进行正交投影。

函数! t)的连续小波变换定义为：

1( *.0) = # ^ /(() #$(() dt (5 #

式中#:’b ( t)是>#a,b ( t)的复共轭函数。小波变换 必须满足式

（3 ) *容许条件”。因此，基本小波函数

#( t)也必须满足#( !) 1!=。= 0 ,就是说#( t )可以看作 带通滤波器。在频域中.小波变换可以写为： #a ，b ( t)的时间-频率窗面积相同，随la I 越大，频 率窗越小，时间窗越大。通过选取不同的a .时间窗和 频率窗的比例可自行调节。 2基于小波变换的模态参数识别

f (!) # $ (a!) e i

d ? (6) ,(!)：[' (4 ) a a

;[A(b) ]

1 #$ (!

忽略小量；(A(b ))，得到

1*( a ，b) = !*A( b) #$ ( a!) e 一 （14)

如果将单自由度粘性阻尼系统脉冲响应函数表 示为：

"(t) = A 0e"-!°!cos (!01 2 &0)

(15)

式中人为振动幅值，!<&!： = ! --2 !<分别是系统在 无阻尼和有阻尼情况下的圆频率，％是相对阻尼比，&0 是初始相位。那么单自由度粘性阻尼系统脉冲响应函 数的小波变换为：

1(a

，b) -iw (一e — (16)

对于给定的尺度参数a ，小波变换的模与相位分别是：

{ I a ，b) I = !T Ae -!

?( t) = & A A t) COS ( !dA 2 &A

i = 1

A( t) = A0e--!"A

式中，W 是需要考虑的模态阶数，A0i&!

分别是系统第i 阶振幅、无阻尼情况固有频率、 有阻尼情况固有频率和相对阻尼比。

对多自由度粘性阻尼振动系统脉冲响应函数作小 波变换

"(t) +3["( t) ] = A (t) e !t ，式中 9["(t)]是"(t)的 Hilbert 变换[5]：

1 广 / 、 1

9[

"⑴]

& J -A 信号"(t )与其解析信号 可表示为：

1(a

，b) 二丁1"(a ，b) 1( a ，b)

)e J!!dt

(11)

t

小波函数#>( t)具有紧支撑性，可以将a( t )在 4附近泰勒级数展开 1

,(!，") = # e_1!/( (ga(t — ") d( (2)

J —A

随着"的变化，ga (/"确定的时间窗在整个实轴上移动，这样就可以对不同时段的信号逐段进行分析，,(!，"）就大致反映了在"时刻，频率为!的信号的相对含量。a越小的情况下，高斯函数的时间精度越高，用作短时傅里叶变换的时间窗越小，频率精度越低。

设#( t) " L2 ($)( L2($)表示平方可积的实数空

间，即能量有限的信号空间），其傅里叶变换为^ ( !)。

当#( !)满足允许条件：-=#/ A ⑶

中JR I ! I

我们称#((为一个基本小波或母小波（Mother Wavelet)。一般所讨论的小波，是指将一个基本小波函数