新编基础物理学(上册)1-2单元课后答案

新编物理基础学(上、下册)课后习题详细答案

王少杰，顾牡主编

第一章

1-1.质点运动学方程为：cos()sin(),r a t i a t j btk ωω=++其中a ，b ，ω均为正常数，求质点速度和加速度与时间的关系式。

分析：由速度、加速度的定义，将运动方程()r t 对时间t 求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。

解：/sin()cos()==-++v dr dt a t i a t j bk ωωωω

2/cos()sin()a dv dt a t i t j ωωω??==-+??

1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2/d d v v K t -=， 式中K 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为 0Kx v v e -= 。 其中0v 是发动机关闭时的速度。 分析：要求()v v x =可通过积分变量替换dx

dv

v

dt dv a ==，积分即可求得。 证：

2d d d d d d d d v x v

v t x x v t v K -==?= d Kdx v =-v

??-=x x K 0d d 10v v v v , Kx -=0ln v v

0Kx v v e -=

1-3．一质点在xOy 平面运动，运动函数为22,48x t y t ==-。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。

分析：将运动方程x 和y 的两个分量式消去参数t ，便可得到质点的轨道方程。写出质点的

运动学方程)(t r 表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得()v t 和()a t ，把时间代入可得某

时刻质点的位置、速度、加速度。

解：（1）由2,x t =得：,2

x t =代入248y t =-

可得：28y x =-，即轨道曲线。

画图略

（2）质点的位置可表示为：22(48)r ti t j =+- 由/v dr dt =则速度：28v i tj =+

由/a dv dt =则加速度：8a j =

则：当t=1s 时，有24,28,8r i j v i j a j =-=+=

当t=2s 时，有48,216,8r

i j v i j a j =+=+=

1-4．一质点的运动学方程为22(1)x t y t ==-，，x 和y 均以m 为单位，t 以s 为单位。（1）求质点的轨迹方程；（2）在2t s =时质点的速度和加速度。 分析同1-3.

解：（1）由题意可知：x ≥0，y ≥0，由2x t =，，可得t =

,代入2(1)y t =-

1=-，即轨迹方程

（2）质点的运动方程可表示为：22(1)r t i t j =+- 则：/22(1)v dr dt ti t j ==+- /22a dv dt i j ==+

因此, 当2t s =时，有242(/),22(/)v i j m s a i j m s =+=+

1-5．一质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为201

2

s v t bt =-，其中v 0，b 都是常量。（1）

求t 时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b ； （3）到加速度大小等于b 时质点沿圆周运行的圈数。

分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程()t s s =，求导可求出质点的运动速率dt

ds

v =，

因而，dt

dv a =τ，2

n v a ρ=，00n a a a n ττ=+，2

2n a a a +=τ，当b a =时，可求出t ，代入

运动学方程()t s s =，可求得b a =时质点运动的路程，R

s

π2即为质点运动的圈数。 解：（1）速率：0ds

v v bt dt ==-，且dv

b dt

=-

加速度：22

00000()v bt dv v a n b n dt R

ττρ-=+=-+

则大小：a =

=……………………①

方向：()bR

bt v 2

0tan --

=θ

（2）当a=b 时，由①可得：0v

t b

=

（3）当a=b 时，0v t b

=，代入2

01,2s v t bt =-可得：202v s b =

则运行的圈数 2024==

v s

N R bR

ππ 1-6．一枚从地面发射的火箭以220m s -?的加速度竖直上升0.5min 后，燃料用完，于是像一个自由质点一样运动，略去空气阻力，试求（1）火箭达到的最大高度；（2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。 分析：分段求解：s t 300≤≤时，220s m a =，求出v 、a ；t ＞30s 时，g a -=。求出2()v t 、

2()x t 。当02=v 时，求出t 、x ，根据题意取舍。再根据0x =，求出总时间。

解：（1）以地面为坐标原点，竖直向上为x 轴正方向建立一维坐标系，且在坐标原点时，t=0s ，且0.5min=30s

则：当0≤t ≤30s ，由x x dv

a dt

=, 得200,20(/)x

t v x x x a dt dv a m s ==??

，

20(/),30()x v t m s t s ==时，1600(/)v m s =

由x dx

v dt

=，得

1

30

=?

?x x v dt dx ，则：19000()x m =

当火箭未落地, 且t ＞30s,又有：2

1

222230

,9.8(/)x t

v x x x v a dt dv a m s ==-??，

则：28949.8(/)x v t m s =-

且：1

230

t

x

x x v dt dx =??，则：24.989413410()x t t m =-+-…①

当20x v =，即91.2()t s =时，由①得，max 27.4x km ≈

（2）由（1）式，可知，当0x =时，166()t s ≈，t ≈16(s)＜30(s)（舍去）

1-7. 物体以初速度120m s -?被抛出，抛射仰角60°，略去空气阻力，问（1）物体开始运动后的1.5s 末，运动方向与水平方向的夹角是多少？ 2.5s 末的夹角又是多少？（2）物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45°角？这时物体的高度是多少?（3）在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大？（4）在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大？ 分析：（1）建立坐标系，写出初速度0v ，求出()v t 、θtan ，代入t 求解。

（2）由（1）中的θtan 关系，求出时间t ；再根据y 方向的运动特征写出()t y ，代入t 求y 。 （3）物体轨迹最高点处，0=y v ，且加速度2

n v a a g ρ

==

=，求出ρ。

（4）由对称性，落地点与抛射点的曲率相同 ρ

θ2

cos v g a n =

=，求出ρ。

解：以水平向右为x 轴正向，竖直向上为y 轴正向建立二维坐标系 （1）初速度00020cos6020sin 6010103(/)v i j i j m s =+=+， 且加速度29.8(/),a j m s =-

则任一时刻：10(1039.8)(/)v i t j m s =+-………………①

与水平方向夹角有1039.8tan t θ-=

……………………………②

当t=1.5(s)时，tan 0.262,1441'θθ==?

当t=2.5(s)时，tan 0.718,3541'θθ=-=-? （2）此时tan 1θ=, 由②得t=0.75(s)

高度2211

1030.759.80.7510.23()22

yo y v t gt m =-=?-??=

（3）在最高处，

2

10(/),10(/),n v v i m s v m s a g ρ

===

=，

则：2

10.2()==v m g

ρ

（4）由对称性，落地点的曲率与抛射点的曲率相同。 由图1-7可知：

cos cos x n v

a a g g v

θθ===

210

4.9(/)20

g m s ==

240082()4.9

n v m a ρ===

1-8．应以多大的水平速度v 把一物体从高h 处抛出， 才能使它在水平方向的射程为h 的n 倍？

分析：若水平射程hn vt =，由gt h 2

1

=消去t ，即得()h v 。

解：设从抛出到落地需要时间t

则，从水平方向考虑vt hn =，即

从竖直方向考虑21

,2

h gt =消去t ，

则有： 22

n

v gh = 1-9．汽车在半径为400m 的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为-110m s ?，切向加速度的大小为-20.2m s ?。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。

分析：由某一位置的ρ、v 求出法向加速度n a ，再根据已知切向加速度τa 求出a 的大小和方

向。

解：法向加速度的大小2

2

2100.25(/),400

===n v a m s ρ 方向指向圆心

总加速度的大小

222220.20.250.32(/)=+=+=n a a a m s τ

如图1-9，tan 0.8,3840',n

a a ταα===?

则总加速度与速度夹角9012840'θα=?+=?

1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为0v ，与水平方向成α角．求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为2 / n a v ρ=。 分析：运动过程中，质点的总加速度 a g =。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时 质点的速度大小0v v =，其方向与水平线夹角也是α。可求出 n a ，如图1-10。再根据关系

2 / n a v ρ=求解。

解：切向加速度 a g a sin =τ 法向加速度 a g a n cos =

因 α

ρρcos 2

02

2

g a a n n v v v =

=∴= 1-11．火车从A 地由静止开始沿着平直轨道驶向B 地，A ，B 两地相距为S 。火车先以加速度

a 1作匀加速运动，当速度达到v 后再匀速行驶一段时间，然后刹车，并以加速度大小为a 2作匀减速行驶，使之刚好停在B 地。求火车行驶的时间。

分析：做v-t 图，直线斜率为加速度，直线包围面积为路程S 。 解：由题意，做v-t 图（图1-11）

则梯形面积为S ，下底为经过的时间t ， 12tan ,tan a a αβ== 则：[](cot cot )2

v

S t t v v αβ=

+-- g

t a v α

α

n a α 0v

图1-10

则：12

111()2S t v v a a =++

1-12. 一小球从离地面高为H 的A 点处自由下落，当它下落了距离h 时，与一个斜面发生碰撞，并以原速率水平弹出，问h 为多大时，小球弹的最远？

分析：先求出小球落到A 点的小球速度，再由A 点下落的距离求出下落时间，根据此时间写出小球弹射距离l ,最后由极植条件求出h 。

解：如图1-12，当小球到达A 点时，有22v gh = 则速度大小：2v gh =,

设从A 点落地的时间为t ，则有2

12

H h gt -=， 则2()

H h t g

-=

小球弹射的距离，22()2==-=-+l vt H h h h Hh

则当1

2

h H =

时，l 有最大值。 1-13．离水面高为h 的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率v 0拉绳子，求当船离岸的距离为s 时，船的速度和加速度的大小。

分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与

垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为0v 。可以由0v 求出船速v 和垂直绳的分量1v 。再根据2

1n v a ρ

=

关系，以及n a 与a 关系求解a 。

解：如图1-13，20v v = 船速2sec v v θ= 当船离岸的距离为s 时， 22

00

12,tan v h s h v v v v s s θ+=== 则，2

2112

2

2

2

cos n v a a a

s h

s h

θρ

=

===++

即：

22 0

3

=

v

h

a

s

1-14. A船以-1

30km h?的速度向东航行，B船以-1

45km h?的速度向正北航行，求A船上的人观察到的B船的速度和航向。

分析：关于相对运动，必须明确研究对象和参考系。同时要明确速度是相对哪个参照系而言。画出速度矢量关系图求解。

解：如图1-14，30(/),45(/)

==

A B

v i km h v j km h

B船相对于A船的速度4530(/)

=-=-

BA B A

v v v j i km h

则速度大小：2254.1(/)

=+=

BA B A

v v v km h

方向：arctan56.3

==?

B

A

v

v

θ，既西偏北56.3?

1-15.一个人骑车以-1

18km h?的速率自东向西行进时，看见雨滴垂直落下，当他的速率增加至-1

36km h?时，看见雨滴与他前进的方向成120°角下落，求雨滴对地的速度。

分析：相对运动问题，雨对地的速度不变，画速度矢量图由几何关系求解。

解：如图1-15，

r

v为雨对地的速度，

12

,

p p

v v分别为第一次，第二次人对地的速度，12

,

r p r p

v v

--

分别为第一次，第二次雨对人的速度

120

θ=?

由三角形全等的知识，可知：18012060

αβ

==?-?=

三角形ABC为正三角形，则：

2

36(/)

r p

v v km h

==，方向竖直向下偏西30?。