高中数学论文解析几何直线方程中四类对称问题及应用
四类对称问题及其应用
我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。 一、点关于点的对称
如果点P )(00y x ，与P '关于点M （a ，b ）对称，则M 是线段P P '的中点，
P )(00y x ，???????→?）的对称点
，（关于点
b a M P '()2200y b x a --，( 依据中点坐标公式)特别的P )(00y x ，?????→?关于坐标原点对称
P '(00y x --，) 二、点关于直线对称
求一点P 0(x 0,y 0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P 的坐标的问题。
(1) 直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x 、y=-x 、
x 轴、y 轴、x=a 、y=b 时,对称点的坐标分别为P 1(y 0,x 0)、P 2(-y 0,-x 0)、P 3(x 0,-y 0)、P 4(-x 0,y 0)、P 5(2a-x 0,y 0)、P 6(x 0,2b-y 0)。
(2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P 1的坐标为(x 1，y 1)，则PP 1的中点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP 1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可以得到关于x 1、y 1的一个二元一次方程组，从而可以解出x 1、y 1。 (3)公式法. 设P 1的坐标为(x 1，y 1)，由公式
??
???
+++-
=+++-=220001220001
)
(2)(2B A C By Ax B y y B A C By Ax A x x 求出x 1、y 1的值。
三、直线和直线关于点对称
求直线A 1x+B 1y+C 1=0关于点P(x 0,y 0)对称的直线方程。根据对称性，只需将直线方程A 1x+B 1y+C 1=0中的x 换为2x 0-x 、y 换为2y 0-y ，即可求出要求直线的方程。 四、直线关于直线对称
求一直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线方程。 (1) 直线A 0x+B 0y+C 0=0为特殊的直线x 轴、y 轴、y=x 、y=-x 时，直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线方程分别为A 1x-B 1y+C 1=0、-A 1x+B 1y+C 1=0、A 1y+B 1x+C 1=0、-A 1y-B 1x+C 1=0。
(2) 直线A 0x+B 0y+C 0=0为一般直线时:
1>直线A 0x+B 0y+C 0=0与直线A 1x+B 1y+C 1=0平行时，则只需用两平行直线距离公式即可求出要求直线。
2>若直线A 0x+B 0y+C 0=0与直线A 1x+B 1y+C 1=0相交于一A 点时,利用到角公式就可以求得直线A 1x+B 1y+C 1=0关于直线A 0x+B 0y+C 0=0对称的直线的斜率k,再利用直线的点斜式方程即可求出要求直线的方程。
关于这四类对称的应用常见的有这样几种类型： 一、角平分线问题
已知ABC ?的一顶点A 的坐标为(x 0,y 0),∠B 、∠C 的内角平分线分别为直线A 1x+B 1y+C 1=0与A 2x+B 2y+C 2=0,求边BC 所在的直线方程。
根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B 、∠C 的内角平分线分别为直线A 1x+B 1y+C 1=0与A 2x+B 2y+C 2=0的对称点P 、D 均在直线BC 上,所以只要分别计算出P 、D 的坐标,再由两点式方程即可得BC 所在直线方程。 例1：已知 △ABC 的顶点A （-1，-4），内角B 、C 的平分线所在直线分别为l 1：y+1=0，l 2：x+y+1=0 ，求BC 边所在的直线方程。
解：A 关于l 1：y+1=0对称点A 1（-1，2），A （-1，-4）关于l 2：x+y+1=0的对称点A 2（3，0）。
l 1和l 2分别是内角B 、C 的平分线，∴A 1，A 2在BC 上，
∴BC 的直线方程由两点式的x+2y-3=0。二、入射光线和反射光线问题 关于过点A(x 0,y 0),入射光线遇直线A 1x+B 1y+C 1=0的反射光线经过点B(x 1,y 1),求反射线所在直线方程的有关问题。
根据光学性质，点A 关于直线A 1x+B 1y+C 1=0的对称点C 在反射光线所在的直线上.因此,只要求出A 点关于直线A 1x+B 1y+C 1=0的对称点C 的坐标。这样,就知道了反射光线BD 上两点的坐标,由两点式就得到反射线所在直线方程。
例2：光线从点M (－2，3）射到x 轴上一点P (1，0)后被x 轴反射，求反射光线所在的直线的方程.
解：设M ′是M （－2，3）关于x 轴的对称点，则M ′的坐标为（－2，-3）.又反射线所在直线就是过点M ′、P 的直线，所以反射线所在的直线方程为2
12
303++=
++x y ，即：x －y －1＝0 三、线段之和最小问题
例3求y=22)3()3(-++x x +22)5()1(-+-x x 的最小值
原式可转化为点(x,x)到A （-3，3），B （1，5）两点的距离之和. ∴此题即为直线y=x 上求一点P ，使P 与两点A （-3，3），B （1，5）的距离之和最小，B （1，5）关于y=x 的对称点B 1（5，1），连AB 1交直线y=x 于点P ，设P 1为y=x 上不同于p 的点，
则∣P 1A ∣+∣P 1B ∣=∣P 1A ∣+∣P 1B 1∣＞∣AB 1∣=∣PA ∣+∣PB ∣，P 为所求，最小值为∣AB 1∣=22)13()53(-+--=217
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
高中数学解析几何测试题答案版(供参考)
解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l
A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22
直线中的对称问题—4类对称题型
直线中的对称问题—4类对称题型 直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨： 一、点关于点对称问题 解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础. 例1.求点（1）关于点的对称点的坐标, （2），关于点对称，求点坐标. 解：由题意知点是线段的中点, 所以易求（1） （2）. 因此，平面内点关于对称点坐标为 平面内点，关于点对称 二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得. 例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ① 又与垂直，且斜率都存在即有② 由①②解得， 法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标. 三、线关于点对称问题 求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题. 例3．求直线：关于点的对称直线的方程. 解:法（一）直线：与两坐标轴交点为， 点关于对称点 点关于对称点 过的直线方程为，故所求直线方程为. 法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程. 四、线关于线的对称问题 求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程. 例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程. 解：在：上任取一点 直线的斜率为3
高中数学平面解析几何的知识点梳理
平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．
高三数学解析几何专题
专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线
高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题
高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越
(完整)高中数学解析几何解题方法
高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。
高中数学解析几何常考题型整理归纳
高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为
高中数学解析几何知识点总结
高中数学解析几何知识 点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
§0 7. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若23 2--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是23 2--=x y ，但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜 率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则 1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条 件，且21C C ≠）
高中数学中对称性问题总结.doc
对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。
高中数学解析几何大题专项练习.doc
解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论.
3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的
浅谈高中数学解析几何中的对称问题
浅谈高中数学解析几何中的对称问题 发表时间：2019-12-10T17:34:32.223Z 来源：《教育学文摘》2019年12期作者：龚杨熙 [导读] 新课标改革开展后，我国的教育事业也在不断发展 摘要：新课标改革开展后，我国的教育事业也在不断发展，其中高中数学也乘着改革开放的快车，发展迅猛。在高中数学中，数学解析几何中的对称问题受到了广泛的关注与讨论。研究对称问题不仅能增强我们解决问题的能力，同时可以培养发散思维，锻炼空间想象力等，而且还能提高在日常生活当中的审美能力，提高创新意识。下面我将结合自己的学习理解，对高中数学解析几何中对称问题进行简要分析，希望能在这方面为同学们的学习提供一些帮助。 关键字：高中数学解析几何对称问题 高中数学解析几何中的对称问题，是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点，它的运用非常广泛，不仅体现在数学应用上，有时还会渗透到物理学科的应用方面。在对称问题中，主要研究的问题有：点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称、曲线关于点对称、曲线关于直线对称等问题。不过在对称问题中，最基础的问题为点关于点，点关于直线的对称问题，线（直线、曲线）关于点的对称问题可转化为点关于点对称。线（直线、曲线）关于直线对称的问题可转化为点关于直线对称。 一、关于点的对称问题 点与点之间的对称问题，在初步接触对称问题时，较为常见，也较为简单。在关于点的对称问题中，也有不同的类型，包括了点与点之间的关系、点与点关于直线对称的关系，线与线关于直线对称的关系，每种不同的关系之间，解题思路既有相同点，也有不同的点，均需要答题者，认真思考，得出答案。下面我将针对不同的种类进行分析。 （一）点关于定点对称问题 这类问题，一般是知道一个点A，知道A点的坐标，给出另外一个中心点Q，告诉Q点的位置坐标，最后让大家求出A点关于Q点对称的点B。这类题的求解办法较为单一统一。例如：已知点A(x1,y1)，已知中心点Q(x0,y0)，求出A点关于Q点对称的点B，在坐标中，这三个点的横纵坐标，应该满足怎么样的条件呢？根据条件可知，Q点为A、B点的中点，于是得2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，由此可以得到x2，y2的值，得到B点位置坐标。关于定点对称问题，表面看上去是多个类型题中，最简单的一类题目，但是却是后续题目的基础，在许多不同类型、不一样表述的题目，表面上比较难也很有深度，但是随着理解领悟的加深，基础知识掌握牢固后，大家会发现，运用的知识，大部分仍然是定点对称问题的方法与策略，所以基础知识必须掌握牢固，才能解决其他难题。 （二）线关于点的对称问题 在线关于点的对称问题中，无论是曲线还是直线，都可以把每条线看作是满足某条件的动点的集合，看作是动点沿着一定的限制条件运动形成的轨迹，所以在遇到线关于点对称的问题时，我们不妨设对称曲线上任一点的坐标为A(x,y)，点A关于中心点Q(x0,y0)的对称点为B，根据点与点对称之间的法则，求出对称点B的坐标，利用对称点B在已知曲线上坐标满足方程最终求得是对称曲线的轨迹方程。这样就成功的将线关于点的对称问题转化为点关于点的对称问题，将困难化解。在解决线的问题时，大家需要明白一个道理，就是所有的线都可以看作是满足某个条件的点的集合，无论是直线还是曲线，解题时将点关于点的对称问题掌握好即可。 二、点关于线的对称问题 在解决点关于线的对称问题中，相比较点，要复杂很多，需要利用更多几何性质，譬如轴对称的性质，在前面的学习中知道，两个图案在关于直线对称时，可以观察到，图案相应两点的连线会被该直线垂直平分，所以在解决关于线之间的对称问题时，要将此问题简化，回到线关于点，点关于点之间的对称问题中，在应用这个办法求解时，需要注意的问题是，点关于线的对称问题需要满足两个条件，第一是两个对称轴对称的点，连接起来，应该垂直于对称轴所在直线。第二是：两个对称点的中点应该在对称轴上。在解决线关于线的对称问题时，只要能将点关于线的问题处理好，线关于线的对称问题也可以迎刃而解，在高中数学对称问题中，关于曲线C，直线L的对称问题，最终都可以化归为点与点之间的对称问题，在解决此类问题时，需要打开思维，充分利用点关与点对称、点关与线对称的处理方法，融会贯通，举一反三，不断提升自己的解题能力。 三、实际应用 实践出真知，理论知识无论有多丰富，只有回归到实际问题中，才能体现其真正的价值，只有在解决问题的过程中，才能真正发现是否将理论知识熟练的掌握运用。应用举例：（线关于线对称问题）已知两直线L1,L2，两直线关于直线L0对称，L0方程为：2x-2y+1=0，其中L1的方程为3x-2y+1=0，求L2的方程？分析：在这道题目中，虽然是线关于线对称的问题，但是仍然可以转化为点关与点的对称问题，在解题过程中，可以在L1上，随意找出一点A(x1, y1)关于直线对称点设为B(x2,y2)，利用A,B两点关于L0对称，求出对称点B的坐标，同理再求出一个对称点的坐标，就可以求出对称线的方程。如果是求曲线关于直线的对称曲线则可设对称曲线上任一点的坐标A(x, y), A(x, y)关于直线对称点设为B(x0,y0)，利用A,B两点关于L0对称，求出对称点B的坐标,利用对称点B在已知曲线上代入曲线方程即可求得对称曲线的轨迹方程。除了这一类型题目以外，还有许多与这类题目相关的问题，但是万变不离其宗。 这篇文章主要是从点关与点对称，点关于线对称的角度出发，简要分析讨论了解析几何中对称问题。要想真正解决这类问题，首先要深刻理解基础知识，灵活把握线与点之间的对称关系，有的题目还存在图形，此时也不能忽视图形的重要性，在许多题型例如直线、圆、椭圆的对称问题中，图形均可以反映出大量的解题信息，解题时需要抓住图形中的细节，数形结合，解决难题。参考文献： [1]许悦. 高中数学解析几何中对称问题分析[J]. 2018(2). [2]苏明亮. 高三数学复习中要善于借“题”发挥——解析几何中与对称相关的试题分析[J]. 高中数学教与学, 2016(8).
高中数学解析几何大题专项练习
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [
3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、
高中数学平面解析几何初步经典例题(供参考)
直线和圆的方程 一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点， B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系 （1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ= 2 11 21k k k k +-， 当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的
区别. 6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 （2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1， B 2都不为零时，有以下结论： ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++； （2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 （1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径； （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42 2-+＞0），圆心坐标 为（-2D ，-2 E ），半径为r =2422 F E D -+.
高中数学直线中对称问题归类解析
直线中对称问题归类解析 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 1、点关于点的对称 例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。 分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。 解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得 ?????=+=+-12 3122o o y x 解得???-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。 2、直线关于点的对称 例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。 解法1：（用点到直线距离公式） 分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。 解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。 由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得1 316134 1622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。则直线2l 的方程为0 103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。 解法2:（利用中点坐标法） 分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2 l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1) 把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0 103=--y x 解法3：（利用图像平移法） 分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线
高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=
高中数学平面解析几何知识点梳理范文
平面解析几何 一．直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式： )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112 =-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式： 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111: l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121 ,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111 =++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121 //C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．