第三章 关系代数与关系运算

第三章关系代数与关系运算

关系数据语言有三类：

1．关系代数语言

2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）

3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL

一．关系代数

关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。用对关系的运算来表达查询。

运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果

运算三要素：运算符、运算对象、运算结果

关系代数的运算对象和结果都是：关系

关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符

集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）

传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行

专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除

专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列

比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠

逻辑运算符：￢∧∨

用来辅助专门的关系运算符

二．传统的集合运算符

传统集合运算符是二目运算符

设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域

1．并（Union）

记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。

例：

（a）（b）

（c）（d） (e)

2.差

关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。如图E

3.交

关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S 的所有元组组成。如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)

4．广义笛卡尔积

两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S 有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作

R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目

如图例

总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。

三．专门的关系运算符

包括选择、投影、连接、除等，为叙述上方便引入几个记号

1）设关系模式为R(A1,A2,…，An)。它的一个关系为R。t∈R表示t是R的一个元组。t［A i］则表示元组t中相应于属性A i的一个分量。

例：关系R（A,B,C）中t[B2]=b2

2）若A={A i1，A i2，…，A ik}，其中A i1，A i2，…，A ik是A1，A2，…，A n中的一部分，则A 称为属性列或域列。t［A］=（t［A i1］，t［A i2］…，t［A ik］）表示元组t在属性列A上诸分量的集合。A则表示{A1，A2，…，A n}中去掉{A i1，A i2，…，A ik}后剩余的属性组。

3)R是n目关系，S是m目关系。t r∈R，t s∈S，t r t s称为元组的连接（Concatenation）。它是一个n＋m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m 元组。具体例的后面讲解

4）给定一个关系R(X,Z),X和Z为属性组，定义，当t[X]=x时，x在R中的象集为：Z x={ t［Z］ | t∈R，t[X] = x }

它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。

如：Z=(B,C) R=(A,Z), x=a1则 Zx={(b1,c1)(b2,c2)}

1.选择（selection）:又称限制，是在关系R中选择满足给定条件的元组

记作：бF（R）= { t | t∈R∧ F(t) =’真’ }

F：表示选择条件，是一个逻辑表达式，逻辑值只有“真”和“假”，由逻辑运算符连接算术表达式组成。

算术表达式基本形式：X1θY1 ，其中θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，=或≠。X1，Y1等是属性名，或为常量，或为简单函数；属性名也可以用它的序号来代替。

例：学生—课程数据库，

包括学生关系Student（学号、姓名、性别、年龄、所在系），

课程关系Course(课程号，课程名，先行课，学分)

选修关系SC(成绩)

画出上面数据库中的E-R图，先由学生画出，然后给出结果 E-R图结果如下：

根据E-R图设计其表如下：

（a）

（b）

（c）

下面的例子要现场建立一个数据表,在SQL SERVER中测试查询语句。例1：查询信息系统（IS系）全体学生

σSdept=’IS’(Student) 或σ5=’IS’(Student)

其中下角标“ 5”为 Sdept的属性序号。结果如图

对应SQL语句为：SELECT * FROM Student where Sdept=”IS”;

例2：查询年龄小于20岁的学生

σSage<20 (Student) 或σ4<20(Student) 结果如下图

对应的SQL语句为：SELECT * FROM Student WHERE Sage<20;

2.投影（从列的角度进行运算）

关系R上的投影是从R中选择若干属性列组成新的关系：记作πA（R）= { t[A] | t∈R }，其中A为R中的属性列。查询结果会取消有重复的列

例3：查询学生的姓名和所在系，即求Student关系在学生姓名和系上的投影。

代数式为：πSname,Sdept（Student）或π2,5（Student），结果如图：

对应的SQL语句为：SELECT Sname,Sdept FROM Student

例4：查询学生关系中有哪些系？

代数式为：πSdept（Student）或π5（Student），结果如上图：

对应的SQL语句为：SELECT Sdept FROM Student

3．连接（又称θ连接）

它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间的满足一定条件的元组。

记作：

}]

[

]

[

|

{

||B

t

A

t

S

t

R

t

t t

S

R

s

r

s

r

s

r

B

A

θθ

∧

∈

∧

∈

=

?

期中A和B分别为R和S上度数相同且可比的属性组。θ是比较运算符。连接运算从R 和S的广义笛卡尔积RxS中选取在A属性祖上的值与在B属性组上值满足比较关系θ的元组。

重要两种的连接：等值连接（equijoin）、自然连接(natural join)

1)等值连接：θ为“=“的连接运算，是从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A,B属性

值相等的那些元组，即：

}]

[

]

[

|

{

||B

t

A

t

S

t

R

t

t t

S

R

s

r

s

r

s

r

B

A

=

∧

∈

∧

∈

=

?

=

2）自然连接：一种特殊的等值连接，要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且结果中把重复的属性列去掉。即若R和S具有相同的属性组B,则自然连接可记

作：

}]

[

]

[

|

{

||B

t

A

t

S

t

R

t

t t

S

R

s

r

s

r

s

r

B

A

=

∧

∈

∧

∈

=

?

=

一般的连接从行的角度，自然连接要取消重复列，是从行和列的角度进行运算。连接对应后面的SQL语句的嵌套查询等

例：有关系关系R和关系 S如图（a）(b) ，则

S

R

E

C

||?

<如图（c）等值连接

S R B S B R |

|..?=的结果为图（d ），自然连接结果为（e ）

（a ） （b ） （c ）

（d ） （e ） 4．除——从行和列的角度进行运算

给定关系R(X,Y)和S(Y,Z),其中X,Y,Z 为属性组。R 中的Y 与S 中的Y 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

R 与S 的除运算得到一个新的关系P(X),P 是R 中满足下列条件的元组在X 属性列上的投影：元组在X 上分量值x 的象集Yx 包含S 在Y 上投影的集合。

记作：

其中Yx 为x 在R 中的象集x=tr[X].

例6：关系R 和S 如图

(a) (b) (c) 对应概念中有R(A,Y)和S(Y,D)其中， Y 为属性列组（B,C ）

关系R 中A 可以取四个值{a1,a2,a3,a4}其中

a1的象集为{（b1,c2）,(b2,c3),(b2,c1)}

a2的象集为{(b3,c7),(b2,c3)}

a3的象集为{(b4,c6)}

a4的象集为{(b6,c6)}

S在(B,C)上的投影为{(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)}

a1的象集(B,C)a1包含了S在(B,C)属性组上的投影，故R÷S={a1}

例7：查询至少选修1号课程和3号课程的学生学号.

先建立一个临时关系K，然后求：πSno,Cno(SC)÷K结果为{95001}

例8：查询选修了2号课程的学生的学号

πSno(бc no=’2’(SC))={ 95001,95002 }

例9：查询至少选修了一门其直接先行课为5号课程的学生的姓名分解：先查询先行课为5号课程的课程，然后再查询选修的学生

πSname,(бCpno=’5’(Course) |×| SC |×|πSno,Sname(Student))

或

πSname,( πSno(бCpno=’5’(Course) |×| SC) |×|πSno,Sname(Student)) 例10：查询选修了全部课程的学生学号和姓名

πSno,Cno(SC) ÷ πCno(Course) |×| πSno,Sname(Student)

课下练习、作业

总结：掌握各种运算符的运算规则和使用方法

四、关系演算只要给学生讲解概念就可，具体的运算语言不作讲解

关系演算以数理逻辑谓词为基础的。

分为：元组关系演算和域关系演算

以元组为变量的关系演算称为元组关系演算

以域为变量的关系演算称为域关系演算

对应的典型语言分别是元组关系演算语言ALPHA、域关系演算语言QBE(Query By Example)

作业：80页课后习题5、6