怎样推导压杆的临界力和临界应力公式
06、基本知识 怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@https://www.360docs.net/doc/7913134617.html, ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。
1
* 问题的提出及其对策 (1)
1.1 问题的提出及其对策 ........................................................................................................ 1 1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比 ............................................................ 2 2
压杆临界压力F cr 的计算公式 ................................................................................................. 3 2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡 ................................................................................ 3 2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程 ............................................................................. 4 2.3 按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力 ............................................................ 6 2.4 按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力 ............................................ 8 2.5 按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力 .......................................... 10 2.6 按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力 .......................................................... 14 2.7 将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总 .. (18)
1
* 问题的提出及其对策
1.1 问题的提出及其对策
试计算长度为400mm ，宽度为10mm ，厚度为1mm 的钢锯条，在一端固定、一端铰支的情况下，许用的轴向压力。材料的许用应力为160MPa 。 解：1、按轴向拉压强度计计算
[]2/160160120mm N MPa mm
mm F A F N
N ==≤?==
σσ
2、按压杆稳定临界力公式计算
()43
33
5120121121mm mm mm bh I Z =??==
()()N mm mm MPa l EI F CR
28.123
4002102000002
4
222=????==πμπ 分析：1、按轴向拉压杆的强度条件计算结果，该钢板尺可以安全承压 3.2kN 。这是一
个什么概念呢？一袋水泥重50kg ，对应重力N s m kg mg W 500/10502
=?==，即该钢
kN N mm N mm mm F N 2.33200/1601202==??≤
板尺可以安全承压6.4袋水泥，这显然是不可能的。
2、按压杆稳定临界力计算公式的结果，该钢板尺在承压12.28N 时，就可能变弯了。这又是一个什么概念呢？一小袋食盐重0.5kg ，对应重力N s m kg mg W 5/105.02=?==，即该钢板尺当承压两袋半食盐时，就可能由直线平衡状态，转变为弯曲平衡状态了。这与实际情况差不多。
结论：对于钢板尺这样的细长杆件，在承受压力时，一定不要用轴向拉压强度条件来判断它的安全承载力，这会出大问题的。需要按弯曲平衡建立力学模型，按梁的理论来分析。
1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比
在材料力学里，分析杆件的强度、刚度和稳定性是十分重要的课题，它们是材料力学的核心内容。
压杆的稳定性分析，与强度和刚度的分析的侧重面不同。
在强度和刚度分析中，重点在推导工作量的计算公式，如：轴向拉压杆的拉压应力
扭转的剪
轴向
工作量。
而在强度条件许用应力工作应力≤和刚度条件许用应变工作应变≤表达式不等号大于端的许用值（用方括号括起来的量），如
[]σ、[]τ和[]l ?、[]?、[]y 、[]θ等，
其中，两种许用应力是由材料试验获得，并由各种规范所确认；各种许用变形值的大小，则与结构的功能（性质、用途等）分不开。
然而，在稳定性分析中，
位于不等号大于端≤的许用值
[]cr σ中的压杆临界应力cr σ。
杆在失稳之前是轴向受压杆。
式中的压杆临界应力与材料无关，它是实
际的、具体的“压杆装置”的函数，对每一根压杆都要单独计算才行。
因此，压杆稳定分析的重点是针对各种各样的“压杆装置”，提出几种简化的力学计算模型，然后从理论上推导出它们的临界压力F cr 计算公式，分析计算出临界压力F cr 后，按
临界压力F cr 代替轴力F N ，即可得到压杆的临界
2
压杆临界压力F cr 的计算公式
2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡
生活和生产的常识告诉我们：压杆在承受的压力比较小时，处于直线平衡状态；当压力逐渐增大到某一值时，压杆会突然变弯，处于微弯曲的平衡状态，称为临界平衡；当压力超过某一值时，压杆会突然变弯折断，退出工作。
使压杆处于临界平衡的压力称为临界压力。计算表明，临界压力远远小于按轴向拉压杆计算得出的许用压力。
如：一根长300mm ，宽20mm ，厚1mm 的钢板尺，设其材料的许用应力为160Mpa ，则按轴向拉压杆强度公式计算，[]σσ≤=
A
F
，[]N A F 3200160120=??=≤σ，即该钢板尺可以安全地承受3200N 的压力。然而，常识告诉我们，把钢板尺直立于桌面上，轻轻用手指一压它就会弯曲。这种现象在力学上称为失稳（丧失稳定性），它可用压杆稳定理论予以说明。
如果将钢板尺按力学模型：两端铰支的压杆装置，进行压杆稳定计算，可得到丧失稳定的压力为()
N mm mm MPa l
EI
F cr 7.3630067.12000002
4
22
2=??=
=ππ，此值接近于钢板尺变弯
的实际值。
式中的惯性矩()43
367.112
12012mm mm mm bh I z =?==。得到钢板尺丧失稳定的压力为36.7N ，仅是按强度计算的安全压力的1/87。差异如此之巨，我们得高度重视。
以上的计算结果表明，对于较长的压杆，按强度计算存在极大的风险。事实上，生活常识告诉我们，压杆越长越容易变弯而丧失稳定性，因此，对于较长的压杆，按强度计算是违背事实的，必须另辟蹊径，寻找压杆稳定分析的力学模型。
究其原因，在强度计算中，钢板尺处于直线平衡状态，属于轴向拉压变形，应该用杆的轴向拉压理论来分析；而压杆稳定分析的研究对象是处于微弯平衡状态，属弯曲变形，显然，应该用梁的理论来分析。
下面先谈谈梁的平衡理论，然后，分别就1、两端铰支、2、一端固定一端自由、3、一端固定一端铰支、4、两端固定，这四种压杆力学模型进行力学、数学分析。
2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程
图2-2-1说明梁的挠曲微分方程的来历和相关量的正负号规定。可一目了然。分析是从
梁的dx
在下面的图2-2-2中，四种压杆装置（两端铰支、一端固定一端自由、一端固定一端铰支和两端固定）的力学模型，及其三种状态（稳定平衡、临界平衡和丧失稳定）可一目了然。
图2-2-1梁的挠曲微分方程
dx 梁段弯曲及挠曲线
M
注1：正弯矩箭头指向y 负。
()[]
()EI
x M y y ='+''2
/32
1 ()[]
y y y ''±≈'+'
'平坦曲线
2
/321
按左图得：()
EI
x M y -
=''梁的挠曲微分方程
注2：正曲率曲线凸向y 负。图示为负曲率。
图2-2-3则是四种压杆模型在临界状态下的支反力种类及其真实方向，亦可一目了然。 上述内容对于分析压杆，正确设置压杆两端支反力的方向和转向，导出临界应力公式十分重要，否则，压杆两端支反力的方向和转向设定错误，将无法导出正确的临界力公式。请
4-1稳定平衡
4-2临界平衡
4-3丧失稳定
模型4两端固定的压杆装置
微弯曲线半个正弦波为
μl=0.5l
3-1稳定平衡
3-2临界平衡
3-3丧失稳定
模型3一端固定一端铰支的压杆装置
微弯曲线半个正弦波为μl=0.7l
1-1稳定平衡
1-2临界平衡
1-3丧失稳定
模型1两端铰支的压杆装置 微弯曲线半个正弦波为μl=l
图2-2-2 四种典型压杆的力学模型及其三种状态
2-1稳定平衡 2-2
临界平衡 2-3丧失稳定
模型2一端固定一端自由的压杆装置 微弯曲线半个正弦波为μl=2l
l=2l
模型1两端铰支
模型3一端固定一端铰支
图2-2-3 四种典型压杆微弯平衡支反力及其真实方向
模型4两端固定
模型2一端固定一端自由
注1：模型1、2为静定结构
注2：模型3、4为超静定结构，其支反力种类由支座形式确定；方向由变形曲线确定：弯矩箭头指向挠曲线的凹侧；剪力可参考悬臂梁受集中力的情况，即剪力指向恰恰与弯矩指向相反。如下图所示：
F
M 悬臂梁挠曲线与支反力方向关系
读者好好加深理解。
2.3 按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力
为了确定长l 、两端铰支的细长压杆AB 临界力，研究图2-3-1。设作用在杆上端的压力恰为临界力F=F cr ，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡 ，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里研究过，并在2.1节什么它不能够解释钢板尺等压杆突然变弯的现象。），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。
2.3.1 截面弯矩表达式
两端铰支压杆装置：下端固定铰支端有2个约束反力（F NA 、F QA ），上端链杆支座有1个约束反力（F QB ），共3个约束反力未知数（F NA 、F QA 和F QB ），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。故，两端铰支压杆装置是静定结构，支座反力完全可以用临界力F cr 来表达。
如图2-3-1所示，由图中x 长的粱段平衡，可得距原点为x 、挠度为y 的任意截面上弯矩为
()()13.2-= y F x M cr
2.3.2 压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解 在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力σp ，AB 杆弯曲后的挠曲线可以
在如图2-3-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为
令
a ）可写为
这是一个常系数二阶齐次线性微分方程，其通解是 ()d kx B kx A y cos sin +=
图2-3-1两端铰支压杆临界力分析
临界微弯平衡
y
F =F x 截面内力分析 ()()
13.2-= y F x M cr
式中，A 、B 是积分常数，k 为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定。
2.3.3 利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力F cr
对于两端铰支的压杆，A 端边界条件：x=0、y=0，将其代入（d ）可得B=0，于是通解（c ）改写为 ()e kx A y sin =
再由B 端边界条件：x=l 、y=0，将其代入（e ）得 ()f kl A 0sin = 若要满足（f ），只有两种可能：A=0 或 sinkl =0。从问题的力学意义来看，若A=0，则通解（e ）成为y=0，这表示杆AB 没有弯曲，与压杆处于微弯状态的前提条件相矛盾。因此，只有 ()g kl 0sin = 成立。
要（g ）成立，必须 ()()h n n kl 3,2,1,0==π，即()h kl '= πππ3,2,0，
由此得 ()()i EI
F l l l k cr
b '== ππ2,,0 ()()j n l EI n F cr 3,2,1,0222==π，即()j l
EI l EI F cr '= 2
2224,,0ππ 从理论上讲，n 是任意的整数，故临界力F cr 的数值有很多个。但是，从工程实际出发，
有意义的是F cr 的最小值，因为荷载一达到此值时，压杆就会丧失稳定性。取n 的最小值时，不能取n=0，因为此时的F cr =0，成为没有意义的结果。故有意义的最小值应取n=1，于是
得到两端铰支压杆装置的临界力为 （2.3-2）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲
失稳，所以公式中的惯性矩I 应该取其横截面的最小惯性矩I min 。
从公式（2.3-2）可以得出，临界力F cr 与杆长l 的平方成反比。这就是说，杆越细长，其临界力越小，即压杆越容易失稳。
现在又得出，两端铰支细长压杆的长度系数μ=1。
长度系数μ是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里μ=1表示两端铰支细长压杆微弯曲线的半个正弦波长恰好等于杆长。
2.3.4 将k 值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线方程 从上面的推导，还可以得到压杆处于临界状态时，压杆的微弯挠曲线表达式。此时，n=1，，代入微分方程通解()e kx A y sin =式，得
两端铰支细长压杆失稳时的挠曲线为 即0~l 对应一条半
波正弦曲线。当x=l/2时，y=A ，常数A 是半波正弦曲线的中点位移。其值充分小。但A 无定值，它随干扰力大小而异。
2.3.5 两端铰支压杆临界力公式推导的图示小结
2.4 按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力
为了确定长l 一端固定一端自由的细长压杆AB 临界力，研究图2-4-1。设作用在杆上
端的压力恰为临界力F=F cr ，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡 ，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里已经研究），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。
2.4.1 截面弯矩表达式
一端固定一端自由压杆装置，下端为固定支座有3个约束反力（F NA 、F QA 、M A ），上端自由，没有约束反力，压杆装置共3个约束反力未知数（F NA 、F QA 和M A ），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。故，一端固定一端自由压杆装置是静定结构，支座反力完全可以用临界力F cr 来表达。
如图2-4-1所示，由图中x 长的粱段平衡，可得距原点为x 、挠度为y 的任意截面上弯矩为
()()()14.2---= y F x M cr δ
2.4.2 压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解 在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力σp ，AB 杆弯曲后的挠曲线可以
临界微弯平衡 图2-4-1一端固定一端铰支压杆临界力分析
y F N ()()()
14.2---= y F x M cr δ
F
cr δ
’
x 截面内力分析
图2-3-1两端铰支压杆临界力分析
临界微弯平衡
y
F N =F cr
x 截面内力分析
()()13.2-= y F x M cr
用梁的弯曲变形公式来表达。在如图2-4-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为
令 a ）可写为 这是一个常系数二阶非齐次线性微分方程（在前面研究过的两端铰支对应的是齐次二阶微分
方程）。
其对应的常系数二阶齐次线性微分方程通解是 ()d kx B kx A y cos sin *+= 式中，A 、B 是积分常数，k 为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定。
原非齐次线性微分方程的一个特解是 ()d y δ=**，其中δ也是待定值。 原常系数二阶非齐次线性微分方程的通解等于齐次微分方程通解与非齐次特解之和，即
()e kx B kx A y y y δ++=+=cos sin ***
2.4.3 利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力F cr
把一端固定一端自由的压杆下端A （固定端）的边界条件：x=0、y=0、y ’=0，代入（e ）和它的一阶导数中，
00=+=δB y ，得 δ-=B ，代入（e ）有
()()f kx kx A y
B e δδδ
+-=
-=cos sin ,
()
kx k kx Ak y f sin cos δ+='，00
=='Ak y ，()02
≠=EI
F
k cr
a ，所以0=A ，代入（f ）得
()
()()g kx y f cos 1-=δ
再把一端固定一端自由的压杆上端B （自由端）的边界条件：x=l 、y=δ，代入（g ）中，
()
()δδ=-=kl y g l cos 1，得()h kl 0cos =，于是 ()
()i EI
F l
kl cr
a ==
,23,
2π
π
从工程实际出发，有意义的是F cr
一端固定一端自由压杆装置的临界力为 （2.3-2）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲失稳，所以公式中的惯性矩I 应该取其横截面的最小惯性矩I min 。
将公式（2.4-2）与（2.3-2（2.4-2）可以改写为如下
形式
前面已经求得，两端铰支细长压杆的长度系数μ=1，表示两端铰支细长压杆的杆长恰好对应着它的微弯曲线的半个正弦波长。现在又得出，一端固定一端自由细长压杆的长度系数μ=2。
长度系数μ是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里μ=2表示一端固定一端自由细长压杆微弯曲线的半个正弦波长为杆长的2倍。
()()g kx y cos 1-
=δ，得一端固定一端铰支
细长压杆失稳时的挠曲线为 当x=l 时，y=δ，常数δ是微弯曲线（半个半波余弦）的幅值，压杆自由端（顶端）位移。其值充分小。但无定值。它随干扰力大小而异。
2.4.5 一端固定、一端自由压杆临界力公式推导的图示小结
2.5 按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力
为了确定长l 一端固定一端铰支的细长压杆AB 临界力，研究图2-5-1。设作用在杆上端的压力恰为临界力F=F cr ，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡 ，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里已经研究），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平
临界微弯平衡 图2-4-1一端固定一端铰支压杆临界力分析
y
F N ()()()
14.2---= y F x M cr δ
F cr δ
’ x 截面内力分析
衡状态）。
2.5.1 截面弯矩表达式
一端固定一端铰支压杆装置，下端为固定支座有3个约束反力（F NA 、F QA 、M A ），上端为链杆支座有1个约束反力（F QB ），共4个约束反力未知数（F NA 、F QA 、M A 和F QB ），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。
现有4个约束反力未知数和3个平衡方程，还差1个方程，这必须根据变形条件建立1个补充方程。
故，一端固定一端铰支压杆装置是一次超静定结构。在它的任意横截面弯矩表达式中，必然存在1个与临界力F cr 不能够直接相关的未知反力（如F QA ）。
如图2-5-1所示，由图中x 长的粱段平衡，可得距原点为x 、挠度为y 的任意截面上弯矩为
()()()15.2---= x l F y F x M Q A cr
2.5.2 压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解
由于有1个与临界力F cr 不能够直接相关的未知力，故通过梁的挠曲平衡方程建立的二阶平衡方程式必然是非齐次二阶微分方程，这会给求解临界力造成一点困难（在前面研究过的两端铰支压杆装置（静定结构）对应的是齐次二阶微分方程，一端固定一端自由压杆装置（静定结构）对应的是非齐次二阶微分方程）。
在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力σp ，AB 杆弯曲后的挠曲线可以用梁的弯曲变形公式来表达。在如图2-5-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程为
令 a
）可写为 这是一个常系数非齐次二阶线性微分方程，因为存在自由项（指与y 无关的项）
图2-5-1一端固定一端铰支压杆临界力分析 ()()()15.2---= x l F y F x M Q A cr
F QA F M A
y
Q (x)
M A =F F QA =F
()cr
QA F x l F k -2
。
数学知识告诉我们，（a ）式对应的齐次方程通解是 ()d kx B kx A y cos sin *+= 式中，A 、B 是积分常数，k 为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定（F QA 则无法确定）。
（a ）式对应的非齐次方程特解是 ()()d F x l F y
cr
QA -=
*
*
于是，非齐次方程通解为
2.5.3 利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力F cr
把一端固定一端铰支的压杆下端A （固定端）的边界条件：x=0、y=0、y ’=0，代入（f ）式和它的一阶导数中，可得待定常数A 、B 的表达式（g ）和（i ）。
()00
,0=+
==cr
QA x f F l F B y
对（f ）求导，有
()00
,0
=-='=cr
QA x h F F Ak y 再把一端固定一端铰支的压杆上端B （铰支端）的边界条件：x=l 、y=0，代入（f ）式中，可得待定常数A 和B 之间的关系式（k ）。
()0cos sin ,=+==kl B kl A y l
x f l ，()j kl B kl A 0cos sin =+
最后，代入上端边
值条件()j kl B kl A 0cos sin =+，即可求得临界力表达式（2.5）
0cos sin =-
kl F l F kl kF F cr
QA cr
QA ，0cos sin =-kl kl kl ，()k kl kl =tan
为求得满足（l ）式的kl 最小值，以便求出压杆的临界力，现用试凑法求解。经过几次试凑，取kl=257.453397°=4.493409448弧度，代入（k ）得
kl =+==?0000004.0493409448.449340952.4533974.257tan
取kl=4.493409，有 ()
()
2
22
493409.4==l EI F kl cr b ，()
2
222
493409.4l EI l EI F cr μπ≡=
即一端固定一端铰支压杆装置的临界力为
（2.5）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲失稳，所以公式中的惯性矩I 应该取其横截面的最小惯性矩I min 。
将公式（2.5-1）与（2.3-1（2.5-1）可以改写为如下
统一表达式。
前面已经求得，两端铰支细长压杆的长度系数μ=1；一端固定一端自由细长压杆的长度系数μ=2。现在又得出，一端固定一端铰支细长压杆的长度系数μ=0.7。
长度系数μ是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里μ=0.7表示一端固定一端铰支细长压杆微弯曲线的半个正弦波长为杆长的0.7。
2.5.4 将k 值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线方程
2
2
7.0??
? ??=l k π
??
? ??+--=1cos sin 7.0l x kx kx F l F y cr QA π 一端固定一端铰支细长压杆失稳时的挠曲线方程为
式中F 是压杆上下端的水平约束反力，是一次超静定结构中无法由平衡方程所确定的。
2.5.5 一端固定、一端铰支压杆临界力公式推导的图示小结
2.6 按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力
为了确定长l 两端固定的细长压杆AB 临界力，研究图2-6-1。设作用在杆上端的压力
恰为临界力F=F cr ，杆处于临界平衡状态。临界平衡状态有两种形式：直杆平衡和微弯平衡 ，即临界平衡状态具有分叉特性，形态不唯一。在这里，不能以直线平衡为研究对象（在轴向拉压变形里已经研究），而应该以微弯平衡状态作为力学模型，才能够体现出压杆临界平衡的本质特征（这与前面研究轴向拉压、扭转、弯曲都不同，那里杆处于直线平衡状态）。
2.6.1 截面弯矩表达式
两端固定压杆装置，下端为固定端有2个约束反力和1个约束反力偶（F NA 、F QA 和M A ），上端为固定端有2个约束反力和1个约束反力偶（F NB 、F QB 和M B ），共6个约束反力未知数（F NA 、F QA 、M A 和F NB 、F QB 、M B ），而一根杆件只能够建立三个平衡方程，求解三个未知数。有6个约束反力未知数和3个平衡方程，还差3个方程，这必须根据变形条件建立3个补充方程，故，两端固定压杆装置是3次超静定结构。
在它的任意横截面弯矩表达式中，可能存在3个未知反力（如：F NA 、F QA 、M A ）与临界力F cr 不能够直接相关联，但是，F NA =F NB =F CR ，故，只有F QA 和M A 不能够直接与临界力F cr 相关联。
图2-6-1两端固定压杆临界力分析
()()16.2-+-= x F M y F x M Q A
A
cr
F cr
B =M A -F QA l
= F QA =F cr
= F QA
F cr
F =F F (x) 图2-5-1一端固定一端铰支压杆临界力分析
()()()15.2---= x l F y F x M Q A cr
F QA F M A y
Q (x) M A =F F QA =F
如图2-6-1所示，由x 长的粱段平衡，可得距原点为x 、挠度为y 的任意截面上弯矩为
()()16.2-+-= x F M y F x M Q A A cr
2.6.2 压杆微弯平衡微分方程的建立及其通解
由于有两个与临界力F cr 不能够直接相关的未知力，故通过梁的挠曲平衡方程建立的二阶平衡方程式必然是非齐次二阶微分方程，这会给求解临界力造成一点困难（在前面研究过的两端铰支压杆装置（静定结构）对应的是齐次二阶微分方程，一端固定一端自由压杆装置（静定结构）对应的是非齐次二阶微分方程，一端固定一端铰支压杆装置（超静定结构）对应的是非齐次二阶微分方程）。
在小变形条件下，如果杆内应力不超过材料的比例应力σp ，AB 杆弯曲后的挠曲线可以用梁的弯曲变形公式来表达。在如图2-6-1所示坐标系下，挠曲线的近似微分方程
()()a EI x M dx y d -=22具体表达为()()b F x F M y EI F dx y d cr QA A cr a ???
? ??---=-)16.2(,22 令
b ）可写为
这是一个常系数非齐次二阶线性微分方程，因为存在自由项（指与y 无关的项）
cr
QA A F x
F M k -2
。
数学知识告诉我们，（b ）式对应的齐次方程通解是 ()e kx B kx A y cos sin *
+=
式中，A 、B 是积分常数，k 为待定值。它们由压杆两端的约束情况而定（M A 、F QA 则无法
确定，是超静定结构的冗力）。
（b ）式对应的非齐次方程特解是 ()f F x
F M y cr
QA A -=
**
于是，非齐次方程通解为
2.6.3 利用压杆两端边界条件确定通解中的常数，从而导出压杆临界力F cr
把一端固定一端铰支的压杆下端A （固定端）的边界条件：x=0、y=0、y ’=0，代入（g ）式和它的一阶导数中，可得待定常数A 、B 的表达式（h ）和（j ）。
()00
,0=+
==cr
A
x g F M B y
对（g ）求导，有
()00
,0
=-='=cr
QA x i F F Ak y 再把一端固定一端铰支的压杆上端B （铰支端）的边界条件：x=l 、y=0，代入（g ）式和它的一阶导数（i ）中，可得待定常数A 和B 之间的关系式（k 和l ）。
()0cos sin ,=-
-='=cr
QA l
x i l F F kl Bk kl Ak y
最后，
2.6-2）
。 由（h ）、（j ）代入（k ）得0cos sin =-+-cr
QA A cr A
cr QA
F l F M kl F M kl kF F
()0cos sin =-+-l F M k kl k M kl F Q A A A Q A 由（h ）、（j ）代入（l ）得
cr
QA cr A cr QA
F F kl k F M kl k kF F =+sin cos 由（m ）=（n ）得 ()()2
cos 1sin sin kl kl kl kl -=-
kl kl kl kl kl 22cos cos 21sin sin +-=-，()00sin cos 22 =--kl kl kl
显然，各值能够满足（0）式。应该取最小的非零值π2=kl ,于是
()
()()
2
2
2
2l EI
F kl cr c =
=π，得
两端固定压杆的临界力公式 （2.6-2）式亦称，欧拉公式。值得注意的是，压杆总是在抗弯能力最弱的纵向平面内
弯曲失稳，所以公式中的惯性矩I 应该取其横截面的最小惯性矩I min 。
前面已经求得，两端铰支细长压杆的长度系数μ=1；一端固定一端自由细长压杆的长度系数μ=2；一端固定一端铰支细长压杆的长度系数μ=0.7。现在又得出，两端固定细长压杆的长度系数μ=0.5。
长度系数μ是微弯曲线的半个正弦波长与压杆压杆长度之比，故在这里μ=0.5表示两端固定细长压杆微弯曲线的半个正弦波长为杆长的一半。
2.6.4 将k 值代入微分方程通解，从而导出压杆挠曲线方程
2
2
5.0??
? ??=l k π
cr
QA A cr A cr QA
F x F M kx F M kx kF F y -+
-=cos sin cr
QA A cr
A cr cr
QA F x F M x EI Fcr
F M x EI Fcr
F EI F F y -+-=
cos sin ，
两端固定细长压杆失稳时的挠曲线方程为
式中F QA 是压杆上下端的水平约束反力，M A 是压杆下端的约束反力偶。这2个未知量是两
端固定细长压杆2次超静定结构，无法由平衡方程所确定的。
为什么说两端固定细长压杆不是3次超静定结构？因为两端都固定了，是没有办法压弯的，故模型中必须假设上端固定支座是可以向下移动的，也就是说上端不是固定支座，而是定位支座（滑移支座），这样上端仅有2个未知反力，两端固定细长压杆是2次超静定结构。这样在它的挠曲线方程中，不是3个无法确定的广义力，而是两个。
2.6.5 两端固定压杆临界力公式推导的图示小结
()()16.2-+-= x F M y F x M Q A A cr B =M A -F QA l
= F QA =F cr
= F QA F =F
2.7 将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总
图2-3-1两端铰支压杆临界力分析
临界微弯平衡
y
F=F
x截面内力分析
()()1
3.2-
=
y
F
x
M
cr
临界微弯平衡
图2-4-1一端固定一端铰支压杆临界力分析
y
F N
()()()1
4.2-
-
-
=
y
F
x
M
cr
δ
F crδ
’
x截面内力分析
()()()1
5.2-
-
-
=
x
l
F
y
F
x
M
Q A
cr
F
y
Q
(x)
图2-6-1两端固定压杆临界力分析
()()16.2-+-= x F M y F x M Q A A cr
F cr
B =M A -F QA l = F QA =F cr
= F QA
A
F cr
F =F
F (x)
()()b F x F M y EI F dx y d cr QA A cr a ???
? ??---=-)16.2(,22
材料力学习题册答案-第9章-压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
材料力学 轴向拉压 题目+答案详解
2-4. 图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm 和20mm ，试求两杆内 的应力。设两根横梁皆为刚体。 解：（1）以整体为研究对象，易见A 处的水平约束反力为零； （2）以AB 为研究对象 由平衡方程知 0===A B B R Y X （3）以杆BD 由平衡方程求得 KN N N N Y KN N N m C 200 10 01001101 0212 11==--===?-?=∑∑ （4）杆内的应力为 1
MPa A N MPa A N 7.6320 41020127104101023 2222 3111=???== =???==πσπσ 2-19. 在图示结构中，设AB 和CD 为刚杆，重量不计。铝杆EF 的l 1=1m ，A 1=500mm 2， E 1=70GPa 。钢杆AC 的l 2=，A 2=300mm 2，E 2=200GPa 。若载荷作用点G 的垂直位移不得超过。试求P 的数值。 解：（1）由平衡条件求出EF 和AC 杆的内力 P N N N P N N AC EF AC 4 3 32 2112===== （2）求G 处的位移 2 2221111212243)ΔΔ23 (21)ΔΔ(21Δ21ΔA E l N A E l N l l l l l l A C G + =+=+== （3）由题意 kN P P P A E Pl A E Pl mm l G 1125.2300 102001500500107010009212143435.23 3222111≤∴≤???+????=??+??≤ 2-27. 在图示简单杆系中，设AB 和AC 分别是直径 为20mm 和24mm 的圆截面 杆，E=200GPa ，P=5kN ，试求A 点的垂直位移。
轴心压杆弯扭屈曲分析和对比
对于轴心受压杆件,其屈曲形式通常有三种：弯曲屈曲、扭转屈曲、弯扭屈曲。对于只有一个对称轴的截面，当剪心与形心不重合,杆件绕对称轴弯曲时，产生的剪力不经过截面剪心，必然导致扭转。因此,当截面绕对称轴弯曲刚度较小,抗扭转刚度也不大时，扭屈曲就成为这种杆件承载力的极限状态。 《钢结构设计规范》（GBJ 17—88）没有特别提出关于轴心压杆弯扭屈曲计算条文，这样处理有计算简单的优点，即按照弯曲屈曲来计算，但也有不利的一面，即设计者可能忽略弯扭屈曲的特点，从而在某些必须考虑扭转的情况下造成疏忽。 下面以单角钢杆件为例：单角钢截面尺寸为L100 6，长2.4m ，两端铰支，其中点设一支撑，则有λy = 61.5 ，λx = 60 （y轴为对称轴）, 即绕强轴y 屈曲对承载力起控制作用。更因强轴是对称轴,扭转的不利作用不能忽视,这一作用根据本文的方法进行换算, λy = 61.5×1.5=92.3，如果忽略扭转影响, 直接以λ y=61.5计算，则稳定系数偏大15 %。这样处理杆件的实际承载力超出了其计算的承载力，势必存在潜在的危险。有鉴于此，本文就弯扭屈曲问题进行了初步研究，给出了具体计算方法，同时将国外规范与国内规范进行了对比计算和分析。 1、稳定系数 由于轴心受压构件有初弯曲、初偏心、残余应力等缺陷的影响，其承载力大大降低，因此在具体计算时必须用特定条件加以限制。到目前为止，世界各国钢结构设计规范中的处理方法可概括为四种： （1）按理想轴心受压构件计算，在弹性阶段采用欧拉公式，在弹塑性阶段采用试验曲线，初偏心、初弯曲、残余应力不利影响用特殊安全系数来考虑。 （2）按理想轴心受压构件计算，在弹性阶段采用欧拉临界应力，在弹塑性阶段采用切线模量临界应力，各种不利影响因素用特殊安全系数来考虑。 （3）把初弯曲、初偏心、残余应力等各种缺陷综合考虑成一等效的与长细比有关的初弯曲或初偏心率，利用边缘纤维屈服准则的佩利公式，导出边缘纤维的截面平均应力作为临界应力。 （4）考虑初弯曲、初偏心、残余应力缺陷，采用极限承载力理论进行计算。“规范”（GBJ 17—88）规定采用第4 种方法，采用一个与长细比λ有关的系数，
怎样推导压杆的临界力和临界应力公式
1 * 问题的提出及其对策 ........................................................................................................... 1 1.1 问题的提出及其对策 ........................................................................................................ 1 1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比 ............................................................ 2 2 压杆临界压力F cr 的计算公式 ................................................................................................. 3 2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡 ................................................................................ 3 2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程 ............................................................................. 4 2.3 按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力 ............................................................ 5 2.4 按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力 ............................................ 7 2.5 按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力 .......................................... 10 2.6 按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力 .......................................................... 13 2.7 将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总 .. (17) 1 * 问题的提出及其对策 1.1 问题的提出及其对策 试计算长度为400mm ，宽度为10mm ，厚度为1mm 的钢锯条，在一端固定、一端铰支的情况下，许用的轴向压力。材料的许用应力为160MPa 。 解：1、按轴向拉压强度计计算 []2/160160120mm N MPa mm mm F A F N N ==≤?== σσ 2、按压杆稳定临界力公式计算 ()43 33 5120121121mm mm mm bh I Z =??== ()()N mm mm MPa l EI F CR 28.123 4002102000002 4 222=????==πμπ 分析：1、按轴向拉压杆的强度条件计算结果，该钢板尺可以安全承压 3.2kN 。这是一 个什么概念呢？一袋水泥重50kg ，对应重力N s m kg mg W 500/10502=?==，即该钢板尺可以安全承压6.4袋水泥，这显然是不可能的。 2、按压杆稳定临界力计算公式的结果，该钢板尺在承压12.28N 时，就可能变弯了。这又是一个什么概念呢？一小袋食盐重0.5kg ，对应重力N s m kg mg W 5/105.02 =?==，即该钢板尺当承压两袋半食盐时，就可能由直线平衡状态，转变为弯曲平衡状态了。这与实际情况差不多。 结论：对于钢板尺这样的细长杆件，在承受压力时，一定不要用轴向拉压强度条件来判断它的安全承载力，这会出大问题的。需要按弯曲平衡建立力学模型，按梁的理论来分析。 kN N mm N mm mm F N 2.33200/1601202==??≤
钢结构基础第四章课后习题答案
第四章 4.7 试按切线模量理论画出轴心压杆的临界应力和长细比的关系曲线。杆件由屈服强度 2y f 235N mm =的钢材制成，材料的应力应变曲线近似地由图示的三段直线组成，假定不 计残余应力。3 20610mm E N =?2 （由于材料的应力应变曲线的分段变化的，而每段的变形模量是常数，所以画出 cr -σλ 的曲线将是不连续的）。 解：由公式 2cr 2E πσλ =，以及上图的弹性模量的变化得cr -σλ 曲线如下： 4.8 某焊接工字型截面挺直的轴心压杆，截面尺寸和残余应力见图示，钢材为理想的弹塑性体，屈服强度为 2 y f 235N mm =，弹性模量为 3 20610mm E N =?2 ，试画出 cry y σ-λ— — 无量纲关系曲线，计算时不计腹板面积。 f y y f (2/3)f y (2/3)f y x
解：当 cr 0.30.7y y y f f f σ≤-=, 构件在弹性状态屈曲；当 cr 0.30.7y y y f f f σ>-=时，构件在弹塑性状态屈曲。 因此，屈曲时的截面应力分布如图 全截面对y 轴的惯性矩 3 212y I tb =，弹性区面积的惯性矩 ()3 212ey I t kb = ()3 22232232212212ey cry y y y y I t kb E E E k I tb πππσλλλ=?=?= 截面的平均应力 2220.50.6(10.3)2y y cr y btf kbt kf k f bt σ-??= =- 二者合并得cry y σ-λ— — 的关系式 cry cry 342 cry σ(0.0273)σ3σ10y λ+-+-= 画图如下 4.10 验算图示焊接工字型截面轴心受压构件的稳定性。钢材为Q235钢，翼缘为火焰切割边，沿两个主轴平面的支撑条件及截面尺寸如图所示。已知构件承受的轴心压力为 N=1500KN 。 0.6f y f y λ σ 0.2 0.40.60.81.0cry
图示不同支座情下压杆临界力倍数关系
图示不同支座情下压杆临界力倍数关系
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
建筑结构工程的可靠性技术要求 掌握建筑结构工程可靠性 一、结构的功能要求 1. 安全性 2. 适用性 3. 耐久性 安全性、适用性、耐久性概括称为结构的可靠性 二、两种极限状态 1. 所谓构件的抵抗能力：结构或构件抵抗上述荷载效应的能力，它与截面的大小和形状及材料的性质和分布有关。 S 外荷载作用效应；R 本身的抵抗能力 1）S > R ，构件破坏，不可靠状态 2）S < R ，可靠状态，R 比S 超出过多不经济 3）S = R ，即将破坏的边缘状态，称为极限状态 （好比：等于60分及格，处于极限状态；小于60分，失败，不及格；大于60分，及格） 2. 极限状态分两种： 1）承载能力极限状态 2）正常使用极限状态 3. 承载能力极限状态是对应于结构或构件达到最大承载能力或不适于继续承载的变形，包括结构构件或连接因强度超过而破坏，结构或其一部分作为刚体而失去平衡，发生的疲劳破坏。对所有结构和构件都必须按承载能力极限状态进行计算，施工时应严格保证施工质量，以满足结构的安全性。 杆件稳定的基本概念 1. 在工程结构中，受压杆件如果比较细长，受力达到一定的数值（这时一般未达到强度破坏）时，杆件突然发生弯曲，以致引起整个结构的破坏，这种现象称为失稳。因此，受压杆件要有稳定的要求。 不同支座情况的临界力的计算公式为：202l EI P lj π= 临界应力等于临界力除以压杆的横截面面积A 。临界应力lj σ是指临界力作用下压杆仍处于直线状态时的应力 22202202)/(λπππσE i l E A I l E A P lj lj ==*==，其中，A I i /=称作截面的回转半径或惯性半径。 i l 0=λ称作长细比。i 由截面形状和尺寸来确定。所以，长细比λ是影响临界力的综合因素。 S = R S < R S > R 可靠 失效
5.3拉压杆应力
A=10mm 2 A=100mm 2 10KN 10KN 100KN 100KN 哪个杆先破坏?
§3 应力.拉(压)杆内的应力 应力的概念 受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度，内力集度.F 1 F n F 3 F 2 应力就是单位面积上的力? (工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。)
F 1 F 2 ΔA D F ΔF Qy ΔF Qz ΔF N dA dF A F N N A = D D =→D 0 lim σdA dF A F Q Q A =D D =→D 0 lim τ垂直于截面的应力称为“正应力”位于截面内的应力称为“切应力” 应力的国际单位为N/m 2 （帕斯卡） 1N/m 2=1Pa 1MPa=106Pa ＝1N/mm 21GPa=109Pa dA dF A F p A = D D =→D 0 lim
拉(压)杆横截面上的应力 A dA dA F A A N σσσ===??A F N = σ几何变形 平面假设 静力平衡 dA dF A F N N A =D D =→D 0 lim σdA dF N σ=横截面上各点只产生沿垂直于横截面方向的变形 横截面上只有正应力 两横截面之间的纵向纤维伸长都相等 杆件的横截面在变形后仍保持为平面，且垂直于杆的轴线 横截面上的正应力均匀分布
σ——正应力F N ——轴力 A ——横截面面积 σ的符号与F N 轴力符号相同 A F N = σ
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上的正应力.已知横截面面积A=2×103mm 2 20KN 20KN 40KN 40KN 3 3 2 2 1 1 例题2.5 20kN 40kN MPa 1011-=-σ0 22=-σMPa 2033=-σ
(整理)压杆稳定计算.
第16章压杆稳定 16.1 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。 图16-5 图16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于
第十四章 轴向压杆的稳定计算
第十四章轴向压杆的稳定计算 【教学要求】 了解压杆稳定与失稳的概念； 理解压杆的临界力和临界应力的概念； 能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力； 熟悉压杆的稳定条件及其应用； 了解提高压杆稳定性的措施。 【重点】 1、计算临界力。 2、掌握折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法【难点】 折减系数法对压杆进行稳定设计与计算的基本方法。 【授课方式】课堂讲解 【教学时数】共计4学时 【教学过程】 ?14.1 压杆稳定的基本概念0.5学时?14.2 压杆的临界力和临界应力 1.5学时★14.3 压杆的稳定条件及其应用 1.5学时?14.4 提高压杆稳定性的措施0.5学时【小结】 【课后作业】 ?14.1 压杆稳定的基本概念 ?
? 有实例提出问题，总结引申新的课题。 1、概念 压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。 压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。 研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。 在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。 2、平衡状态的稳定性 当P ＜cr P ，时，是稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，是随遇平衡状态，这种状态称为临界平衡状态 当P ＞cr P 时，是不稳定平衡状态 当P ＝cr P 时，压杆的平衡状态是介于稳定和不稳定之间的临界平衡状态，因此定值cr P 。 3、压杆临界力F cr 14.2 压杆的临界力和临界应力 临界力的影响因素 临界力F cr 的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关： 杆的长度l 、抗弯刚度EI 、杆端支承。 14.2.1临界力的欧拉公式 22()cr EI P l πμ= 适用条件：弹性范围内。 式中，EI 称为压杆的抗弯刚度， I 是截面对形心轴最小的惯性矩。
压杆稳定性最新计算
停车库的受力分析计算 一、停车状态如下图所示 二、分析立柱受力并校核 已知：立柱截面为环形，令钢管厚度﹩=(D-d)/2为20mm 即D-d=0.02,材料选为45#， 屈服强度s σ≥355Mpa,安全系数n 取为1.5，弹性模量取为210Gpa ，泊松比取为0.26。 解：简化模型如图1所示,显然Mx>My,故按照Mx 情况进行校核。板自重m1=500Kg ，小车自重为m2=2000Kg 。分析立柱受力知其受压力和弯矩（包含风载）， 故：需校核其强度 即，[]σσ≤ 1、起升载荷Q 的确定 起升载荷包括允许起升的最大汽车重量、以及载车板，因起 升高度＜50米，故钢丝绳质量不计。 因起升速度≤R v 0.2m/s,故起升载荷动载系数2?05.1min ==? 故，()2221m ???+=?=g m Q F 2、 风载荷W P 的确定 qA CK P W h = C ——风力系数，用以考虑受风结构物体型、尺寸等因素对风压的影响 h K ——风力高度变化系数 q ——计算风压() 2/m N A ——立柱垂直于风向的迎风面积() 2m 正视图左视图
1） 计算风压q 风压计算公式为 2613.0q v = 风压按照沿海地区工作状态风压计算v=20m/s,故q=245.22 m /N 风压按照工作状态下的最大计算风压计算，此时q 取2502m /N ，故最终q 取250 2m /N 。 2） 风力系数C 因为离地面高度≤10m,按照海上及海岛2 .010?? ? ??h ，风压高度变化系数h K 取1.00 因为是圆管结构且10q 2≈d （q 为计算风压，d 为圆管直径），故C 取0.9 3） 迎风面积A t A A ψ= ψ——结构的充实率，t A A = ψ，钢管桁架结构ψ值取0.2-0.4，故0.3 t A ——结构或物品外形轮廓面积在垂直于风向平面上的投影() 2m h D A t =() 2m D ——立柱外径；h ——立柱高度 D D qA CK P W 675 325000.19.0h =????== 3、 强度校核1 []n s σσσ= ≤ 即[]σσ≤+= W M A F max cmax 令W M A F + = σ 2??=Q F ;()g m m Q 21+= () 22 4 d D A -= π 21M M M += M1——由重力引起的弯矩；M2——由风载引起的弯矩 ()3.121m 1?+=g m M ;h P M W *=2 1 2
建筑力学第11章压杆稳定
第11章压杆稳定 [内容提要]稳定问题是结构设计中的重要问题之一。本章介绍了压杆稳定的概念、压杆的临界力-欧拉公式，重点讨论了压杆临界应力计算和压杆稳定的实用计算，并介绍了提高压杆稳定性的措施。 11.1 压杆稳定的概念 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。前面各章中我们从强度的观点出发，认为轴向受压杆，只要其横截面上的正应力不超过材料的极限应力，就不会因其强度不足而失去承载能力。但实践告诉我们，对于细长的杆件，在轴向压力的作用下，杆内应力并没有达到材料的极限应力，甚至还远低于材料的比例极限σP时，就会引起侧向屈曲而破坏。杆的破坏，并非抗压强度不足，而是杆件的突然弯曲，改变了它原来的变形性质，即由压缩变形转化为压弯变形（图11-1所示），杆件此时的荷载远小于按抗压强度所确定的荷载。我们将细长压杆所发生的这种情形称为“丧失稳定”，简称“失稳”，而把这一类性质的问题称为“稳定问题”。所谓压杆的稳定，就是指受压杆件其平衡状态的稳定性。 为了说明平衡状态的稳定性，我们取细长的受压杆来进行研究。图11-2(a)为一细长的理想轴心受压杆件，两端铰支且作用压力P，并使杆在微小横向干扰力作用下弯曲。当P较小时，撤去横向干扰力以后，杆件便来回摆动最后仍恢复到原来的直线位置上保持平衡（图11-2(b)）。因此，我们可以说杆件在轴向压力P的作用下处于稳定平衡状态。 P，杆件受到干扰后，总能回复到它原来的直线增大压力P，只要P小于某个临界值 cr P时，杆件虽位置上保持平衡。但如果继续增加荷载，当轴向压力等于某个临界值，即P= cr 然暂时还能在原来的位置上维持直线平衡状态，但只要给一轻微干扰，就会立即发生弯曲并停留在某一新的位置上，变成曲线形状的平衡（图11-2(c)）。因此，我们可以认为杆件在P的作用下处在临界平衡状态，这时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。 P= cr
第2讲 拉压杆的内力和应力
第2讲教学方案——拉压杆的内力和应力
第二章轴向拉伸与压缩 §2-1轴向拉伸与压缩的概念与实例 轴向拉伸和压缩的杆件在生产实际中经常遇到，虽然杆件的外形各有差异，加载方式也不同，但一般对受轴向拉伸与压缩的杆件的形状和受力情况进行简化，计算简图如图2-1。轴向拉伸是在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸；轴向压缩是在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。实例如图2-2所示用于连接的螺栓；如图2-3所示桁架中的拉杆；如图2-4所示汽车式起重机的支腿；如图2-5所示巷道支护的立柱。 通过上述实例得知轴向拉伸和压缩具有如下特点： 1. 受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。 2. 变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。
§2-2横截面上的内力和应力 1．内力 在图2-6所示受轴向拉力P 的杆件上作任一横 截面m —m ，取左段部分，并以内力的合力N 代替右段对左段的作用力。由平衡条件 0=∑X ，得 0=-P N 由于0>P （拉力），则 0>=P N 合力N 的方向正确。因而当外力沿着杆件的 轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合 的内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用N 表示。 若取右段部分，同理0=∑X ，知 0=N -P 得 0>=P N 图中N 的方向也是正确的。 材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由平衡坐标方程决定。习惯上将轴力N 的正负号规定为：拉伸时，轴力N 为正；压缩时，轴力N 为负。 2．轴力图 轴力图可用图线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示轴力大小。 例2-1 求如图2-7所示杆件的内力，并作轴力图。 解：（1）计算各段内力 AC 段：作截面1—1，取左段部分（图b ）。由0=∑X 得 51=N kN （拉力）
细长压杆的临界力公式—欧拉公式.
10.2 细长压杆的临界力公式—欧拉公式 一、两端铰支压杆的临界力 图9—4为两端受压杆件，人们经过对不同长度（l ），不同截面（I ），不同材料（E ）的压杆在内力不超过材料的比例极限时发生失稳的临界力P cr 研究得知： 2 2l Pcr EI =π （9—1） 式中： π—圆周率； E —材料的弹性摸量； l —杆件长度； I —杆件截面对行心主轴的惯性矩。 图9-4 当杆端在各方向的约束情况相同时，压杆总是在抗弯刚度最小的纵向平面内失稳，所以（9-1）式中的惯性矩应取截面最小的形心惯性矩I min 。 瑞士科学家欧拉（L.Eular ）早在18世纪，就对理想细长压杆在弹性范围的稳定性进行了研究。从理论上证明了上述（9-1）式是正确的，因此（9-1）式又称为计算临界力的欧拉公式。 二、杆端支承对临界力的影响 图9-5 （a） （b）（c）（d） 工程上常见的杆端支承形式主要有四种，如图9-5所示，欧拉进一步研究得出各种支承情况下的临界力。如一端固定，一端自由的杆件，这种支承形式下压杆的临界力，只要在（9-1）式中以2l 代替l 即可。
() 2 22l P cr EI = π （a ） 同理，可得两端固定支承的临界力为 () 2 25.0l P cr EI = π （b ） 一端固定，一端铰支压杆的临界力为 () 2 27.0l P cr EI = π （c ） 式（a ），(b)，(c)和（9-1）可归纳为统一的表达式 () 2 2l P cr μπEI = （9-2） 式中l μ称为压杆计算长度，μ称为长度系数，几种不同杆端支承的各μ值列于表9—1中，μ反映了杆端支承情况对临界力的影响。 表9-1 各种杆端支承压杆的长度系数图例9.1 图示轴心受压杆，截面面积为10mm ?20mm 。已知其为细长杆，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界力。
!第八章压杆稳定性
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？ 解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。 15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。 解：(a) 柔度： 230 1500.4 λ?= = 相当长度：20.30.6l m μ=?= (b) 柔度： 150 1250.4 λ?== 相当长度：10.50.5l m μ=?= (c) 柔度： 0.770 122.50.4 λ?= = 相当长度：0.70.70.49l m μ=?= (d) 柔度： 0.590 112.50.4 λ?= = 相当长度：0.50.90.45l m μ=?= (e) 柔度： 145 112.50.4 λ?== 相当长度：10.450.45l m μ=?= 由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。即：() 22 cr EJ P l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为： () 2948 2 2 2 320010 1.610640.617.6410cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==?
() 2948 2 2 2 320010 1.610640.4531.3010cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==? 15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。 解： 92.6 33827452.5 p s s a λπσλ===--=== 15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。试校核此挺杆的稳定性。 解：(1)
怎样推导压杆的临界力和临界应力公式.
06、基本知识 怎样推导压杆的临界力和临界应力公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@https://www.360docs.net/doc/7913134617.html, ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。 1 * 问题的提出及其对策 (1) 1.1 问题的提出及其对策 ........................................................................................................ 1 1.2 压杆稳定分析概述——与强度、刚度分析对比 ............................................................ 2 2 压杆临界压力F cr 的计算公式 ................................................................................................. 3 2.1 压杆稳定的力学模型——弯曲平衡 ................................................................................ 3 2.2梁的平衡理论——梁的挠曲微分方程 ............................................................................. 4 2.3 按梁的平衡理论分析两端铰支的压杆临界压力 ............................................................ 6 2.4 按梁的平衡理论分析一端固定一端自由的压杆临界压力 ............................................ 8 2.5 按梁的平衡理论分析一端固定一端铰支的压杆临界压力 .......................................... 10 2.6 按梁的平衡理论分析两端固定的压杆临界压力 .......................................................... 14 2.7 将四种理想压杆模型的临界力公式及其推导分析图示的汇总 .. (18) 1 * 问题的提出及其对策 1.1 问题的提出及其对策 试计算长度为400mm ，宽度为10mm ，厚度为1mm 的钢锯条，在一端固定、一端铰支的情况下，许用的轴向压力。材料的许用应力为160MPa 。 解：1、按轴向拉压强度计计算 []2/160160120mm N MPa mm mm F A F N N ==≤?== σσ 2、按压杆稳定临界力公式计算 ()43 33 5120121121mm mm mm bh I Z =??== ()()N mm mm MPa l EI F CR 28.123 4002102000002 4 222=????==πμπ 分析：1、按轴向拉压杆的强度条件计算结果，该钢板尺可以安全承压 3.2kN 。这是一 个什么概念呢？一袋水泥重50kg ，对应重力N s m kg mg W 500/10502 =?==，即该钢 kN N mm N mm mm F N 2.33200/1601202==??≤
§4.3轴心压杆的临界力
§4.3 轴心压杆的临界力 一轴心受力构件由于截面形式不同，可能有三种屈曲形式而丧失稳定。即弯曲屈曲、扭转屈曲和弯扭屈曲。 3) 屈曲时变形很小，忽略杆长变化。 4) 屈曲时截面保持平面，屈曲轴线为正弦半波。 2．弹性屈曲 通过平衡微分方程 ? =→=?+欧拉临界力 2 2cr 22π0l EI N y N dz y d EI 运用能量法：外荷载势能变化＝杆件应变能变化 0δδ=+W V dz y N dz dz N N V l l 2 cr cr cr )(2)cos α( δ??-=--=?-=
dz V dz EI M W l l ??+=22δ12γ dz y N dz y EI N l l ??+=2 2 cr 122cr )(22γ ，代入等式得设l z y y ?=πsin m 1 2222cr π11 πγl EI l EI N +? = 1γ——单位力作用下的剪切角。 通常对于实腹式截面，1γ很小，故可以忽略不计，则式变为： 2 2cr 2 2cr ππλσE l EI N = =或 当cr σ≤p f 时，上式成立，因为E ＝常数。 3．弹塑性屈曲 E E E t 2 2cr π= = τλτ σ， t E ——切线模量,E f f f f E p p y y t )()(--= σσ 界限长细比：p p π f E =λ
y cr x cr σσ≠，不经济，因此应想办法使它们相近，实际上，若达到y x λλ=，就基本上达到了等稳定。 二．扭转屈曲 选择纵向纤维为考察对象 纤维受到的轴心压力为：dN dA σ= 纤维倾侧产生横向力为： 'tan d dV dN dN dA dz ρ? ασρ?=?≈= 截面扭矩为： λ σ f y p f 0 σ E k E t λp =πE/σ p a)b) f p f y ε E
压杆稳定
1、( )材料相同的压杆，柔度越大，稳定性越差，故它所能承受的外压力就越小。 1、( )压杆的临界应力是压杆处于临界状态维持直线平衡形式时横截面上的正应力。 2、( )材料相同，柔度相等的压杆，空心杆比实心杆的稳定性好，即空心杆所能承受的压力大。 3、对于压杆稳定，下面错误的伦述是( )。 A 、压杆的临界压力是保持稳定直线平衡的最大载荷。 B 、压杆的柔度越大，压杆越不稳定。 C 、大柔度压杆可以使用欧拉公式计算临界压力。 D 、矩形截面细长压杆，已知Iz>Ir ，计算临界载荷时，应取值Iz 为妥。 5、临界应力是压杆失稳时横截面上的应力（ ） 6、示Q235钢压杆，截面为矩形，面积为3.2*103mm 2， 已知E=200GPA ，σs =235MPA ，λp=100,λs=61.6，试计算其临界载荷。（15分） 7、( )压杆的稳定性主要与压杆的截面大小和压杆的长度有关。 一、是非判断题 9.1 所有受力构件都存在失稳的可能性。 （ × ） 9.2 在临界载荷作用下，压杆既可以在直线状态保持平衡，也可以在微弯状态下保持平衡。 （ × ） 9.3 引起压杆失稳的主要原因是外界的干扰力。 （ × ） 9.4 所有两端受集中轴向力作用的压杆都可以采用欧拉公式计算其临界压力。 （ × ） 9.5 两根压杆，只要其材料和柔度都相同，则他们的临界力和临界应力也相同。 （ × ） 9.6 临界压力是压杆丧失稳定平衡时的最小压力值。 （ ∨ ） 9.7 用同一材料制成的压杆，其柔度（长细比）愈大，就愈容易失稳。 （ ∨ ） 9.8 只有在压杆横截面上的工作应力不超过材料比例极限的前提下，才能用欧拉公式计算其 临界压力。 （ × ） 9.9 满足强度条件的压杆不一定满足稳定性条件；满足稳定性条件的压杆也不一定满足强度 条件。 （ ∨ ） 9.10 低碳钢经过冷作硬化能提高其屈服极限，因而用同样的方法也可以提高用低碳钢制成 的细长压杆的临界压力。 （ × ） 二、填空题 9.1 压杆的柔度λ综合地反映了压杆的 对临界应力的影响。 长度(l )，约束(μ)，横截 面的形状和大小（i ） 有应力集中时
第七章 压杆稳定
第七章压杆稳定 本章重点介绍有关压杆稳定的基本概念和压杆临界力的计算方法，简单说明其它形式构件的稳定性问题。 第一节压杆稳定的概念 考察图7-1所示的受压理想直杆，当压力F小于某一数值时，在任意小的扰动下，压杆偏离其直线平衡位置，产生轻微弯曲，当扰动除去后，压杆又回到原来的直线平衡位置。这表明压杆的直线平衡是稳定的。当压力逐渐增加达到一定数值时，压杆在外界扰动下，偏离直线平衡位置，扰动去除，则不能再回到原来的直线平衡位置，而在某一弯曲状态下达到新的平衡，因此称该直线平衡是不稳定的。从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的压力极限值，称为临界载荷或临界力，用F cr表示。压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简称失稳。 图7-1 杆件失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大，从而使杆件丧失承载能力。但细长压杆失稳时，杆内的应力不一定高，有时甚至低于材料的比例极限。可见，压杆失稳并非强度不足，而是区别于强度、刚度失效的又一种失效形式。由于压杆稳定是突然发生的，因此所造成的后果也是严重的。历史上瑞士和俄国的铁路桥，都发生过因为桥桁架中的压杆失稳而酿成的重大事故。因此在工程实际中，对于压杆稳定性问题必须充分重视。 当压杆的材料、尺寸和约束等情况已经确定时，临界力是一个确定的值。因此可根据杆件实际的工作压力是小于还是大于压杆的临界力，来判断压杆是稳定的还是不稳定的。可见解决压杆稳定的关键问题是确定压杆的临界力。 第二节细长压杆的临界载荷
一、两端铰支细长压杆的临界力 取一根两端为球铰的细长压杆，使其处于微弯的平衡状态，选取相应的坐标系（图7-2a）。考察微弯状态下任意一段压杆的平衡（图7-2 b），则杆件横截面上的弯矩为 (a) 根据挠曲线近似微分方程，有 (b) 将式(a)代入式(b),有 (c) 其中 (d) 微分方程(c)的一般解为 (e) 其中Ｃ1、Ｃ2常数,可根据两端支承的约束边界条件确定，在两端铰支的情况下，边界条件为 （０）＝（ｌ）＝０ 将微分方程的解代入，得 Ｃ2=0, Ｃ1sinkl=0 (f) 后式表明,Ｃ1或者sinkl等于零。但若Ｃ1=0，则y=0，杆轴为直线，这与压杆处于微弯的平衡状态相矛盾。因此，只能是 sinkl=0 解得 (n=0,1,2,...） 由此得
(完整版)轴向拉压习题答案2
第2章 轴向拉伸和压缩 主要知识点：（1）轴向拉伸（压缩）时杆的内力和应力； （2）轴向拉伸（压缩）时杆的变形； （3）材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能； （4）轴向拉压杆的强度计算； （5）简单拉压超静定问题。 轴向拉伸（压缩）时杆的变形 4. 一钢制阶梯杆如图所示。已知沿轴线方向外力F 1=50kN ，F 2=20kN ，各段杆长l 1=100mm ，l 2=l 3=80mm ，横截面面积A 1=A 2=400mm 2，A 3=250mm 2，钢的弹性模量E=200GP a ，试求各段杆的纵向变形、杆的总变形量及各段杆的线应变。 解：（1）首先作出轴力图如图4-11所示， 由图知kN F N 301-=，kN F F N N 2032==。 （2）计算各段杆的纵向变形 m m EA l F l N 56 93311111075.310 40010200101001030---?-=??????-==? m m EA l F l N 5 6 9332222100.210 4001020010801020---?=??????==? (3)杆的总变形量m l l l l 5 3211045.1-?=?+?+?=?。 (4)计算各段杆的线应变 45 1111075.310.01075.3--?-=?-=?=l l ε 45 222105.208.0100.2--?=?=?=l l ε 45 333100.408 .0102.3--?=?=?=l l ε 材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能 5. 试述低碳钢拉伸试验中的四个阶段，其应力—应变图上四个特征点的物理意义是什么？ 答：低碳钢拉伸试验中的四个阶段为弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段。在弹性阶段，当应力小于比例极限σp 时，材料服从虎克定律；当应力小于弹性极限σe 时，材料的变形仍是弹性变形。屈服阶段的最低点对应的应力称为屈服极限，以σs 表示。强化阶段最高点所对应的应力称为材料的强度极限，以σb 表示，它是材料所能承受的最大应力。 m m EA l F l N 5 69333333102.3102501020010801020---?=??????==?