法向量的应用

概念：与平面垂直的向量就称为平面的法向量。

主要应用：证线面平行，证面面平行，证线面垂直，证面面垂直，

求线面角，二面角，求点到平面的距离，异面直线的距离等等。一．证线面平行

方法：证直线上的一条方向向量与平面的一条法向量垂直。

例题：如图（2），已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，

且BM=

31BD ，AN=3

AE ，求证：M N ∥平面CDE

证明：以A 为原点建立如图所示的空间直角

坐标系A-xyz,且设AB=3a,AD=3b,AF=3c,B （3a,0,0）,D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c)

所以 =（-3a,3b,0）,=(0,-3b,-3c) BM 31==(-a,b,0), 31

==(0,-b,-c)

所以 ),

0,2(c a

-=++=, 又平面CDE 的一个法向量是AD =（0，3b ，0）,

由AD NM ?=（2a,0,-c ）（0，3b ，0）=0,所以AD NM ⊥

又MN 不在平面CDE 内，所以M N ∥平面CDE

二．证面面平行

方法：证两个平面的法向量平行。例题：如图，正方体1111C B A O OABC -中，

11,,,F E F E 是中点，

求证：平面1EFB ∥平面11F OE

证明：设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是

平面1EFB ，平面11F OE 的一条法向量，设正方体的棱长是2 则E （2，1，0），F （1，2，0），1B （2，2，2），1E （1，0，2） 1F （0，1，2），所以 )2,0,1(1=OE ，)2,1

,0(1=OF y

)2,1,0(1--=B ，)2,0,1(1--=B

21111=

--=?z y E B n 02221=+=?z x OE

021111=--

=?z x F B n 02221=+=?z y OF

求得 )1,2,2(1--=n ， )2

,1,1(2--=n ，所以 212n n = 所以1n ∥2n ，所以两个平面平行。三．证线面垂直

方法：证直线上的方向向量与平面的法向量平行。

例题：如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，边长AB=2，E ，F 分别是1BB ， DC 的中点。

⑴求证：D 1F ⊥平面AED ；

证明：建立空间直角坐标系D-xyz 则 A （2，0，0），E （2，2，1）， F （0，1，0），)2,0,0(1D

)2,1,0(1-=D ，),0,0,2(=

)1,2,2(=

设),,(z y x n =是平面DAE 的一条法向量

则由 02==?x DA n 求得)2,1,0(-=n 022=++=?z y x 因为D 1=，所以D 1F ⊥平面AED 四．证面面垂直

方法：证两个平面的法向量垂直。

和

由

例题：`如图四棱锥P-ABCD

∥DC ，,90?

∠BAD PA ⊥底面且PA=AD=DC=

AB=1 求证：面PAD ⊥面PCD

证明：建立空间直角坐标系

A- xyz,因为PA=AD=DC=2

AB=1

所以 B （0，2，0），D （1，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1）则 )0,2,0(=AB ， )0,1,0(=DC ， )1,0,1(-=DP 设),,(z y x n =是平面PCD 的一条法向量

则由0==?y 得)1,0,1(= 0=+-=?z x DP 又容易证得AB 是平面PAD 的法向量

又0)0,2,0()1,0,1(=?=?AB n 五．求线面角

方法：设直线与平面成的角为θ向量与平面的法向量成的角为α，则有

αθcos sin =

例题：如图，正方体''''D C B A ABCD -，求 ''ACD D A 与平面所成的角。分析：建立空间直角坐标系xyz B -', 求出平面'ACD 平面的一条法向量，

再求n A =

<,'cos ，

所以<=A 'cos sin θ

六．求二面角

方法：设21,n n 为两个平面的法向量， α为二面角的平面角，则

><±=21,cos cos n n α

符号取决于α是锐角还是钝角。

例题：如图，正方体1111C B A O OABC -，求二面角11C BO A --的大小。分析：建立空间直角坐标系O-xyz, 可求得平面BO A 1 和平面BO C 1的法向量分别是=1n （-1，1，1）

)1,1,1(2-=n ， 3

,cos 21->=

又由图可知该平面角α为锐角所以 3

1cos =

α 七．求点到平面的距离

方法：在平面内取一点N ，设平面的法向量为，则向量在方向上

M 到平面的距离

例题：如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．

分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，由此，建立空间直角坐标系C －xyz ．则可写出各点坐标，从而求得

平面GEF 的一条法向量是=（1，1，3）

=（0，-4

，2），求得11

八．求异面直线的距离

方法：在异面直线21,l l 上取两点M ，N ，

是21,l l 的法向量，则在方向上的投影

的绝对值即为异面直线的距离。

即

例2已知正方体ABCD －''''D C B A 的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离．

分析：如图，建立空间直角坐标系'B －xyz ，则有

)0,0,1('A ，)1,1,1(D ，)1,0,1(A ，)1,1,0(C ．

∴ )1,1,0(--=DA ，)0,1,1(-=，)1,0,0('=A ．设n ),,(z y x =是AC 与D A '的法向量，则又n DA ⊥，n ⊥，可求得

n=(1,1,-1) , 所以 d =

3 即直线'DA 与AC 的距离为

总结：由以上可知，利用法向量去解立体几何问题，省去了作辅助线的

烦恼，把复杂的几何问题转化成了简单的向量运算。特别是在求角和求距离的问题上，尤为体现。

空间向量及其运算详细教案

空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。能力目标：（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点：（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具：多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。教学过程：（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（学生）：矢量，由大小和方向确定（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？（老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？（学生）向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？（学生）这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？（学生）举例（老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量）（老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量

练习4-空间向量的综合应用51

山空间向量的综合应用（2） 1．直三棱柱111C B A ABC -中，?=∠90ACB ，a AA AC ==1，则点A 到平面BC A 1的距离是 A.a B.a 2 C.a 22 D.a 3 2．在ABC ?中，15=AB ，?=∠120BCA ，若ABC ?所在平面α外一点P 到C B A ,,的距离都是14，则P 到α的距离是 A.13 B.11 C.9 D.7 3．将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这正四面体某顶点到其相对面的距离是 A. 36 B.35 C.33 D.3 2 4．已知111C B A ABC -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离 A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 2 2 5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 A ．63 B ．3 3 C ． 332 D ．2 3 6．在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，PA BC AB 2 1==，点D O ,分别是PC AC ,的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 A ．621 B ．338 C ．60210 D ．30 210 7．已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AA AB ，4=AD ，E 为侧面1AB 的中心，F 为11D A 的中点．试计算： (1)1BC ED ?；(2) 1EF FC ?. 8．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，?=∠90ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成?60角(见下图)．求B 、D 间的距离．

高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法

高中数学空间向量之--平面法向量得求法及其应用一、平面得法向量１、定义:如果,那么向量叫做平面得法向量。平面得法向量共有两大类(从方向上分),无数条。 2、平面法向量得求法方法一(内积法):在给定得空间直角坐标系中,设平面得法向量[或,或］,在平面内任找两个不共线得向量。由, 得且,由此得到关于得方程组,解此方程组即可得到。方法二:任何一个得一次次方程得图形就是平面;反之,任何一个平面得方程就是得一次方程。,称为平面得一般方程。其法向量;若平面与3个坐标轴得交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面得截距式方程,把它化为一般式即可求出它得法向量。方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行得非零向量,其外积为一长度等于,(θ为,两者交角,且),而与, 皆垂直得向量。通常我们采取「右手定则」,也就就是右手四指由得方向转为得方向时,大拇指所指得方向规定为得方向,。 (注:1、二阶行列式: ;２、适合右手定则、) 例1、Array试求Ｋey: ( 例2、求平面A 二、 1、 (1) A 图2-１图2—1 (2) (图 (图２两个平得平面

平面而言向内;在图2—3中,得方向对平面而言向内,得方向对平面而言向内。我们只要用两个向量得向量积(简称“外积”,满足“右手定则")使得两个半平面得法向量一个向内一个向外,则这两个半平面得法向量得夹角即为二面角得平面角。 2、求空间距离 (1)、异面直线之间距离: 方法指导:如图2－4,①作直线a 、b 得方向向量、, 求a 、b 得法向量,即此异面直线a 、b 得公垂线得方向向量; ②在直线a 、b 上各取一点A 、Ｂ,作向量; ③求向量在上得射影ｄ,则异面直线a 、b 间得距离为 ,其中 (2)、点到平面得距离: 方法指导:如图2－5,若点B 为平面α外一点,点A 为平面α内任一点,平面得法向量为,则点P 到平面α得距离公式为 (3)、直线与平面间得距离: 方法指导:如图2-6,直线与平面之间得距离: ,其中。就是平面得法向量 (４)、平面与平面间得距离: 方法指导:如图2－7,两平行平面之间得距离: ,其中。就是平面、得法向量。 3、证明 (1)、证明线面垂直:在图2-8中,向就是平面得法向量, a 得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量共线()。 (2)、证明线面平行:在图2—9中,向就是平面得法向量,线ａ得方向向量 ,证明平面得法向量与直线所在向量垂直()。 (3)、证明面面垂直:在图２—10中,就是平面得法向量,面得法向量,证明两平面得法向量垂直() (4)、证明面面平行:在图2—11中, 向就是平面得法向量,量,证明两平面得法向量共线()。三、高考真题新解

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ，但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???，故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ．（2）求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．备考建议：

经典习题平面法向量求法及应用

平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量 (,,1) n x y =r [或 (,1,) n x z =v ，或 (1,,) n y z =r ]，在平面α内任找两个不共线的向量 ,a b r r 。由 n α ⊥r ，得 n a ?=r r 且 n b ?=r r ，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n r 。方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax ) 0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ; 若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(3 2 1 c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ →?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→ → ?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ →2 1y y b a ,2 1z z 2 1x x - ,21 z z 2 1 x x ??? ?21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。） C 1A 1 D 1 z B E

高中数学-空间向量及向量的应用

高中数学 - 空间向量及向量的应用空间直角坐标系的原则：规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。设，，空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离：； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则则：空间线段的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：

2 ）线面角设是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等，操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法：斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面角的平面角）这个公式对于斜面为三角形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用（1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指（0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围是 b F

空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量．由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >

法向量的求法及其空间几何题的解答

状元堂一对一个性化辅导教案教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解难度星级★★★★ 教学内容上堂课知识回顾（教师安排）： 1.平面向量的基本性质及计算方法 2.空间向量的基本性质及计算方法本堂课教学重点： 1.掌握空间法向量的求法及其应用 2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距 3.熟练灵活运用空间向量解决问题得分：

平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。二、平面法向量的应用 1、求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为：图2-1-1:.| |||arccos 2,2 →→→ →→ →??->= <-= AB n AB n AB n π π θ 图2-1-2:2| |||arccos 2,π π θ-??=->=<→ →→ → → → AB n AB n AB n (2)、求面面角:设向量→ m ，→ n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为： θ β α → m 图2-2 → n θ → m α 图2-3 → n β | ,cos |sin ><=→ →AB n θA B α 图2-1-2 θ C → n 图2-1-1 α θ B → n A C

高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法

高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用平面的法向量仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞的法向量共有两大类(从方向上分) ，无数条。 2、平面法向量的求法斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中，设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］，在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三(外积法)：设，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定则。 x, y, z 的一次方程。

平面向量及其应用专题(有答案)

一、多选题 1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知 cos cos 2B b C a c =-， 4 ABC S = △，且b = ） A ．1cos 2 B = B ．cos 2 B = C ．a c += D ．a c +=2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（） A ．14,33?? ??? B ．97,2? ? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 5．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（） A ．a 与b 的夹角为钝角 B ．向量a 在b C ．2m +n =4 D ．mn 的最大值为2 6．下列关于平面向量的说法中正确的是（） A ．已知A 、 B 、 C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c = C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++= D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（）

2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及其应用

2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及其应用一．课标要求：（1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。二．命题走向本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。三．要点精讲 1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率加法交换率：加法结合率：数乘分配率：说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的

空间向量的综合应用(学生用)

空间向量在立体几何中的应用 1.如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为，过点作的垂线交侧棱于点，交于点．求证：平面；求与平面所成的角的正弦值． 2.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，．求证：；求二面角的平面角的余弦值． 3.等边三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图）．将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图）．求证：丄平面；在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．4.如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面．已知，．证明：平面；求异面直线与所成的角；求与平面所成角的正弦值． 5.如图，平面，，，，，分别为，的中点．证明：平面；求与平面所成角的正弦值． 6.如图，三棱柱中，，，．证明；若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值．

7.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明：平面；设二面角为，求与平面所成角的大小． 8.如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．求证：平面；求直线与平面所成的角的大小；求二面角的大小． 9.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，为中点．求证：直线平面；求直线与平面所成角的大小；求点到平面的距离．10.如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与所成角为，是的中点，是上的动点．证明：；若，求直线与平面所成角的大小． 11.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．求证：；已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 12.已知平行四边形中，，，，是线段的中点．沿直线将翻折成，使得平面平面．求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值．

整理法向量的快速求法

法向量的快速求法在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 1122y z y z ，－1 122x z x z ，1 12 2 x y x y ) ，这更便于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?；而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面 α内的两个不共线向量，求平面α的法向量解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”. a ＝(1，2， b ＝(4，5，交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是 ∴n ＝(－3，6

7.5 空间向量及其应用

§7.5空间向量及其应用1．空间向量的有关概念

2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． 5.空间位置关系的向量表示

(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量． (3) 概念方法微思考

高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法

高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。）例1、已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ，试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量

专题空间向量及应用(教师版)

专题17 空间向量及应用 ★★★高考在考什么 SA=SC=2 7行,M 、N 分别为AB 、SB 的中点。 (1) 证明：AC 丄SB; (2) 求二面角 N — CM — B 的大小； (3) 求点B 到平面CMN 的距离. 【专家解答】(1)取AC 中点0,连结OS 、OB. ?/ SA=SC , AB=BC ,??? AC 丄 SO 且 AC 丄 BO .' ???平面SAC 丄平面 ABC , ??? SO 丄面ABC , ??? SO 丄BO .如图建立空间直角坐标系 (2, 0, 0), B (0, 243 , 0), 0 , 0), S (0 ,呼血),M(1, 43, 0), (—4 , 0 , 0), SB = (0 , 273, — 2 运), ?/ AC ?SB = (— 4 , 0 , 0) - (0 , 2^3, — 242 ) =0 , ??? AC 【考题回放】 1.在正方体 A i B i C i D i -ABCD 中，M 、N 分别是棱线CM 与 D 1N 所成的角，则 1 2 A . - B.- 9 3 2 .直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中，离是（C ） si n 等于 () 2^5 C. ------ 7 ACB=90 0 ,AC=AA A i A 和 B i B 的中点，若 0为直 9 1=a ,则点 A 到平面A 1BC 的距 A . a B.承 a 集整理勿做商业用途 3 .如图，正四面体 S-ABC 所成角的余弦值是（ V 3 A A. 3 整理勿做商业用途 4 .在正三棱锥P-ABC 若截面AMN 巧 A . 一 2 5 .在直三棱柱中，） C. 普a D . 73 a 个人收 D 为SC 的中点，贝U BD 与SA D 返个人收集 6 C M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点, 中，丄侧面PBC , 则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是（ 15 V o C. 一 D . 一 2 2 ABC-A 成300 角，则二面角 1B 1C 1 中，厶 BAC=90 0 , AB=BB 1=1 ,直线 BQ 与平面 ABC B-B 1C-A 的正弦值並。 3 6 .在三棱锥S —ABC 中，△ ABC 是边长为4的正三角形，平面 SAC 丄平面ABC , ￡ O —xyz .贝U A C (— 2, ??? AC 1 B M N(0 , Y E ,(2 ).

重点高中数学--空间向量之法向量求法及应用办法

精心整理高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用一、平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或 (1,, n y z =，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y ,的一次方程。Ax ),C B ;若平面与31=c z ,称此方法三( 为空间中两个不平行的非零向量，其外积θsin |||→ b ，（θ为皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为→ →?-a b 。 (1设x a =→ （注：1例1、已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ，试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key:(1))5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -求平面AEF 的一个法向量n 。 ) 2,2,1(:=?=→ → → AE AF n key 法向量

二、 1、 (1)、AB 图图(2),→=

8.6空间向量及其应用36

第六节空间向量及其应用考纲解读 1.空间向量及其运算. （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 2.空间向量的应用. （1）理解直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理；（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用. 命题趋势探究立体几何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些. 知识点精讲一、空间向量及其加减运算 1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB . 2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时， 0AB =. 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a -. 4.空间向量的加法和减法运算（1）OC OA OB a b =+=+，BA OA OB a b =-=-.如图8-152所示.

空间向量与立体几何(2)——向量法在立体几何中的综合应用

空间向量与立体几何（2）——向量法在立体几何中的综合应用【学习目标】1、能够建立空间直角坐标系； 2、掌握平面的法向量的求解方法； 4、掌握向量法在一些平行、垂直证明中的应用； 3、掌握向量法在线面角和二面角的应用（重难点）. 【重点】空间直角坐标系的建立和法向量的求解【难点】掌握法向量．．．在线面角和二面角的应用. 【基础内容】 1、法向量：和平面垂直的向量叫做法向量.如果法向量的模长为1，则称为单位法向量. 2、平行： ①线线平行：a b a b ? ②线面平行：m 是平面α的法向量，若a m a ⊥?平面α ③面面平行：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量，若m n ?平面α || 平面β 3、垂直： ①线线垂直：a b a b ⊥?⊥ ②线面垂直：m 是平面α的法向量，若a m a ?⊥平面α ③面面垂直：m 是平面α的法向量，n 是平面β的法向量，若m n ⊥?平面α ⊥平面β 4、线面夹角：θ是OP 和平面α的夹角 sin cos ,OP m OP m OP m θ?=<>= ?（根据θ的大小，考虑正负号）思考：为什么sin cos ,OP m θ=<>？ 5、二面角：θ是平面α和平面β的夹角 cos cos ,m n m n m n θ?=<>= ?（根据θ的大小，考虑正负号）思考：为什么cos cos ,m n θ=<>？

【前置作业】 1、如图，三棱锥O-ABC，OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC=1，求平面ABC的法向量坐标.（提示：利用线面垂直的判定定理，若法向量m⊥平面ABC，则m⊥AB，m⊥AC）【研讨探究】向量法基本方法：①建立坐标系（寻找两两垂直的三条线，特别是找到底面的垂直关系）； ②求出点坐标（不知道长度的用字母代替或设单位“1”） ③求解题目（法向量的应用）探究一：平行、垂直的证明 1、如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M,N分别是AB，PC的中点，P A=AD=1，AB=2．（1）求证：MN || 平面P AD；（2）求证：MN⊥平面PCD；探究二：线面角、二面角的求解（3）求MN和平面PBC的夹角的正弦值；（4）求二面角A-PB-C的余弦值.

人教A版(2019)选择性必修第一册必杀技第一章空间向量与立体几何专题1空间向量的综合应用

人教A 版（2019）选择性必修第一册必杀技第一章空间向量与立体几何专题1空间向量的综合应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知点()2,1,2A -在平面α内，()3,1,2n =是平面α的一个法向量，则下列点P 中，在平面α内的是 A ．()1,1,1P - B ．31,3, 2P ?? ??? C ．31,3, 2P ? ?- ??? D ．31,3,2P ??-- ?? ? 2．若直线l∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为11,,22?? ??? ，则m 为( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．8 3．已知平面α,β的法向量分别为()2,3,5μ=--,()3,1,4ν=-则 A ．//αβ B ．αβ⊥ C ．,αβ相交但是不垂直 D ．以上都不正确 4．正方体1111ABCD A B C D -中,动点M 在线段1A C 上,E ，F 分别为1DD ，AD 的中点.若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为（） A ．[ ,]63 ππ B ．[ ,]43 ππ C ．[ ,]62 ππ D ．[ ,]42 ππ 5．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为( ) A ．27 B ． 7 C D ．1

6．在正四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为PA ，PB 的中点，且侧面与底面所成 DM 与AN 所成角的余弦值为（）. A ． 13 B ． 16 C ． 18 D ． 112 二、多选题 7．（多选）下列命题是真命题的有（）. A ．直线l 的方向向量为(1,1,2)a =-，直线m 的方向向量为12,1,2b ?? =- ??? ，则l 与m 垂直 B ．直线l 的方向向量为(0,1,1)a =-，平面α的法向量为(1,1,1)n =--，则l α⊥ C ．平面α，β的法向量分别为1(0,1,3)n =，2(1,0,2)n =，则//αβ D ．平面α经过三点(1,0,1)A -，(0,1,0)B ，(1,2,0)C -，向量(1,,)n u t =是平面α的法向量，则1u t += 三、填空题 8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是棱BC ，1DD 上的点，如果1B E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 之和为________. 9．在直三棱柱ABC A B C '''-中，所有的棱长都相等，M 为B C ''的中点，N 为A B ''的中点，则AM 与BN 所成角的余弦值为________. 10．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为，则的最大值为 .