最新微分几何课后习题答案第四版梅向明黄敬之编[1]
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微分几何课后习题答案第四版梅向明黄敬
之编[1]
§1曲面的概念
1.求正螺面?Skip Record If...?={ u?Skip Record If...?,u ?Skip Record If...?, bv }的坐标曲线.
解u-曲线为?Skip Record If...?={u?Skip Record If...?,u ?Skip Record If...?,bv?Skip Record If...? }=｛0,0，bv?Skip Record If...?｝＋u {?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,0}，为曲线的直母线；v-曲线为?Skip Record If...?={?Skip Record If...??Skip Record If...?,?Skip Record If...??Skip Record If...?,bv }为圆柱螺线．
２．证明双曲抛物面?Skip Record If...?＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为?Skip Record If...?={ a（u+?Skip Record If...?）, b（u-?Skip Record If...?）,2u?Skip Record If...?}={ a?Skip Record If...?, b?Skip Record If...?,0}+ u{a,b,2?Skip Record If...?}表示过点{ a?Skip Record If...?, b?Skip Record If...?,0}以{a,b,2?Skip Record If...?}为方向向量的直线;
v-曲线为?Skip Record If...?=｛a（?Skip Record If...?+v）, b（?Skip Record If...?-v）,2?Skip Record If...?v｝=｛a?Skip Record If...?, b?Skip Record If...?,0｝+v{a,-b,2?Skip Record If...?}表示过点(a?Skip Record If...?, b?Skip Record If...?,0)以{a,-b,2?Skip Record If...?}为方向向量的直线。
3．求球面?Skip Record If...?=?Skip Record If...?上任意点的切平面和法线方程。
解?Skip Record If...?=?Skip Record If...?，?Skip Record If...?=?Skip Record If...?
任意点的切平面方程为?Skip Record If...?
即 xcos?Skip Record If...?cos?Skip Record If...? + ycos?Skip Record If...?sin?Skip Record If...? + zsin?Skip Record If...? - a = 0 ；
法线方程为?Skip Record If...?。
4．求椭圆柱面?Skip Record If...?在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
解椭圆柱面?Skip Record If...?的参数方程为x = cos?Skip Record If...?, y = asin?Skip Record If...?, z = t , ?Skip Record If...?,
?Skip Record If...?。所以切平面方程为：
?Skip Record If...?，即x bcos?Skip Record If...?+ y asin?Skip Record If...?－ a b = 0
此方程与t无关，对于?Skip Record If...?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?Skip Record If...?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
5．证明曲面?Skip Record If...?的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。
证?Skip Record If...?，?Skip Record If...?。切平面方程为：?Skip Record If...?。
与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,?Skip Record If...?)。于是，四面体的体积为：
?Skip Record If...?是常数。
§２曲面的第一基本形式
1.求双曲抛物面?Skip Record If...?＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第
一基本形式.
解?Skip Record If...?
?Skip Record If...?,
∴ I = ?Skip Record If...?2?Skip Record If...?。
２．求正螺面?Skip Record If...?={ u?Skip Record If...?,u ?Skip Record If...?, bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，∴I =?Skip Record If...?，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为I =?Skip Record If...?的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。
解由条件?Skip Record If...??Skip Record If...?,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入?Skip Record If...?得?Skip Record If...??Skip Record If...?=?Skip Record If...?，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从?Skip Record If...?到?Skip Record If...?的弧长为?Skip Record If...?。
4．设曲面的第一基本形式为I = ?Skip Record If...?，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0的交角。
分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为?Skip Record If...?，?Skip Reco rd If...?，?Skip Record If...?。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为?Skip Record If...?，则有
cos?Skip Record If...?=?Skip Record If...?。
5．求曲面z = axy上坐标曲线x = x?Skip Record If...?,y =?Skip Record If...?的交角.
解曲面的向量表示为?Skip Record If...?={x,y,axy}, 坐标曲线x = x?Skip Record If...?的向量表示为?Skip Record If...?={ x?Skip Record If...?,y,ax?Skip Record If...?y } ，其切向量?Skip Record If...?={0，1，ax?Skip Record If...?}；坐标曲线y =?Skip Record If...?的向量表示为?Skip Record If...?={x , ?Skip Record If...?,ax?Skip Record If...?}，其切向量?Skip Record If...?={1，0，a?Skip Record If...?}，设两曲线x = x?Skip Record If...?与y =?Skip Record If...?的夹角为?Skip Record If...?，则有cos?Skip Record If...? = ?Skip Record If...?
6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有
Eduδu + F(duδv + dvδu)+ G d vδv = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为Eδu + Fδv = 0 .
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .
7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程P?Skip Record If...?+ 2Q dudv + R?Skip Record If...?＝０，确定两个切方向（du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.
证明因为du,dv不同时为零，假定dv?Skip Record If...?0，则所给二次方程可写成为P?Skip Record If...?+ 2Q?Skip Record If...?+ R=0 ,设其二根?Skip Record If...?,?Skip Record If...?, 则?Skip Record If...??Skip Record If...?=?Skip Record If...?，?Skip Record If...?+?Skip Record If...?=?Skip Record If...?……①又根据二方向垂直的条件知E?Skip Record If...??Skip Record If...? + F(?Skip Record If...?+?Skip Record If...?)+ G = 0 ……②
将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .
8.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E?Skip Record
If...?=G?Skip Record If...?.
证用分别用δ、?Skip Record If...?、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二
等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu?Skip Record If...?０，δv＝０，沿v－曲线?Skip Record If...?u＝０，?Skip Record If...?v?Skip Record If...?０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得
?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?。
展开并化简得E(EG-?Skip Record If...?)?Skip Record If...?=G(EG-?Skip Record If...?)?Skip Record If...?,而EG-?Skip Record If...?>0，消去EG-?Skip Record If...?得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E?Skip Record If...?=G?Skip Record If...?.
Record If...?，求曲面上三条曲线u = ?Skip
Record If...?v, v =1相交所成的三角形的面
积。
解三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲
线围城的三角形的面积是
S=?Skip Record If...?
=2?Skip Record If...?=2?Skip Record
If...?
=?Skip Record If...?
=?Skip Record If...?。
10．求球面?Skip Record If...?=?Skip Record If...?的面积。
解?Skip Record If...?=?Skip Record If...?，?Skip Record If...?=?Skip Record If...?
E =?Skip Record If...?=?Skip Record If...?,F=?Skip Record If...??Skip Record If...?= 0 , G = ?Skip Record If...? =?Skip Record If...? .球面的面积为：
S = ?Skip Record If...?.
11.证明螺面?Skip Record If...?={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面?Skip Record If...?={tcos?Skip Record If...?,tsin?Skip Record If...?,?Skip Record If...?}
(t>1, 0
分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射?Skip Record If...? = arctgu + v , t=?Skip Record If...?,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两
曲面具有相同的第一基本形式.
证明螺面的第一基本形式为I=2?Skip Record If...?+2 dudv+(?Skip Record If...?+1)?Skip Record If...?, 旋转曲面的第一基本形式为I=?Skip Record If...? ,在旋转曲面上作一参数变换?Skip Record If...? =arctgu + v , t =?Skip Record If...? , 则其第一基本形式为:
?Skip Record If...?
=?Skip Record If...?=2?Skip Record If...?+2 dudv+(?Skip Record If...?+1)?Skip Record If...?= I .
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射?Skip Record If...? =arctgu + v , t =?Skip Record If...? .
§3曲面的第二基本形式
1.计算悬链面?Skip Record If...?={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形
式,第二基本形式.
解?Skip Record If...?={sinhucosv,sinhusinv,1},?Skip Record If...?={-coshusinv,coshucosv,0}
?Skip Record If...?={coshucosv,coshusinv,0},?Skip Record If...?={-sinhusinv,sinhucosv,0},
?Skip Record If...?={-coshucosv,-coshusinv,0},?Skip Record If...?= cosh?Skip Record If...?u,?Skip Record If...?=0,?Skip Record If...?=cosh?Skip Record If...?u.
所以I = cosh?Skip Record If...?u?Skip Record If...??Skip Record If...?+ cosh?Skip Record If...?u?Skip Record If...? .
?Skip Record If...?=?Skip Record If...?=?Skip Record If...?,
L=?Skip Record If...?, M=0, N=?Skip Record If...?=1 .
所以II = -?Skip Record If...?+?Skip Record If...?。
2.计算抛物面在原点的?Skip Record If...?第一基本形式,第二基本形式.
解曲面的向量表示为?Skip Record If...?,
?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,
?Skip Record If...? ,?Skip Record If...?, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,?Skip Record If...?
I=?Skip Record If...?, II=?Skip Record If...?.
3. 证明对于正螺面?Skip Record If...?={u?Skip Record If...?,u?Skip Record If...?,bv},-∞ 解?Skip Record If...?，?Skip Record If...?={0,0,0}, ?Skip Record If...?={-uucosv,cosv,0},?Skip Record If...?={-ucosv,-usinv,0},?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，L= 0, M =?Skip Record If...? , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 . 4. 求出抛物面?Skip Record If...?在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,?Skip Record If...? ?Skip Record If...?,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率?Skip Record If...?. 5. 已知平面?Skip Record If...?到单位球面(S)的中心距离为d(0 解设平面?Skip Record If...?与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为?Skip Record If...?,即(C)的曲率为 ?Skip Record If...?,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于?Skip Record If...??Skip Record If...?,所以(C)的法曲率为?Skip Record If...??Skip Record If...?=?Skip Record If...?1 . 6. 利用法曲率公式?Skip Record If...?,证明在球面上对于任何曲纹坐标第 一、第二类基本量成比例。 证明因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv ?Skip Record If...?或-?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?，即第一、第二类基本量成比例。 7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。 证明对于正螺面?Skip Record If...?={u?Skip Record If...?,u?Skip Record If...?,bv}， ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?={0,0,0}，?Skip Record If...?={-ucosv,-usinv,0}， L=?Skip Record If...?=0, N=?Skip Record If...?=0 .所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。而u族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。 8. 求曲面?Skip Record If...?的渐近线. 解曲面的向量表示为?Skip Record If...?,?Skip Record If...??Skip Record If...?, ?Skip Record If...?. ?Skip Record If...?. 渐近线的微分方程为?Skip Record If...?,即?Skip Record If...?一族为dy=0, 【导语】语文作为最能传承中国传统文化的科目，其包含的东西不是寥寥几个汉字可以概括的。学好语文，将对你的一生有莫大的好处。以下是整理的相关资料，望对您有所帮助。 一、"部编本"教材的特点 （一）内涵：注重中华优秀传统文化的渗透与传播从语文课程的内容看，语文"是人类文化的重要组成部分""教材要注重继承与弘扬中华优秀文化"。因此，语文课程、语文教科书，要以传承、弘扬中华民族语言文化、塑造民族精神品格为己任，为学生潜移默化地注入精神营养。中华传统文化千姿百态，包罗万象，底蕴深厚，源远流长。针对一年级小学生的年龄特点和接受能力，一年级下册教科书从汉语言文化、节日民俗等方面，反映中华传统文化。 （二）梯度：循序渐进，螺旋上升这套教材的编写围绕人文主题和语文要素，双线组织阅读单元，每个单元语文学习的目标都十分清晰，在教材的课后练习和语文园地中加以呈现，努力做到难度适宜，梯度合理，衔接自然。 这种梯度，在一年级上册和一年级下册教材中已有所安排和体现。以阅读能力训练这条线索来看，一上要求"找出课文中明显的信息""学习借助图画阅读"，一下在继续学习"找出课文中明显的信息"的基础上，发展训练"根据信息作简单的推断"的能力，这是阅读能力的进一步发展，更多的是对阅读过程中逻辑思维能力的训练，实现语言和思维发展的同步。"借助图画阅读"的目标，一上主要是借助图画猜读生字、了解意思，到了一下程度加强，发展到利用形声字特点、依靠上下文来猜字、认字，并根据图文一一对应的特点理解课文内容。 （三）选文：营养与趣味并重坚持选文的典范性和适切性。一年级下册的课文大多富有童真童趣，贴近儿童生活，容易引起学生共鸣。新编选的课文，接近全部课文的一半。 一下教材的选文内容十分丰富。既有经过时间的沉淀与考验，深受学生和老师喜爱的经典老课文，也有新选编的、内涵与语言皆美的新课文。新课文中，有表现自然之美的《春夏秋冬》，有反映现代儿童生活的《怎么都快乐》，有体现家人关爱的《夜色》，有介绍传统节日的《端午粽》，有培养好习惯的《文具的家》，等等。 （四）弹性：注重开放性和弹性，增强适应性尊重客观存在的地区差异、学校差异、学生个体差异，为了适应不同学生的学习需要，教材加大了选做题和开放性题目的比重，以增加教材的弹性和适应性。这类题目，有联系学生已有知识经验的，如，"你知道关于端午节和粽子的故事吗？"有借鉴课文语言表达的，如，"说说你会为每个季节画什么颜色的太阳。""想想你有没有和'我'相似的经历，和同学说一说。"有指向生活的，如，"说一说班里的同学都有哪些姓。""你喜欢什么体育活动？和同学说一说。""一分钟能做什么？"有开展游戏活动的，如，"我们也来猜字谜吧！""和同学分角色演一演这个故事。" 二、"部编本"教材的各部分学习目标 1、识字 （1）认识常用汉字400个，会写汉字200个。 （2）喜欢学习汉字，有主动识字、写字的愿望。 （3）认识大写字母，熟记《汉语拼音字母表》，学习使用音序查字法查字典。 （4）掌握汉字的基本笔画、常用偏旁，能按笔顺规则写字，注意间架结构。 （5）养成良好的写字习惯，写字姿势正确，书写规范、端正、整洁。 2.阅读。 （1）喜欢阅读，感受阅读的乐趣。 （2）用普通话正确、流利地朗读课文。 （3）结合上下文和生活实际了解课文中词句的意思，在阅读中积累词语。 （4）学习借助读物中的图画阅读。 （5）对感兴趣的人物和事件有自己的感受和想法，并乐于与人交流。 （6）诵读儿歌、儿童诗和浅近的古诗，展开想象，获得初步的情感体验，感受语言的优 §1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方 向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ① 微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0 二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率 第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则 部编语文一下教材分析 一年级下册教材的突出特点 一、内涵：注重中华优秀传统文化的渗透与传播 从语文课程的内容看，语文“是人类文化的重要组成部分”“教材要注重继承与弘扬中华优秀文化”。因此，语文课程、语文教科书，要以传承、弘扬中华民族语言文化、塑造民族精神品格为己任，为学生潜移默化地注入精神营养。 中华传统文化千姿百态.包罗万象，底蕴深厚，源远流长。针对一年级小学生的年龄特点和接受能力，一年级下册教科书从汉语言文化、节日民俗等方面，反映中华传统文化。 比如，借鉴古代蒙学读物《三字经》《百家姓》《声律启蒙》的形式，加以改造，编入教科书，让学生在有节奏的吟诵中识字，像教材中的《人之初》《姓氏歌》《古对今》;《春夏秋冬》一课，也体现了中国传统蒙学读物的编排特点，其中的词和短语不仅读起来琅琅上口，而且语言典雅，富有文化内涵。 再如，利用汉字规律识字，在《动物儿歌》中，小动物的名字都是形声字，《小青蛙》的“青字族”识字，渗透了形声字规律，让孩子在有趣的儿歌学习中，领略汉字的趣味与精妙，《猜字谜》，利用了有趣的传统游戏形式，揭示了形声字的造字规律。 又如，选编了《端午粽》作为课文，让学生了解中国的传统节日以及节习俗。口语交际、“和大人一起读”栏目中安排了民间故事《老鼠嫁女》、绕口令《妞妞赶牛》、童谣《孙悟空打妖怪》等，让学生感受 传统故事中蕴含的趣味和道理，领略传统语言形式的音韵美和结构美。 古代诗词的选用量也有所增加。与人教版实验教材一年级下册相比，部编教材的文章数量虽然大幅减少，但古诗却从四首增加到了六首。并且，每一次日积月累中，也有层次地安排了成语、民谚、古代名言等有关传统文化的内容。 二、梯度：循序渐进，螺旋上升 这套教材的编写围绕人文主题和语文要素，双线组织阅读单元，每个单元语文学习的目标都十分清晰，在教材的课后练习和语文园地中加以呈现，努力做到难度适宜，梯度合理，衔接自然。 每个单元的语文要素是如何安排的呢?教材注重梯度，每一学段、年级，甚至一个学期的前、中、后期，语文学习要素的安排，都是依照深浅程度形成一条螺旋上升的线索。这样的安排，不仅考虑到了难度系数和教学适用度，也体现了语文教学由浅入深、循序渐进的规律。这种梯度，在一年级上册和一年级下册教材中已有所安排和体现。以阅读能力训练这条线索来看，一上要求“找出课文中明显的信息”“学习借助图画阅读”，一下在继续学习“找出课文中明显的信息”的基础上，发展训练“根据信息作简单的推断”的能力，这是阅读能力的进一步发展，更多的是对阅读过程中逻辑思维能力的训练，实现语言和思维发展的同步。“借助图画阅读”的目标，一上主要是借助图画猜读生字、了解意思，到了一下程度加强，发展到利用形声字特点、依靠上下文来猜字、认字，并根据图文一一对应的特点理解课文内容。 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因 为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固 定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，' 'r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只 有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条 部编版一年级语文新教材解读 新教材解读 马龙县旧县小学罗聪升“千呼万唤始出来,犹抱琵琶半遮面。”本学期,历时近五个年头的部编新教材终于在热切期盼中显出真面目。为引领一年级语文教师准确把握这套教材的特点,切实使用好新教材,我通过研读新课标,将新、旧教材进行对比阅读,查阅相关资料,对新教材进行了解读。 一、部编一年级语文新教材的几点变化 部编语文教科书一年级上册采用大开本排版、水墨画插图,显得大气优雅,赏心悦目。新教材有哪些变化呢？ （一）、调 1、教材板块调整 原版教材第一单元是拼音教学,新版教材第一单元是识字教学。为什么要这样改呢？拼音教学的定位是工具——识字、学习普通话的工具。识字难度低于学拼音的难度,这样编排便于和儿童的学前生活相连接。 2、识字与拼音比重调整 新版教材的拼音教学由原来的4单元减少到目前的2单元；识字由原来的8课调整为现在的10课。目的：体现了新课标中“识字写字是阅读和写作的基础,是第一学段的教学重点”的要求；体现了拼音为识字服务的定位。 3、选文调整 新版本教材共有14篇课文,保留了原来5篇课文,增加了《秋天》、《江南》、《青蛙写诗》、《明天去远足》、《大还是小》、《项链》、《乌鸦喝水》、《小蜗牛》等9篇课文。选文突出了经典性、时代性,选用文质兼美、 适宜教学的内容,一些经典课文又恢复了。 选文按照“双线”组织单元教学：一条线是“内容主题”组织单元；另一条线是将“语文素养”的各种基本“因素”（包括基本的语文知识、必需的语文能力、适当的学习策略和学习习惯,以及写作、口语训练）分成若干个“点”,由浅入深,由易到难,分布在各单元的课文导引或习题设计之中。 4、字种调换 新教材将字种调换为儿童使用的高频字。例如：《小小的船》,原版本要求会写“见、白、田、电”,新版本要求会写“月、儿、白、里”。《画》,原版要求会写“人、火、文、六”,新版本要求会写“水、去、来、不”。这样做的目的是什么呢？高频字构形简单,重现率高,其中的大多数能成为其他字的结构成分。先学写高频字,容易而有用,有利于激发学生写字的兴趣,能够带动后面的学习。 （二）、减 1、内容减少 和原版本相比,新版教材课文数量减少了,由原来的20课减少到14课,拼音由原来的4单元减少到2单元。但这不等于教学总量减少,而是几个板块内容的调整和融合,教学内容更丰富,也更有效。 2、识字量减少 由原来的400个减少到300个。目的：降低初入学的难度,放缓坡度,减轻负担,呵护孩子爱学习的天性。 （三）、增 1、增加了传统文化元素。 例如：新增的《金木水火土》、《江南》、《春节童谣》、《剪窗花》等, 部编版一年级语文下册全册教材整体分析 教学目标 （一）识字写字 1.认识常用汉字400个,会写汉字200个。 2.喜欢学习汉字,有主动识字、写字的愿望。 3.认识大写字母,熟记《汉语拼音字母表》,学习使用音序查字法查字典。 4.掌握汉字的基木笔画、常用偏旁,能按笔顺规则写字,注意间架结构。 5.养成良好的写字习惯,写字姿势正确,书写规范、端正、整洁。（二)阅读 1.喜欢阅读,感受阅读的乐趣。 2.用普通话正确、流利地朗读课文。 3.结合上下文和生活实际了解课文中词句的意思,在阅读中积累词语。 4.学习借助读物中的图画阅读。 5.对感兴趣的人物和事件有自己的感受和想法,并乐于与人交流。 6.通读儿歌、儿童诗和浅近的古诗,展开想象,获得初步的情感体验,感受语言的优美。 7.认识课文中出现的常用标点符号。在阅读中体会句号、问号、感叹号所表达的不同语气。 （三）口语交际 1.学说普通话、逐步养成说普通话的习惯。 2.能认真听别人讲话,努力了解讲话的主要内容。 3.听故事,能记住并讲述主要内容。 4.与别人交谈,态度自然大方,有礼貌。 5.有表达的自信心,积极参加口语交际。 内容分析 1.识字与写字 识字写字的安排,遵循儿童学习语文的规律。要求认的字、都是出现频率高的生活口语常用字;要求写的字,大多是字形简单、构字能力或构词能力强的独体字、也适当选择持别常用的合体字,大体按照由易到难、由简到繁、由独体到合体的顺序编排要求认识的字,只要能够在语境中认识、能够运用于阅读就可以了。不要求书写也不需要对字形作过细的分析。教师可以在不同的教学环节中复现生字,采取活泼有趣的方式让生字反复再现,让学生从整体上识记字形、使识字得以巩固。可以将生字组成学生理解的常用词语或句子,使生字在语境中不断复现,帮助学生巩固生字。 教学时可以进行必要的字形分析,以逐步发展学生的识字能力。如果新学的汉字中某一部分是已经认过的独体字,可以指导学生运用熟字加偏旁的方法来识记但是,应具体情况具体分析,要避免对每个字都进行分析,尤其是要避免对汉字中某些不认识的部件字形复杂的部分进行分析。有些汉字适合渗透字理,可以引导学生了解字的演变过程,以帮助学生更深刻地理解汉字。 要调动学生的识字积累,鼓励学生自己想办法识记汉字,发展学生的思维能力和想象能力。还要倡导学生在生活中识字,并提供机会让学生 习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 部编版一年级下册语 文教材分析 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 部编版一年级下册语文教材分析 一、说编年体例 本册教材共八个单元，包括两个识字单元共8课和六个阅读单元共21课，识字部分安排在教材的第一和第五单元，穿插在阅读单元之间。本册有四次口语交际，每个单元后面都有一个语文园地，在第一单元之后，安排了一次“快乐读书吧”。在全书最后，安排了几个附表：识字表、写字表和常用偏旁名称表。 “语文园地”面貌一新，包括五个栏目：识字加油站，字词句运用，书写提示，日积月累，和大人一起读。 本册教材中汉字的编排，继续实行认写分开、多认少写的原则。全册要求认识400个常用字，会写200个字。要求认识的字和要求会写的字，分别在练习里标明。此外，在语文园地里也安排了少量要求认识的字。 对全册的整体框架有了一个简单的了解后，我们具体来看看六个课文阅读单元，下面从人文主题和语文要素两个方面对这六个阅读单元进行了梳理。 第一单元和第五单元的识字略过，我们看第二单元，有两篇传统的课文《吃水不忘挖井人》和《四个太阳》，新增了两篇课文《我多想去看看》和《一个接一个》，这个单元的人文主题是心愿，语文要素是找出课文中的明显信息。 第三单元中《小公鸡和小鸭子》这个故事大家可能比较熟悉，新增的课文是《树和喜鹊》、《怎么都快乐》，一看题目，《小公鸡和小鸭子》、 《树和喜鹊》我们就能就猜出了小公鸡和小鸭子可能是好朋友，树和喜鹊可能也是好朋友，所以这个单元的人文主题就是伙伴，语文要素是联系上下文了解词语的意思。 第四单元体裁多样，有思念亲人的古诗《静夜思》，儿童诗《夏夜》，《端午粽》是一篇关于传统习俗的散文，《彩虹》是一篇想象奇特的散文，表达了一个小女孩对家人的关心。这一单元的人文主题是家人，语文要素是读好长句子。 第六单元有两首古诗和两篇传统的课文都是描写夏天的诗文，人文主题是夏夜，语文要素是联系生活实际了解词语的意思。 第七单元由《文具的家》《一分钟》《动物王国开大会》和《小猴子下山》这四篇文章组成，编者是想让孩子们学完一篇课文就明白自己应该养成一种好的习惯。所以这一单元的人文主题是习惯，语文要素是：1、读出疑问句和感叹句的语气。2、根据课文信息作简单推断。 第八单元由《棉花姑娘》、《咕咚》和《小壁虎借尾巴》三篇课文组成，其中《咕咚》是旧教材的选读课文，三篇文章大家都不陌生，这三篇文章想要让孩子们他通过根据课文中的明显信息进行推断后学习一些科普性的知识，养成爱思考会质疑、不盲目跟从的好习惯。所以这一单元的人文主题是问号，语文要素是找出课文中的明显信息。 习题一（P13） 2.设()a t 是向量值函数，证明： （1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。 （1）证明：a =常数?2 a =常数?(),()a t a t <>=常数 ?(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>= ?2(),()0a t a t '<>=?(),()0a t a t '<>=。 （2）注意到：()0a t ≠，所以 ()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量。 若单位向量() ()() a t e t a t = =常向量，则()0()()0e t e t e t ''=?∧=。 反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。 由()e t 为单位向量?(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=?<>=?()()e t e t '⊥。 从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '? '?=?=?'⊥? 常向量。 所以，()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量 ?()()1 ()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ??''∧=?∧+= ? ??? ( )()2111()()()()()0()() () d a t a t a t a t dt a t a t a t '? ∧+∧= ()()0a t a t '?∧=。即 ()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。 补充： 微分几何答案 第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。 3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。 解 = ，= 任意点的切平面方程为 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为。 4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证，。切平面方程为：。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２曲面的第一基本形式 1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 , ∴ I = 2。 ２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解，，，，∴I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。 ３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。 部编版一年级语文教材分析 一、编写依据 部编义务教育语文教科书，以《义务教育语文课程标准(xx年版)》为编写依据，吸纳语文课程改革的最新成果，沉淀课程改革的先进理念和成功经验，注重培养学生的创新精神和实践能力，积极倡导自主、合作、探究的学习方式，加强语言文字运用，加强语文和生活的联系，致力于构建开放的、富有活力的教材体系，全面提高学生的语文素养。 二、重要理念——来自于 《部编义务教育语文教科书的七个创新点》——《小学语文》xx年第9期 《部编本语文教材的编写理念特色及使用建议》——《课程·教材·教法》xx年第11期 《新教材，新在哪儿》——《人民日报》xx.08.18 《新版语文教材主治读书少》——《新京报》xx.09.18 三、编写特点 1、立德树人自然渗透 2、保护天性幼小衔接 3、夯实基础全面启蒙 4、难度适宜梯度合理 5、强化运用联系生活 6、引导发现倡导自主 7、课外阅读纳入课程 8、版式设计独具匠心 四、一年级上册结构体系一年级上册设计了《我上学了》、《识字》2个单元共10课、《汉语拼音》2个单元共13课、《课文》4个单元共14课、4个口语交际、8个语文园地、特设《快乐读书吧》 五、简介各体系编排特点 1、我上学了。 2、识字 3、快乐读书吧 4、语文园地 六、侧重分析 接下来我们重点分析一下一年级上册教材的汉语拼音、识字写字、阅读、口语交际的编写理念及主要特点。 1、汉语拼音 （1）学段目标与内容—— 学会汉语拼音。能读准声母、韵母、声调和整体认读音节。能准确地拼读音节，正确书写声母、韵母和音节。认识大写字母，熟记《汉语拼音字母表》。” （2）、编写理念及主要特点 加强整合，综合发展 精选音节，提高效率 联系生活，强化运用 突出重点，突破难点 （3）、汉语拼音短期目标，长期目标 2、识字写字编写理念及主要特点 （1）学段目标与内容学段目标与内容—— 1．喜欢学习汉字，有主动识字、写字的愿望。 2．认识常用汉字1600个左右，其中800个左右会写。 3．掌握汉字的基本笔画和常用的偏旁部首，能按笔顺规则用硬笔写字，注意间架结构。初步感受汉字的形体美。 4．努力养成良好的写字习惯，写字姿势正确，书写规范、端正、整洁。 5．学习独立识字。能借助汉语拼音认读汉字，学会用音序查字法和部首查字法查字典。（2）识字写字编写主要特点 追求识字写字的科学性 体现识字的多样性 凸显丰富的文化内涵 夯实识字写字基础 微分几何第四版习题 答案梅向明 Revised on November 25, 2020 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv }=｛0,0，bv ｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ? r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ， ?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，部编版本一年级下册语文课文教材解读
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