初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计

课题：第三章第2节圆的对称性（1）

课型：新授课

教学目标：

1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点）

2．理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题．(难点)

教法与学法指导：

这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践—大胆猜测---综合证明----灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神.

课前准备：制作课件，学生预习学案.

教学过程：

一、情景导入明确目标

组织教学：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，(问题1) 通过上节课《车轮为什么是圆形》的学习，认识了圆的基本概念,这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？

学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心.

[师]：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程.

学生演示：

[师]：（问题2）在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质?

[生1]：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形.

[师]：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？

[生2]：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴.

[师]：同学们，这位同学回答的对吗？

[生3]：不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线，

或者是过圆心的直线

.

教师活动：进行鼓励表扬并板书，3.2 圆的对称性（1）

圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.

设计意图：问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师.通过设计

一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性. 二、自主学习 合作探究：

探究活动一：圆的基本概念 （让学生注意观察动画课件）

学案(问题3)：

（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？ （2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？ 学情预设：可能出现的

情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦

是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．

情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律. 情形三：优弧的表示方法.

以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论.

学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论. 教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问. [生1]：

(1)连接圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫直径.

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧;直径的两个端点把圆分成两个部分，每一部分叫

C

做半圆

.大于半圆弧叫优弧，小于半圆的弧称为劣弧.

[生2]：弦是线段，弧是曲线段.弧的表示方法是在两个端点上面添加“︵“符号. [生3]：弦分为过圆心的和不过圆心的弦；弧分为劣弧、半圆、优弧.

[师] 同学们总结的很好，下面，结合图形加深认识，并思考，你还可以得出什么性质.

教师活动：引导学生，能不能从它们之间的相互关系来比较说明.

[生4]：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.

[生5]：直径是圆中最大的弦. 学生活动:整理好笔记.

设计意图：让学生带着问题探究，加强自主探究的针对性，激发思考与交流，从

而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题，提高课堂效率.

探究活动二：垂径定理 （问题4）

（1）刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？图中能得出哪些等量关系？

（2）若把AB 向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？

（3）思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM =BM ，还有什么方法？

（4）把上述发现归纳成文字语言和几何语言.

M

优弧AB

AMB

半圆CD

劣弧AB AB

O

O

O

A

B

C

D

E

F

学生活动：拿出圆形纸片,将其对折，得到一条折痕CD,在CD 上取一点M ，作CD 的垂线

AB,然后再将圆沿CD 对折，观察，得出结论. [生1]：垂直关系；相等的量有，AM =BM ,

因为圆沿直线

CD 对折后，点A 与B 重合.

[生2]： 若只证明AM =BM ， 还可以用等腰三角形“三线合一”. 证明：连接OA ,OB 则OA =OB 又 ∵CD ⊥AB

∴AM =BM ,CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴点A 和点B 关于直线CD 对称 ∴

教师活动:引导学生总结并板书 文字语言和几何语言：

垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧． 如图，在⊙O 中，即①②→③④⑤ ① CD 是直径 ③AM =BM ，

④ ② CD ⊥AB 于M ⑤

设计意图：用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在折叠中领会

定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力.

探究活动三：垂径定理的推论 议一议：

(问题5)同学们，如果把“垂径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：①③→②④⑤，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例. 学情预设： 大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，老师可以适时地引导.当AB 与CD 是⊙O 的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立. [生1]： 成立.

= ,== ,=AD=BD AC=BC

∴OA =OB ,AM =BM , ∴ CD ⊥A B(三线合一) ∴ [

生

2]：不一定成立，如图，当AB 是直

径时，

CD 平分AB ，但不垂直AB .只有AB 不是直径时，才成立.

[师]： 同学们讨论的非常好，做数学就是要求我们思维要严谨，注意，条件与图形的统一及多样性，多画图，多分析，多总结.那么这个推论我们应该怎么说？ 在学生的归纳中，板书. 垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

（问题6）如果我们继续交换条件是否能够②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③？ 学生活动：采取折叠-重合-得出结论成立.

师生共同归纳总结：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论.

设计意图：对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的

思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性.

（问题7）例题分析

例1：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥

CD ，垂足为F ，EF =90 m ．求这段弯路的半径．

学生活动：观察示意图，分析题目的已知和要求的结果，寻求相互关系，然后尝试独立解答，在与小组其他同学交流，确定解题思路.

教师活动:与个别学生交流解题思想方法，让其上黑板板演过程，并说明为什么这样解答. [生]：解：连接OC ，设弯路的半径是R ，则

OF =(R -90))m

AC =BC , AD =BD

M

O

A

B

C

∵OE ⊥CD

∴CF =CD /2=300m （垂径定理） 由勾股定理得

OC 2=CF 2+OF 2

即R 2

=3002

+(R -90)2

解得R =545

所以，弯路的半径是545m.

设计意图:让学生在实践中理解垂径定理应用，在四个量半径R 、弦CD 的长、弦

心距OF 长、弓形高EF 的长中，任已知两个量可以求出另两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 三、归纳总结，拓展提高

[师]：同学们，我们本节课学习了垂径定理及推论，理解了与圆有关的应用，你有收获，或者是疑虑问题，交流一下.

学生活动：有独立思考，落笔组织语言的，也有相互讨论，交流总结的观点的，气氛相当热烈，各抒己见.

[生]：老师，如图，OC ⊥AB ，可不可以使用垂径定理.

[师]：可以，这条线（或线段）过圆心，就可以作为直径使用， 同时，过圆心作弦的垂线是今后解答圆的问题的常用辅助线，在以后的学习中，注意体会和总结.

设计意图: 用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，学会提炼其

中蕴含的数学思想方法，且能够灵活应用；学会自我反思，养成良好的数学学习习惯. 课堂检测:

1.已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为6 ，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为____. 考察知识点：理解垂径定理的意义，会构造符合定理的基本图形，来解决问题. 答案提示：

解：过O 点作AB 的垂线，垂足是D ，且与弧AB 交于点C ,连接OA , ∵OC ⊥AB

∴D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，

∴

OD =52-32

=4

∴DC =5-4=1