(整理)函数的单调性与极值76094.
专题六
函数导数专题
【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用,
导数及其应用、微积分及微积分基本定理等.
【例题解析】
题型1 函数的概念及其表示
例1 (2008高考山东文5)设函数2
211()21x x f x x x x ?-?=?+->??,
,,,
≤则
1(2)f f ??
???
的值为( ) A .
1516
B .2716
-
C .
89
D .18
分析:由内向外逐步计算.
解析: ()()11
24,
24
f f ==,故()2
11115124416f f f ??????==-= ? ? ? ???????
.答案A . 点评:本题考查分段函数的概念和运算能力.解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式,求
出函数值.
例2(绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第14题)如图,函数()f x 的图象是曲线OAB ,其中点
,,O A B 的坐标分别为()0,0,(1,2),(3,1),则()13f f ??
? ???
的值等于 .
分析:从图象上理解自变量与函数值的对应关系.
解析:对于(3)1,f =(1)2f =.
点评:图象是表示函数的一种方法,图象上反应了这个函数的一切性质. 题型2 函数的图象与性质
例3(浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第14题)已知m 为非零实数,若函数
ln(
1)1
m
y x =--的图象关于原点中心对称,则m = . 分析:图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数,根据奇函数对定义域内任意x 都有
()()f x f x -=-点特点可得一个关于x 的恒等式,根据这个恒等式就可以确定m 的值,特别地()()()0000f f f -=-?=也可以解决问题.
解析: 对于函数ln(1)1
m
y x =--的图象关于原点中心对称,则对于()00f =,因此有ln(1)0,11,2m m m --=∴--==-.答案2-.
点评:函数的奇偶性是函数的重要性质之一,这两个性质反应了函数图象的某种对称性,这二者之间是可以相互转换的.
例4 (绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第5题)设0.2
1
312
1log 3,,23a b c ??
=== ???,则( )
A .a b c <<
B .c b a <<
C .c a b <<
D .b a c << 分析:以0和1为分界线,根据指数函数与对数和的性质解决.
解析:对于0.2
1
3
12
1log 30,1,213a b o c ??
=<>=>=> ?
??,因此a b c <<.答案A .
点评:大小比较问题,可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数的单调性比较,不能归结为某个函数一般就是找分界线.
题型3 函数与方程
例5.(浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第3题)函数()23
123
x x f x x =++
+的零点的个数是
A .0
B .1
C .2
D .3
分析:这是一个三次函数,可以通过研究这个函数的单调性与极值,结合函数图象的基本特征解决. 解析:对于()2
2
13
1()024
f x x x x '=++=++
>,因此函数()f x 在R 上单调递增,而对于523
(2)0,(2)033
f f -=-<=>,因此其零点的个数为1个.答案B .
点评:本例和例9在本质方法上是一致的,其基本道理就是“单调函数至多有一个零点”,再结合连续函数
的零点定理,探究问题的答案.
例6.(浙江省五校2009届高三第一次联考理科第题)函数()221f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点,则实数m 的取值范围是 A .(],1-∞ B .(]
{},01-∞ C .()(],00,1-∞ D .(),1-∞
分析:函数中的二次项系数是个参数,先要确定对其分类讨论,再结合一次函数、二次函数的图象布列不等式解决.
解析:当0m =时,1
2
x =
为函数的零点;当0m ≠是,若0?=,即1m =时,1x =是函数唯一的零点,若0?≠,显然函数0x =不是函数的零点,这样函数有且仅有一个正实数零点等价与方程
()2
210f x mx x =-+=有一个正根一个负根,即()00mf <,即0m <.综合知答案B .
点评:分类讨论思想、函数与方程思想是高考所着重考查的两种数学思想,在本题体现的淋漓尽致.还要注意函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”,如本题中的1x =就是函数的“不变号零点”,对于“不变号零点”,函数的零点定理是“无能为力”的,在解决函数的零点时要注意这个问题. 题型5 导数的意义、运算以及简单应用 例8.(2008高考江苏8)直线b x y +=2
1
是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线,则实数b = . 分析:切线的斜率是1
2
,就可以确定切点的坐标,切点在切线上,就求出来b 的值. 解析: 方法一'
1y x =
,令'
12
y =得2x =,即切点的横坐标是2,则纵坐标是ln 2,切线过点()2,ln 2,所以ln 21b =-.
方法二:设曲线上一点点坐标是()00,ln x x ,由'
1
y x
=
知道过该点的曲线的切线的斜率是01x ,故过该点
的曲线的切线方程是()0001ln y x x x x -=
-,
即001l n 1y x x =+-,根据已知这条直线和直线b x y +=2
1
重合,故002,ln 1ln 21x b x ==-=-.
答案:ln21-.
点评:本题考查导数几何意义的应用,即曲线上一点处的导数值是曲线在该点的切线的斜率,解题的突破口是切点坐标,这也是解决曲线的切线问题时的一个重要思维策略.在解题中不少考生往往忽视“切点在切线上”这个简单的事实,要引以为戒.
例9.(中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第2题)已知物体 的运动方程为
t t s 3
2+=(t 是时间,s 是位移),则物体在时刻2t =时的速度为
A .419
B .417
C .415
D .4
13
分析:对运动方程求导就是速度非常. 解析:2
3
'2s t t =-
,将2t =代入即得.答案D . 点评:本题考查导数概念的实际背景,考试大纲明确提出“了解导数概念的实际背景”,要注意这样的考点. 例10.(江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第14题)若函数()3
213
f x x a x =
-满足:对于任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12||1f x f x -≤恒成立,则a 的 取值范围是 .
分析:问题等价于函数()f x 在区间[]0,1的最大值与最小值的差不大于1,可以通过求函数()f x 在[]0,1上的最值解决.
解析:问题等价于函数在[]0,1的()()max min 1f x f x -≤.()2
2
'f x x a =-,函数()3
213
f x x a x =
-的极小值点是x a =,若1a >,则函数()f x 在[]0,1上单调递减,故只要()()011f f -≤,即只要2
43
a ≤,
即2313a <≤
;若1a ≤,此时()()32
2min 1233
f x f a a a a a a ==-=-,由于
()()2100,13f f a ==-,故当33a ≤时,()()max 1f x f =,此时只要22
12133a a a -+≤即可,即
222
133
a a ??-≤????,由于33a ≤,故223110333a -≤?
-<,故此时成立;当313a <≤时,此时()()max 0f x f =,故只要2213a a ≤即可,此显然.故43a ≤,即a 的取值范围是2
23,333??-????
. 题型6 导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合运用
例11(安徽省 \* MERGEFORMAT 皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第22题)已知函数
()ln a f x x x
=-
, (1)当0a >时,判断()f x 在定义域上的单调性; (2)若()f x 在[1,]e 上的最小值为
3
2
,求a 的值; (3)若2
()f x x <在(1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围.
分析:(1)通过判断导数的符号解决;(2)确立函数的极值点,根据极值点是不是在区间[1,]e 上确立是不是要进行分类讨论和分类讨论的标准;(3)由于参数a 是“孤立”的,可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决.
解析:(1)由题意:()f x 的定义域为(0,)+∞,且221()a x a f x x x x
+'=
+=. 0,()0a f x '>∴>,故()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数.
(2)由(1)可知:2()x a
f x x
+'=
① 若1a ≥-,则0x a +≥,即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立,此时()f x 在[1,]e 上为增函数,
min 33
[()](1),22
f x f a a ∴==-=∴=-(舍去).
② 若a e ≤-,则0x a +≤,即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立,此时()f x 在[1,]e 上为减函数,
min 3[()]()122
a e
f x f e a e ∴==-
=?=-(舍去). ③ 若1e a -<<-,令()0f x '=得x a =-,
当1x a <<-时,()0,()f x f x '<∴在(1,)a -上为减函数, 当a x e -<<时,()0,()f x f x '>∴在(,)a e -上为增函数,
min 3
[()]()ln()12
f x f a a a e ∴=-=-+=
?=-, 综上可知:a e =-.
(3)
22(),ln a
f x x x x x
<∴-
<. 又3
0,ln x a x x x >∴>-
令2
3
2
116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x x
-''=-==+-=-=,
()h x 在[1,)+∞上是减函数,()(1)2h x h ∴<=-,即()0g x '<, ()g x ∴在[1,)+∞上也是减函数,()(1)1g x g ∴<=-.
令1a ≥-得()a g x >,∴当2
()f x x <在(1,)+∞恒成立时,1a ≥-. .
例12.(浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第22题)已知函数)0()(>+
=t x
t
x x f 和点)0 , 1(P ,过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ,切点分别为),(11y x M 、),(22y x N . (1)求证:21,x x 为关于x 的方程022=-+t tx x 的两根; (2)设)(t g MN =,求函数)(t g 的表达式;
(3)在(2)的条件下,若在区间]16, 2[内总存在1+m 个实数121,,
,m a a a +(可以相同),使得不等式
)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立,求m 的最大值.
分析:(1)写出曲线上任意一点处的切线方程后,把点P 点坐标代入,就会得到一个仅仅含有参数t 的方程,而两个切点的横坐标都适合这个方程,则两个切点的横坐标必是一个以参数t 为系数的一个方程的两个解;(2)根据第一的结果和两点间距离公式解决;(3)根据第二问的结果探究解题方案. 解析:(1)由题意可知:112212
,t t y x y x x x =+
=+, ∵ 21)(x t
x f -
=', ∴切线PM 的方程为:))(1()(121
11x x x t x t x y --=+-, 又 切线PM 过点)0,1(P , ∴有)1)(1()(0121
11x x t
x t x --=+
-, 即0212
1=-+t tx x , ①
同理,由切线PN 也过点)0,1(P ,得0222
2=-+t tx x .② 由①、②,可得21,x x 是方程022=-+t tx x ( * )的两根. (2)由( * )知. ??
?-=?-=+.
,22121t x x t x x
22
211221)()(x t x x t x x x MN --+
+-= ])1(1][4)[(2
2
121221x x t x x x x -
+-+=t t 20202+=, ∴ )0( 2020)(2>+=
t t t t g .
(3)易知)(t g 在区间]16,2[上为增函数,
∴)16()()2(g a g g i ≤≤)1,,2,1(+=m i ,
则)16()()()()()2(121g a g a g a g a g g m m m ≤<+++≤?+ . 即)16()2(g g m ,即16206120 22022022
?+?+?m ,
所以3
136
<
m ,由于m 为正整数,所以6≤m . 又当6=m 时,存在2621====a a a ,167=a 满足条件,所以m 的最大值为6.
点评:本题第一问的解决方法具有一般的意义,许多过一点作曲线的两条切线、两个切点的横坐标之间的关系都可以得到这个结论,这对进一步解决问题往往是关键的一步.本题第三问的解决方法用的是先估计、再确定的方法,也只得仔细体会.
例13.(2009江苏泰州期末20)已知()()[)ln()
ln ,,0,()x f x ax x x e g x x
-=--∈-=-,其中e 是自然常数,.a ∈R
(1)讨论1a =-时, ()f x 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下,1|()|()2
f x
g x >+
; (3)是否存在实数a ,使()f x 的最小值是3,如果存在,求出a 的值;如果不存在,说明理由. 分析:(1)求导后解决;(2)去绝对值后构造函数、利用函数的单调性解决,或是证明函数
()()m i n m a x 12f x g x ?
?>+???
?;(3)根据极值点是不是在区间[),0e -确立分类讨论的标准,分类解决.
解析:(1) ()()x x x f ---=ln ()x
x x x f 1
11'+-
=-
-= ∴当1-<≤-x e 时,()0' 当01<<-x 时,()0'>x f ,此时()x f 为单调递增, ∴()x f 的极小值为()11=-f . (2) ()x f 的极小值,即()x f 在[)0,e -的最小值为1, ∴()1min =x f 令()()()2 1 ln 21+--=+ =x x x g x h 又 ()2 ln()1 'x h x x --= , 当0<≤-x e 时()0'≤x h ()x h 在[)0,e -上单调递减 ∴()()()min max 12 1 21211x f e e h x h ==+<+=-= ∴当[)0,e x -∈时,()()2 1 +>x g x f (3)假设存在实数a ,使()()x ax x f --=ln 有最小值3,[)0,e x -∈,()x a x f 1'- = ①当e a 1-≥时,由于[)0,e x -∈,则()01 '≥-=x a x f ∴函数()()x ax x f --=ln 是[)0,e -上的增函数 ∴()()31min =--=-=ae e f x f 解得e e a 1 4-<- =(舍去) ②当e a 1-<时,则当a x e 1<≤-时,()01 '<-=x a x f 此时()()x ax x f --=ln 是减函数 当01< '>-=x a x f ,此时()()x ax x f --=ln 是增函数 ∴()31ln 11min =?? ? ??--=??? ??=a a f x f 解得2e a -= 点评:本题的第二问实际上可以加强为证明对任意的[)12,,0x x e ∈-证明()()121 2 f x g x >+ ;第三问的解答方法具有一般的意义,即求函数在指定闭区间上的最值分类就是按照极值点是不是在这个区间上进行的. 则 道的优秀试题. 题型8 定积分(理科) 例15.(安徽省 \* MERGEFORMAT 皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第5题)若 20 (sin cos )2x a x dx π -=? ,则实数a 等于 A .1- B .1 C .3- D .3 分析:根据微积分基本定理计算定积分,利用方程解决. 解析: 20 (sin cos )(cos sin )12,120 x a x dx x a x a a π π -=--=-+==-? .答案A . 点评:根据微积分基本定理计算定积分的关键是找到一个函数,使这个函数的导数等于被积函数,同时要 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1.已知函数???≥+-<=) 0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意12x x ≠,都有 1212()() 0f x f x x x -<-成立,则a 的取值范围是 ( ) A .?? ? ? ?4 1,0 B .()0,1 C .?? ????1,41 D .()0,3 2.定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4 -成中心对称,对任意的实数x 都有3 ()()2 f x f x =-+ ,且(1)1,f -=(0)2f =-,则(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃 ?的值为 ( ) A .2- B .1- C .0 D .1 3.已知函数①x x f ln 3)(=;②x e x f cos 3)(=;③x e x f 3)(=;④x x f cos 3)(=.其中对于)(x f 定义域 内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ,使12()()3f x f x =成立的函数是 ( ) A .③ B .②③ C .①②④ D .④ 4.设a ∈R ,函数()x x f x e a e -=+?的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数 . 若曲线()y f x =的一条切线 的斜率是 3 2,则切点的横坐标为 ( ) A . ln 2 2- B .ln 2- C .ln 2 2 D . ln 2 5.已知函数()ln ln a x f x x +=在[)1,+∞上为减函数,则实数a 的取值范围是 ( ) A .1 0a e << B .0a e <≤ C .a e ≤ D .a e ≥ 6.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 称后的位移为t t t s 22 3312 3+-=,那么速度为零的时刻是 ( ) A .0秒 B .1秒末 C .2秒末 D .1秒末和2秒末 二、填空题 7.已知函数1()ln sin 1x f x x x +=+-,则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是 . 8.已知函数()x x mx x f 2ln 2 -+=在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围为_________. 9.(文科)有下列命题:①函数cos cos 44y x x ππ?? ? ?=- + ? ?? ?? ?的图象中,相邻两个对称中心的距离为π;②函数31 x y x += -的图象关于点()1,1-对称;③关于x 的方程2 210ax ax --=有且仅有一个实数根,则实数1a =-;④已知命题p :对任意的x R ∈,都有sin 1x ≤,则p ?:存在x R ∈,使得sin 1x >.其中所有真命题的序号是 . 9.(理科)(1) 22 sin xdx π π-=? . 【解析】332 这个面积是()332 231 1532 2339333 x x x dx x x --??-+=- +=+=???? ?. 三 解答题 10.已知函数()2 12 x x f x e ax =---,其中a 为实数. (1)若1 2 a =-时,求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程; (2)当1 2x ≥ 时,若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立,试求a 的取值范围. 11.已知423 2)(2 3++-=cx x x x f ,)()(2x f e e x g x x +-=-, (1)若() f x 在21+=x 处取得极值,试求c 的值 和()f x 的单调增区间; (2)如右图所示,若函数)(x f y =的图象在],[b a 连续 光滑,试猜想拉格朗日中值定理:即一定存在 ),,(b a c ∈使得=)('c f ?(用含有()(),,,a b f a f b 的表达式直接回答) (3)利用(2)证明:函数()y g x =图象上任意两点的连线斜率不小于24e -. 12.已知函数()()()2ln ,0f x x g x ax x a ==-≠. (1)若函数()y f x =与()y g x =的图象在公共点P 处有相同的切线,求实数a 的值并求点P 的坐标; (2)若函数()y f x =与()y g x =的图象有两个不同的交点M 、N ,求a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,过线段MN 的中点作x 轴的垂线分别与()f x 的图像和()g x 的图像交,S T 点, 以S 为切点作()f x 的切线1l ,以T 为切点作()g x 的切线2l .是否存在实数a 使得1l //2l ,如果存在,求出a 的值;如果不存在,请说明理由. 【参考答案】 1.解析:A 条件等价于函数()f x 单调递减. 2.解析:D 由3 ()()2 f x f x =-+ ,得(3)()f x f x +=,因此,()f x 是周期函数,并且周期是3函数()f x 的图象关于点3(,0)4 -成中心对称, 因此,()f x =-3 ()2 f x --,所以,(1)1f = (1)(2)(3)0f f f ++=,(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃? =(1)f 3.解析:A ②④是周期函数不唯一,排除;①式当1x =1时,ln10=不存在2x 使得成立,排除;答案:A . 4.解析:D ()'x x f x e ae -=-,由于()'f x 是奇函数,故()()''f x f x -=-对任意x 恒成立,由此得1a =, 由()3'2 x x f x e e -=-= 得22320x x e e --=,即()()2210x x e e -+=,解得2x e =,故ln2x =,故切点的横坐标是ln 2. 5.解析:D ()22 1 (ln ln ) 1(ln ln )'x a x a x x f x x x ?-+-+== ,因为()f x 在[)1,+∞上为减函数,故()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立,即ln 1ln a x ≥-在[)1,+∞上恒成立,等价于()ln 1ln a x ≥-在[)1,+∞上的最大值.设()1ln x x ?=-,()max 1x ?=,故ln 1a ≥,a e ≥,选答案D . 6.解析:D 2 '32s t t =-+,即2 32v t t =-+,令0v =,解得1t =或2,选答案D . 7.解析:(3,2) 1()ln sin 1x f x x x +=+-是奇函数, 又12(1)2()ln sin ln sin ln 1sin 111x x f x x x x x x x +--???? =+=+=--+ ? ?---???? ,()f x 在()1,1- 单调递增,故()f x 定义在()1,1-上的且是增函数.由已知得2(2)(4)f a f a -<-- 即2 (2)(4)f a f a -<-. 故2 2322412113321415335 a a a a a a a a a ??-<<-<-?? -<-<<???-<-<-<<<?或. 即不等式的解集是(3,2). 8.解析:1,2??+∞???? ()1'220f x mx x =+-≥对一切0x >恒成立,2 122m x x ??≥-+ ???,令()2 12 g x x x ??=-+ ???,则当 11x =时,函数()g x 取最大值1,故21m ≥,即12m ≥. 9.(文科)解析:③④ ①函数1cos cos cos 2442y x x x ππ? ? ? ?=- += ? ?? ?? ?,相邻两个对称中心的距离为22T d π= =,错误;②函数3 1 x y x += -图象的对称中心应为()1,1,错误;③正确;④正确. 9.(理科)解析:2 22 20 2 sin 2sin 2(cos ) 2xdx xdx x π π π π-==-=?? . (2)直线x y 2=与抛物线32 -=x y 所围成图形的面积为 . 10.解析:(1).当12 a =-时,()()2111,222x x x f x e x f x e x '=- +-=-+,从而得()()111,12f e f e '=-=-,故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1 1()(1)2 y e e x -+=--, 即11022e x y ? ?---= ?? ?. (2).由()0f x ≥,得22111121,,22x x e x ax e x x a x --≤--≥∴≤,令()211 2,x e x g x x --=则()()22 1 11 2,x e x x g x x --+'=令21()(1)1,2x x e x x ?=--+则()()1(1),,02x x x e x x ??''=-≥∴>,即()x ?在1,2??+∞????上单调递增.所以()x ?17 0282 e ???≥=-> ???, 因此()0x ?'>,故()g x 在1,2??+∞????单调递增.则()1 21112122 e g x g --??≥= ??? ,因此a 的取值范围是924a e ≤-. 11.解析:(1)c x x x f +-=42)(2 ', 依题意,有0)21(' =+ f ,即 2)21(4)21(22-=+++-=c . 4223 2)(23 +--= ∴x x x x f ,242)(2'--=x x x f . 令,0)(' >x f 得12x <-或12x >+, 从而()f x 的单调增区间为(,12]-∞-和[12,)++∞. (2)' ()() ()f b f a f c b a -= -. (3)=+-=-)()(2x f e e x g x x 4223 223 2+--+ -=-x x x e e x x , =)('x g 24222--++-x x e e x x 222(1)4x x e e x e =++--2 22042 4.x x e e e e ≥?+?-=- 由(2)知,对于函数()y g x =图象上任意两点,A B ,在,A B 之间一定存在一点))(,(' c g c C ,使得 AB K c g =)(',又42)('-≥e x g ,故有42)('-≥=e c g K AB ,证毕. 12.解析:(1)设函数()y f x =与()y g x =的图象的公共点()00,P x y ,则有 2 000ln x ax x =- ① 又在点P 有共同的切线 ∴()()0000200 11 ''212x f x g x ax a x x +=? =-?=代入①得 0011 ln 22 x x = - 设()()()1111 ln '00222h x x x h x x x =-+?=+>> 所以函数()h x 最多只有1个零点,观察得01x =是零点, ∴1a =,此时()1,0P (2)方法1 由()()2 2 ln ln x x f x g x x ax x a x +=?=-?= 令()()()2 24 3 112ln ln 12ln 'x x x x x x x x x r x r x x x x ??+-+ ?+--??=?== 当01x <<时,()'0r x >,则()r x 单调递增 当1x >时,()'0r x <,则()r x 单调递减,且2 ln 0x x x +> 所以()r x 在1x =处取到最大值()11r =, 所以要使2 ln x x y x +=与y a =有两个不同的交点,则有01a <<. 方法2 根据(1)知当1a =时,两曲线切于点()1,0,此时变化的()y g x =的对称轴是12 x =,而() y f x =是固定不动的,如果继续让对称轴向右移动即11 122 x a a =>?<,两曲线有两个不同的交点,当0a <时,开口向下,只有一个交点,显然不合,所以01a <<. (3)不妨设()()1122,,,M x y N x y ,且12x x >,则MN 中点的坐标为1212,2 2x x y y ++?? ??? 以S 为切点的切线1l 的斜率1212 2'2S x x k f x x +?? == ?+?? 以T 为切点的切线2l 的斜率()1212'12T x x k g a x x +?? ==+- ??? 如果存在a 使得S T k k =,即 ()1212 2 1a x x x x =+-+ ① 而且有2 111ln x ax x =-和2 222ln x ax x =-, 如果将①的两边同乘12x x -得 ()()22 12121212 2()x x a x x x x x x -=---+, 22121112212122 2()()ln ln ln x x x ax x ax x x x x x x -=---=-=+,即1 12 1 22 2( 1)ln 1x x x x x x -= +. 设1 2 1x x μ=>,则有()()21ln 11μμμμ-=>+,令()()()21ln 11h μμμμμ-=->+, ()()2 22 11 4 '(1)(1)h μμμμμ-=-= ++,∵1μ>,∴()'0h μ> 因此()h μ在[)1,+∞上单调递增,故()()10h h μ>=,所以不存在实数a 使得1l //2l . 1. 几个函数方程的周期(约定a>0) (1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2)0)()(=+=a x f x f , 或)0)(() (1 )(≠=+x f x f a x f , 或1 ()() f x a f x +=-(()0)f x ≠, 或 []21()()(),(()0,1)2 f x f x f x a f x +-=+∈,则)(x f 的周期T=2a ; (3))0)(() (1 1)(≠+-=x f a x f x f ,则)(x f 的周期T=3a ; (4)) ()(1) ()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<,则)(x f 的周期T=4a ; 《函数的单调性与极值》教学案设计 教学目标:正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 掌握利用导数判断函数单调性的方法; 教学重点:利用导数判断函数单调性; 教学难点:利用导数判断函数单调性 教学过程: 一 引入: 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地,设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义,如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值;如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, 函数的单调性、极值与最值问题 典例9 (12分)已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a 的取值范围. 审 题 路 线 图 求f ′(x ) ――――――→讨论f ′(x ) 的符号 f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a -2. 评分细则(1)函数求导正确给1分; (2)分类讨论,每种情况给2分,结论1分; (3)求出最大值给2分; (4)构造函数g(a)=ln a+a-1给2分; (5)通过分类讨论得出a的范围,给2分. 跟踪演练9(优质试题·天津)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1. (1)求函数h(x)=f(x)-x ln a的单调区间; (2)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2, g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=-2ln ln a ln a; (3)证明当a≥1e e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线. (1)解由已知得h(x)=a x-x ln a, 则h′(x)=a x ln a-ln a. 令h′(x)=0,解得x=0. 由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表: 所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞). (2)证明由f′(x)=a x ln a,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处 的切线斜率为1x a ln a.由g′(x)= 1 x ln a,可得曲线y=g(x)在点 1.3.1函数的单调性与最大(小)值(第一课时) 教学设计 一、教学内容解析: (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点; 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》(以下简称“新教材”)第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时,它的函数y增大还是减小的性质.如增函数表现为“随着x增大,y也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同,函数的奇偶性是研究x成为相反数时,y是否也成为相反数,即函数的对称性质. 函数的单调性与函数的极值类似,是函数的局部性质,在整个定义域上不一定具有.这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同,它们是函数在整个定义域上的性质. 函数单调性的研究方法也具有典型意义,体现了对函数研究的一般方法:加强“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般.首先借助对函数图象的观察、分析、归纳,发现函数的增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征,从而进一步用数学符号刻画. 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(内部);在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部).可见,不论在函数内部还是在外部,函数的单调性都有重要应用,因而在数学中具有核心地位. 教学的重点是:引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大,y也增大(或减小)”这一特征进行抽象的符号描述:在区间D上任意取x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称函数f(x)在区间D上是增函数(或减函数). (2)教学内容的知识类型; 在本课教学内容中,包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识,函数单调性的符号语言表述属于事实性知识,利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识,发现问题----提出问题----解决问题的研究模式,以及从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法,属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识; 在本课教学内容中,函数的单调性,是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源; 生活常见数据曲线图例子,能引发观察发现思维;函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+,能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维,不等关系等价转化为作差定号,是转化化归思维的好资源,是树立辩证唯物主义价值观的好契机;创设熟悉的二次函数探究背景,是引发从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料,树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置: 本课教学以《普通高中数学课程标准(实验)》(以下统称为“课标”)为基本依据,以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是:不仅把函数看成变量之间的依赖关系,还要用集合与对应的语言刻画函数,体会函数的思想方法与研究方法,结合实际问题,体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求,结合学生实际,本课课堂教学目标设置如下: (1)知识与技能: 理解函数单调性的概念,让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念; 能利用图象法直观判断函数的单调性; )函数的单调性、极值和最值(1) 【复习目标】 1.会用导数求函数的单调区间 2.会用导数求函数在给定区间上的极值 【考试说明要求】 使用导数研究函数的性质(单调性、极值和最值)是高考的热点问题;在高考中考查形式多种多样,常以选择题或者填空题形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式与其他数学仅仅结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题 【知识点】 1、函数的单调性与导数 (1) 如果在某个区间上f ′(x)>0,那么f(x)为该区间上的 如果在某个区间上f ′(x)<0,那么f(x)为该区间上的 (2)利用导数确定函数单调区间的一般步骤. 2、函数的极值与导数 (1)观察图象,不难发现,函数图象在 点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下 降”(由单调增函数变为减函数)这时在 点P附近,点P的位置最高,即1 () f x比 它附近的函数值都大,我们称1 () f x为 函数() f x的一个 类似地,图中2 () f x为函数() f x的一个,极大值与极小值统称为函数 的。 (2)求极值的一般步骤: 【例题分析】 例1 利用导数确定下列函数单调区间 3 (1)6 y x x =-2 1 (2)ln 2 y x x =- x ()0 x> 变题:利用导数确定函数 3()3()f x x ax a R =-∈的单调区间 例2 已知函数 32()263,f x x x x R =-+∈ (1)求()f x 的极值; (2)若关于x 的方程 ()f x a =有3个不同的根,求实数a 的取值范围。 变题:已知条件改为以下几种情况,试求实数a 的取值范围。 ①方程 ()f x a =有2个不同的根; ②方程()f x a =有1个不同的根 ; ③试讨论函数()()h x f x a = -的零点个数。 例3 如果函数y=f (x )的导函数 ()y f x '=的图象如图所示, 给出下列判断: ①函数y=f (x )在区间(-3,12-)内是单调增函数; ②函数y=f (x )在区间1(,3)2 -内是单调减函数; ③函数y=f (x )在区间(4,5)内是单调增函数; ④当x=-2时,函数y=f (x )有极小值; ⑤当12 x =- 时,函数y=f (x )有极大值.; ⑥当3x = 时,函数y=f (x )有极小值. 则上述判断中准确的是________. 【附加例题】 1、函数 ()(3)x f x x e =-的单调增区间是 2、函数 ()ln f x x x =的单调减区间是 3、函数24()2f x x x =-的极大值与极小值分别是 【拓展延伸】 已知函数 322()f x x ax bx a =+++在x =1处有极值 10,则 f(2)等于 《导数应用》说课稿 函数的单调性与极值(5月10日) 教学目标:正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 掌握利用导数判断函数单调性的方法; 教学重点:利用导数判断函数单调性; 教学难点:利用导数判断函数单调性 教学过程: 一 引入: 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地,设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义,如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值;如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值, (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。 由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有0)(='x f 。但反过来不一定。如函数3x y =,在0=x 处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。假设0x 使 第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义. 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A,如果取区间M中任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当 Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称 函数y=f(x)在区间M上是增 函数 Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y =f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数, 性,区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y =1 f (x ) 的单调性相反. 3.“对勾函数”y =x +a x (a >0)的增区间为(-∞,-a ),(a ,+∞);单调减区间是[-a ,0),(0,a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1-1】(2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试(理))如果函数f(x)在[a ,b]上是增函数,对于任意的x 1,x 2∈[a ,b](x 1≠x 2),下列结论不正确的是( ) A . ()()1212 f x f x x x -->0 B .f(a) 《函数的单调性与极值》教案 【教学目标】: 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 掌握利用导数判断函数单调性的方法; 【教学重点】:利用导数判断函数单调性; 【教学难点】:利用导数判断函数单调性 【教学过程】: 一 引入: 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。 例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地,设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义,如果)(0x f 的值比0 x 附近所有各点的函数值都大,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值;如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它 函数的单调性与最值 一、知识梳理 1.增函数、减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D?I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1 函数的单调性与极值练习 一、选择题 1.函数3 ()3f x x x =-(||1x <) ( )。 A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,也无最小值 D.无最大值,但有最小值 2.函数3() f x x a x b =++在区间(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数, 则( )。A.1a =,1b =B.1a =,R b ∈C.3a =-,3b =D.3a =-,R b ∈ 3.函数2 1ln 2 y x x = -的单调减区间为 ( ) 。 A.(0,1)B.(0,1)∪(-∞,-1)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(0,+∞) 4.函数232 x y x x = -+的单调增区间为 ( )。 A. ) B.(-2,1)∪(1,2) C. ,1)∪(1 ) D. ,1),(1 ) 5.设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '= 的图象如右图所示,则()y f x =的图象有 可能的是 ( )。 A B C D 二、填空题 6.已知0a >,函数3 () f x x a x =-+在[1,+∞)上是单调减函数,则a 的最大值 为___。 7.设()(1)(2)(3)f x x x x =---,则方程()0f x '=的实数根的个数是___。 三、解答题 8.求函数1 ()f x x x =+ 的极值。 ) 函数的单调性与极值 类型一导数与函数的单调性 一、选择题 1.函数3 y x x =-的单调增区间是___。 2.若三次函数3 y a x x =-在区间(-∞,+∞)内是减函数,则a 的取值范围___。 3.函数ln y x x =在区间(0,1)上的增减性是___。 二、填空题 4.若函数32 ()f x x bx cx d =+++的单调递减区间为[-1,2],则b =__,c =__。 5.若函数3 () f x a x x =+恰有三个单调区间,则a 的取值范围是___。 6.设2 ()f x x x =+ (0x <),则()f x 的单调增区间为___。 7.求函数2 2 ln y x x =-的单调区间。 类型二、函数的极值 一、选择题 1.函数1()()2 x x f x e e -= +的极小值点是___。 2.函数sin()2 y x π π=+ +在区间[-π,π]上的极大值点为___。 3.函数3 13y x x =+-的极大与极小值___。 二、填空题 4.函数3 2 1y x x x =+-+在区间[-2,1]上的最小值为___。 5.若函数3 () f x x a x =+在R上有两个极值点,则实数a 的取值范围是___。 6.函数()sin cos f x x x =+在[- 2π,2 π ]上的最大值为___,最小值为___。 7.已知函数3 2 () 32f x a x b x x =+-+在1x =±处取得极值,讨论( 1 )f 和( 1 )f -是函数()f x 的极大值还是极小值。 专题六 函数导数专题 【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用, 导数及其应用、微积分及微积分基本定理等. 【例题解析】 题型1 函数的概念及其表示 例1 (2008高考山东文5)设函数2 211()21x x f x x x x ?-?=?+->??, ,,, ≤则 1(2)f f ?? ??? 的值为( ) A . 1516 B .2716 - C . 89 D .18 分析:由内向外逐步计算. 解析: ()()11 24, 24 f f ==,故()2 11115124416f f f ??????==-= ? ? ? ??????? .答案A . 点评:本题考查分段函数的概念和运算能力.解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式,求 出函数值. 例2(绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第14题)如图,函数()f x 的图象是曲线OAB ,其中点 ,,O A B 的坐标分别为()0,0,(1,2),(3,1),则()13f f ?? ? ??? 的值等于 . 分析:从图象上理解自变量与函数值的对应关系. 解析:对于(3)1,f =(1)2f =. 点评:图象是表示函数的一种方法,图象上反应了这个函数的一切性质. 题型2 函数的图象与性质 例3(浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第14题)已知m 为非零实数,若函数 ln( 1)1 m y x =--的图象关于原点中心对称,则m = . 分析:图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数,根据奇函数对定义域内任意x 都有 ()()f x f x -=-点特点可得一个关于x 的恒等式,根据这个恒等式就可以确定m 的值,特别地()()()0000f f f -=-?=也可以解决问题. 解析: 对于函数ln(1)1 m y x =--的图象关于原点中心对称,则对于()00f =,因此有ln(1)0,11,2m m m --=∴--==-.答案2-. 点评:函数的奇偶性是函数的重要性质之一,这两个性质反应了函数图象的某种对称性,这二者之间是可以相互转换的. 例4 (绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第5题)设0.2 1 312 1log 3,,23a b c ?? === ???,则( ) 1.3.1函数的单调性与最大(小)值 1、函数单调性的定义 设函数y=f(x)的定义域为I : 如果对于属于定义域I 某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x , (1)当 时,都有 ,那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数: (2)当 时,都有 ,那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数。 注意:21,x x 具有三个特征:①属于同一区间②任意性③有大小: 通常规定21x x < 练习:若定义在R 上的函数f(x)对任意两个不相等的实数21,x x ,总有()()()[]0-2121<-?x f x f x x ,则必有( ) A .函数f(x)是先增后减 B. 函数f(x)是先减后增 C. 函数f(x)在R 上是增函数 D. 函数f(x)在R 上是减函数 2、函数的单调性区间 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x)的单调区间。 3、基本初等函数的单调性 (1)一次函数 (2)反比例函数 (3)二次函数 练习:(1)函数()342++=x x x f 的单调递增区间是 (2)函数()b x k y ++=12在实数集R 上是增函数,则( ) A .21->k B. 21- 函数的单调性与最值练 习题适合高三 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8- 函数的单调性与最值练习 题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(每小题4分) 1.函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( ) A .1- B .0 C .1 D .2 2.已知212 ()log (2)f x x x =-的单调递增区间是( ) A.(1,)+∞ B.(2,)+∞ C.(,0)-∞ D.(,1)-∞ 3.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ,总有()() 0f a f b a b ->-成立, 则必有( ) A.()f x 在R 上是增函数 B.()f x 在R 上是减函数 C.函数()f x 是先增加后减少 D.函数()f x 是先减少后增加 4.若 在区间(-∞,1]上递减,则a 的取值范围为( ) A. [1,2) B. [1,2] C. [1,+∞) D. [2,+∞) 5.函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是( ) A .﹣1 B .0 C .1 D .2 6.定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈,有 2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -<x 取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知(x)=?? ?≥<+-) 1(log ) 1(4)13(x x x a x a a 是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,3 1) C.[7 1,3 1) D.[7 1,1) 8.函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为( ) A .(-∞,-3) B .(-∞,-1) C .(1,+∞) D .(-3,-1) 9.已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数 ,则满足(21)f x -<的x 取值范围是 ( ) (A )(∞- (B (C ∞+) (D 10.下列函数中,在定义域内是单调递增函数的是( ) A .2x y = B .1 y x = C .2y x = D .tan y x = 高一数学——函数 第三讲函数的单调性与最大(小)值 【教学目标】: (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性; (4)理解函数的最大(小)值及其几何意义。 【重点难点】: 1.重点:函数的单调性、最大(小)值及其几何意义, 2.难点: 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性,利用函数的单调性求函数的最大(小)值。 【教学过程】:用具: 一、知识导向或者情景引入 1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: (1)随x的增大,y的值有什么变化? (2)能否看出函数的最大、最小值? (3)函数图象是否具有某种对称性? 2、画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f(x) = x ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ . (2)f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ . (3)f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ . ○2在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ . 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1,x 2 ,当x 1 函数的单调性与极值教案 九年级数学教案 目的要求 1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法. 2.弄清函数极值与最值的区别与联系. 3.养成“整体思维”的习惯,提高应用知识解决实际问题的能力. 内容分析 1.教科书结合函数图象,直观地指出函数最大值、最小值的概念,从中得出利用导数求函数最大值和最小值的方法. 2.要着重引导学生弄清函数最值与极值的区别与联系.函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的,而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的,是局部的. 3.我们所讨论的函数y=f(x)在[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内有导数.在文科的数学教学中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a,b]上有定义,是为了保证函数在[a,b]内有最大值和最小值;在(a,b)内可导,是为了能用求导的方法求解. 4.求函数最大值和最小值,先确定函数的极大值和极小值,然后,再比较函数在区间两端的函数值,因此,用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键. 5.有关函数最值的实际应用问题的教学,是本节内容的难点.教学时,必须引导学生确定正确的数学建模思想,分析实际问题中各变量之间的关系,给出自变量与因变量的函数关系式,同时确定函数自变量的实际意义,找出取值范围,确保解题的正确性.从此,在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法——求导法.依教学大纲规定,有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数,而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数. 教学过程 1.复习函数极值的一般求法 ①学生复述求函数极值的三个步骤. ②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题. 2.提出问题(用字幕打出) ①在教科书中的(图2-11)中,哪些点是极大值点?哪些点是极小值点? ②x=a、x=b是不是极值点? ③在区间[a,b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么? 1 函数的单调性与最值 第二课时 教学目标: 1. 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的应用。 2. 启发学生学会分析问题,认识问题和创造性的解决问题。 3. 通过渗透数形结合的数学思想,对学生进行辩证唯物主义的教育。 新知探究 。 x,f(x)与f(x)≤2成立,但f(x)的最大值不是2,因为找不到一个自变量x.,使得f(x)=2成立 思考4:怎样定义函数f(x)的最大值?用什么符号表示? 一般地,设函数f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1) 对于任意的x ∈I ,都有f(x)≤M ; (2) 存在x 0 I,使得f(x 0)=M. 那么,我们称M 是函数y=f(x)的最大值(maximum value ) 思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗?如果函数f(x)的值域是(a,b ),则函数f(x)存在最大值吗? 最大值是函数值域中的一个元素,函数图像上有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图像上的点,因此若f(x)的值域是(a,b ),则f(x)没有最大值。 2 (4) 存在x 0 I,使得f(x 0)=M. 那么,我们称M 是函数y=f(x)的最小值(minimum value ) 理论迁移 例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h 米与时间t 秒之间的关系为h(t )=-4.9t 2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1米)? 例2 已知函数f(x)=1 x 2-(x ∈[2,6]),求函数的最大值和最小值。 归纳基本初等函数的单调性及最值 1. 正比例函数:f(x)=kx(k ≠0),当k 0时,f(x)在定义域R 上为增函数;当k 0时,f(x)在 定义域R 上为减函数,在定义域R 上不存在最值,在闭区间[a,b ]上存在最值,当k 0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k 0时, ,最大值为f(a)=ka ,函数f(x)的最小值为f(b)=kb 。 2. 反比例函数:f(x)= x k (k ≠0),在定义域(-∞,0) (0,+∞)上无单调性,也不存在 函数专题:单调性与最值 一、增函数 1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 的值有什么变化? ○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? 2、从上面的观察分析,能得出什么结论? 不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。 3.增函数的概念 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1 【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数y =-x 2 +2 | x | + 3的图象,请指出它的的单调区间. 2.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤: ① 任取x 1,x 2∈D ,且x 1 函数的单调性与极值 2. 函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是 ( ) A .(-∞,2) B .(0,3) C .(1,4) D .(2,+∞) 3. 函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,其中a ,b ,c 为实数,当a 2-3b <0时,f (x )( ) A .增函数 B .减函数 C .常数 D .既不是增函数也不是减函数 4. 下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是 ( ) A .y =sin x B .y =x e 2 C .y =x 3-x D .y =ln x -x 5. 函数y =f (x )在其定义域??? ?-32,3内可导,其图像如图所示,记y =f (x )的导函数为y =f ′(x ),则不等式f ′(x )≤0的解集为________. 6. 函数y =x -2sin x 在(0,2π)内的单调递增区间为______. 8. 如果函数f (x )的图像如图,那么导函数y =f ′(x )的图像可能是 ( ) 9. 设f (x ),g (x )在[a ,b ]上可导,且f ′(x )>g ′(x ),则当a 函数的单调性与极值 教学目标:正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 掌握利用导数判断函数单调性的方法; 教学重点:利用导数判断函数单调性; 教学难点:利用导数判断函数单调性 教学过程: 一引入: 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地,设函数y=f(x)在 0x x 及其附近有定义,如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值;如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,1x《函数的单调性与极值》教学案设计
函数的单调性、极值与最值问题
人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖
函数的单调性、极值和最值(1)
函数的单调性与极值教学案
第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
《函数的单调性与极值》教案(优质课)
函数的单调性与最值(含例题详解)
函数的单调性与极值经典例题复习+训练
(整理)函数的单调性与极值76094
函数的单调性及最值知识点习题
函数的单调性与最值练习题适合高三精修订
新高一数学函数的单调性与最值教案
(九年级数学教案)函数的单调性与极值教案
高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案
(完整版)高中数学必修1函数单调性和最值专题
函数的单调性与极值
教案:函数的单调性与极值