高中平面向量经典练习题1(含答案)

高中平面向量经典练习题

【编著】黄勇权

一、填空题

1、已知向量a=（-2，1），向量|b|= 2|a|，若b ·（a-b ）= -30，则向量b 的坐标= 。

2、已知a=（2，1），3a-2b=（4,-1），则a ·b= 。

3、向量a=（m ，-2），向量b=（-6，3），若a ∥b ，则（3a+4b ）·（6a-5b ）= 。

4、已知向量a 、b 满足|a|=2，b=（-1， 2），且（4a-b ）·（a+b ）=22，则a 、b 的夹角 。

5、在矩形ABCD 中，)3,1(-=AB ,)2,(-=k AC ，则实数=k 。

6、已知向量(1,),(,9)a t b t ==r r ，若→a ∥→b ，则t ＝ _______。

7、已知|

|=1，||=， =0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设=m +n （m 、n ∈R ），则等于 。

8、若|+|=|﹣|=2||，则向量+与的夹角为 。

9、已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（ ）

10、已知平面向量

，，x ∈R ，若，则|

|=______。 二、选择题

1、已知向量a=（2，1），向量b=（1，-1），那么2a+b= 。

A 、 （5,，1）

B 、（4，1）

C 、（5，2）

D 、（4，2）

2、已知向量a=（2，4），向量b=（-3，0），则

b a 2

1+= 。 A 、 3 B 、 3 3 C 、 2 D 、22 3、已知向量a=（2cos θ，1），向量b=（2sin θ，-1），若0＜θ＜4

π，且a

⊥b ，则tan θ的值 。 A 、 -2- 3 B 、 2-3 C 、3+ 3 D 、-3-3 4、已知非零向量a 、b ，且a =b =b -a ，则a 与a+b 的夹角 。

A 、 90°

B 、 60°

C 、 30°

D 、 0

5、已知向量a=（m ，-1），向量b=（4m 2-1，2），若a ∥b ，则（2a+b ）?（a-2b ）= 。

A 、 0

B 、 1

C 、 1- 54

D 、1+ 54

6、已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r ，若λ为实数，()

a b c λ+⊥r r r ，则λ的值为 ．

A 、 -311

B 、 311

C 、 511

D 、 -511

7、在正五边形ABCDE 中，已知?=9，则该正五边形的对角线的长为

A 、 2 3

B 、 2 5

C 、 3 2

D 、3 5

8、直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆

上任意一点，则AB AM ?u u u r u u u u r 的最大值为________．

A 、 12

B 、 10

C 、 8

D 、6

9、已知向量=（x ，2），=（2，1），=（3，x ），若∥，则向量在向量方向上的投影为 。

A 、 1

B 、 2

C 、 4

D 、6

10、已知非零向量,a b r r 满足a b a b ==+r r r r ，则（→a +→b ）与（→a +12

→b ）夹角的为 ．

A 、 30°

B 、 60°

C 、 90°

D 、120°

三、解答题

1、已知向量a 、b 是互相垂直的单位向量，向量c 满足c ·a= c ·b=1 ，|c |= 2

（1）求|a+b+c |的值

（2）t为正实数，求|ta+ 1

t

b+c |的最小值

2、点P为△ABC所在平面上的一点，且→

PA+

→

PB+

→

PC=

→

AB，求△PAB的面积与△

ABC的比值。

3、m是单位向量，向量a=（1，1），向量b=（1，2- 3），若m与a、b所成的夹角相等，求向量m的坐标。

高中平面向量经典练习题

【答案】

一、填空题

1题：

因为a=（-2，1），所以|a|=5，

又|b|= 2|a|=25

设b（m，n）

则有：m2+n2= 20-------------------------①

已知b（a-b）= -30

即：ab-b2=-30 （因为b2=（25）2=20）

所以：ab= -10

即（m，n）·（-2，1）= -2m+n = -10

式子变化：n= 2m-10-----②

将②代入①得，5m2-40m+80=0

m2-8m+16=0

（m-4）2=0

m=4

【特别提示】

只能将m=4代入②，解得n=-2 （如果将m=4代入①，n会有两个值）

故：向量b的坐标为（4，-2）

2题：

已知：a=（2，1）则3a=（6，3）---------①

又3a-2b=（4,-1）-------②

①式-②式，得：2b=（2，4）

b=（1，2）

所以a·b=（2，1）·（1，2）=4

3题：

解：a=（m，-2），b=（-6，3）

因为a∥b

所以：-3m=（-2）·（-6），解得m= 4

故a=（4,-2）

因为a=（4,-2），b=（-6，3）

所以：a= - 2

3

b

（3a+4b）·（6a-5b）=[3·（- 2

3

b）+4b]·[6·（-

2

3

b）-5b]

=2b·（-9b）=-18b2

b2=（|b|）2=45

所以：（2a+5b）·（4a-4b）= -18·45= -9·2·45= -9·90= -810

4题：

解：已知b=（-1， 2），则|b|= 3

已知|a|=2

则：a2=（|a|）2=4-----------①

b2=（|b|）2=3-----------②

|a|·|b|=2 3-----------③

又（4a-b）·（a+b）=4a2+3a·b-b2 =22 【将①②代入】

4·4+3a·b-3=22

3a·b=9

则：a·b= 3-----------④

Cosθ=

a*b

│a│*│b│

【将③④代入】

= 3 2

θ=30°

故，a 与b 的夹角为30°

5题：

已知，)3,1(-=,)2,(-=k

在三角形ABC 中，→BC = →AC - →AB

→BC=（k-1,1）

又∠ABC=90°，所以，→AB ⊥→BC

→AB · →BC=0

即：k-1-3=0

k=4

6题：±3

7题：

因为→OA ·→OB =0

所以，→OA 与→OB 的夹角为90°，

过C 点作DC ∥OB,连接AC 并延长交OB 于E 点。

在三角形OCD 中，有 →OC= →OD +→DC -------①

已知， →OC=m →OA+n →OB------- ②

由①、②知， →OD =m →OA →DC=n →OB

又 因为||=1，||=，

所以：|→OD| = m ，|→DC| =

n -------------③

在RT △OCD 中，∠DOC=30° 故，tan30°= │DC │

│OD │ -------------④

把③代入④， 33 = 3n

m

13 = n

m

故：m

n =3

8题：

解：

任意作两个向量a,b, 则→AD 就是a+b ，→BC 就是a-b

已知|+|=|﹣|，也就是平行四边形ABCD的对角线相等，所以，ABCD是矩形。

又|+|=2||，即，对角线的长度为一边的2倍，

那么，∠DAB=30°

也就是向量+与的夹角为30°

9题：

解：∵|+|=，||=

∴（+）2=2+2+2=50，

2=25

得||=5

10题：

解：平面向量，，x∈R，

若，则4x+2x﹣2=0，解得：2x=1，

∴=（1，1），=（1，﹣1）

∴﹣=（0，﹣2），

∴||=2

二、选择题

1题：选A

2题、选D

3题：选B

解：a=（2cos θ，1），b=（2sin θ，-1）

且a ⊥b

所以：4sin θcos θ -1=0

2sin2θ=1

sin2θ= 21 因为0＜θ＜4π 则 0＜2θ＜2π， cos2θ为正。 所以 cos 2θ=

23 则：tan2θ=

33 而tan2θ=θ

θ2tan 1tan 2- =33 tan θ=2-3

或tan θ= -2-3（θ在一象限，其tan 为正，故舍去）

4题：C

如图，因为a =b =b -a ，

所以，三角形为等边三角形，每一个角为60°

又a+b 平分a 与b 的夹角

故：a 与a+b 的夹角为30°

b

5题：选A

a=（m，-1），b=（4m2-1，2）

因为a∥b

所以：（-1）?（4m2-1） = 2m

化简：-4m2+1=2m

即：4m2+2m-1=0------①

又2a+b=（2m+4m2-1，-2+2）=（0,0）由①知，此项为0

所以：2a+b=（0,0）

则：（2a+b）?（a-2b）= 0

6题：A

a=（1，2）, b=（1，0），c=（3，4）

那么：λa+b=（λ+1,2λ）

又因为，（λa+b）⊥c

（λ+1,2λ）?（3，4）=0

3λ+3+8λ=0

λ= - 3

11

故，选A

7题：C

解：正五边形内角=（5-2）180°÷5=108°解：设该正五边形的边长为x，

在RT△BDC中，线段DC=BC?cos36°=x?cos36°

所以，线段AC=2DC=2x?cos36°----------①

∵?=9，

COS∠DAB=向量AB·向量AC

AB·AC（其中：AB=x）

cos36°=

9

x *AC

所以，x=

9

cos36° * AC ---------------②

将②代入①中，得：AC = 2 *

9

cos36° * AC * cos36°

化简：AC = 18

AC

即： AC2 =18

AC =

∴该正五边形的对角线的长为：3．

8题：A

如图，建立坐标系，A（0，0），B（3，0），C（0，4）

圆心0（3

2,2）半径r=

5

2

则圆的方程：（x- 3

2）2+（y-2）2= （

5

2）2

等式两边同时乘以（2 5）2

[2

5（x-

3

2）]2+[

2

5（y-2）]2=1

令25（x- 32）=cos θ 化简得，x= 52cos θ+ 32 25（y-2）=sin θ，化简得， y= 52sin θ+2

因为M 在圆上，故设M 坐标（ 52cos θ+ 32，5

2sin θ+2）

所以，→AM= （ 52cos θ+ 32，52sin θ+2）

→AB=(3，0）

那么，→AM ·→AB=（ 52cos θ+ 32，52sin θ+2） ·(3，0）

= 152cos θ+ 9

2

因为θ可以取负数，0，正数

当M 点与B 点重合时，θ=0

Cos θ取最大值1，

则→AM ·→AB 最大值=152 + 92 =12

故选A

9题：C

解：∵=（x ，2），=（2，1），∥，

∴x=2×2=4，

∴=（3，4），

∴||=5， =（4，2）?（3，4）=12+8=20，

∴向量在向量方向上的投影为

==4， 故答案为：4．

10、选A 因为a b a b ==+r r r r ，所以三角形ABC 为等边三角形，每个角为60°，

D 为BC 中点，那么，AD ⊥BC ，

在三角形ABD 中，→AD =→AB+→DB(其中→AB=→a ，→BD=12

→b ) 所以，→AD =→a +12

→b ----------------① 又→AC=→a +→b --------------- ②

由① ②知，（→a +→b ）与（→a +12

→b ）的夹角就是→AD 与→AC 的夹角 而→AD 与→AC 的夹角=∠DAC=30°

故选A

三、解答题

1、解

【第一问】 因为a 、b 是单位向量，所以，a 2=（|a|）2=1-----------①

b 2=（|b|）2=1----------②

又a ⊥b ，所以a ·b=0 -------------③

|c |= 2 则c 2=（|c|）2=2--------④

c ·a= c ·b=1 ----------⑤

令m= a+b+c ，等式两边同时平方

m 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac 【将① ② ③ ④ ⑤ 】

m 2=1 +1 +2 +0 +2*1+2*1

m2=8

故|a+b+c |= 8= 2 2 【第二问】

令n =ta+ 1

t

b+c 等式两边同时平方

n2=t2a2+

1

t2

b2+c2+2ab+2

1

t

bc+2tac 【将①②③④⑤】

n2=t2 +

1

t2

+2 +0 +

2

t

+2t-------------------⑥

又t为正实数，t2 +

1

t2

≥ 2t2 .

1

t2

=2-------⑦

2 t +2t≥ 22t .

2

t

= 4--------⑧

将⑦⑧代入⑥n2≥2+2+4=8

故：|ta+ 1

t

b+c |≥ 2 2

所以，|ta+ 1

t

b+c |的最小值为2 2

2、解：

因为在三角形ABP中，→

PB=

→

PA+

→

AB，

将→PA 移到等号的左边，得→PB - →PA =→AB---------①

已知 →PA+ →PB+ →PC= →AB----------②

两式相减，即①- ② 得，-2 →PA -→PC= 0 即：→PC = -2→PA

【特别提示】

1、如果三个点构成的任意两个向量，他们的比值为一个常量，那么，这三个点共线。

2、比值常量可以为正，也可以为负，常量可以是有理数，也可以是无理数：例

如比值为2，-2，13 ，- 13， 2 ， 22，- 2 - 22

3、根据比值的正负，最终排定三个点的先后顺序。

因为，→PC = -2→PA 所以 A 、C 、P 三点共线，比值为负，故P 在边AC 上，且位于

A 、C 之间。

由上图，→PC = -2→PA 则2|AP |=|PC| 三角形ABC 被分成两部分，其面积之比1:2

故：△PAB 的面积与△ABC 的比值1:3

3、解：

设m 坐标（x ，y ）

m 是单位向量，则|m |=1------------------①

a=（1，1） 则|a|= 2-------------------②

b= （1，2- 3）则|b|= 6- 2---------③

【过程】|b|2= 12 +（2- 3）2 = 1 +（4 -4 3 +3）

=8 - 4 3 =（6+2）-212

=（6）2-262+（2）2=（6- 2）2那么，

cos =

a·m

│a│·│m│

【将①②】

得，cos =

a·m

√2·1

=

a·m

√2

-----------④

cos =

b·m

│b│·│m│

【将①③】

得，cos =

b·m

（√6-√2）·1

=

b·m

√2（√3-1）

-----------⑤ =

b·m

√2（√3-1）

等式两边同时乘以 2（ 3 -1）

（ 3 -1）·a·m=b·m-----------------⑥

因为m=（x，y），a=（1，1），向量b=（1，2- 3）

则 a·m= x +y----------------------⑦

b·m=x +（2- 3）y---------------⑧

将⑦⑧代入⑥

（ 3 -1）（ x +y）= x +（2- 3）y

化简：[（ 3 -1）-1]x=[（2- 3）-（ 3 -1）]y

（ 3 -2）x=（3- 23）y 等式两边同时乘以（ 3 +2）

得，（3-4）x=（3 3+6-6-4 3）y

-x= - 3y

x= 3y------------⑨

因为|m |=1 x2+y2=1 【将 x= 3y代入】

解得：y=±1 2

将 y=±1

2

代入⑨，x= ±

3

2

故：m坐标（1

2

,

3

2

）或（-

1

2

，-

3

2

）

【第二种情况】

向量a、b所形成的夹角有两个，且这两个夹角互补，他们的cos值互为相反数。也就是说，

cos = - cos

即a·m

√2

= -

b·m

√2（√3-1）

等式两边同时乘以 2（ 3 -1）

-（ 3 -1）·a·m=b·m-----------------⑩

因为m=（x，y），a=（1，1），向量b=（1，2- 3）则 a·m= x +y--------------------------?

b·m=x +（2- 3）y------------------?

将⑩?代入?

-（ 3 -1）（x+y）= x +（2- 3）y

[-（ 3 -1）-1]x=[（2- 3）+（ 3 -1）]y

- 3 x=y------------?

因为|m |=1 x2+y2=1 【将 y= - 3x代入】

解得：x=±1 2

将 y=1

2

代入?，x= -

3

2

y= - 1

2

代入?，x=

3

2

故：m坐标（ 3

2

，-

1

2

）或（-

3

2

，

1

2

，）

综上：m坐标（1

2

,

3

2

）或（-

1

2

，-

3

2

）或（

3

2

，-

1

2

）或（-

3

2

，

1

2

，）