高等代数教案行列式
第三章 行列式
综述
解方程是代数中的基本问题,在高等代数中主要研究线性方程组.线性方程组是线性代数研究对象的具体模型,而行列式是研究线性方程组的一个有力工具,利用它在某种条件下可得到类似于一元二次方程求解公式那样：用方程组的系数的某种关系来表达有解的条件、解的个数和求解公式.历史上正是为了解决通过方程组的系数来表达方程组求解的有关问题而引进行列式作为工具的,并且行列式在其它领域也经常用到.本章给出行列式的定义、性质、计算及应用.
行列式是Leibnitz 于1693年（日本人关孝和更早）提出的概念；定义方法有多种,主要有归纳定义、用n 次置换来定义、引入排列用排列的奇偶性来定义、还有用公理化方法来定义（用多重线性函数的概念来定义）,本书用第三种方法,为此须引入关于排列的有关概念.由定义行列式实质上是一个数,要弄清构成此数的特征（三个且与行列式符号形式下,行、列、元素有关等）；由定义行列式的计算是一个复杂的问题,行列式的性质不仅有助于理解行列式的概念,同时从中可得出行列式计算的四种允许变换,以此总结出行列式计算的一些基本方法及常用技巧,这是本章的重点内容；然后作为行列式计算的另一种简化思想——降阶,介绍了依行（列）展开公式；最后介绍了行列式的应用（Cramer 法则）. 目的和要求
掌握n 阶行列式的概念、性质,会运用行列式的性质降阶和三角化熟练地计算数字行列式,并初步掌
握字母行列式的计算方法；掌握Cramer 法则解线行方程组；*掌握行列式性质与计算的推广——Laplace
定理.
3.1线性方程组与行列式
一教学思考
本节主要是讨论线性方程组（含n 个未知量n 个方程）的用系数间的关系表达有无解及有解时解的形式问题,需引入行列式,进而可以讨论分析二、三阶行列式的构成规律,为定义n 解行列式埋下伏笔,同时引入下节关于排列的问题（为确定项的符号）. 二教学过程
线性方程组——一次方程组叫线性方程组.一般形式为：
??????
?=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
22221211
1212111（1） n x x x ,,,21 叫未知量,),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==叫未知量的系数,m b b b ,,,21 叫常数项.
方程组的解指的是一组数（n k k k ,,,21 ）,用其依次代替（1）中的未知量n x x x ,,,21 后,（1）的每个方程都成为恒等式.
线性方程组的问题是：1）是否有解；2）有解时解的个数及解法；3）有无穷解时解间关系（结构）. 注：本章讨论较特殊的线性方程组——未知数的个数与方程个数相等的情形.为此须将二、三阶行列式的概念进行推广,引入n 阶行列式这一工具.
先看给定线性方程组：??
?=+=+22221
211
212111b x a x a b x a x a （2）
若
022
21
1211≠a a a a ,则（2）有（唯一）解：
2221
12112221211a a a a a b a b x =
,22
2112
112
211112a a a a b a b a x =. 其中
2112221122
21
1211a a a a a a a a -=.（此结果可由消元法具体求解一下.）
同样对于?
????
?????=++=++=++33332321
3123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （3）
当033
32
31
232221
13
1211
≠=a a a a a a a a a D 时,（3）有（唯一）解： D
a a
b a a b a a b x 33
3232322213121
1=
,D
a b a a b a a b a x 33
3
312322113111
2=
,D
b a a b a a b a a x 3
323122*********=
.
结论：引入了二、三阶行列式后,不但解决了一类线性方程组的求解问题,而且解的形式也是类似的（可用方程的系数表示出来）.下面为解决含n 个未知量n 个方程的线性方程组的求解问题,需将二、三阶行列式的概念合理地推广至n 阶,这需要用到排列的有关问题.
3.2排列
一教学思考
作为推广行列式概念的准备工作,本节主要介绍排列的概念,反序、反序数及奇偶排列的有关概念和性质；其中有关概念不难理解,重要的是其中“对换改变排列的奇偶性”的证明是一典型的化归思想（由特殊到一般）的运用；一些基本方法如计算反序数的思路与方法应掌握. 二教学过程
1． 基本概念
（1）排列：定义1由n 个数码1,2,…,n 组成的一个有序数组,称为一个n 元排列,简称排列. （2）反序、反序数：
定义2在一个排列里,如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个反序（逆序）,（否则构成顺序）.在一个排列里出现的反序总数叫做这个排列的反序数,用)(21n a a a π表示排列n a a a 21的反序数.
（3）奇、偶排列：
定义3有偶数个反序的排列叫偶排列（即反序数为偶数）；
有奇数个反序的排列叫奇排列（即反序数为奇数）.
（4）对换：
定义4把一个排列里任意两个数码i 和j 互换位置,而其余数码不动,就得到一个新排列.对一个排列所施行的这样一个变换叫做一个对换,用（i,j ）表示.
2． 对换及排列的性质
（1）Th3.2.1设n i i i 21和n j j j 21是n 个数码的任意两个排列,那么总可以通过一系列对换由
n i i i 21得出n j j j 21.
引理1对换的可逆性——即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.（显然） 引理2任意n 元排列n i i i 21可经过一系列对换变为自然排列12…n . 引理3自然排列n 12可经一系列对换变为任意一个n 元排列n j j j 21.
事实上,由引理2任意一个n 元排列n j j j 21可经一系列对换变为自然排列n 12,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列.
Th3.2.2每一对换都改变排列的奇偶性.
Th3.2.32≥n 时,n 个数码的排列中,奇排列与偶排列的个数相等,均为
2
!
n 个. 3.3 n 阶行列式
一教学思考
1．本节首先在分析二、三阶行列式的构成规律及上节排列的基础上,将行列式的概念推广到n 阶；而从定义知行列式表示一个数且由定义不易求得,为了进一步研究行列式和简化计算,讨论了行列式的性质,这是本节的重点又是难点.
2．为清楚地知道如何推广行列式的概念,须认真分析二阶、三阶行列式的构成规律：项数、项的构成、项的符号；其中项的构成是重要的,其不仅指出了何为一项,同时也决定了项数,至于项的符号是在特定的要求形式下（行标为自然排列）（由列标排列的奇偶性）决定的,其间不能忽视这些与行列式符号形式中三个术语——行、列、元素有关,因此要讲清概念应建立在形式符号意识下认清其实质（是一个数）,然后示例说明.
3．为了充分认识行列式及计算行列式,讨论了行列式的（五个,不含推论）性质；这首先须证明项的形式的一般结论,这主要从项的构成及一般形式与（定义）特殊形式间的关系（交换因子）而得；在此基础上由定义容易证明性质（主要在于讨论项的关系）,这些性质证明不难,可能较繁,共同点是讨论项的关系.这些性质的重要性在于,由此可以得到行列式的允许变换（换法、倍法、消法、转置、分行（列）相加）；这是计算行列式的基础,也是线性代数处理问题的重要思想（允许变换下化为标准形（化简））,在此要认真示例性质的应用,特别是由此体现的计算行列式的一个基本方法——化三角形法（其它方法及思路后逐步总结示范）. 一内容、要求
1．内容：n 阶行列式的定义和性质.
2．要求：掌握定义和性质,会用性质简化行列式的计算,这是本章的重点和难点. 二教学过程
引言三阶行列式的构成规律：32211331231233221133
32
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=
322311332112312213a a a a a a a a a ---
其中：符号33
32312322
21
13
1211
a a a a a a a a a 是由2
3个元素ij a 构成的三行、三列方表,横排叫行,纵排叫列；在上述形
式下元素ij a 的第一个下标叫行下标,第二个下标叫列下标（二者表明了该元素所在的位置）.从形式上看,三阶行列式是上述特定符号表示的一个数,这个数由一些项的和而得：
1）项的构成：由取自不同的行又于不同的列上的元素的乘积； 2）项数：三阶行列式是3！=6项的代数和；
3）项的符号：每项的一般形式可以写成321321j j j a a a 时,即行标为自然排列时,该项的符号为
)(321)1(j j j π-,即由列标排列321j j j 的奇偶性决定.
定义用符号
nn
n n n
n
a a a a a a a a a 21
22221
11211
表示的n 阶行列式,指的是n ！项的代数和,这些项是一切取自不同
的行与不同的列上的n 个元素的乘积,一般项可以写成n nj j j a a a 2121,此时其符号为)
(21)
1(n j j j π-.
例1给出一些形式或乘积,判断是否为行列式或为行列式的一项（题略）. 例2计算下列行列式
（1）nn
n n
a a a a a a
000
22211211
（2）000001
n （3）h
g f e d
c b a
0000000
引理3.3.1从n 阶行列式n
ij a D =的第n i i i ,,,21 行和第n j j j ,,,21 列取出元素
n n j i j i j i a a a ,,,2211 作积n
n j i j i j i a a a 2
21
1（其中n i i i 21,n j j j 21是两个n 元排列）,则其为行列式的一项,
此项在行列式中的符号为：)
()(2121)
1(n n j j j i i i ππ+-.
性质
作为理论问题而言,一个新的概念须深入讨论其性质,这有助于进一步理解概念；下述行列式的性质还在于从中可得到计算行列式的一些思想方法.所以性质都是由定义推得,证明中只须由定义分析三个方面（项的构成、项数、符号）关系即可.其中注意表述形式及含义（形式讲的是由行列式D 变形得新行列式1D ,结论讲二者关系）,重要的是从中抽得出行列式的允许变换及将性质进行分类记忆.
定义行列式的转置：将行列式D 的行变为列、列变为行所得行列式称为D 的转置；记为D '. 性质1D '=D
性质2设
in i jn j j i jn
j j in i i a a a a D a a a a a a D 11
1)
,(2121
=??→
?=
则D D -=1.
性质3设
in i i k in i ka ka D a a D 11)
(1
=?→?=, 则kD D =1.
推论2行列式D 的某行所有元素的公因子可提出来. 推论3若行列式D 的某行元素全为0,则0=D . 推论4若行列式D 的某两行元素对应成比例,则0=D .
性质4若
in in i i c b c b D ++=1
1,则 in i b b D 1=+
in i c c 1.
性质5设???→?=+)()(2121
j i k
jn
j j in
i i a a a a a a D
jn
in j i j i in i i a ka a ka a ka a a a D +++=
221
1211,则D D =1.
例子计算：1、33
3222
1
11
321321321a a a a a a a a a D +++++++++=；2、0
11110111
1011
110
=n D ；3、x
x
x x x x f 1
11
12
3111212)(-=
不展开,直接求3
4
,x x 的系数.
3.4子式、代数余子式,行列式的依行依列展开
一教学思考
1．本节在分析三阶行列式可用（三个）二阶行列式表示的特点上,引入了子式、余子式的概念,从而可将此结论一般化.内容紧凑,其在应用上（将较高阶的行列式化为较低阶的处理）及理论上（推广形式拉普拉斯定理）都很重要.
2．教材以三个定理叙述最后结果,可简化为处理一个定理、一个推论,其好处在于证明过程中体现从特殊到一般,并且一般性的处理转化为特殊情形的化归模式,使学生进一步体会这种思想方法的运用. 3．其中需要强调的是概念中的子式、余子式、代数余子式中元素原有相对位置关系（不变）以及三者间的关系；依行依列展开的统一形式表述及含义；最后归纳此定理而得的行列式的第二种基本计算方法——降阶法. 二内容、要求
子式、余子式、代数余子式、行列式的依行依列展开,掌握之. 三教学过程
引例32
31
22
2113333123211233322322
1133
32
31
232221
13
1211
a a a
a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a +-=
（转化过程可略,作出解释；有了下述概念后再叙述一下.）
即三阶行列式可转化为（三个）二阶行列式进行计算,此结果具有一般性,为此下讨论之. 1．概念
（1）k 阶子式：设n
ij a D =,在D 中取定某k 行k 列,位于这些行列相交处的元素构成的k 阶行列
式,叫做D 的一个k 阶子式.
（2）余子式：设n
ij
a D =)1(>n ,将元素ij a 所在的行、所在的列的元素划掉后余下的1-n 阶子
式,叫做元素ij a 的余子式,记为ij M .
（3）代数余子式：设n
ij
a D =)1(>n ,元素ij a 的余子式ij M 附以符号j i +-)1(后,叫做元素ij a 的
代数余子式,记为ij A .即ij A =j
i +-)
1(ij M
2．定理
（书中以三个定理表述,实可归结为一个定理、一个推论,书中定理1是定理2的特例,这样处理重点体现化归思想的运用.）
定理设n
ij a D =,则D 等于它的任意一行（列）的所有元素与各自对应的代数余子式的乘积的和.
即??
?++++++=nj nj j j j
j in
in i i i i A a A a A a A a A a A a D 22112211),,2,1,(n j i =. 推论设n
ij a D =,则D 的某行（列）所有元素与另外一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积的
和为0,即
??
?=+++=+++0
022112211nj ni j i j i jn in j i j i A a A a A a A a A a A a )(j i ≠
例计算3
3
5
1
110243152113
------=
D .
3.5克莱姆（Cramer ）法则
一教学思考
本节作为行列式的应用,完满地解决了含n 个未知量n 个方程的线性方程组,在其系数行列式不为零时,其解的存在性、个数及求解（公式）问题；理论完整且重要,定理的证明可按消元法的思想运用行列式的依行依列展开公式为之. 二教学过程
设给定一个含n 个未知量n 个方程的线性方程组：
??
????
?=+++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112
222212*********（1） 其系数构成的行列式nn
n n in i i n a a a a a a a a a D
2
1
21
11211
=叫做方程组（1）的(系数)行列式. TH3.5.1（Cramer 法则）对线性方程组(1),当它的(系数)行列式0≠D 时有且仅有一个解:D
D x D D
x D D x n n ===
,,,2211 .其中j D 是把D 的第j 列的元素换以方程组的常数项n b b b ,,21 而得到的n 阶行列式.
推论含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组
??
????
?=+++=+++=+++0
00221122221211212111n nn n n n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （2） 当它的(系数)行列式0≠D 时仅有零解.（还将证明为充分条件）
例解方程组???????=+-+-=+-=--=+-+0
6745229638
5243214324
214321x x x x x x x x x x x x x x .
解：27,27,108,81,274321=-===D D D D D
1,1,4,34321=-=-==x x x x .
线性代数行列式算与性质
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
线性代数练习题(行列式)
线性代数练习题（行列式）A 一、填空题 1、-=--362 2 36623 2、 =00010020 03004000 3、_____________)631254 (=N 4、四阶行列式)det(ij a 的反对角线元素之积（即41322314a a a a ）一项的符号为 5. 行列式2 430123 21---中元素0的代数余子式的值为_______ 二、选择题 1、 =11 a a （ ） ----+1111A a B a C a D a 3、+=-010 111111a a （ ） +++-11(1)(1)A a B a C a D a a 5、若≠314 001 0x x x ，则=x （ ）
≠≠≠≠≠≠020202且或A x x B x x C x D x 6、=111011011011 0111 （ ） --2331A B C D 7、=222 111 x y z x y z （ ） ---+++++()()()()()()A y x z x z y B xyz C y x z x z y D x y z 三、设行列式 2 92170216 3332314----=D ，不计算ij A 而直接证明： 444342412A A A A =++
线性代数练习题（行列式）B 一、填空题 1、 设ij A 是n 阶行列式中元素ij a 的代数余子式，则 =∑1 n ik jk k a A = 2、 设=3(1,2,3,4)i A i 是行列式12345678 2348 6789 中元素3i a 的代数余子式， +++=132********A A A A 3、 各列元素之和为零的n 阶行列式之值等于 4、 设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则 =00 A B ； =00 A B 5、 设=(,1,2)ij A i j 为行列式= 21 31 D 中元素ij a 的代数余子式，则=1121 12 22A A A A 6、 方程 -+-= ----1321360 1 2 2 14 x x x x 的根为 7、 已知齐次线性方程组λ+-=?? +-=??-+=?1231231 232020340 x x x x x x x x x 有非零解，则λ= 8、 若11223344,,,a a a a 都不等于零，则方程组 +++=??++=? ? +=??=? 1111221331441 22223324423333443 3444a x a x a x a x b a x a x a x b a x a x b a x b 有 解。
高等代数作业第二章行列式答案
高等代数作业第二章行列 式答案 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
高等代数第四次作业 第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5 2．四阶行列式4 4?=ij a D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a 3．设 .21 22221 11211 d a a a a a a a a a nn n n n n = 则 ._____1 221 22 211 121=n n nn n n a a a a a a a a a (1) 2(1)n n d -- 4．行列式1 1 1 111 11 ---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√ 2. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 则 12 111222212 1 n n n nn n a a a a a a a a a =d （ ）× 3. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a 21 2222111211 则d a a a a a a a a a n nn n n n -=11211 2122221 （ ）× 4. abcd z z z d y y c x b a =000000 ( ) √ 5. abcd d c x b y x a z y x -=0 000 00 （ ）× 6. 00 00000=y x h g f e d c b a （ ）√ 7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。（ ）× 9. n n a a a a a a 212 1 = （ ）× 10. 0 1000 2000 010 n n -=n ！ （ ）× 三、选择题
高等代数行列式知识点总结
第一章 行列式（ * * * ） 一、复习指导：行列式在高等代数中是十分重要的，它不仅是每年必要的一道大题，而且还是一个基础章节，它与学好后面的章节也有一定的联系，是学习后面重要章节的基础。在首师大真题中，行列式往往会以求数字型n 阶行列式的值作为一道大题出现，分值15分。具体可以参考真题。 二、考点精讲： (一）基本概念 定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。 定义2 逆序数—设n i i i Λ21是n ,,2,1Λ的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i Λτ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 定义3 行列式—称nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 21 22221112 11 = 称为n 阶行列式，规定 n n n nj j j j j j j j j a a a D ΛΛΛ21212121) ()1(∑-= τ 。 定义4 余子式与代数余子式—把行列式nn n n n n a a a a a a a a a D Λ ΛΛΛΛΛΛ 21 22221112 11 = 中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij j i ij M A +-=) 1(为元素ij a 的代数余子式。 （二）、几个特殊的高阶行列式 1、对角行列式—形如 n a a a Λ ΛO ΛΛΛΛ0 00 02 1 称为对角行列式，n n a a a a a a ΛΛ ΛO ΛΛΛΛ21210 00 0=。
考研数学线性代数行列式的计算方法
考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错;
(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量
线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100 20010000 n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---= . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算
例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j a a =-知i i i a a =-，即 0,1,2,,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A ' = 1213112 23213 2331230000n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
线性代数行列式基本概念
目录 目录 (1) 一、行列式 (2) 见ppt。 (2) 二、矩阵特征值 (2) 三、正定矩阵 (2) 四、幺模矩阵 (3) 五、顺序主子阵 (4) 六、正定二次型 (6) 七、矩阵的秩 (6) 八、初等变换（elementary transformation） (7)
一、行列式 见ppt。 二、矩阵特征值 设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。 求矩阵特征值的方法 Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。 |mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。 如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn 如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。 三、正定矩阵 设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量 X=(x_1,...x_n)，都有XMX′>0(X'为X的转置矩阵 )，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。 正定矩阵的性质： 1.正定矩阵一定是非奇异的。非奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异矩 2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
高等代数 矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错. 2. 如果20,A =则0A =. 错.如2 11,0,011A A A ??==≠ ?--?? 但. 3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵. 正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使 .00 0??? ? ? ?=s I PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11 (*)|| A A A -=. 8．设 B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又 ()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====. 因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆
#线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 0010020010000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式 n ij D a =的元素满足 ,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i i a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n ==
故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。 因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a = 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，
线性代数-特殊行列式及行列式计算方法总结
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 111121 12,1221222,11,21,1 1,1 12 ,1 (1)2 12,1 1 000000000000000 00 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------= ==- 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????==? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????==-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；
3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降 阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法） 【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题） 0001000200019990002000000 002001 D = 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一：定义法 (1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-= 解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 2001(20011) 20011 20011 2 000020010 001000200(1) (1) (1)2001!2001!019990002000 00 D ?---=- =--=
行列式测试题(高等代数)
《高等代数》行列式（单元测试） 学院： 班级： 姓名： 学号： 教师： 一、填空题（每小题 3 分，共18 分） 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 2．设 .21 22221 11211 d a a a a a a a a a nn n n n n = 则 ._____1 2 21 22211 121=n n nn n n a a a a a a a a a 3．设123,,x x x 是方程30x px q ++=的三个根，则行列式1 23 2 313 2 1 x x x x x x x x x 的值是-____________. 4．行列式1 1 1 11 1 11 ---x 的展开式中,x 的系数是_____. 5．设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 6. 行列式 1 234 000 00 000 a a a a 的所有代数余子式之和为__________________________.
二、判断说理（每小题5 分，共15 分） 1．排列 j i 与排列 i j 排列的反序数相差1. ( ) 2．D=0, 则互换D 的任意两行或两列,D 的值仍为零.. （ ） 3．ij ij A a D ,3 3?=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . （ ） 三、计算题（共47分） 1（16分）、x a a a a x a a a a x a a a a x D ------=
高等代数考研真题 第二章 行列式
第二章 １．（北师大2003－25） １．计算行列式87162534的逆序数，并依次将上述排列变成12345678的所有对换 2．设n 个数码的排列121n n i ,i ,...i ,i -的逆序数是k ，那么排列321n n n i ,i ,...i ,i i -的逆序数是多少？请说明理由。 ２．计算下列行列式（每小题6分，共12分） D= 2 132301211432 2 1 1 ---的值。 3.（成电科大，2003）计算下列行列式（每小题6分，共12分） 1.32222 3222 2322 2 2 2 3 n ......D ..................=D ．＝ 2.2 3 232 3 122 2 111114441 5 5 5 D = 4.（中科武汉2004－15）计算行列式 1 111111222221223331 2 3 4 111111n n n ...b a a a ...a a b b a a ...a a D b b b a ...a a .....................b b b b ... b a =
5（成电科大2004－10分）求证：1 2 123411123211 123211 1431121 1 n n n ...n n ...n n x ...n n D ()x x x ...n n .....................x x x (x) x x ... x +------==--- 6.(北工大，2002－10分)计算行列式0121 110001000100010 n n n a ...a x ...a x ...D ..................a ...x a ... x +-----的值。 7(东北大学，2001－10分)计算下列行列式1 1 1 1 2n n n n n a c a c D (n )d b d b = 8.（东北大学，2002－10分）11 111n a a a D a a +--+= --+ 9．（北航，2001 10分）已知a>>0，证明n 阶行列式10001 1000100000010 1 a ...a ...a ...D (n ).....................a ... a --= ≥--
线性代数行列式经典例题
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
高等代数作业第二章行列式答案
第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5 2．四阶行列式4 4?=ij a D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a 3．设.21 22221 112 11 d a a a a a a a a a nn n n n n =Λ ΛΛΛΛ ΛΛ 则._____1 2 21 22211 121=n n nn n n a a a a a a a a a Λ Λ ΛΛΛΛ Λ (1) 2(1)n n d -- 4．行列式1 1 1 11 1 11 ---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√ 2. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 则1211122221 21 n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d （ ）× 3. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ21 22221 11211 则 d a a a a a a a a a n nn n n n -=11211 2122221ΛΛΛ ΛΛΛ ΛΛ（ ）× 4. abcd z z z d y y c x b a =000000 ( ) √ 5. abcd d c x b y x a z y x -=0 000 00 （ ）× 6. 00 00000=y x h g f e d c b a （ ） √ 7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。（ ）× 9. n n a a a a a a ΛN 212 1 = （ ）× 10. 0 10000 2000 010 Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛn n -=n ！ （ ）× 三、选择题
高等代数行列式计算方法
第2章 n 级行列式的计算方法 2.1 定义法 对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。由定义可知， n 级行列式共有!n 项，每一项的一般形式为 1212()12(1),n n r j j j j j nj a a a - 若每一项n 个元素的乘积中有零因子，则该 项的值为零。若零元素较多，则值为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。 例1 计算n 级行列式 000010002001000 0000 D n n =- 2.2 利用行列式的性质 例2 计算n 级行列式 11 12 121 2221 2n n n n n n x y x y x y x y x y x y D x y x y x y ------= --- . 解 当1n =时，11D x y =-； 当2n =时，1212()()D x x y y =--；
当3n ≥时，把第一行的1-倍分别加到第i 行，2,3,,,i n = 行列式的值不变，得 11 12121 2121 1 11 n n n n x y x y x y x x x x x x D x x x x x x ------= =--- 综上可得 111212(1)()()(2) 0(3)x y n D x x y y n n -=?? =--=??≥? 2.3 三角化法 由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。故可利用行列式的性质，采用“化零”的方法。充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质，化为三角形行列式。 例4 计算n 级行列式 n x b b b b x b b D b b x b b b b x = 解 这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把
线性代数行列式经典例题
线性代数行列式经典例题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =， 1,1, n a n =-，故 0111 02 12 n n n D n n --= --1,1,,2 i i r r i n n --=-= 0111111 1 1 n ----
1,,1 j n c c j n +=-= 1 2 110 2 1 ( 1) 2 (1) 20 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．
方法2 01110 21 2 n n n D n n --= --11,2,,1 11111 1 12 i i r r i n n n +-=----= -- 12,, 1 00 1 2 0123 1 j c c j n n n n +=---= ---= 1 2 (1) 2 (1) n n n ----
例2.设a, b, c是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式即为y2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 10 010 n n n x x a a a x a -- - - + 解：方法1 递推法按第1列展开，有
高等代数 第四章 矩阵练习题参考答案,DOC
第四章矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ， 有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.00 0??? ? ??=s I PAQ
正确.右边为矩阵A的等价标准形，矩阵A等价于其标准形. 7．n阶矩阵A可逆，则*A也可逆. 正确.由A可逆可得||0 A≠，又**|| AA A A A E ==.因此*A也可逆， 11 - 2.设A是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵. (A)T A A(B)T A A -(C)2A(D)T A A - 3．以下结论不正确的是（C）. (A)如果A是上三角矩阵，则2A也是上三角矩阵； 2
(B)如果A是对称矩阵，则2A也是对称矩阵； (C)如果A是反对称矩阵，则2A也是反对称矩阵； (D)如果A是对角阵，则2A也是对角阵. 4．A是m k ?矩阵,B是k t?矩阵,若B的第j列元素全为零，则下 7.A是m n ?矩阵，则（B）. ?矩阵，B是n m (A)当m n AB≠； >时，必有行列式0 (B)当m n AB= >时，必有行列式0
4 (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D) 当n m >时，必有行列式0AB =. AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<， 所以0AB =. 12341320 ? ??? 因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由
(精选)高等代数作业 第二章行列式答案
高等代数第四次作业 第二章 行列式 §1—§4 一、填空题 1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5 2．四阶行列式4 4?=ij a D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a 3．设.21 22221 112 11 d a a a a a a a a a nn n n n n =Λ ΛΛΛΛ ΛΛ 则._____1 2 21 22211 121=n n nn n n a a a a a a a a a Λ Λ ΛΛΛΛ Λ (1) 2(1)n n d -- 4．行列式1 1 1 11 1 11 ---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题 1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （ ）√ 2. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛ ΛΛΛ2122221 11211 则1211122221 21 n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d （ ）× 3. 设d = nn n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ21 22221 11211 则 d a a a a a a a a a n nn n n n -=11211 2122221ΛΛΛ ΛΛΛ ΛΛ（ ）× 4. abcd z z z d y y c x b a =000000 ( ) √ 5. abcd d c x b y x a z y x -=0 000 00 （ ）× 6. 00 00000=y x h g f e d c b a （ ） √ 7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。（ ）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。（ ）× 9. n n a a a a a a ΛN 212 1 = （ ）× 10. 0 10000 2000 010 Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛn n -=n ！ （ ）×
《高等代数与解析几何》第二章 行列式专题练习
第二章 行列式专题练习 一、选择题 1、行列式1 02211 3 21的代数余子式13A 的值是( ) （A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2- 2．行列式01 1102 1 2=-k k 的充分必要条件是 ( ) （A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k or 3 3．方程09 3 142 112 =x x 根的个数是( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( ) （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（ ）项 （A ）2!n （B ）22n （C ）2 n （D ）2) 1(-n n 6．若55443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( ) （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 7．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( ) A 行列式主对角线上的元素全为零 B 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 C 行列式零的元素的个数多于n 个 D 行列式非零元素的个数小于n 个 8．如果033 32 31 232221 131211 ≠==M a a a a a a a a a D ，则33 32 31 232221 13 12111222222222a a a a a a a a a D = = ( ) （A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M
线性代数之行列式的性质及计算讲解学习
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即
111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 11121112212 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=L L L L L L L L L L L 1112112 12 n i i in n n nn a a a a a a a a a +L L L L L L L L L L L 111211212 n i i in n n nn a a a b b b a a a L L L L L L L L L L L . 证: 由行列式定义 1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L L L 12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 111211212 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L 11121112212 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++L L L L L L L L L L L 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．