(完整版)概率论公式总结

第一章

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式

概率的乘法公式

全概率公式：从原因计算结果

Bayes 公式：从结果找原因

第二章

二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)

泊松分布——X~P(λ)

)

()()|(B P AB P B A P =

)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n

k k k B A P B P A P 1)

|()()(∑==

n

k k

k

i i k B A P B P B A P B P A B P 1

)

|()()

|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)

1,0(!

)(==

=-k e k k X P k

，λλ∑≤==≤=x

k k X P x X P x F )

()()(

概率密度函数

怎样计算概

率

均匀分布X~U(a,b)

指数分布X~Exp ()

对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系：

二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法

联合密度函数 联合分布函数

1)(=?

+∞

∞

-dx x f )

(b X a P ≤≤?=≤≤b

a

dx x f b X a P )()(?∞-=≤=x

dt t f x X P x F )()()(?

∞

-=≤=x

dt t f x X P x F )()()()

,(y x f )

,(y x F 0

),(≥y x f 1

),(=??

+∞∞-+∞

∞

-dxdy y x f )(1)(b x a a

b x f ≤≤-=

联合密度与边缘密度

离散型随机变量的独立性

连续型随机变量的独立性

第三章 数学期望

离散型随机变量，数学期望定义

连续型随机变量，数学期望定义

● E(a)=a ，其中a 为常数

● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量

随机变量g(X)的数学期望

常用公式

?+∞∞

-=dy y x f x f X ),()(?+∞

∞

-=dx

y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞

-∞

=?=

k k

k

P x

X E )(?+∞

∞

-?=dx

x f x X E )()(∑=k

k

k p x g X g E )())((∑∑=i

j

ij

i p x X E )(∑∑=i

j

ij

j i p y x XY E )(

方差 定义式

常用计算式 常用公式

当X 、Y 相互独立时： 方差的性质

D(a)=0，其中a 为常数

D(a+bX)= abD(X)，其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数

协方差的性质

独立与相关

独立必定不相关、相关必定不独立、不相关不一定独立 dxdy

y x xf X E ??=),()()

()()(Y E X E Y X E +=+dxdy

y x xyf XY E ??=),()()

()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()?

+∞

∞

-?-=dx x f X E x X D )()()(2

[]

2

2)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)

()(),(Y D X D Y X Cov XY

=

ρ[][]{})

()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(2

2X D X E X E X X Cov =-=)

,(),(Y X abCov bY aX Cov =

第四章 正态分布

标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式

)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤

)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥

)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤

1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P 一般正态分布的概率计算

一般正态分布的概率计算公式

)

,(~2σμN X 2

22)(21

)(σμσ

π--

=

x e x f 2

)(,)(σμ==X D X E )

(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σ

μ

σμ-=

?(

)()(σ

μ

-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σ

μ

-Φ-=>=≥a a X P a X P )

(

)(

)(σ

μ

σ

μ

-Φ--Φ=≤≤a b b X a P