中学课程案例分析

第四节一些案例（课堂教学片段）的评析

上一节，我们看了许多完整的一堂课的课例。这一节，我们将考察一些“教学小品”，摘录课堂教学中的一些片段，叙述一些发人深思的情节，供大家思考。

一．同一例题的不同“命运”

这是在高三两个班级讲解同一道例题时意外发生的故事。例题如下：

“已知函数f(x)=(m-2)x 2-4mx+2m-6的图象与x 轴的负半轴有公共点，求实数m 的取值

范围。”

以下是发生在甲班的教学过程。

教师：大家在解此类问题时，是否通常考虑作出f(x)的草图？（得到肯定回答后）而f(x)的图象位置依赖于m 的取值，那么分类讨论的着眼点该如何确定？

学生甲：讨论图象的“开口”。

学生乙：讨论图象与x 轴的交点。

师：好，下面我们选一种思路试试看如何？（“试学生甲的”，有学生建议）那就讨论“开口”吧。（教师开始板演）

解：（讨论“开口”，解题结构为??

??????><≠=22,22

m m m m ） (1) m=2时， f(x)=-8x-2, 符合题意。

(2) m ＜2时，符合题意的草图如下：

? ?????><+≥?.,0,02

121o x x x x 或 ???<+=.0,0)0(21x x f 或 f (0)＞0. ??????????>--<-≥-≤.0262,024,16m m m m m m 或或?????<-=024,3m m m 或2m-6＞0.

所以1≤m ＜2.

(上述第一步主要由教师给出，后两步则主要由学生完成。)

（3）m ＞2时，符合题意的草图如下：

??????><+≥?.,0,02

121o x x x x 或 ???<+=.0,0)0(21x x f 或 f (0) ＜0. 所以2＜m ＜3.

综合（1）（2）（3）得，所求m 的范围是1≤m ＜3。

教师：本题就解到此。留两个问题课后自己研究①本题可否简化？②试一试同学乙“讨论交点”的思路。

至此，仅用13分钟便完成了这一例题的讲解。教师认为目的已经达到，按预先教案，依次讲完其余四个例题。

以下是乙班的授课记录（教案同甲班）。

与甲班一样，出示例题后教师提问“分类讨论的着眼点该如何确定？”

生A ：讨论“?”。

生B ：讨论f(x)=0的根。

师（突然想换一种授课方法）：请两位同学上黑板尝试一下。

生A 的板演：（解不等式过程略）

（1） Δ=0时，m=1 或m=-6，经检验，m=-6时函数图象与x 轴的负半轴无公共

点，舍去。

（2） Δ＞0时，???<<+.0,02121x x x x 或?????<-=.0)

2(24,0)0(m m f 或.021

综合（1）、（2）得，m 的范围是1≤m ＜2 或2＜m ＜3

生B 的板演：

（1） m =2时，f(x) =0. 即得x=4

1-，符合题意。（2） m ≠2时，f(x) =0的根有三种情形。

???<<.0,021x x 或 ???=<.

0,021x x 或 ???><.0,021x x ?1≤m ＜2 或m φ∈ 或2＜m ＜3. .

综合（1）、（2）得，m 的范围是1≤m ＜3。

师（讲评）：

①A 同学为何会遗漏m=2？（稍许由其自我纠正）

②B 同学的解题过程有两处细节请大家注意。其一???><.0,021

x x ?（m-2）f(0) ＜0

是怎

么回事？（B 同学解释其几何意义）；其二???<<.

0,021x x 与???><+.0,02121x x x x 是否等价？（这一问，引起一点“波动”，但很快也达成了共识。）

至此，该例的教学本应结束，并且课已进行了25 分钟。可不知是受到学生的感染，还是教师希望出现在甲班上演过的讨论“开口”方法，教师不经意地问了一声：“有不同解法吗？”不问则罢，一问果真还有下文：

生C ：我的列式与A 、B 都不同，但结果一样。

生D ：我不知道自己列的式对不对，好象答案没错。（学生一片笑声。）

师（教师既受到鼓舞又担心时间，但还是决定让学生继续展示不同的想法）：请两位同学到黑板上展示一下自己的过程。

此时，教室内一片寂静，大家都在期待看到新的解法。

生C 的板演：

m =2时，符合题意。

m ≠2时，??????>>+≥?.,0,02121o x x x x 或 ???<>?.0,021x x

（教师插话：只要写到这里）

生D 的板演：

m=2时，符合题意；

m ≠2时，021

???≤-≥?.0)2(24,0m m 师（怎么办？只能继续讲评，并且是边思考，边组织语句）：首先，C 同学所列条件有误，但为何不影响最终结果？（与前两位同学所列条件比较后，马上发现不少漏洞，如有一根为零没有考虑，但巧的是，遗漏部分的解集为φ。）其次，D 同学所列的条件也有问题，如021?.0,021x x 还是???<≥?.

0,021x x 呢？凑巧的是021?（或0≥?）又不影响结论。进一步分析“021

???≤-≥?.0)2(24,0m m ”的含义，改用“图形”语言，直观地看一看如何？（a ）（b ）（c ）（d ）（e ）从中可见，（a ）（b ）（c ）（d ）（e ）五种情形中有的被重复考虑了，如(a)和（d ）。但重要的是所有可能的情形没有漏掉。所以，结论一定是正确的！

这时，离下课只剩6分钟了，再讲其余例题时间来不及，干脆继续让学生彻底地展示他们的想法吧。“还有不同方法吗？”话音刚落，“有！”生E 上黑板开始板演：

m =2时，符合题意；

m ≠2时， ???<<02小，m m 或 ???<>.

0,2小m m （抬头问是否要写下去？教师点头示意继续。） ??

???<-?+.0)2(24,2m m m ?????<-?+<≤-≤?(*).0)2(24,216m m m m 或或 ?????<-?->.0)2(24,2m m m

?????<?+?*-≤>?+?*<≤?.32046)(,0421m m m m m ）

时，（或当显然成立）时，（当或 ???

如此“一发不可收”，让教师既意外又激动，高声道：“首先，我们一齐用掌声来欢呼刚刚共度的45 分钟美好时光（掌声热烈）！可惜时间有限，不能继续，下一节课我们仍将讨论本例题的解法，说不定，我也来凑凑热闹！下课！”（掌声又起。）

走出教室，我心潮难平，眼前浮现出学生们一张张灿烂微笑着的脸，我的热情也给调动起来了，仿佛我也是他们中的一员，拿起纸笔演算起来：

f(x)=m(x 2-4x+2)-2x 2-6

令x 2-4x+2=0 ?x=.22±

故f(x)的图象必过定点P （2818,22+--

）及Q （2818,22--+）从而（1）m<2时，只有一种情况：

.31.0,021<≤????<2时，也只有一种情况：

32.0,02

第二天，教师在乙班接着完成了下列任务：①让E 同学继续展示他的“直接求小根法”；②介绍甲班“讨论开口”的方法；③展示教师的“曲线系”方法，并进行最后小结，一共又花去30分钟。

同一个例题在甲班用13分钟讲完，在乙班却花去将近二课时，如此大的反差出乎我的意料，也对以下三个问题颇感困惑。

1．怎样处理好教师与学生的关系？教师为主导，学生为主体，这两者能否达到和谐统一？简单地说，学生若真正成了主体，教师就必须围绕学生转，那么，教师如何转，何时必须介入呢？介入太早，教师就可能成为课堂的中心，又成为学生围绕教师转；介入太迟，教师就可能难以体现主导作用，连课时数都得不到控制，知识目标的实现势必受阻。

2．怎样处理备课与上课的关系？教案是进行课堂教学的“脚本”，但这个“脚本”通常是教师预先按照自己的设想设计的，在实际课堂教学中因为有了学生的参与，这种事先计划很可能会遇到意外，这时，应该把学生拉回到既定的教学计划中来呢，还是舍弃教案与学生共同探索？教案应该怎么写？写详教案好还是写简教案好？或者，还要不要写教案？

3．解题教学的目的是什么？仅仅得出答案显然是不够的，应该通过解题，进一步熟悉、理解所学内容，在内容之间建立起联系，此为学科意义上的价值；通过解题，让学生从成功中发现自我，培养自信、坚强、忍耐的品格，此为人生意义上的价值，也是根本所在。那么如何选取有价值的问题呢？如何教解题才能发挥它们丰富的价值呢？

数学课到底怎么上才好？笔者的想法是：“让更多的孩子脸上挂着灿烂的微笑吧！”

（苏州市苏州中学樊亚东）

二．为什么扣两分？

一所中学进行了高一年级的数学测验，其中的一道题目是这样的：

已知关于x 的函数a ax x y ++=2 2

：（11≤≤-x ），其最小值是a 的函数,求此最小

值函数)(a f 。

教师们一起确定评分标准时，达到了以下的共识：(总分6分)

写出：a a a x y +-+=22)(，得1分；

分三种情况讨论每答对一种得1分,即:

1) :1时-