初中数学二次函数平移变换练习1含答案
二次函数平移变换练习1
一．选择题（共40小题）
1．将二次函数y＝2x2+5的图象先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，则平移后的函数关系式是（）
A．y＝2（x+3）2+6B．y＝2（x+3）2+4
C．y＝2（x﹣3）2+6D．y＝2（x﹣3）2+4
2．将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是（）
A．y＝2（x﹣1）2﹣5B．y＝2（x+1）2﹣5
C．y＝2（x﹣1）2+5D．y＝2（x+1）2+5
3．若将抛物线y＝x2﹣3向上平移5个单位长度，则得到的新抛物线的顶点坐标为（）A．（0，2）B．（0，﹣8）C．（5，﹣3）D．（﹣5，﹣3）4．把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝（x+1）2+1B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝x2+2D．y＝x2
5．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为（）
A．y＝（x+2）2﹣1B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+1）2+5D．y＝（x﹣1）2+5 6．把函数y＝x2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+1B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2
7．将抛物线y＝﹣2（x+1）2向右平移3个单位，所得抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x+4）2B．y＝﹣2（x﹣2）2
C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x+1）2+3
8．将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（）
A．y＝﹣2（x﹣4）2﹣1B．y＝﹣2（x+2）2﹣1
C．y＝﹣2（x﹣4）2﹣5D．y＝﹣2（x+2）2﹣5
9．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3
10．将抛物线y＝x2图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象解析式为（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣1）2+3C．y＝（x+1）2+2D．y＝（x﹣1）2+2 11．将抛物线y＝﹣2x2平移，得到抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，下列平移方式中，正确的是（）
A．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
12．把抛物线y＝2x2的图象先向右平移4个单位，再向下平移3个单位所得的解析式为（）A．y＝2（x﹣3）2+4B．y＝2（x+4）2﹣3
C．y＝2（x﹣4）2﹣3D．y＝2（x﹣4）2+3
13．平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）
A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
14．抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是（）A．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位
D．先向右平移6个单位，再向下平移3个单位
15．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式是（）
A．y＝（x+2）2+2B．y＝（x﹣4）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x﹣1）2+5 16．把抛物线y＝（x﹣2）2+4向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为（）
A．y＝（x﹣4）2+3B．y＝x2+3C．y＝（x﹣4）2+5D．y＝x2+5
17．将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）
A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3
C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+3
18．抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2+2x+1，平移的方法是（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位D．向下平移1个单位
19．将抛物线y＝﹣（x+1）2+3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）
A．y＝﹣（x+3）2+1B．y＝﹣（x﹣1）2+5
C．y＝﹣（x+1）2+5D．y＝﹣（x+3）2+5
20．将抛物线y＝x2通过一次平移可得到抛物线y＝（x﹣3）2．对这一平移过程描述正确的是（）
A．沿x轴向右平移3个单位长度
B．沿x轴向左平移3个单位长度
C．沿y轴向上平移3个单位长度
D．沿y轴向下平移3个单位长度
21．将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到（）A．y＝﹣（x﹣3）2+4B．y＝（x﹣3）2+4
C．y＝﹣（x+3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣4
22．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2﹣2x+5向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的为（）
A．y＝（x﹣5）2+4B．y＝（x+3）2+8C．y＝（x+3）2+1D．y＝（x﹣5）2+1 23．将二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）
A．y＝2（x﹣1）2+4B．y＝2（x﹣1）2
C．y＝2（x﹣3）2+2D．y＝2（x+1）2+2
24．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是（）
A．y＝（x﹣3）2﹣3B．y＝（x﹣3）2+3
C．y＝（x+3）2﹣3D．y＝（x+3）2+3
25．若函数y＝﹣x2的图象经过两次平移得到函数y＝﹣x2+4x﹣5的图象，则下列平移正确
的是（）
A．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
C．先向上平移1个单位，再向右平移2个单位
D．先向下平移1个单位，再向右平移2个单位
26．将抛物线y＝3（x+2）2﹣1向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）
A．y＝3x2+2B．y＝3（x+4）2+2
C．y＝3（x+5）2﹣3D．y＝3x2﹣4
27．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（）
A．y＝﹣2（x+4）2+1B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+4）2+5D．y＝﹣2（x+4）2+5
28．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1B．y＝﹣2（x+1）2﹣5
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5D．y＝﹣2（x+1）2+1
29．在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位后，得到的图象的函数表达式是（）
A．y＝﹣（x+1）2+5B．y＝﹣（x﹣1）2+5
C．y＝﹣（x+1）2﹣5D．y＝﹣（x﹣1）2﹣5
30．将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）
A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣5
31．抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3是由抛物线y＝﹣x2经过怎样的平移得到的（）A．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
32．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+3）（x﹣1）经过变换后得到抛物线y＝（x+1）（x
﹣3），则这个变换可以是（）
A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位
33．将抛物线y＝﹣3（x+1）2+3向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为（）
A．y＝﹣3（x+3）2+4B．y＝﹣3（x﹣1）2+2
C．y＝﹣3（x+3）2+2D．y＝﹣3（x﹣1）2+4
34．将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（）
A．y＝（x+2）2﹣2B．y＝（x﹣4）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣1D．y＝（x﹣1）2+5 35．将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）
A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+2
36．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 37．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
38．抛物线y＝4x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（）A．y＝4x2﹣1B．y＝4x2+1C．y＝4（x+1）2D．y＝4（x﹣1）2 39．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）
A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2D．y＝2x2+4
40．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
二次函数平移变换练习1
参考答案与试题解析
一．选择题（共40小题）
1．解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝2x2+5向左平移3个单位，再向下平移1个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝2（x+3）2+4．
故选：B．
2．解：将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是：y＝2（x+1）2﹣5．
故选：B．
3．解：将抛物线y＝x2﹣3向上平移5个单位长度，则所得到抛物线为：y＝x2+2．则平移后的抛物线的顶点坐标为：（0，2）．
故选：A．
4．解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝（x+1）2+1，
故选：A．
5．解：将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：y＝（x﹣1+2）2+2+3，即y＝（x+1）2+5，故选：C．
6．解：∵原抛物线的顶点为（0，2），
∴向右平移1个单位后，得到的顶点为（1，2），
∴平移后图象的函数解析式为y＝（x﹣1）2+2．
故选：B．
7．解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2向右平移3个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣2（x+1﹣3）2，即y＝﹣2（x﹣2）2．
故选：B．
8．解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，那么所得到抛物线的函数关系式是y＝﹣2（x﹣4）2﹣5．
故选：C．
9．解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），
∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．
故选：C．
10．解：将抛物线y＝x2图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为：y＝（x+1）2+2．
故选：C．
11．解：∵y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为（1，﹣3），∴将抛物线y＝﹣3x2向右平移1个单位，再向下平移3个单位，可得到抛物线y＝﹣2（x ﹣1）2﹣3．
故选：D．
12．解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（4，﹣3），
又因为平移不改变二次项系数，
所以所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣4）2﹣3．
故选：C．
13．解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝﹣（x﹣1）2向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2；
故选：C．
14．解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向右平移6个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣6）2．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣6）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣6）2+3；
故选：C．
15．解：将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向下平移3个单位，得到：y＝（x﹣1）2+2﹣3，
即y＝（x﹣1）2﹣1．
故选：C．
16．解：把抛物线y＝（x﹣2）2+4向左平移2个单位长度，所得直线解析式为：y＝（x﹣2+2）2+4；
再向下平移1个单位为：y＝（x﹣2+2）2+4﹣1，即y＝x2+3，
故选：B．
17．解：将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝2（x+2）2；
再向下平移1个单位为：y＝2（x+2）2﹣3．
故选：C．
18．解：∵y＝x2+1得到顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线y＝x2+2x+1＝（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），
∴平移方法为：向左平移1个单位．
故选：A．
19．解：抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），把点（﹣1，3）向右平移2个单位，向上平移2个单位得到对应点的坐标为（1，5），所以平移后的抛物线解析式为y ＝﹣（x﹣1）2+5，
故选：B．
20．解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝（x﹣3）2的顶点坐标为（3，0），∵点（0，0）向右平移3个单位可得到（3，0），
∴将抛物线y＝x2向右平移3个单位得到抛物线y＝（x+3）2．
故选：A．
21．解：将抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+4．
故选：A．
22．解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，
∴把抛物线y＝x2﹣2x+5，向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1﹣4）2+4﹣3，即y＝（x﹣5）2+1．
故选：D．
23．解：将二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象向左平移2个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x﹣1+2）2+2，即y＝2（x+1）2+2，
故选：D．
24．解：将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后所得抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+3；
故选：B．
25．解：根据题意y＝﹣x2+4x﹣5＝﹣（x﹣2）2﹣1，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数y＝﹣x2先向下平移1个单位，再向右平移2个单位得到．
故选：D．
26．解：将抛物线y＝3（x+2）2﹣1向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为y＝3（x+2﹣2）2﹣1+3，即y＝3x2+2；
故选：A．
27．解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），
∴向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（2，1）．
∴所得抛物线解析式是y＝﹣2（x﹣2）2+1．
故选：B．
28．解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向下平移3个单位后，所得抛物线的解析式是：y＝﹣2（x+1）2﹣2﹣3，即y＝﹣2（x+1）2﹣5．
故选：B．
29．解：∵函数y＝﹣x2的图象先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，5），
∴平移后得到的函数关系式为y＝﹣（x﹣1）2+5．
故选：B．
30．解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y＝（x﹣2+3）2﹣8+3，即y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
31．解：原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（1，﹣3），
∴是抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，向下平移3个单位得到，
故选：C．
32．解：y＝（x+3）（x﹣1）＝（x+1）2﹣4，顶点坐标是（﹣1，﹣4）．
y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标是（1，﹣4）．
所以将抛物线y＝（x+3）（x﹣1）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+1）（x﹣3），故选：B．
33．解：根据“左加右减，上加下减”的法则可知，将抛物线y＝﹣3（x+1）2+3向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣3（x+1﹣2）2+3﹣1，即y ＝﹣3（x﹣1）2+2，
故选：B．
34．解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：D．
35．解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，
故选：A．
36．解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），
∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．
故选：C．
37．解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x﹣）2+m﹣，
∴该抛物线顶点坐标是（，m﹣），
∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m﹣﹣3），∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴＞0，
∵m﹣﹣3＝＝＝﹣﹣1＜0，
∴点（，m﹣﹣3）在第四象限；
故选：D．
38．解：抛物线y＝4x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为y＝4x2+1，故选：B．
39．解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x ﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；
再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．
故选：C．
40．解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；
故选：D．
二次函数平移变换
二次函数配方问题 如何将2y ax bx c =++ （一般式）的形式变化为 2 ()y a x h k =-+（顶点 式） 2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ? ? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=， 对称轴是2b h a =- 顶点（a b a c a b 44, 22 -- ） （h, k ） （1）y=x 2-2x-1 （2） y =x 2-x-6 （3）5322--=x x y （4） y=x 2+2x+1 （5）y=2x 2-6x-1 （6）6422++-=x x y （7）432+--=x x y （8） y =-x 2-x-6 （9）y =-4x 2-3x-7 关于y=ax 2+bx+c 中a b c 的分析以及y=ax 2+bx+c 与c ax y +=图像判断 1.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( ) 2.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2 +bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( ) 1 x A y O 1 x B y O 1 x C y O 1 x D y O x A y O x B y O x C y O x D y O
二次函数平移 一、本节学习指导 平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位 向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位 向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位 向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位 y=a (x-h )2+k y=a (x-h )2 y=ax 2+k y=ax 2 2、平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴ 2 y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2 y ax bx c =++ 变成 2 y ax bx c m =+++（或2 y ax bx c m =++- ） ⑵2 y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2 y a x b x c =++变 成2 () ()y a x m b x m c =++++（或2 ()()y a x m b x m c =-+-+） 3、二次函数2 ()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 的比较 从解析式上看，2()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即2 2 424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=，。
二次函数(旋转-折叠)
二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移） 1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式． （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍，求点N的坐标．
2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=m x2+2mx+n上． （1）求m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．
3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中， （1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为； （2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）； （3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标； （4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．
4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题： （1）求出该抛物线所表示的函数解析式； （2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由； （3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．
超经典二次函数图象的平移和对称变换总结
二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数 的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的 图像； 1.能通过对实际问题中的情境分 析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性 质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和 开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二 次方程的近似解； 1.能用二次函数 解决简单的实际 问题； 2.能解决二次函 数与其他知识结 合的有关问题； （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数 2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 y ax bx c =++关于x轴对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y轴对称 2 y ax bx c =++关于y轴对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-；
二次函数图像的平移、旋转、对称
一、抛物线的变化的实质练习 （一）平移 1、y=－8x2的顶点坐标为；所以沿y轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为，顶点坐标为。 2、y=7(x－2)2的顶点坐标为；所以将抛物线y=7(x－2)2向左平移2个单位所得的抛物线的顶点是，函数关系式是：。 3、y=－3x2的顶点坐标为；所以将抛物线y=－3x2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线的顶点是，解析式是。 （二）旋转 1、y=x2+2x+3的顶点是，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是 2、y=2x2﹣12x+16的顶点是。将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是 （三）轴对称 1、将抛物线C：y=x2+3x﹣10，的顶点是；将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，对称后的顶点为；则下列平移方法中正确的是（） A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位 二、练习： 1、将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 1.1将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 2、把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为 2.1在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是 3、抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）
二次函数的平移规律
活动课二次函数的平移规律 【教学目标】 1、借助几何画板探究如何通过y=ax2平移得到y=ax2+k的图象和y=a(x-h)2的图像； 2、思考如何通过y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k的图像； 3、归纳猜想得出平移规律。 【重点难点】 探究理解平移规律是教学的重点，也是教学的难点。 【教学过程】 一、探究归纳 利用几何画板画出二次函数y=2x2和y=2x2－1及y=2（x－1）2的图象，并观察三个图象的位置关系？ 1、利用几何画板移动y=2x2向上和向下平移1个单位，观察其中y k的变化规律（关注其正负值） 抛物线y=2x2与y=2x2+k图像位置有什么关系？ 可以发现后者可以由前者向上或向下平移｜k｜个单位得到的，当k>0时向上平移，当k<0时，向下平移。 2、利用几何画板移动y=2x2分别向左和向右平移1个单位，观察其中x k的变化规律（关注其正负值） 可以发现，y=2(x-h)2的图像可以由y=2x2与分别向左和向右平移 ｜k｜个单位得到。当h>0时，向右平移，当h<0时，向左平移。
3、归纳猜想：如何通过平移y=2x 2得到y=2（x －1）2+1的图像。 又如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像。 引出平移规律。 二、知识巩固 例1、抛物线y=ax 2+k 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，3)，则其表达式为y=-5x 2+3，它是由抛物线y=-5x 2向上平移3个单位得到的. 教师 ①点拨解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+k 的图象与性质来解，a 值确定抛物线的形状大小及开口方向，k 值确定顶点的位置. ②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长.(有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长) 例2 已知抛物线y=ax 2+k 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2，试求a 、k 的值. 解:根据题意，得3,2 2.a k =-??-=?解得3,4. a k =-??=? 此题可以根据规律直接求出a 、k. 三、课堂小结 1.本节课探究得出了二次函数的平移规律；你知道如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像吗？ 三、作业 不画图象，回答下列问题. ①函数y=－2(x+3)2的图象可以看成是由函数y=－2x 2的图象作怎样
运用平移、对称、旋转求二次函数解析式-教师版
运用平移、对称、旋转求二次函数解析式 一、运用平移求解析式 1．将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式． 【答案】因为()2 22314y x x x =-++=--+，所以平移后的解析式为22y x =-+ 2．将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线221y x x =-+，求b 、c 的值． 【答案】因为()22211y x x x =-+=-，所以平移前的解析式为：()2 33y x =-- 所以可得6b =-，6c = 3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ，，()30B ，，且过点()03C -，，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上，并写出平移后抛物线的解析式． 【答案】可得()()13y a x x =--，代入()03C -， ，可得1a =-， 所以()()()2 2134321y x x x x x =---=-+-=--+，所以顶点为()21，， 向左平移3个单位得到()211y x =-++ 二、运用对称求解析式 4．将抛物线()214y x =--沿直线32 x = 翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式． 【答案】可得顶点()14-，，顶点翻折后得到()24-，，所以新抛物线解析式为()224y x =-- 5．如图，已知抛物线1C ：2216833 y x x = ++与抛物线2C 关于y 轴对称，求抛物线2C 的解析式．
【答案】因为()2221628843333y x x x =++=+-，顶点为843??-- ?? ?，，关于y 轴对称后顶点为 843??- ?? ?，，所以对称后的解析式为：()2228216483333y x x x =--=-+ 三、运用旋转求解析式 6．将抛物线221y x x =-+的图象绕它的顶点A 旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式． 【答案】因为()2 2211y x x x =-+=-，顶点()10A ，，旋转180°即为沿x 轴翻折后对称 所以()21y x =--
二次函数平移规律
二次函数平移专项练习题 平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时 抛物线开口向上，反之向上 c>0时 抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时 对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧 抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、 把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛 物线的表达式为（ ） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图 像，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2y x x =+=-（x+ 21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-41 得：a=21-（-2 3）=2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2 -2x-3，则b 、c 的值为（ ） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2
由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4， 再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： y=(x+2-1)2-4+3=x 2+2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛 物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2． 根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
二次函数平移旋转轴对称变换
二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换） 一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。 ±m 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。 （2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是。 2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。 （1）将抛物线绕其顶点旋转180?（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+。 （2）将抛物线绕原点旋转180?（即两条抛物线关于原点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。 练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180?后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为() A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+ （1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。 二、二次函数的系数与图象的关系。 热身练习：1、抛物线y=ax 2+bx+c 的开口方向与有关。 2、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是.
二次函数平移问题
将抛物线向左平移 m 个单位,由点的平移规律可知,顶点坐标由( h,k) 变为 二次函数的平移问题 我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律 . 一.当解析式为一般式y=ax 2+bx+c (a 丰0)时 1. 向上或向下平移时 , 二次函数解析式的变化规律 . 将抛物线向上平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c+n 将抛物线向下平移 n 个单位长度后 , 得到的新抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+c-n 两式比较：可得抛物线向上平移n 个单位，常数项上加n ,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=ax 2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移 n 个单位，常数项上减去n ,即解析 式由 y=ax 2+bx+c 变为 y=ax 2+bx+c-n 2. 向左或向右平移时 , 解析式的变化规律 . 将抛物线向左平移m 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y= 2 a(x+m) +b(x+m)+c 将抛物线向右平移 m 个单位长度后, 得到的新抛物线的解析式为 y= 2 a(x-m) +b(x-m)+c 两式比较，可得出抛物线向左平移 m 个单位，自变量上减去 m,即解析式由 y=ax 2+bx+c 变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移 m 个单位，自变量 上加上m,即解析式由y=ax 2+bx+c 变为y=a(x-m) 2+b(x-m)+c 3. m 个单位长度后，再将抛物线向上平移 2 y= a(x+m) +b(x+m)+c+n m 个单位长度后，再将抛物线向下平移 2 y= a(x+m) +b(x+m)+c-n m 个单位长度后，再将抛物线向上平移 2 y= a(x-m) +b(x-m)+c+n m 个单位长度后，再将抛物线向下平移 2 y= a(x-m) +b(x-m)+c-n 二.当解析式为顶点式y=a(x-h) 2+k (a ^0)时 1. 向上或向下平移时,解析式的变化规律 . 将抛物线向上平移n 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k+n 将抛物线向下平移n 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h) 2+k-n 将抛物线向上平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由(h , k )变为 (h , k+n )所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a(x-h) 2+k+n 将抛物线向下平移n 个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由(h , k )变为 (h , k-n )所以抛物线的解析式由y=a(x-h) 2+k 变为y=a(x-h) 2+k-n 比较两个解析式可得出向上平移 n 个单位，括号外加n ,同理可推出向下平移n 个单位括号外减去 n. 即抛物线解析式由 y=a(x-h) 2+k 变为 y=a ( x+m-h)2+k-n 2. 向右或向左平移时,解析式的变化规律 将抛物线向左平移m 个单位长度后，得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m) 2+k 将抛将抛物线向左平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向左平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向右平移 的新抛物线的解析式为 将抛物线向右平移 的新抛物线的解析式为 n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到 n 个单位长度后 , 得到
一元二次方程,二次函数,旋转,圆练习进步
九年级上册复习 （一）一元二次方程： 一元二次方程的认识： 1、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：___________,其二次项系数是__, 一次项系数是__ _ 常数项是____. 2、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则m=( ) 3、用直接开平方法：(x+2)2=９ 4、用配方法解方程4x2-8x-5=0 5、用公式法解方程3x2=4x+7 6、用分解因式法解方程（y+2)2=3(y+2） 7、解下列方程 1、(x+5)(x-5)=7 2. x(x-1)=3-3x 3. x2-4x+4=0 4、3x2+x-1=0 5. x2+6x=8 6、m2-10m+24=0 8方程x2-4x+4=0根的情况是（） 9如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有实数根，那么k的取值范围是（） 10若方程x2-(k+1)x+k=0两个实数根互为相反数，则k=___ 11、求证关于x的方程x2-（m-2）x-2m-1=0总有两个不相等的实数根 12、x1、x2 是方程x2-（m-2）x-2m-1=0的两个根。且x12 + x22 =10，求m的值 13、若一元二次方程x2-10x+21=0的两根恰好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长是( ) .
14、已知a2+3a-1=0则2a2+6a-3=_____ 15、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价百分率相同，求两次降价的百分率。 16 求这个百分数。 17、某水果批发商场经销一种高档水果 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？商场最多每天可赚多少钱？ 18、百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出4件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 19、如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米? 20、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打
二次函数的平移
《二次函数的平移》教学设计杜军涛 一、教材分析 1、教材分析 本节课是北师大新版初中数学九年级下册第二章第三节二次函数的平移的一个延伸和拓展，也是陕西中考近几年的一个热点和难点。本节课是在八年级下册第三章学习了图形的平移之后，在九年级下学习了二次函数的图像和性质，a,b,c对图像的影响，二次函数的平移的基础上的进一步专题研究。通过本节课的学习为后面二次函数的旋转变换，对称变换提供了一定的研究思路，也为后面二次函数其他的专题研究打下了基础，同时又为高中的数学学习做好了铺垫，具有承上启下的作用。 2、学情分析 学生的身心特点：九年级的学生他们有着强烈的求知欲，具有一定的观察能力，模仿借鉴能力，思维和思辨的能力。他们喜欢动手操作，独立思考，合作交流，他们乐于在课堂上展 示自己的想法和做法。因此，本节课我将留出充足的时间和思维空间让学生进行自主探索学习，合作交流，展示自己独特的想法。 从认知状况来说：九年级学生学生在此之前已经学习了图形（包括直线，抛物线）的平移，对二次函数的平移已经有了初步的认识，但是部分学生对于二次函数的平移只是记住了平移 规律，对于平移的本质理解不够深刻。对于二次函数平移与几何图形相结合的问题（由于其 抽象程度较高，）仍有一定的困难，因此本节课会将重心放在引导分析以上两个问题。 基于以上对教材和学情的认识，我设计了如下的教学目标 二、教学目标分析 教学目标：理解并掌握在平移过程中图像的变化对a,b,c的影响 通过对二次函数平移的研究，培养学生的动手操作、观察、分析、分类讨论、归 纳概括的能力； 情感、态度和价值观：通过数学活动让学生学会与人相处，养成自主探索，合作交流的良好学习习惯。 教学重点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。教学难点：利用二次函数的平移解决几何图形的的相关问题，培养学生数形结合的思想方法。 三、教学方法分析 按照新课标的理念；本节课我将采用启发式、讨论式的教学方法，以问题串的形式由浅入深，层层递进，尊重学生的个体差异，激发学生的求知欲，始终在学生知识的“最近发展区” 设置问题，给学生留出足够的思考时间和思维空间，让学生进行自主探索和合作交流，从真正意义上完成对知识的自我建构。 四、学习方法分析： 通过开展自主探索，合作交流，展示等活动，培养学生分析问题，解决问题的能力 五、教学过程： 新课标指出，教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程， 是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：
二次函数图象的平移和对称 变换专题(无答案)
二次函数图象的平移和对称变换执笔：欧国斌 审核: 初三数学组 课型：新授 授课时间： 【学习重难点】1、抛物线的平移、对称等变换。 【学习过程】 1、 抛物线的平移 1、抛物线y=3x2经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6 ? 2、抛物线y=-x2经过如何平移就可以得到抛物线y=-（x+4）2 ? 3、抛物线y=-x2经过如何平移就可以得到抛物线y=-（x+4）2+6? 4、抛物线y=3x2经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6x-2 ? 5、抛物线y=3x2+1经过如何平移就可以得到抛物线y=3x2+6x-2 ? 6、归纳你的做法： 针对练习： 1、（2011山东滨州）抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正 确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 2、（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（） A． B． C． D． 3、（ 2011重庆江津）将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是___ ____.
4、在同一平面直角坐标系内，将函数 的图象沿 轴方向向右平移2个单位长度后再沿 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是( ) A.（ ，1） B.（1， ）C.（2， ）D.（1， ） 5、抛物线经过（）可以得到抛物线。 A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 2、 抛物线的对称 1、已知抛物线C1的解析式是， 求：（1）抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式； （2）抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，求抛物线C2的解析式； （2）抛物线C3与抛物线C1关于原点对称，求抛物线C3的解析式。针对练习： 1、抛物线关于x轴对称的图象的解析式是__________，关于y轴对称的图
2017年二次函数中的面积问题
二次函数——面积问题 〖知识要点〗 一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二．常见图形及公式 抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱ =a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442 -） 抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 21= ?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. B C 铅垂高 水平宽 h a 图1 C B A O y x D B A O y x P
〖基础习题〗 1、若抛物线y=-x 2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为 . 2、若抛物线y=x 2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________. 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ． 〖典型例题〗 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式； （2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标 （3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??= 2 1，求P 点坐标。
二次函数图像的变换
二次函数图像的变换 第一环节 【知识储备】 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 ()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出 二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图 所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，
二次函数中的旋转平移对称变换
二次函数中的旋转、平移、对称变换 2 1、如图，已知抛物线 y=x+bx+c 经过A （1，0），B （0，2）两点，顶点为D 。 （1）求抛物线的解析式； （2）将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式； （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为B ，顶点为D ，若点N 在平移后的抛物线11 上，且满足△NBB 的面积是△NDD 面积的2倍，求点N 的坐标。 11 2 ），，2），B （0，解：（1）已知抛物线y=x+bx+c 经过A （10 2 -3x+2；∴y=x ，解得，∴所求抛物线的解析式为（2）∵A （1，0） ，B （0，2），∴OA=1，OB=2， 2 ，-3x+2得y=2x=33，1），当时，由y=x 可得旋转后C 点的坐标为 （ 2 2），y=x-3x+2过点（3，可知抛物线 ，y 轴向下平移1个单位后过点C ∴将原抛物线沿2 y=x-3x+1； ∴平移后的抛物线解析式为：22 点坐标为（+1），x ，x-3x-3x+1）∵点（3N 在y=x 上，可设N 000 2 -3x+1将y=x ，∴其对称轴为配方得，
时，如图①， ）；的坐标为（N1，-1此时∴点 ②当时，如图②， 同理可 得． ），N的坐标为（3， 1此时∴点）或（3，1）。综上，点 N的坐标为（1，-1 m（，1）如图所示放置，点2、在平面直角坐标系中，矩形OABCA在x轴上，点B的坐标为（m ，得到矩形OA′B′C′．，将此矩形绕＞0）O点逆时针旋转90°、C′的坐标；（1）写出点A、A′可用含cb（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、、的式子表示）m）中的抛物线上？D（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点是否可能落在（2 若能，求出此时m的 值．
函数图象平移问题的解法
二次函数图像平移的一般解法 二次函数图象平移常见的方法是，将抛物线解析式通过配方写成顶点形式的表达式，根据在平移过程中顶点位置的变化，写出新抛物线的顶点坐标，从而确定出它的解析表达式．解题的困难在于需要较强的直观想象能力和快速画框架图能力和逆向逆向思维能力。而利用相对运动的知识，则可以得到一个解此类问题的十分简单明了的方法。. 1．平移规律 设在直角坐标系xoy中有一抛物线y＝f（x）,现将此抛物线向右平移（x轴的正方向）m（m＞0）个单位，再向上平移（y轴的正方向）n（n＞0）个单位。按照相对运动的观点，可以视抛抛物线未动,而将坐标系向相反方向平移，即y 轴向左平移m个单位，x轴向下平移n个单位，这样得到的新坐标系我们记为x′o′y′，（如图）为了叙述的方便我们将坐标系xoy下的点记为（x , y）, 新坐标系x′o′y′下的点记为（x′,y′），于是有 将这一关系式变形,可得 用新坐标（x′,y′）表示旧坐标（x , y）的表达式： 将此式代入抛物线的解析式y＝f（x）,得 y′－n＝f（x′－m） 这个式子就是抛物线在新坐系下x′o′y′中的的解析式。 考虑到题目中是要求将抛物线平移的，因而仍需将点（x′,y′）换成（x , y），于是我们就得到了平移之后的抛物线的解析式为y－n＝f（x－m）这样就可以得到一个规律：要获得把抛物线y＝f（x）向右平移m个单位，再向上平移n个单位所得的新抛物线解析式，只需将原抛物线的解析式y＝f（x）中的x, y分别用x－m, y－n替换即可． 类似地,可得： 把抛物线y＝f（x）向右平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新抛物线解析式为y＋n＝f（x－m） 把抛物线y＝f（x）向左平移m个单位，再向上平移n个单位所得的新抛物线解析式为y－n＝f（x＋m） 把抛物线y＝f（x）向左平移m个单位，再向下平移n个单位所得的新抛物线解析式为y＋n＝f（x＋m） 这些规律又可总结为左右平移“x右减左加”，上下平移“y上减下加” 说明：利用这一规律写平移后的函数图象的解析式只需要考查是用x＋m 还是x－m 替换y＝f（x）中x，是用y＋n还是y－n替换y＝f（x）中y,使用起来很方便，此法也适用于直线等函数图象的平移。 ２．解题举例
二次函数图象的平移和对称变换
y = ax 2 + bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - b x + c - ； 二次函数图象的几何变换 中考要求 内容 基本要求 略高要求 1.能通过对实际问题中的情境分 析确定二次函数的表达式； 较高要求 1. 能 用 二 次 函 数 1.能根据实际情境了解二次函数 二次函数 的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的 图像； 2.能从函数图像上认识函数的性 质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和 开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二 次方程的近似解； 解决简单的实际 问题； 2. 能 解 决 二 次 函 数与其他知识结 合的有关问题； 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成 y = a( x - h)2 + k 的形式，确定其顶点 (h , k ) ，然后做出二次函数 y = ax 2 的图像，将抛物线 y = ax 2 平移，使其顶点平移到 (h , k ) .具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称 y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ； y = a (x - h )2 + k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 - k ； 2. 关于 y 轴对称 y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ； y = a (x - h )2 + k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a (x + h )2 + k ； 3. 关于原点对称 y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ； y = a (x - h )2 + k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h )2 - k ； 4. 关于顶点对称 b 2 2a y = a (x - h )2 + k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a (x - h )2 + k ． 5. 关于点 (m ，n ) 对称 y = a (x - h )2 + k 关于点 (m ，n ) 对称后，得到的解析式是 y = -a (x + h - 2m )2 + 2n - k 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛
二次函数中的旋转、平移、对称变换
二次函数中的旋转、平移、对称变换 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D。 （1）求抛物线的解析式； （2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式； （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标。 解：（1）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）， ∴，解得，∴所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2； （2）∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2， 可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2， 可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）， ∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C， ∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1； （3）∵点N在y=x2-3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02-3x0+1）， 将y=x2-3x+1配方得，∴其对称轴为， 时，如图①， 此时∴点N的坐标为（1，-1）； ②当时，如图②， 同理可得
此时∴点N的坐标为（3，1）， 综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）。 2、在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m ＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′． （1）写出点A、A′、C′的坐标； （2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示） （3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值． 解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0）， ∴A（m，0），C（0，1）， ∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成， ∴A′（0，m），C′（-1，0）； （2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c， ∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0）， ∴，解得， ∴此抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m； （3）存在． ∵点B与点D关于原点对称，B（m，1）， ∴点D的坐标为：（-m，-1）， ∵抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m； 假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上， 则y=-（-m）2+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0， ∵△=22-4×（-2）×1=12＞0， ∴此点在抛物线上，解得m=或m=（舍去）． 3、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB