圆形有界磁场中“磁聚焦”规律[有答案及解析]

圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习

当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；

规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹

半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，

如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所

有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点

的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

【典型题目练习】

1. 如图所示，在

半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁

场，MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大

量的带正电，电荷量为q,质量为m速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作

用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是( )

A. 只要对着圆心入射，出射

后均可垂直打在MN上

B. 对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心

C. 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长

D. 只要速度满足v qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上

m

2. 如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m, O e分别是ad 、be的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心

0(为半径的四分之一圆

弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁

感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3< 10 -7 kg、电荷量

q=+2x 10 -3C的带正电粒子以速度v=5x 102m/s沿垂直ad方向且垂直

于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是( )

A.从Oc边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边

B. 从aO边射入的粒

子，出射点全部分布在ab边

C. 从0c边射入的粒子，出射点分布在ab边

D. 从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点

3. 如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为0(a, 0),圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E, —质量为m电荷量为+q (q>0)的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：

(1)磁感应强度B的大小；

(2)粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；

(3)若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角0 =300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的

(2)求在A 、C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿

x 轴正方向运动?

(3)为便于收集沿 x 轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线

x =2l o 上的某点为圆心的圆

形磁场区域内，设计分布垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场， 使得沿x 轴正方向射出电场的粒 子经磁场偏转后，都能通过x =2l 0与圆形磁场边界的一个交点。则磁场区域最小半径是多大？ 相应的磁感应强度 B 是多大？

5. 如图所示，在xoy 坐标系中分布着三个有界场区：

第一象限中有一半径为 r =0.1m 的圆形

磁场区域，磁感应强度 B =1T ,方向垂直纸面向里，该区域同时与 x 轴、y 轴相切，切点分

别为A C 第四象限中，由 y 轴、抛物线FG( y

10x 2 x 0.025，单位：m )和直线DH

(y x 0.425，单位：m 构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度 E =2.5N /C 的匀强电

场；以及直线 DH 右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场

E 2=0.5T 。现有大量质量 m=1 x 10-6 kg

(重力不计)，电量大小为q =2x 10-4 C,速率均为20m/s 的带负电的粒子从 A 处垂直磁场进 入第一象限，速度方向与 y 轴夹角在0至1800之间。 (1 )求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；

(2)试证明这些粒子经过 x 轴时速度方向均与 x 轴垂直；

总时间t 。

4.如图所示的直角坐标系中，从直线

x =- 21。到y 轴区域存在两个大小相等、方向相反的

有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿

y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿 y 轴正方向。

在电场左边界从 A(- 2l 0，- I 。)点到C (- 21 0, 0)点区域内，连续分布着电量为 +q 、质量为 m 的粒子。从某时刻起， A 点到C 点间的粒子依次 连续以相同速度 V 。沿x 轴正方向射入电场。从A 点射入的粒子恰好从 y 轴上的A (0,-1。)点 沿沿x 轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不 计粒子的重力及它们间的相互作用。

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C ；

(1)求从AC 间入射的粒子穿越电场区域的时间 t 和匀强电场的电场强度 E 的大小。

(3 )通过计算说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标。

6. 如图所示，真空中一平面直角坐标系 xOy 内，存在着两个边长为 L 的正方形匀强电场区 域I 、n 和两个直径为 L 的圆形磁场区域川、W 。电场的场强大小均为 E,区域I 的场强方 向沿x 轴正方向，其下边界在x 轴上，右边界刚好与区域n 的边界相切； 区域n 的场强方向 沿y 轴正方向，其上边界在

x 轴上，左边界刚好与刚好与区域w 的边界相切。 磁场的磁感应 强度大小均为2 2mE ，区域川的圆心

坐标为(0,—)、磁场方向垂直于xOy 平面向外；区

V qL 2

域W 的圆心坐标为(0, L )、磁场方向垂直于 xOy 平面向里。两个质量均为 m 电荷量均 为q 的带正电粒子 M N 在外力约束下静止在坐标为(

3

L , - ) ( -L ,-一卫L ) 2 2 2 4

的两点。在x 轴的正半轴(坐标原点除外) 放置一块足够长的感光板，

板面垂直于xOy 平面。

将粒子M N 由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。不计粒子的重力。求： (1) 粒子离开电场I 时的速度大小。 (2) 粒子M 击中感光板的位置坐标。 (3) 粒子N 在磁场中运动的时间。

7?如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心 O 在x 轴上，OO 距离等于半圆磁场的半径， 磁感应

强度大小为B 。虚线MN￥行x 轴且与半圆相切于 P 点。在MN±方是正交的匀强电场和匀强 磁场，电场场强大小为 E ,方向沿x 轴负向，磁场磁感应强度大小为

R 。B i , B 2方向均垂直

纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点 O 射入第I

象限，其中沿x 轴正方向进入磁场的粒子经过

P 点射入MN 后，恰好在正交的电磁场中做直

线运动，粒子质量为 m ,电荷量为q (粒子重力不计)。求： (1) 粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。

(2) 若撤去磁场 B,则经过P 点射入电场的粒子从 y 轴出电场时的坐标。

-------- x/m x ME X X x x x x M X

(3) 试证明：题中所有从原点 O 进入第I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。

&如图甲所示，真空中有一个半径r =0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强 度大小

B =2.0 x 10- 3T ,方向垂直于纸面向里， 在x =r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽 度L =0.5m 的匀

强电场区域,电场强度E=1.5x 103N/C,在x =2m 处有一垂直x 方向的足够长的 荧光屏，从 0点处向不同方向发射出速率相同的比荷 q

1.0 109C/kg 带负电的粒子，粒 m

子的运动轨迹在纸面内。一个速度方向沿

y 轴正方向射入磁场的粒子 M 恰能从磁场与电场

的相切处进入电场。不计重力及阻力的作用。求： (1) 粒子M 进入电场时的速度。

(2) 速度方向与y 轴正方向成30°(如图中所示)射入磁 场的粒子N,最后打到荧光屏上，画出粒子N 的运动轨迹并 求该发光点的位置坐标。

9.如图甲所示,质量 叶8.0 x 10 - 25kg ，电荷量q =1.6 x 10- 15C 的带正电粒子从坐标原点 O 处

沿xOy 平面射入第一象限内，且在与

x 方向夹角大于等于 30°的范围内，粒子射入时的速

度方向不同，但大小均为 V o =2.O x 10 7m/s 。现在某一区域内加一垂直于 xOy 平面向里的匀强

磁场，磁感应强度大小 B =0.1T ,若这些粒子穿过磁场后都能射到与 并且当把荧光屏Mh 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。 (1)粒子从y 轴穿过的范围。 (2 )荧光屏上光斑的长度。

(3) 打到荧光屏MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差。 (4)

画出所加磁场的最小范围(用斜线表示) 。

y 轴平行的荧光屏MN 上,

(n =3.14) 求:

参考答案

1.当v 丄B 时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为

匀速圆周运动；只要速度满足v qBR 时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径

m

相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在

MNk ,选项D 正确。

2

.由R 器0.3m 知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从

(3) 粒子从磁场中的 P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等， 故粒子从P 点的出射方向与 OO 平行，即与y 轴平行；轨迹如图所示;

粒子由P 点第2次进入磁场，从 Q 点射出，p OQO 构成菱形；由几何知识可知 Q 点在x 轴上，即为(2a , 0)点；粒子由 P 到Q 所对应的圆心角 e 2=120°，粒子从P 到Q 用时：

乂的

qB

Oa 入射

的粒子，出射点一定在 b 点；从Od 入射的粒子, 经过四分之一圆周后到达 be , 由于边界无

磁场，将沿be 做匀速直线运动到达 b 点；选项 D 正确。

3?解析：(1)当粒子速度沿

x 轴方向入射，从 A 点射出磁场时, 几何关系知: r =a ；

2

由 qvB m —知：B

mv mv qr qa

(2 )从A 点进入电场后作类平抛运动; 沿水平方向做匀加速直线运动: 2Eq a m

y

A

I 1

1 1 1 I 1 1 1 1 1

/

;\ ￡

沿竖直方向做匀速直线运动:

V y =V o ；

???粒子离开第一象限时速度与 y 轴的夹角：tan

vx V y

OOPO 构成菱形,

?粒子从o 到P 所对应的圆心角为

e i =6o 0,粒子从

O 到P 用时：t 1

a

。

3v

由几何知识可知，粒子由 P 点到x 轴的距离S

asin

粒子在电场中做匀变速运动的时间： t 2

2mv Eq

粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间:

t

3

2(a v

S) (2

3)a ；

；

v

2Eqa

2

mV