选择、填空题的解题方法与技巧

选择题

选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是：

(1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一．

(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力．

目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．

数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段．

以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力．目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．

数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解

题的有效手段． 视角一 直接法

例1 设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)等于( )

A ．13

B ．2

C.13

2

D.213

探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f (x )是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键． 变式训练1 函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1

f (x )，若f (1)＝－5，

则f (f (5))的值为 ( )

A ．5

B ．－5

C.1

5

D ．－15

例2 设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双

曲线的离心率为 ( )

A.5

4

B ．5

C.52

D. 5

探究提高 关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组．本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率．

变式训练2 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，以C 的右焦点为圆心且与C 的

渐近线相切的圆的半径是 ( )

A ．a

B ．b

C.ab

D.a 2＋b 2

视角二 概念辨析法

概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，

直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．

例3 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，给出下列条件，①a ＝k b (k ∈R)；

②x 1x 2＋y 1y 2＝0；③(a ＋3b )∥(2a －b )；④a ·b ＝|a ||b |；⑤x 21y 22＋x 22y 2

1≤2x 1x 2y 1y 2.

其中能够使得a∥b 的个数是 ( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解共线向量．

变式训练3 关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c .

②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3.

③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 则假命题为 ( ) A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．①②③

视角三 数形结合法

“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．

例4 用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

变式训练4 (2010·湖北）设集合A ＝?

???

??

(x ，y )???

x 24＋y

2

16＝1

，B ＝{}(x ，y )|y ＝3x ，则A ∩B 的子集的个数是 (

)

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

例5 函数f (x )＝1－|2x －1|，则方程f (x )·2x ＝1的实根的个数是

( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

探究提高 一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围问题，要多考虑利用数形结合法．方程f (x )＝0的根就是函数y ＝f (x )图象与x 轴的交点横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象的交点横坐标．利用数形结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我们熟知的或容易画出的，如果一开始给出的方程中涉及的函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的变形，使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解． 变式训练5 函数y ＝|log 12

x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]

的长度b －a 的最小值是 ( )

A ．2

B.3

2

C ．3

D.34

视角四 特例检验法

特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替

题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． 特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．

例6 已知A 、B 、C 、D 是抛物线y 2

＝8x 上的点，F 是抛物线的焦点，且FA →＋FB →

＋FC →＋FD →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →

|的值为 (

)

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

变式训练6 已知P 、Q 是椭圆3x 2＋5y 2＝1上满足∠POQ ＝90°的两个动点，则1

OP 2

＋1OQ 2

等于

( )

A．34 B．8 C.

8

15

D.

34

225

例7数列{a n}成等比数列的充要条件是 ( ) A．a n＋1＝a n q(q为常数)

B．a2n＋1＝a n·a n＋2≠0

C．a n＝a1q n－1(q为常数)

D．a n＋1＝a n·a n＋2

变式训练7 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a

2n

a

n

＝

4n－1

2n－1

，则

S

2n

S

n

的值为

( )

A．2 B．3 C．4 D．8

视角五筛选法

数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．

例8方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )

A．0

C．a≤1 D．0

变式训练8 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )

A．(0,1) B．(0,1]

C．(－∞，1) D．(－∞，1]

视角六估算法

由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．

例9 若A 为不等式组???

x ≤0

y ≥0

y －x ≤2

表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到

1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( )

A.3

4

B ．1

C.7

4

D ．2

变式训练9 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )

A.

16

9

π

B.83π

C.4π

D.649

π 规律方法总结

1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．

2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．

3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.

小练

1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩(?N B )等于 ( ) A ．{1,5,7} B ．{3,5,7}

C ．{1,3,9}

D ．{1,2,3}

2．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R)，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( ) A ．k ＝1且c 与d 同向

B ．k ＝1且c 与d 反向

C ．k ＝－1且c 与d 同向

D ．k ＝－1且c 与d 反向

3．已知函数y ＝tan ωx 在? ????

－π2，π2内是减函数，则( )

A ．0<ω≤1

B ．－1≤ω<0

C ．ω≥1

D ．ω≤－1

4．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与

g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(0,2) B ．(0,8)

C ．(2,8)

D ．(－∞，0)

5．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →

＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →

的夹角的取值范围是

( ) A ．[0，π

4]

B ．[

5π12，π

2] C ．[

π4，5π12

]

D ．[

π12，5π12

] 6．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝??

?

f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝1

2

时，函数f K (x )的单调递增

区间为 ( ) A ．(－∞，0)

B ．(0，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(1，＋∞)

7．设x ，y ∈R，用2y 是1＋x 和1－x 的等比中 项，则动点(x ，y )的轨迹为除去

x 轴上点的 ( ) A ．一条直线

B ．一个圆

C ．双曲线的一支

D ．一个椭圆

8．设A 、B 是非空数集，定义A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∈A ∩B }，已知集合A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，则A *B 等于 ( )

A ．[0,1]∪(2，＋∞)

B ．[0,1)∪(2，＋∞)

C ．(－∞，1]

D ．[0,2]

9．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a

2－y 2

＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为

双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →

的取值范围为 ( )

A ．[3－23，＋∞)

B ．[3＋23，＋∞)

C ．[－7

4

，＋∞)

D ．[7

4

，＋∞)

10．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，则有 ( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 102<0

C ．a 3＋a 99＝0

D ．a 51＝51

11．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－ 1

2a 8的值为 ( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．10

12．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b |b |；③a

b

>2中，

正确的不等式是 ( )

A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．③④

13.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为 ( )

14．若函数f (x )＝??????

x 2

x 2

＋1－a ＋4a 的最小值等于3，则实数a 的值等于 ( )

A. 34

B ．1

C. 3

4

或1 D ．不存在这样的a

15．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ

2等于 ( )

A.

m －3

9－m

B ．|

m －3

9－m

|

C. 1

3

D ．5

16．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如下图，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )图象可能是( )

填空题

填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，属于客观性试题．它只要求写出结果而不需要写出解答过程．在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等．不同省份的试卷所占分值的比重有所不同．

1．填空题的类型

填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写．

2．填空题的特征

填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 (既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．

从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必

须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．

3．解填空题的基本原则

解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等．

视角一直接法

直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．

例1 在等差数列{a n}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，则数列{a n}的前n项和S n的最小值为________．

变式训练1 设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝________.视角二特殊值法

特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行．当暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效．

例2已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(sin A－sin C)(a＋c)

＝sin A－sin B，则C＝_______.

b

探究提高特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立，我们就可以利用填空题不需要过程只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求值．在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题时，可根据题意，选择其中的特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题．此题还可用直接法求解如下：由

(sin A－sin C)(a＋c)

＝sin A－sin B可得

b

(a－c)(a＋c)

＝a－b，

b

整理得，a2－c2＝ab－b2，即a2＋b2－c2＝ab.

由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1

2

，所以C ＝60°.

变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C

1＋cos A cos C

＝________.

例3 如图所示，在△ABC 中,AO 是BC 边上的中线，K 为AO 上一点，且OA →

＝2AK →

,过点K 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →

＝mAM →，AC →＝nAN →

，则

m ＋n ＝________.

变式训练3 设O 是△ABC 内部一点，且OA →

＋OC →

＝－2OB →

，则△AOB 与△AOC 的面积之比为______．

视角三 图象分析法(数形结合法)

依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，

称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显．由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案．事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅显易懂，又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容．

例4 已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为1

4的等差数

列，则|m －n |的值等于________．

探究提高 本题是数列问题，但由于和方程的根有关系，故可借助数形结合的方

法进行求解，因此在解题时，我们要认真分析题目特点，充分挖掘其中的有用信息，寻求最简捷的解法．

变式训练4 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x ),且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，

x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.

例5 函数y ＝f (x )的图象如图所示，其定义域为[－4,4]，那么不等式f (x )

sin x

≤0的解集为__________________________________．

变式训练 5 不等式（|x |-2π

）·sin x <0，x ∈[-π,2π］的解集为

视角四 等价转化法

将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语言或容易求解的模

式．通过转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果．

例6 设函数f (x )＝??

?

x 2

－4x ＋6， x ≥0

3x ＋4， x <0

，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足

f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．

探究提高 等价转化法的关键是要明确转化的方向或者说转化的目标．本题转化的关键就是将研究x 1＋x 2＋x 3的取值范围问题转化成了直线y ＝m 与曲线y ＝f (x )有三个交点的问题，将数的问题转化成了形的问题，从而利用图形的性质解决． 变式训练6 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞,－1)∪(－1

2

，＋∞)，则a 的值为________．

视角五构造法

构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．

例7 函数f(x)＝2sin(x＋

π

4

)＋2x2＋x

2x2＋cos x

的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝

________.

探究提高整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用．注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解．

变式训练7 已知函数f(x)＝sin x cos x＋sin x

cos x

＋3，若f(lg a)＝4，则f(lg

1

a

)

的值等于________．

例8已知a、b是正实数，且满足ab＝a＋b＋3，则a＋b的取值范围是__________．变式训练8 若抛物线y＝－x2＋ax－2总在直线y＝3x－1的下方，则实数a的取值范围是________．

规律方法总结

1．解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法．解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果．

2．解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：

(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；

(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；

(3)要重视对所求结果的检验.

小练

1．设全集U ＝R ，A ＝{x |

x －1

x ＋m

>0}，?U A ＝ [－1，－n ]，则m 2＋n 2＝________. 2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.

3．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 4．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则cos 〈a ，b 〉＝________. 5．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项的和分别为S n 与T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a n

b n

＝

________.

6．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝____.

7．若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m

n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，((a n )*)*＝________.

8．直线y ＝kx ＋3k －2与直线y ＝－1

4x ＋1的交点在第一象限，则k 的取值范围

是________．

9.已知四面体ABCD 的一条棱长为x ，其余棱长都为1，则x 的取值范围是________．

10．观察下列等式：13

＋23

＝32,13

＋23

＋33

＝62

,13

＋23

＋33

＋43

＝102

，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．

11．圆x 2＋y 2＝1的任意一条切线l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，则x 1x 2＋y 1y 2＝________.

12．已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1.其前n 项和S n 满足2S n ＝2pa 2n ＋a n －

p (p ∈R)，则{a n }的通项公式为________． 13．已知f (x )＝x ＋log 2

x 9－x

，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)的值为________．

14．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是_________．

15．已知最小正周期为2的函数y＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程

f(x)＝|log

5x|的解的个数为________．