空间解析几何教学大纲-江苏大学842T课程网

空间解析几何

（Space Analytic Geometry）

课程编号：（由教务处统一编写）

学分：3

学时：45 （其中：讲课学时：45 实验学时：上机学时：）

先修课程：无

适用专业：数学各专业1年级

教材：(教材名称；主编；出版社、版次)蔡国梁等主编，解析几何教程，江苏大学出版社，2012

开课学院：理学院

一、课程的性质与任务：

《解析几何》是高等学校本、专科数学与应用数学、信息与计算专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石，也是江苏大学重点建设的“842”核心课程之一。

自江苏大学成立以来，《空间解析几何》课程一直是我系数学与应用数学专业（师范和非师范）及信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课程，课时数为45课时，在第1学期开设。解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。学好空间解析几何是学生学好其他后继数学课程的基础，数学知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，空间解析几何课程正是其中最重要的一个环节。

数学分析、高等代数和解析几何是大学数学类专业的三大主要基础课程。解析几何是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论，从定性的研究推进到可以计算的定量的层面，“数形结合”是解析几何的精髓。解析几何是现代数学区别于经典数学的里程碑。

《空间解析几何》是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石。空间解析几何是用坐标法和向量法作为主要的研究工具，用代数方法来研究几何图形的几何学,它把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。空间解析几何，作为高等师范学校数学系开设的一门专业课，它是培养初中数学教师知识体系的一部分，是构成合格的初中数学教师的智能结构中的一个元素.它是由中学的平面几何、立体几何发展起来的几何学的一个分支。学好空间解析几何，不仅对提高学生的素质，及数学思维能力至关重要，而且对毕业后处理和驾驭中学数学教材，从事中学的平面几何、立体几何的教学也大有益处. 它能够培养学生的空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和逻辑思维能力，以及解决问题的能力，并为后继课程的学习和进一步深造

打下良好的基础。

空间解析几何的基本任务是：

1．掌握向量代数这一研究空间几何问题的有力工具。向量代数在其他一些学科，如力学、物理学和工程技术中也是解决问题的有效工具。

2．掌握空间坐标法。建立空间直角坐标系，在此基础上，建立曲面和空间曲线的方程，从而用代数的方法对曲面和空间曲线进行研究。

3．掌握一些常见的曲面和空间曲线及其方程，为学习多元微积分、高等代数及其他后继课程提供几何背景，打下坚实的基础。

4．培养空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。

二、课程的基本内容及要求：

第1章空间直角坐标与向量代数

教学内容：

1.1 空间直角坐标（平面直角坐标系回顾，空间直角坐标系，空间点的坐标，坐标面和坐标轴上点的坐标）

1.2 向量的概念及线性运算（向量的概念，向量的线性运算，向量的坐标）

1.3 向量的乘法运算（向量的内积，外积，混合积，*二重外积）

*1.3 向量的应用示例

数学史话1：数学中的转折点——笛卡尔和解析几何的创立

基本要求：

（1）掌握空间直角坐标系的构成，以及点的坐标的定义，

（2）掌握空间解析几何的基本公式——距离公式；

（3）正确理解向量的概念，了解一些常用的特殊向量；

（4）掌握向量的线性运算的法则及其运算性质；

（5）理解向量坐标的定义，掌握向量的坐标运算，掌握定比分点公式等；

（6）理解向量的乘法运算（内积，外积和混合积）的概念，熟悉它们的几何性质并掌握其运算规律；

（7）会判断及证明向量的垂直、共线和共面，掌握和应用模长公式，夹角公式、面积公式和体积公式；

（8）能熟练地进行向量的各种运算，并能利用向量来解决一些几何问题。

第2章空间平面与直线

教学内容：

2.1 空间平面（平面的点法式、一般式、截距式、法线式；平面的点位式，三点

式、参数式；平面方程的互化）

2.2 空间直线（直线的点向式、对称式、两点式、参数式；直线的一般式，射影式；直线方程的互化）

2.3 空间点、平面、直线的关系（点与平面的关系，点与直线的关系，平面间的关系，直线间的关系，平面与直线的关系）

*2.4 空间平面与直线的应用示例

数学史话2：欧几里得和《几何原本》

基本要求：

（1）掌握平面的各种形式的方程，明确方程中常数（参数）的几何意义，并能根据所给条件建立平面的方程；

（2）理解在空间直角坐标系下平面的方程是一个关于x, y, z的一次方程，反过来任何一个关于变数x, y, z的一次方程都表示平面。掌握一般方程中系数的几何意义及特殊情况，熟悉平面方程的互化；

（3）会判别点与平面的相关位置，掌握点到平面的距离公式，了解平面对空间点的划分；

（4）会判别两平面的相关位置，掌握两平面的交角公式和平行、垂直的判断；

（5）掌握空间直线各种形式的方程及其求法，理解空间直线作为两平面的交线，其方程是两个关于x, y, z的三元一次方程组，熟悉各种直线方程的互化；

（6）会判别直线与平面的相关位置，掌握平面与直线的交角及平行，垂直的判别；

（7）掌握空间两直线的相关位置的判别，会求两直线的交角，两异面直线的距离和公垂线方程；

（8）会判别点与直线的相关位置，会求点到直线的距离；

（9）了解平行面束和有轴面束的方程，会利用面束求平面方程。

第3章空间曲面和曲线

教学内容：

3.1 空间曲面和曲线（图形和方程，曲面的方程，球面，空间曲线的方程）

3.2 柱面、锥面和旋转曲面

3.3 常见二次曲面（椭圆面，双曲面，抛物面，曲面和空间区域作图）

*3.4 直纹曲面及其性质

*3.5 空间曲面和曲线的应用示例

数学史话3：非欧几何——双曲几何学和椭圆几何学

基本要求：

（1）理解曲面的一般方程的概念，掌握建立曲面一般方程的基本步骤和方法；掌握球面的标准方程，熟悉球面的一般方程及其特征；

（2）了解曲面的参数方程的定义，会利用向量方法建立曲面的参数方程，熟悉球面和圆柱面的参数方程；

（3）理解空间曲线的一般方程的定义，会利用两已知曲面求一些空间曲线的一般方程；

（4）了解空间曲线的参数方程及其求法；熟悉曲面和空间曲线的一般方程和参数方程的等价关系和互化方法；

（5）理解柱面、锥面和旋转曲面的定义，掌握曲面所具有的几何特征性质，掌握求柱面、锥面、旋转曲面的一般方法与步骤，熟悉特殊锥面和旋转曲面的方程特征及特殊求法；

（6）了解母线平行于坐标轴的柱面方程的特征，会判别椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面；会求空间曲线对三个坐标面的射影柱面和射影曲线；

（7）掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质，并能根据曲面的标准方程画出图形；

（8）掌握讨论二次曲面方程的方法，能熟练地利用平行截割法来研究空间曲面的性质和形状；

（9）了解单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性，掌握求直母线的方法，了解直母线的基本性质；

（10）熟悉和掌握常见曲面的标准方程及曲面形状，为后继课程的学习提供几何背景，培养空间想象能力。

第4章二次曲线的一般理论

教学内容：

4.1 平面直角坐标变换（平移变换，旋转变换，一般坐标变换）

4.2 一般二次曲线的化简与分类（一般二次曲线，二次曲线方程系数在坐标变换下的变化规律，二次曲线的判别、化简、分类和作图，）

4.3 利用不变量化简二次曲线方程

*4.4 利用主直径化简二次曲线方程

*4.5 一般二次曲线的应用示例

数学史话4：20世纪的数学曙光——希尔伯特的23个数学问题

基本要求：

（1）掌握平面直角坐标变换的公式、特点及应用；

（2）熟悉二次曲线的一般方程，熟记几个常用记号；

（3）掌握二次曲线方程系数在平面直角坐标变换下的变化规律；

（4）掌握一般二次曲线的判别、化简、分类与作图；

（5）了解不变量和半不变量；

（6）会用不变量化简二次曲线面的方程；

（7）了解利用主直径化简二次曲线方程。

第5章空间直角坐标变换与点变换

教学内容：

5.1 空间直角坐标变换（空间直角坐标系的平移变换，空间直角坐标系的旋转变换，一般坐标变换，正交条件）

5.2 点变换（点变换，点的平移，点的旋转，刚体运动和正交变换，仿射变换）

*5.3 坐标变换的应用示例

数学史话5：克莱因和爱尔兰根纲领

基本要求：

（1）熟悉空间直角坐标系的平移变换，空间直角坐标系的旋转变换，一般坐标变换，正交条件；

（2）会求空间直角坐标变换；

（3）理解空间点变换的概念；了解空间直角坐标变换与点变换区别与联系；

（4）了解空间点的平移，点的旋转，刚体运动和正交变换，仿射变换的公式及特点；

（5）会求一些特殊的空间点变换。

*第6章二次曲面的一般理论

教学内容：

6.1 二次曲面方程系数在坐标变换下的变化规律（一般二次曲面，二次曲面方程系数在坐标变换下的变化规律）

6.2 一般二次曲面的化简与分类（二次曲面的判别、化简、分类和作图）

6.3 利用不变量化简二次曲面方程

6.4 利用主径面化简二次曲面方程

6.5 一般二次曲面的应用示例

数学史话6：数学的“老三高”和“新三高”

基本要求：

（1）了解二次曲面的一般方程，了解几个常用记号；

（2）熟悉二次曲面方程系数在空间坐标变换下的变化规律；

（3）掌握一般二次曲面的化简与分类，并识别它的图形；

（4）了解不变量和半不变量，会用不变量化简二次曲面的方程；

（5）了解利用主径面化简二次曲面方程。

四、大纲说明（内容可包括实验内容与基本要求、习题要求及其它一些必要的说明）；

1．本基本要求只包括45学时数学类各专业的最低要求。如果特殊需要（如数学国际班等课时较多），可在此基础上，根据情况加深，加宽，具体课时分配由教师根据具体情况确定。

2．本基本要求将课程教学内容的要求分为三个档次，即掌握、理解和了解。掌握是指对教学内容理解透彻、清楚，并具有应用所学知识解决实际问题的能力；理解是指对教学内容正确认识，能够一般应用；了解是指对教学内容具有基本认识，能为今后进一步学习打下基础。

3．采用多媒体教学。

4．每次课后布置4-6条作业，提倡题型多样化，覆盖面广，可另行布置一些思考题供学生理解教学内容。

5．本课程的考核方式为闭卷考试。

6．本课程的成绩评定按照平时30%，期末考核成绩70%评定。

五、参考书目：（书名；主编；出版社、版次）

吴光磊、田畴编，解析几何简明教程，高等教育出版社，2010

吕林根、许子道编，解析几何，高等教育出版社，2010

廖华奎、王宝富编，解析几何教程，科学出版社，2010

制定人：蔡国梁(博士，教授，硕导)

范兴华(博士后，教授，硕导)

审定人：刘恂

批准人：

2013年月日