平行四边形性质和判定综合习题精选

第十九章平行四边形性质和判定综合习题精选

一．解答题（共30小题）

1．如图所示，□AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

2如图，已知，□ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

求证：四边形MFNE是平行四边形．

3如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

求证：四边形AECF是平行四边形．

4．在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．

5已知：如图，在□ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE 都是平行四边形．

6如图：□ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．

7已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．

8如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：四边形GEHF是平行四边形；

9．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．

求证：四边形EFCD是平行四边形；

答案与评分标准

一．解答题（共30小题）

1．（2011?资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：BE=DF；

（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

分析：（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF即可得到BE=DF；

（2）根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF的形状．解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），

∴BE=DF；

（2）四边形MENF是平行四边形．

证明：有（1）可知：BE=DF，

∵四边形ABCD为平行四边行，

∴AD∥BC，

∴∠MDB=MBD，

∵DM=BN，

∴△DNF≌△BNE，

∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，

∴∠MFE=∠NEF，

∴MF∥NE，

∴四边形MENF是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质．

2．（2011?昭通）如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．

解答：证明：∵四边形AECF是平行四边形

∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，

∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，

∴△FDO≌△EBO，

∴OD=OB，

∵OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

点评：本题考查平行四边形的性质定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性质．

3．（2011?徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；

（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO．

解答：证明：（1）∵BF=DE，

∴BF﹣EF=DE﹣EF，

即BE=DE，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

∴AB∥CD，

∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．

4．（2011?铜仁地区）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．

考点：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。

专题：证明题。

分析：由DE、DF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC=90°，则可证得平行四边形AEDF是矩形，根据矩形的对角线相等即可得EF=AD．

解答：证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵∠BAC=90°，

∴平行四边形AEDF是矩形，

∴EF=AD．

点评：此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

5．（2011?泸州）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：探究型。

分析：根据CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，求证△ADO≌△ECO，然后求证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．

解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．

证明：∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，

∵OA=OC，

∴△ADO≌△ECO，

∴AD=CE，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∴CD AE．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是求证△ADO≌△ECO，然后可得证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．

6．（2010?恩施州）如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

求证：四边形MFNE是平行四边形．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为M、N分别是DE、BF的中点，根据条件在图形中的位置，可选择利用“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”来解决．

解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，

又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，

∴DE=BF，∠AED=∠CFB

又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF

又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC

∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF

∴四边形MFNE为平行四边形．

点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

7．（2009?永州）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

求证：四边形AECF是平行四边形．

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．

解答：证明：连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD．

∵BE=DF，∴OE=OF．

∴四边形AECF为平行四边形．

点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

8．（2009?来宾）在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF 是平行四边形．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：证明题。

分析：由题意先证∠DAE=∠BCF=60°，再由SAS证△DCF≌△BAE，继而题目得证．

解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．

又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，

∴DE=BF，AE=CF．

∠DAE=∠BCF=60°．

∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，

∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，

∴∠DCF=∠BAE．

∴△DCF≌△BAE（SAS）．

∴DF=BE．

∴四边形BEDF是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

9．（2006?黄冈）如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DBCE是平行四边形，即可证明BC=DE．

解答：证明：∵E是AC的中点，

∴EC=AC，

又∵DB=AC，

∴DB=EC．

又∵DB∥EC，

∴四边形DBCE是平行四边形．

∴BC=DE．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

10．（2006?巴中）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

考点：平行四边形的判定与性质；梯形。

专题：动点型。

分析：若四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，那么QD=CQ或AP=BQ，根据这个结论列出方程就可以求出时间．解答：解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．

（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；

（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形

点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定，不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应．

11．（2002?三明）如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，

求证：AE与DF互相平分．

考点：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。

专题：证明题。

分析：要证AE与DF互相平分，根据平行四边形的判定，就必须先四边形ADEF为平行四边形．

解答：证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：

DE∥AC，DE=AF，

EF∥AB，EF=AD，

∴四边形ADEF为平行四边形．

故AE与DF互相平分．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．

12．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：因为?ABCD，OB=OD，又AODE是平行四边形，AE=OD，所以AE=OB，又AE∥OD，根据平行四边形的判定，可推出四边形ABOE是平行四边形．同理，也可推出四边形DCOE是平行四边形．

解答：证明：∵?ABCD中，对角线AC交BD于点O，

∴OB=OD，

又∵四边形AODE是平行四边形，

∴AE∥OD且AE=OD，

∴AE∥OB且AE=OB，

∴四边形ABOE是平行四边形，

同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．

点评：此题要求掌握平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．

求证：EF和GH互相平分．

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：要证明EF和GH互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分即可证明．

解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．

在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，

∴EG=HF．

同理EH=GF．

∴四边形EGFH为平行四边形．

∴EF与GH互相平分．

点评：本题考查的是综合运用平行四边形的性质和判定定理．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

14．如图：?ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：先证AMQC为平行四边形，得AC=MQ，再证APNC为平行四边形，得AC=NP，进而求解．

解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AM∥QC，AP∥NC．

又∵MN∥AC，

∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．

∴AC=MQ AC=NP．

∴MQ=NP．

点评：本题考查的知识点为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

15．已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：要证四边形EHFG是平行四边形，需证OG=OH，OE=OF，可分别由四边形ABCD是平行四边形和△OEB≌△OFD 得出．

解答：证明：如答图所示，

∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，

∴OA=OC，OB=OD．

∵G，H分别为OA，OC的中点，

∴OG=OA，OH=OC，

∴OG=OH．

又∵AB∥CD，

∴∠1=∠2．

在△OEB和△OFD中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB≌△OFD，

∴OE=OF．

∴四边形EHFG为平行四边形．

点评：此题主要考查平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

16．如图，已知在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题；探究型。

分析：（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE，从而得GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．

（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．

又∵AG=CH，∴BG=DH．

又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．

∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，

∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．

（2）解：仍成立．（证法同上）

点评：本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．

（1）求证：AF=CE；

（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

考点：平行四边形的判定与性质；正方形的判定。

专题：证明题。

分析：（1）由AF∥EC，根据平行线的性质得到∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，而DA=DC，易证得△DAF≌△DCE，得到结论；

（2）由AF∥EC，AF=CE，根据平行四边形的判定得到四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线相等即AC=EF，可判断平行四边形AFCE是矩形，则∠FCE=∠CFA=90°，通过

∠ACB=135°，可得到∠FCA=135°﹣90°=45°，则易判断矩形AFCE是正方形．

解答：（1）证明：∵AF∥EC，

∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，

∵D是AC的中点，

∴DA=DC，

∴△DAF≌△DCE，

∴AF=CE；

（2）解：四边形AFCE是正方形．理由如下：

∵AF∥EC，AF=CE，

∴四边形AFCE是平行四边形，

又∵AC=E F，

∴平行四边形AFCE是矩形，

∴∠FCE=∠CFA=90°，

而∠ACB=135°，

∴∠FCA=135°﹣90°=45°，

∴∠FAC=45°，

∴FC=FA，

∴矩形AFCE是正方形．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．也考查了矩形、正方形的判定方法．

18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2

（1）求证：D是EC中点；

（2）求FC的长．

考点：平行四边形的判定与性质。

分析：（1）根据平行四边形的对边平行可以得到AB∥CD，又AE∥BD，可以证明四边形ABDE是平行四边形，所以AB=DE，故D是EC的中点；

（2）连接EF，则△EFC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到△CDF是等腰三角形，再利用∠ABC=60°推得∠DCF=60°，所以△CDF是等边三角形，FC=DF，FC的长度即可求出．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，

AB∥CD，且AB=CD，

又∵AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB=DE，

∴CD=DE，

即D是EC的中点；

（2）解：连接EF，∵EF⊥BF，

∴△EFC是直角三角形，

又∵D是EC的中点，

∴DF=CD=DE=2，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∵∠ABC=60°，

∴∠ECF=∠ABC=60°，

∴△CDF是等边三角形，

∴FC=DF=2．

故答案为：2．

点评：本题主要考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边三角形的判定，熟练掌握性质定理并灵活运用是解题的关键，（2）中连接EF构造出直角三角形比较重要．

19．（2010?厦门）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：AE=AD．

考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：证明题。

分析：（1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；

（2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又

△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，然后即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∵∠EFB=60°，

∴∠ABC=∠EFB，

∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），

∵DC=EF，

∴四边形EFCD是平行四边形；

（2）连接BE

∵BF=EF，∠EFB=60°，

∴△EFB是等边三角形，

∴EB=EF，∠EBF=60°

∵DC=EF，

∴EB=DC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，AB=AC，

∴∠EBF=∠ACB，

∴△AEB≌△ADC，

∴AE=AD．

点评：此题把等边三角形和平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题．

20．（2010?滨州）如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；

（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理；正方形的性质。

专题：证明题。

分析：（1）连接AC，利用中位线定理即可证明四边形EFGH是平行四边形；

（2）由于四边形EFGH为正方形，那么它的邻边互相垂直且相等，根据中位线定理可以推出四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．

解答：解：（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．

连接AC，

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF∥AC，EF=AC

同理HG∥AC，

∴EF∥HG，EF=HG

∴EFGH是平行四边形；

（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．

∵假若四边形EFGH为正方形，

∴它的每一组邻边互相垂直且相等，

∴根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．

点评：此题主要考查了三角形的中位线定理，及平行四边形的判定，正方形的性质等知识．

21．（2008?佛山）如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．

（1）当AB≠AC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；

（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．

考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：证明题。

分析：（1）要证明ADEF是平行四边形，可通过证明EF=AD，DF=AE来实现，AD=AC，AE=AB，那么只要证明△ABC≌△DFC 以及△FEB≌△CAB即可．AD=DC，CF=CB，又因为∠FCB=∠ACD=60°，那么都减去一个∠ACE后可得出∠BCA=∠FCD，那么就构成了SAS，△ABC≌△DFC，就能求出AE=DF，同理可通过证明△FEB≌△CAB得出EF=AD．

（2）可按∠BAC得度数的不同来分情况讨论，如果∠BAC=60°，∠EAD+∠BAC+∠DAC=180°，因此，A与F重合A、D、F、E四点所构成的图形为一条线段．

当∠BAC≠60°时，由（1）AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四点所构成的图形是菱形．

解答：（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，

∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．

∴∠CBA=∠FBE．

∴△ABC≌△EBF．

∴EF=AC．

又∵△ADC为等边三角形，

∴CD=AD=AC．

∴EF=AD．

同理可得AE=DF．

∴四边形AEFD是平行四边形．

（2）解：构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．

当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）

当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．

点评：本题的关键是通过三角形的全等来得出线段的相等，要先确定所要证得线段所在的三角形，然后看证明三角形全等的条件是否充足，缺少条件的要根据已知先求出了．

22．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF，那么，四边形AFED 是否为平行四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由．

考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：探究型。

分析：由等边三角形的性质易得△BED≌△BCA，△CBA≌△CEF，从而得到DE=FC=AF，AD=BC=EF，再由两组对边相等的四边形是平行四边形得到四边形AFED是平行四边形．

解答：解：四边形AFED是平行四边形．

证明如下：

在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）

∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA

∴△BED≌△BCA（SAS）

∴DE=AC

又∵AC=AF∴DE=AF

在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF

∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE

∴△CBA≌△CEF（SAS）

∴BA=EF

又∵BA=DA，∴DA=EF

故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

点评：本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．

23．（2007?黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB 交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证

明．

考点：平行四边形的性质。

专题：探究型。

分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=AB．

解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．

证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，

由题意得PE+PF=AM．

∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．

∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，

即PD+PE+PF=AB．

图3结论：PE+PF﹣PD=AB．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键．

24．（2006?大连）如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．

探究：

（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；

（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；

（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；

（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：探究型。

分析：连接BE，根据边角边可证三角形PAM和三角形EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又BC⊥AC，所以DE也和AC垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．

解答：解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．

（2）如图4，如图5．

（3）方法一：

如图6，

连接BE，

∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，

∴△PMA≌△EMB．

∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，

∴PA∥BE．

∵平行四边形PADC，

∴PA∥DC，PA=DC．

∴BE∥DC，BE=DC，

∴四边形DEBC是平行四边形．

∴DE∥BC，DE=BC．

∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC，

∴DE⊥AC．

方法二：

如图7，连接BE，PB，AE，

∵PM=ME，AM=MB，

∴四边形PAEB是平行四边形．

∴PA∥BE，PA=BE，

余下部分同方法一：

方法三：

如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，

∵平行四边形PADC，

∴AN=NC，PN=ND．

∵AM=BM，AN=NC，

∴MN∥BC，MN=BC．

又∵PN=ND，PM=ME，

∴MN∥DE，MN=DE．

∴DE∥BC，DE=BC．

∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC．

∴DE⊥AC．

（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．

25．（2005?贵阳）在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；

（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组；

（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；

（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

考点：平行四边形的性质。

专题：作图题。

分析：注意由于平行四边形是中心对称图形，故只要过它的对称中心画直线即可．

解答：解：（1）无数；

（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可．如图有：AE=BE=DF=CF，AM=CN．（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．

点评：平行四边形是中心对称图形，平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．

26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．

（1）求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；

（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

考点：平行四边形的性质；一元二次方程的应用；直角梯形。

专题：动点型。

分析：（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图示，由题可得：BP=10﹣3t，DQ=2t，所以可以列出方程10﹣3t=2t，解得t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根据勾股定理，求出BQ即可．

（3）此题要分三种情况进行讨论：即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值．

解答：解：（1）过点A作AM⊥CD于M，

根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，

∴DM==6，

∴CD=16；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，

点P在AB上，点Q在DC上，如图，

由题知：BP=10﹣3t，DQ=2t

∴10﹣3t=2t，解得t=2

此时，BP=DQ=4，CQ=12

∴

∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=；

（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图

∴．

②当点P在线段BC上时，即时，如图

BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t

∴

化简得：3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．

③当点P在线段CD上时，

若点P在Q的右侧，即6≤t≤，

则有PQ=34﹣5t

，

＜6，舍去

若点P在Q的左侧，

即，

则有PQ=5t﹣34，，

t=．

综合得，满足条件的t存在，其值分别为，t2=．