高二上学期数学期中考试卷附答案

【一】选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕

1．以下命题中，错误的选项是〔〕

A、平行于同一个平面的两个平面平行

B、假设直线a不平行于平面M，那么直线a与平面M有公共点

C、直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内

D、假设直线a∥平面M，那么直线a与平面M内的所有直线平行

2．如下图的一个几何体及其正视图如图，那么其俯视图是〔〕

A、 B、 C、 D、

3．过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为〔〕A、﹣2x+y﹣7=0 B、﹣x+2y﹣8=0 C、2x+y+1=0 D、x+2y﹣4=0

4．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为〔〕

A、4〔+1〕π

B、4〔2+1〕π

C、4π

D、8π

5．一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，假设该长方体的顶点都在一个球的球面上，那么这个球的体积为〔〕

A、288π

B、144π

C、108π

D、36π

6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，那么二面角A′﹣BD﹣A的余弦值为〔〕

A、B、﹣ C、D、﹣

7．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么在四面体G﹣SEF中必有〔〕

A、SD⊥平面EFG

B、SE⊥GF

C、EF⊥平面SEG

D、SE⊥SF

8．直线〔a﹣1〕x+〔a+1〕y+8=0与〔a2﹣1〕x+〔2a+1〕y﹣7=0平行，那么a 值为〔〕

A、0

B、1

C、0或1

D、0或﹣4

9．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为E，AA′的中点为F，那么直线D′F 和直线CE〔〕

A、都与直线DA相交，且交于同一点

B、互相平行

C、异面

D、都与直线DA相交，但交于不同点

10．△ABC的顶点坐标分别是A〔5，1〕，B〔1，1〕，C〔1，3〕，那么△ABC的外接圆方程为〔〕

A、〔x+3〕2+〔y+2〕2=5

B、〔x+3〕2+〔y+2〕2=20

C、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=20

D、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=5

11．一个几何体的三视图及相关尺寸如下图，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一

个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，那么该几何体的体积为〔〕

A、25π

B、19π

C、11π

D、9π

12．三点A〔2，2〕，B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣1〕，那么过点A的直线l与线段BC有公共点时〔公共点包含公共点〕，直线l的斜率kl的取值范围是〔〕

A、[﹣1，1]

B、〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕

C、〔﹣1，1〕

D、〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕

【二】填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕

13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，那么直线l在x轴上的截距是；y轴上的截距是．

14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点〔1，0〕到它的距离为1的直线是．15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为．

16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点〔2，4〕射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点〔3，2〕，那么反射光线的方程为．

【三】解答题解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17．在直角坐标系中，平行四边形ABCD的两对角线AC、BD交于点O〔﹣1，1〕，其中A〔﹣2，0〕，B〔1，1〕．分别求该平行四边形的边AD、DC所在直线的方程．

18．圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上，并且经过A〔2，﹣3〕和B〔﹣2，﹣5〕，求圆C的标准方程．

19．如下图，多面体ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．

〔1〕求证：平面AB1D1∥平面BDC1；

〔2〕求四棱锥D1﹣AB1C1D的体积．

20．如图，直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC、

〔1〕在直线AE上是否存在一点P，使得CP⊥平面ABE？请证明你的结论；

〔2〕求直线BC与平面ABE所成角θ的余弦值．

21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为D、

〔Ⅰ〕x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；

〔Ⅱ〕假设∠BAC=θ，求cosθ的最小值．

参考答案与试题解析

【一】选择题〔共12小题，每题5分，共60分〕

1．以下命题中，错误的选项是〔〕

A、平行于同一个平面的两个平面平行

B、假设直线a不平行于平面M，那么直线a与平面M有公共点

C、直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线只有一条，且在平面α内

D、假设直线a∥平面M，那么直线a与平面M内的所有直线平行

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】对应思想；空间位置关系与距离；简易逻辑；立体几何．

【分析】根据平面平行的几何特征，可判断A；根据直线与平面位置关系的分类与定义，可判断B；根据公理3和线面平行的性质定理，可判断C；根据线面平行的几何特征，可判断D、

【解答】解：平行于同一个平面的两个平面平行，故A正确；

假设直线a不平行于平面M，那么a与M相交，或a在M内，那么直线a与平面M 有公共点，故B正确；

直线a∥平面α，P∈α，那么P与a确定的面积与平面α相交，

由公理3可得两个平面有且只有一条交线，且过点P，

再由线面平行的性质定理可得交线平行于直线a，故C正确；

假设直线a∥平面M，平面M内的直线与直线a平行或异面，故D错误；

应选：D、

【点评】此题以命题的真假判断为载体，考查了空间线面关系的几何特征，考查空间想象能力，难度中档．

2．如下图的一个几何体及其正视图如图，那么其俯视图是〔〕

A、 B、 C、 D、

【考点】简单空间图形的三视图．

【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．

【分析】该几何体的俯视图即上部分四棱锥的俯视图，且四条棱都能看见，应为实线．【解答】解：因为该组合体上部为四棱锥，且顶点在底面的投影在底面中心，

所以该几何体的俯视图为C、

应选C、

【点评】此题考查了简单几何体的三视图，是基础题．

3．过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程为〔〕

A、﹣2x+y﹣7=0

B、﹣x+2y﹣8=0

C、2x+y+1=0

D、x+2y﹣4=0

【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程．

【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．

【分析】过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，代入点的坐标，求出c的值即可．

【解答】解：过点〔﹣2，3〕，倾斜角等于直线2x﹣y+3=0的倾斜角的直线方程设为2x﹣y+c=0，

∴﹣2×2﹣3+c=0，

解得c=7，

故方程为2x﹣y+7=0，即为﹣2x+y﹣7=0，

应选：A、

【点评】此题考查了直线的倾斜角和直线方程，属于基础题．

4．一个底面半径和高都为2的圆椎的表面积为〔〕

A、4〔+1〕π

B、4〔2+1〕π

C、4π

D、8π

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离．

【分析】根据题意，求出母线长，再求底面积与侧面积的和即可．

【解答】解：底面半径和高都为2的圆锥，其底面积为S底面积=π?22=4π，

母线长为=2，

所以它的侧面积为S侧面积=π?2?2=4π；

所以圆锥的表面积为：

S=S底面积+S侧面积=4π+4π=4〔+1〕π．

应选：A、

【点评】此题考查了求空间几何体表面积的应用问题，是基础题目．

5．一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3，，4，假设该长方体的顶点都在一个球的球面上，那么这个球的体积为〔〕

A、288π

B、144π

C、108π

D、36π

【考点】球的体积和表面积．

【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．

【分析】根据题意，得出长方体内接于球，球的直径等于长方体的对角线长，由此求出球的半径与体积．

【解答】解：根据题意，长方体内接于球，

所以球的直径为该长方体的对角线；

即〔2R〕2=32++42=36，解得R=3；

所以这个球的体积为V球=πR3=×π×33=36π．

应选：D、

【点评】此题考查了球的内接长方体以及球的体积的应用问题，也考查了空间想象能力，是基础题．

6．如图，棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，那么二面角A′﹣BD﹣A的余弦值为〔〕

A、B、﹣ C、D、﹣

【考点】二面角的平面角及求法．

【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间角．

【分析】判断四面体A′BDA为正四面体，取BD的中点E，连接AE，A′E，由等腰三角形〝三线合一〞的性质，易得∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形AA′E即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．

【解答】解：棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，那么四面体A′BDA为正四面体．

取BD的中点E，连接AE，A′E，设四面体的棱长为2，那么AE=A′E=

且AE⊥BD，A′E⊥BD，那么∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，

在△AA′E中，cos∠AEA′==

故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是：．

应选：A、

【点评】此题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEA′即为相邻两侧面

所成二面角的平面角，是解答此题的关键．

7．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，D是EF与SG2的交点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么在四面体G﹣SEF中必有〔〕

A、SD⊥平面EFG

B、SE⊥GF

C、EF⊥平面SEG

D、SE⊥SF

【考点】直线与平面垂直的性质．

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG ⊥GF，由线面垂直的判定定理，得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．

【解答】解：在A中：设正方形的棱长为2a，那么DG=a，SD=a，

∵SG2≠DG2+SD2，∴SD与DG不垂直，∴SD不垂直于平面EFG，故A错误；

在B 中：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，

∴SG⊥GE，SG⊥GF，又∵EG⊥GF，SG∩EG=G，

∴GF⊥平面SEG，∵SE?平面SGE，∴SE⊥GF，故B正确；

在C中：△EFG中，∵EG⊥GF，∴EF不与GF垂直，

∴EF不垂直于平面SEG，故C错误；

在D中：由正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3中点，

得∠ESF＜∠G1SG3=90°，

∴SE与SF不垂直，故D错误．

应选：B、

【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是〝由想性质，由求证想判定〞，也就是说，根据条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．

8．直线〔a﹣1〕x+〔a+1〕y+8=0与〔a2﹣1〕x+〔2a+1〕y﹣7=0平行，那么a 值为〔〕

A、0

B、1

C、0或1

D、0或﹣4

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．

【分析】由条件利用两直线平行的性质能求出a的值．

【解答】解：∵直线〔a﹣1〕x+〔a+1〕y+8=0与〔a2﹣1〕x+〔2a+1〕y﹣7=0平行，

∴当a=1时，两直线都垂直于x轴，两直线平行，

当a=﹣1时，两直线x=4与y=﹣7垂直，不平行，

当a≠±1时，由两直线平行得：，

解得a=0．

∴a值为0或1．

应选：C、

【点评】此题考查直线方程中参数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用．

9．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为E，AA′的中点为F，那么直线D′F 和直线CE〔〕

A、都与直线DA相交，且交于同一点

B、互相平行

C、异面

D、都与直线DA相交，但交于不同点

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．

【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】连接EF，A′B，CD′，证明E，F，D′，C共面，且EF=CD′，即可得出结论．【解答】解：连接EF，A′B，CD′，那么

∵AB的中点为E，AA′的中点为F，

∴EF∥A′B，

∵A′B∥CD′，

∴EF∥CD′，

∴E，F，D′，C共面，且EF=CD′

∴直线D′F和直线CE与直线DA相交，且交于同一点，

应选：A、

【点评】此题考查E，F，D′，C共面的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

10．△ABC的顶点坐标分别是A〔5，1〕，B〔1，1〕，C〔1，3〕，那么△ABC的外接圆方程为〔〕

A、〔x+3〕2+〔y+2〕2=5

B、〔x+3〕2+〔y+2〕2=20

C、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=20

D、〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=5

【考点】圆的标准方程．

【专题】转化思想；综合法；直线与圆．

【分析】由条件求得△ABC为直角三角形，可得它的外接圆的圆心为斜边AC的中点〔3，2〕，半径为AC，由此求得它的外接圆的标准方程．

【解答】解：由△ABC的顶点坐标分别是A〔5，1〕，B〔1，1〕，C〔1，3〕，

可得AB⊥CB，故△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点〔3，2〕，

半径为AC=?=，

故圆的方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=5，

应选：D、

【点评】此题主要考查求圆的标准方程的方法，直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．

11．一个几何体的三视图及相关尺寸如下图，其中其主视图和侧视图是一等腰梯形与一个矩形组成的图形，俯视图是两个同心圆组成的图形，那么该几何体的体积为〔〕

A、25π

B、19π

C、11π

D、9π

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．

【分析】由三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．代入体积公式计算．

【解答】解：三视图可知该几何体为圆台与圆柱的组合体．

圆台底面半径分别为1，2，高为3，圆柱底面半径为2，高为1．

∴圆台的上底面面积S1=π×12=π，圆台的下底面面积S2=π×22=4π，圆柱的底面面积S3=π×22=4π，

∴V圆台=〔S1+S2+〕×3=7π，

V圆柱=S3×1=4π，

V=V圆台+V圆柱=11π．

应选C、

【点评】此题考查了常见几何体的三视图及体积，是基础题．

12．三点A〔2，2〕，B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣1〕，那么过点A的直线l与线段BC有公共点时〔公共点包含公共点〕，直线l的斜率kl的取值范围是〔〕

A、[﹣1，1]

B、〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕

C、〔﹣1，1〕

D、〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕

【考点】直线的斜率．

【专题】计算题；数形结合；数形结合法；直线与圆．

【分析】求出直线AC的斜率kAC=1，直线AB的斜率kAB=﹣1，作出图象，数形结合能求出直线l的斜率kl的取值范围．

【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，交x轴于D〔2，0〕，

∵三点A〔2，2〕，B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣1〕，

直线AC的斜率kAC==1，

直线AB的斜率kAB==﹣1，

∴结合图象，得：

直线l的斜率kl的取值范围是〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕．

应选：B、

【点评】此题考查直线的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率公式和数形结合思想的合理运用．

【二】填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕

13．直线l的方程为3x﹣2y+6=0，那么直线l在x轴上的截距是﹣2 ；y轴上的截距是 3 ．

【考点】直线的截距式方程．

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．

【分析】直线l：3x﹣2y+6=0中，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．

【解答】解：∵直线l的方程为3x﹣2y+6=0，

∴当y=0时，解得x=﹣2，

当x=0时，解得y=3，

∴直线l在x轴上的截距是﹣2，y轴上的截距是3．

故答案为：﹣2，3．

【点评】此题考查直线方程的横截距和纵截距的求法，是基础题，令y=0，求出x的值直线l在x轴上的截距；令x=0，求出的y的值是直线l在y轴上的截距．

14．与直线4x﹣3y﹣2=0垂直且点〔1，0〕到它的距离为1的直线是3x+4y+2=0或3x+4y﹣8=0 ．

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；点到直线的距离公式．

【专题】方程思想；转化思想；直线与圆．

【分析】设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．根据点〔1，0〕到它的距离为1，可得=1，解得m即可得出．

【解答】解：设与直线4x﹣3y﹣2=0垂直的直线方程为3x+4y+m=0．

∵点〔1，0〕到它的距离为1，

∴=1，解得m=2或﹣8．

因此所求的直线方程为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．

故答案为：3x+4y+2=0，或3x+4y﹣8=0．

【点评】此题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．如图，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线AC与BC′所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角．

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．

【分析】连结A′B、A′C′，由AC∥A′C′，得∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，由此能求出异面直线AC与BC′所成的角．

【解答】解：在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，

连结A′B、A′C′，

∵AC∥A′C′，∴∠A′C′B是异面直线AC与BC′所成的角，

∵A′B=BC′=A′C′，

∴∠A′C′B=60°，

∴异面直线AC与BC′所成的角为60°．

故答案为：60°．

【点评】此题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

16．在直角坐标平面xOy内，一条光线从点〔2，4〕射出，经直线x+y﹣1=0反射后，经过点〔3，2〕，那么反射光线的方程为x﹣26y+1=0 ．

【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．

【专题】数形结合；方程思想；转化思想；直线与圆．

【分析】设点P点〔2，4〕关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′〔a，b〕，那么

，解得a，B、再利用点斜式即可得出．

【解答】解：设点P点〔2，4〕关于直线x+y﹣1=0的对称点为P′〔a，b〕，