(完整版)现代控制理论
第一章线性离散系统
第一节概述
随着微电子技术，计算机技术和网络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到广泛的应用。通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。
一、举例自动测温，控温系统图;
加
热
气
体
图解：
1. 当炉温h变化时，测温电阻R变化→R
?，电桥失去平衡状态，检流计指针发生偏转，其偏转角度为)
e；
(t
2. 检流计是个高灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦力。当凸轮转动使指针
）,接触时间为τ秒；
与电位器相接触（凸轮每转的时间为T
3. 当炉温h 连续变化时，电位器的输出是一串宽度为τ的脉冲信号e *τ(t);
4.e *τ(t)为常值。加热气体控制阀门角度调速器电动机放大器h →→→→→→? 二、相关定义说明（通过上例来说明） 1. 信号采样
偏差)(t e 是连续信号，电位器的输出的e *τ(t)是脉冲信号。连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。实现采样的装置成为采样器。 To —采样周期，f s =--To
1
采样频率，W s =2πf s —采样角频率 2．信号复现
因接触时间很小，τo T ??τ，
故可把采样器的输出信号）（t e *
近似看成是一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲，为了去除采样本身带来的高额分量，需要把离
散信号）（t e *
恢复到原信号)(t e 。
实现方法：是在采样器之后串联一个保持器，及信号复现滤波器。
作用：是把）（t e *
脉冲信号变成阶梯信号e h (t)
3.采样系统结构图
r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，）（t e *
为离散信号
)(s G h ，)(s G p ，)(s H 分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。
(t)
r
4.采样系统工作过程
?由保持器
5. 采样控制方式
采样周期To ??
?
??=≠=?相位不同步采样常数常数
6. 采样系统的研究方法（或称使用的数字工具）
因运算过程中出现s 的超越函数，故不用拉式变换法，二采用z 变换方法，状态空间法。
第二节 信号的采样和复现
第一节是定性认识与分析，本节是定量研究。 一、 采样过程
从第3个图形可知，采样器输出信号）
（t e *
是一串理想的脉冲信号，k 瞬时）
（t e *
的脉冲强度等于此时)(T e 的幅值)(0kT e ，即)0(0T e ，)(0T e ，)2(0T e …. )(0nT e ….
采样过程可以看成为一个幅值调制过程，采样器如同一个幅值调制器。
)(t T δ的数学表达式为：)()(0∑∞
∞
--=nT t t T δδ
调制过程 ）（t e *
=e(t)）
（t T δ=e(t)∑∞
∞
--)n t 0T （δ 式中)(t T δ是一个周期函数，可以展开富氏级数，写成级数的复指数形式。
)(t T δ=∑∞
∞
-t jnw n s
e C , Ws=
o
T π
2--采样角频率（基频率） 富氏级数的系数
C n =T
dt t T T T dt t T T dt e t T
T T
t jnw T T
T s 1)(0010
211)(0011
)(12
02
2
==+??+=?????
?-+
+-+---
-
δδδ 的函数性质（定义）)(t δ：
1dt t )0t ()
0t (0t =∞-∞ ??=∞≠=?）（且）（δδ
把C n 结果带入到）
（t T δ中，得： ∑∞∞
-=t
jn T s e T t ωδ1)(
：t e *
）中，得（再代入到
∑∑∞
∞
-∞∞-=?=t jnw t jnw *
s s e )(1e 1)(e t e t e T T t ）
（ 进行富氏变换：
{F[e(t)]=E(jw)，F[e(t)e t jnw s ]=E(jw+jnw s )}
E ∑∞
∞
-+=)(1)(*
s jnw jw E T jw
上式说明，一个连续信号)(t e 经过理想采样后，它的频谱将沿着频率轴，从
0=ω开始，每隔一个采样频率s ω重复出现一次，另乘一个常数
T
1
，即频谱产生周期延拓。
设连续信号)(t e 的频谱)jw (E 是一个单一的连续频谱，其最高频率为max ω，如下图：
延拓后的E ）如下图所示。（
jw *
二、采样定理（香农采样定理shamnon ）
从上图可知，只有当n=0的频谱才是)(t e 的频谱，其余的均是高次谐波。 若要从采样信号e )(*t 中完全复现出采样前的连续信号)(t e ，必须满足香农采样定理（乃氏定理），即“采样频率s ω大于或等于两倍的连续信号)(t e 频谱中的最高频率”。 s ω>2max ω 三、信号恢复
如果按香农定理来采样，即s ω>2max ω，又如何去除高次谐波频谱，又能保留基频呢？
为此，设置一个低通滤波器，其理想的频率特性)(jw F 必须等于
想的窗式滤波器”。处实现截止，称为“理2
s
ω。理想是不存在的，实际应用中，
常用三种保持器，即低通滤波器。
常值-----零阶保持器 0阶 线性-----按比例增加或减小 1阶 二次函数-----按两次方关系变化 2阶
2
2
零件保持器
1.作用能使采样信号e )(*t 每一个瞬时的采样值)0(e ，)(T e ,…)(nT e 一直保持到下一个采样瞬时，从而使采样信号e )(*t 由脉冲序列变为阶梯信号。
为何称零阶保持器：)(t e h 在每个采样区间内的值均为常数)(nt e ，其导数为零，故称为零阶保持器。
如果吧)(t e h 的中点联起来，则可以得到与)(t e 形状一直，在时间上滞后2/0T 的时间响应曲线)2
(0
T t e -
。
2、零阶保持器的传递函数和频率特性设某瞬间时
零阶保持器
输出应该是幅值为1的，持续时间为
T的脉冲过渡函数，必须增加一个)
(1
T
t-
-信号，才能完成上述的假定。即)
(1
)(1
)(
T
t
t
t
g
h
-
-
=
传递函数：)
(S
G
h
=
[]()S T
h e
S
t
L
t
g
L
1
1
)]
(
[
)(
-
-
=
δ
频率特性：)
(jw
G
h
=())
(
)
(
1
1
0jw
G
jw
G
e
jw h
h
jwT<
=
--
(;
0jSinwT
CoswT
e jwT+
=;
0jSinwT
CoswT
e jwT-
=
-;
2
1
2
CoswT
wT
Sin
-
=) 幅频特性：
)
(jw
G=
jw
1
1jSinwT
CoswT+
-=)
1(2
1
CoswT
w
-=
2
2
0wT
wT
Sin
T
相频特性：
)
(jw
G
∠=
1
SinwT
CoswT
arctg
-
-
2
wT
=（弧度）
设置保持器（低统滤波器）并不理想。从上式知，当0=ω时，
)(2,)(0
0===
=ωωπ
ωωj G T T j G h s h 时，，不像理想滤波器只有一个截止频率，这里有几个截止频率)3,2(???s s ωω。在基频之外尚有高频部分通过，恢复后的)(t e 中含有误差信号。
只有让↓0T ，即↑↑s ω，才能使误差↓↓。 3、零阶保持器的实现
把传递函数)1(1)(0s
T h e s s G --=中的s T e 0展成泰勒级数)21(2000???+++=s T s T e s T ，取前两项，得s T T s T s e
s e s s G s T s T h 0001)11
1(1)11(1)1(1)(00+=+-=-=-=-
近似为一阶惯性环节的传递函数。可近似用一个无源四端网络来实现。
等效于RC 低通网络的传递函数：1
1
)()()(0+==
RCs s U s U s G i u i 0(t)
若对s T e 0取前三项，即2
12
2000s T s T e
s
T ++=
2
121)(220
000
s
T s T s T T s G h +++
=是一个振荡环节加一阶导前环节，等效于R-L-C 无源电路。
R 2
1R
[]
)
()()()(1
)()()()()()()()()()()()()()()()(212002211312
212
231212130s I s I s I s I Cs
s U s U s I R s U s LsI s I R s U s U s I R s U s C LR C R s R R R R R L R R Ls
R s U s U s AB AB AB i i +==
+=+=+=++++++++==
φ
第三节 Z 变换与Z 反变换
连续系统)()()(0nT x t x t x =???→?*离散系统采样开关
)()()()()(0nT t t x t t x t x -=?=∑∞
∞-δδ )0)(,0(= ???+-+???+-+-+=)()()2()2()()()()0(000000nT t nT x T t T x T t T x t x δδδδ ∑∞ =* -=0 00)()()(n nT t nT x t x δ 进行拉氏变换，得 [] ∑∞ =-* * ==0 00)()()(n s nT e nT x s Z t x L 其中)(0nT x 为常数，[]1)(=t L δ，对[])(0nT t L -δ应用位移定理，得 []s nT e nT t L 0)(0-=-δ。 上式中s nT e 0-为s 的超越函数，不易求反变换，引入Z 变换定义，令 z T s e z s T ln 1 0= =或（z 为变换算子） ∑∞ =-=* ==0 0ln 1)()(| )(0 n n z T s z nT x z Z s Z 称)(z Z 为)(t x *的Z 变换，记作[] [])()()()(S Z z Z t x Z t x Z **=== Z 变换仅是一种s T e z 0=的变量置换，通过它可将S 的超越函数转变为Z 的幂级数，是拉氏变换的变异。 一、 求离散函数Z 变换的几种方法 1、级数求和法（是最基本方法，优点是直观，缺点是难以写成闭式）此方 法是按定义求变换，要写出各采样点的值。 ) ()()2()2()()()()0()()()(00000000*nT t nT x T t T x T t T x t x nT t nT x t x -++-+-+=-=∑δδδδδΛ 拉氏变换：ΛΛ+++++=---*s nT s T s T e nT x e T x e T x x s Z 000)()2()()0()(0200 用s T e z 0=代入，上式为（即为Z 变换） Z 变换：ΛΛ+++++=---n z nT x z T x z T x x z Z )()2()()0()(02010 写成闭式：∑∞ =-=00)()(n n z nT x z Z 例1：求)(1)(t t x =的Z 变换。 解： []n z z z t Z nT x T x x ---++++=====ΛΛ2 1 001)(11)()()0( 若11<-z ，几何级数收敛。 求闭式（和式），[])0)(1(111)(1)(11 >>-=-= =-s R z z z z z t Z e ，即 例2、求)0(>=-a e x at 的Z 变换 解：依图看)(0nT x 值 [] ΛΛ+?++?+?+=-------n naT aT aT at z e z e z e e Z 0002211 若110 01 11aT aT at e z z z e e Z -----= ?-= 2、部分分式法 若)(t x 变换得∑=+=++++++==n i i i n n s s A s s A s s A s s A s N s M s z 12211)() ()(Λ 由1 -L 变换，得[]∑∑=-=--=??????+==n i t s i n i i i i e A s s A L s z L t x 1 11 1)()( 成为指数函数形式。 由例2 [] )(aT at at e z z e Z e t x ----=→= 则∑=--=n i T s i i e z z A z Z 10 )( 例3 求t t x ωsin )(=的Z 变换。 [][][][] [][]1 )cos 2(sin 21sin )()(21)()(1 21121)(sin )(02 012 2+-=??? ???---===-= =-? ++?-==+==---z T z T z e z z e z z j t Z t x Z z Z e e j t x s z L j s j j s j s z s t L t x L t j t j t j t j ωωωωωωωωωωωω 3、留数计算法 已知[])()(t x L s z =的全部极点i s ，则有 i i i i s s n i sT r i r r i e z z s z s s ds d r s z ==--∑??? ???-??-?-=1110)()()!1(1)( 式中i r 是i s s =极点的阶数，0T ---采样周期。 例4 已知某函数的拉氏变换) 2)(1(3 )(+++= s s s s z ，求)(z Z 。 解：这里2,121-=-==s s s 是两个极点（单），2,1,121===n r r ()0 00 221 2)2()!11(1) ()1()!11(1)(T T s sT S sT e z z e z z e z z s z s e z z s z s z Z ---=-=--+ -=??? ???-+-+ -+?-= 二、 Z 变换的基本定理 1、线性定理 b a z Z t x z Z t x z Z t x ,),()(),()(),()(2211→→→是常数， 则[])()()()(2121z bZ z aZ t bx t ax Z +=+ 2、滞后定理 若[]),()(,0)(,0z Z t x Z t x t ==< 则有：[])()(0z Z z KT t x Z K ?=-- 说明原函数)(t x 在时间上产生K 个采样周期的滞后时，相应的Z 变换乘以 K z -。 3、初值定理 若[])()(,0)(,0z Z t x Z t x t ==< 则有：)()(lim lim 0 z Z t x z t ∞ →→= 4、终值定理 若[])()(,0)(,0z Z t x Z t x t ==< 则有：)()1()(lim lim 1 z Z z t x z t -=→∞ → 三、 Z 反变换 将)(z Z 变成离散时间函数)(t x *，称为Z 反变换。)(z Z 的反变换记为 [])()(1t x z Z Z *-= 1、长除法 例1．) 2)(1(10)(--= z z z z Z 。 解：) () ()(z N z M z Z = ，将)(),(z N z M 变换成1-z 幂级数排列，再把Z[z]写成Z -1的升幂形式，目的是利用正变换的n z nT t Z -=-)([0δ，及变换)(][01nT t z Z n -=--δ ???++++=+-=+-=-------43212 11 2150703010231102310)(z z z z z z z z z z z Z Z -1[Z(z)]=X*(t)=10δ(t-T o )+30δ(t-2T o )+70δ(t-3T o )+150δ(t-4T o )+… =)()1(1000nT t z n n --∑∞ =δ 2.部分分式法 目的：是利用Z 变换1 Z Z -的形式，通过查表解X*(t) 特点：因Z(z)中分子多含有Z ，在计算时，先把() z Z Z 代为分项分式，然后两边 同乘Z 因子。 例2. 求Z(z)=0.5(1)(0.5) Z Z Z --的X*(t)。 解： 1n n=0()0.511,z (1)(0.5)10.510.5 []1,[]0.510.5*t (1-0.5)() n o Z z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z X t nT δ-∞ ==-=-------==---=-∑-1即（）查表知：Z 故（） 3.留数计算法 已知Z 变换函数为Z(z)，在t=nT o 时刻采样值X(nT o )为 ],)([)(21)(1 1 10k n n k es c n z z z Z R dz z z Z j nT X -=-∑?=?=π 1 n-111(),R [(),]2()z z)n n n es K k C o n R Z z Z dz Z z Z Z j X nT Z Z Z Z Z C --=-==∏∑??为求包围（）全部极点的封闭曲线的积分， 即求（在所有点的留数。这样，求封闭曲线的积分就变成求被积函数在C 中的各奇点处的留数。证明略 例1．))(1()1()(0 0T T e z z z e z Z αα-----=，求)(* t x 。 解：) )(1()1()(0 01 T n T n e z z z e z z Z αα------=?，有两个极点，即11=z ，02T e z α-=。 0 0000 001))(1()1()(lim ))(1()1()1(lim )(10nT T n T T e z T n T z e e z z z e e z e z z z e z nT x T ααααααα----→--→-=---?-+---?-=- 则离散函数∑∑∞ =-∞ =--=-=0 000 0* )()1()()()(0n nT n nT t e nT t nT x t x δδα。 第4节 脉冲传递函数 一. 脉冲传递函数的概念 对离散系统，输入由K 个脉冲组成的时间序列，即 o o n 0e*t e n t n K T T δ==-∑（）（）（），在kT o 时刻输出X （t ）幅值为： k k o o o o o o n n 0 k e n g k n e nT g[T ()]X T T k n ==-=-∑∑=0 （）（T ）（T ）（） 输出的时间序列为X*(t): *()()()[()]()()o o o o o n n X t x kT t nT g k n T e nT t nT δδ∞ ∞ ===-=--∑∑ 进行Z 变换 k k n k k z T n k g nT e z kT x t x z z Z -∞=∞ =-∞ =-?===∑∑∑])[()()()]([)(000 000* 令m=k-n ，则k=m+n ，代入得 ()()()()()m n o o m n n m n o o m n o Z z e nT g mT z z g mT z e nT z ∞∞ --=-=∞ ∞--=== ??=?∑∑∑∑ 脉冲总是从0开始m=-n=0. Z(z)=G(z).E(z)=E(z).G(z) 类似连续系统 1 ()[*()]()()[*()]t z [()][()()]Z z Z x t Z G z E z Z e t Z Z z z G z E z -= == =?-1输出脉冲序列的变换输入脉冲序列的变换 或者X*（）= 或者 )]()([)]([)(1 1*z E z G z z Z z t x ?==-- 若输出)(t x 是连续信号，可虚设一个理想采样开关，与输入的0T 相同且同步。当 T 时，就可以用)(t x 来近似描述)(*t x 。 求G （z ）的步骤： 1. 求出系统的传递函数G （s ）； 2. 求出脉冲响应函数g （t ）=L -1[G(s)]; 3. 计算n o n 0z g n G T Z ∞ -==∑（）（），若系统是稳定的，G （z ）收敛。 二. 离散系统的开环脉冲传递函数 1. H （s ）与G （s ）之间没有采样开关 o y z G z z E z y s *s s s y*s [*()()()]**()[()()]* Z GH Z E G H E s G s H s E s G s H s ====??=??=?（）反馈信号的变换 （） （）（）输入信号的变换 （）（）（）（） 由虚构情节知，（） ()()[()()]*()[()()]z z y z E z G s H s E z Z G s H s E G =?=?=?或（）（） ，或)()()(z GH s E z y ?=- G （s ）与H （s ）无采样开关，G(S)与H(s)先乘积后Z 变换。 2. )( s H 与)(s G 之间有采样开关 Z(S)=E*(s)G(s) Z*(s)=E*(s)G*(s) )()()()()()(***s H s G s E s H s Z s y ??==- 则：)()()()(*z G z E s Z z Z == )()()()()()()(*z H z G z E z H z Z s y z y ===- ) () ()()()(0z E z y z H z G z G - = = a 1s s s a s G υ= =+举列：对上图，若（），（），求开环传递函数。s s H 1 )(=，求开环传递函数。 o z z z[G(s)H(s)]=Z[] s(s+(1)(1)() o o aT aT GH z e z z e α α--==-= --解：对上图.G （）（）） 2 1()()()[][](1)(e ) O aT a az z G z H z Z Z s a S z z -==?= +--o 对上图.G 两者的G o (z)不同，不同之处零点不同，极点是相同的。 三. 离散系统的闭环脉冲传递函数 作用在连续系统上的偏差信号是离散的脉冲序列E*(s)，由图知 z ()()()()()()()()()*()s z z z z z z z (z z z z 1z 1e 1()E s R s y s R s H s Z s R s G s H s E s Z R GH E Z G E G R HGH E GH G GH z =-=-=-=-Φ===+== +* （） 变换： Z[E(s)]=E(z)=E （）（）（）（） （）（）（）（）闭环脉冲传递函数）（）（（）（）（）E(z)离散反馈系统偏差传递函数R(z) 闭环系统脉冲传递函数：) (1)()())(1()()()()()(z GH z G z E z GH z E z G z R z Z z +=+==Φ 离散反馈系统偏差传递函数：) (11)() ()(z GH z R z E z G e +== 四. 离散系统的过度过程分析（Z 平面的时间响应） 相当于经典控制论中的时间域分析 步骤： 1. 计算闭环系统脉冲传递函数) () ()(z R z Z s = Φ; 2. 按输入信号)(t r 或)(*t r ，求)]([)(t r Z z R =； 3. 求输入)()()(z R z z Z ?Φ=； 4. 求)(z Z 的Z 反变换，得)(0nT Z 或者)(*t x 。 主要指标：：1 超调量p M (σ%); 20 过渡过程时间0kT t s =； 30 稳态误差。 例: 已知采样时间T 0=1s ，k=1，r(t)=1(t)，分析系统动态和静态过程。 解：01.求开环离散系统传递函数（连续部分） 1 1111)1(1)1(1)(22200+- +-++-=+-=+?-=-----s e s e s e s s s s s e s s k s e s G s s s s s T 即前向通道函数 20. 求g(t) g(t)=L -1[G 0(s)]=t ·1(t)-1·1(t)+e -t ·1(t) -(t-1)·1(t-1)+1(t-1)-e -(t-1)·1(t-1) =(t-1+e -t )·1(t)-[(t-1)-1+e -(t-1)]·1(t-1)=1+e -t -e -(t-1) 应用位移衰减定理： 因10=T ，由n nT t ==0 1+e -n -e -(n-1) n=1,2,3,…… g(t)=g(nT 0)=g(n)= 0 n=0（零状态） 30. 求开环脉冲传递函数)(0z G n n Z nT g z G z E z Z z G -∞ =∑===)()()() ()(0 00 )(]1[)1(0e z z e e n n n n ---+=---∞ =-∑ )()1(0 e z z e e z n n n n n --?-+=∑∑∞ =∞ =--- )(1111111e z z e e z ----+-=--- 1 1211)1(21----++--+=e Z e Z e Z e 04.求闭环脉冲传递函数Φ（s ） ) 1() 21()(1)()()()(12 110----+--+=+==Φe z z e z e z G z G z R z Z s 以e=2.718代入，得 632 .0264 .0368.0)(2+-+=Φz z z s 5.求R(z) 因r(t)=1(t)，R(z)=1 -z z 6.求Z(z)=Φ(z)R(z)=632.0632.12264.0368.01632.0246.0368.0232 2-+-+=-?+-+z z z z z z z z z z 07.求)()(0nT X t X =* 是最终目的：即求Z(z)的Z 反变换，用长除法 ? ?????+++++=-----54321147.14.14.1368.0)(z z z z z z Z ??????+-+-+-+-+-=*)5(147.1)4(4.1)3(4.1)2()(368.0)(00000T t T t T t T t t t t X δδδδδ 若系统是稳定的，经过若干项后，其脉冲序列的系数近似为1.0 响应曲线如下： 即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? && 212 44k k g M M L θθθ??=-+ ??? && （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=&，32 x θ=，42x θ=& 则 一．（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 ()2111211 cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?-&& 对右边的质量块，有 ()221222 sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?-&& 在位移足够小的条件下，近似写成： ()1121 24f kL ML Mg θθθθ=---&& ()2122 4kL ML Mg θθθθ=--&& 2 / 7 1221 334413 44244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? &&&& 或写成 11 223 34401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ???????????=+???? ????? ??????????????????? ????-+?? ? ? ?????? ? &&&& 二．（本题满分10分） 设一个线性定常系统的状态方程为=x Ax &，其中22R ?∈A 。 若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。 【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得 2212211t t t t t e e e e e ----????=????----?? ??A 求得状态转移矩阵为 1 22221212221111t t t t t t t t t e e e e e e e e e -----------?????? ?? ==????????------???? ????A 22222222t t t t t t t t e e e e e e e e --------?? -+-+=??--?? 实验报告 ( 2016-2017年度第二学期) 名称：《现代控制理论基础》 题目：状态空间模型分析 院系：控制科学与工程学院 班级： ___ 学号： __ 学生姓名： ______ 指导教师： _______ 成绩： 日期： 2017年 4月 15日 线控实验报告 一、实验目的： l.加强对现代控制理论相关知识的理解； 2.掌握用 matlab 进行系统李雅普诺夫稳定性分析、能控能观性分析； 二、实验内容 1 第一题：已知某系统的传递函数为G (s) S23S2 求解下列问题： （1）用 matlab 表示系统传递函数 num=[1]; den=[1 3 2]; sys=tf(num,den); sys1=zpk([],[-1 -2],1); 结果： sys = 1 ------------- s^2 + 3 s + 2 sys1 = 1 ----------- (s+1) (s+2) （2）求该系统状态空间表达式： [A1,B1,C1,D1]=tf2ss(num,den); A = -3-2 10 B = 1 C = 0 1 第二题：已知某系统的状态空间表达式为： 321 A ,B,C 01：10 求解下列问题： （1）求该系统的传递函数矩阵： （2）该系统的能观性和能空性： （3）求该系统的对角标准型： （4）求该系统能控标准型： （5）求该系统能观标准型： （6）求该系统的单位阶跃状态响应以及零输入响应：解题过程： 程序： A=[-3 -2;1 0];B=[1 0]';C=[0 1];D=0; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D); co=ctrb(A,B); t1=rank(co); ob=obsv(A,C); t2=rank(ob); [At,Bt,Ct,Dt,T]=canon(A,B,C,D, 'modal' ); [Ac,Bc,Cc,Dc,Tc]=canon(A,B,C,D, 'companion' ); Ao=Ac'; Bo=Cc'; Co=Bc'; 结果： （1） num = 0 01 den = 1 32 （2）能控判别矩阵为： co = 1-3 0 1 能控判别矩阵的秩为： t1 = 2 故系统能控。 （3）能观判别矩阵为： ob = 0 1 华北电力大学 实验报告| | 实验名称状态空间模型分析 课程名称现代控制理论 | | 专业班级：自动化1201 学生姓名：马铭远 学号：2 成绩： 指导教师：刘鑫屏实验日期：4月25日 状态空间模型分析 一、实验目的 1.加强对现代控制理论相关知识的理解； 2.掌握用 matlab 进行系统李雅普诺夫稳定性分析、能控能观性分析； 二、实验仪器与软件 1. MATLAB7.6 环境 三、实验内容 1 、模型转换 图 1、模型转换示意图及所用命令 传递函数一般形式： MATLAB 表示为： G=tf(num,den)，，其中 num,den 分别是上式中分子，分母系数矩阵。 零极点形式： MATLAB 表示为：G=zpk(Z,P,K) ，其中 Z，P ，K 分别表示上式中的零点矩阵，极点矩阵和增益。 传递函数向状态空间转换：[A,B,C,D] = TF2SS(NUM,DEN)； 状态空间转换向传递函数：[NUM,DEN] = SS2TF(A,B,C,D,iu)---iu 表示对系统的第 iu 个输入量求传递函数；对单输入 iu 为 1。 例1：已知系统的传递函数为G（S）= 2 2 3 24 11611 s s s s s ++ +++ ,利用matlab将传递函数 和状态空间相互转换。 解：1.传递函数转换为状态空间模型： NUM=[1 2 4];DEN=[1 11 6 11]; [A,B,C,D] = tf2ss(NUM,DEN) 2.状态空间模型转换为传递函数： A=[-11 -6 -11;1 0 0;0 1 0];B=[1;0;0];C=[1 2 4];D=[0];iu=1; [NUM,DEN] = ss2tf(A,B,C,D,iu); G=tf(NUM,DEN) 2 、状态方程状态解和输出解 单位阶跃输入作用下的状态响应： G=ss(A,B,C,D);[y,t,x]=step(G);plot(t,x). 零输入响应 [y,t,x]=initial(G,x0)其中，x0 为状态初值。 现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： 一．填空题（共27分，每空1.5分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T 为周期进行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为 __________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义 能量， V(x, t)称为___________。 8.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函 数的所有极点具有______。 9. 控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的_________、_________和较强的_________。 10. 所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的 系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 11. 实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r 维控 制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 12. _________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的 重要方法。 二． 判断题（共20分，每空2分） 1. 一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。 （×） 2. 传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。 （√） 3. 状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。 （×） 4. 对于任意的初始状态)(0t x 和输入向量)(t u ，系统状态方程的解存在并且 惟 一 。 （√） 5. 传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。 （×） 第一章 控制系统的状态空间表达式 １．状态空间表达式 n 阶 Du Cx y Bu Ax x +=+= 1:?r u 1:?m y n n A ?: r n B ?: n m C ?:r m D ?: A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情 况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２．状态空间描述的特点 ①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。 ③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。 ⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 ⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３．模拟结构图（积分器 加法器 比例器） 已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 ４．状态空间表达式的建立 ① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积 分器的输出选作i x ，输入则为i x ；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 ② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。 ③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。 方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。熟练使用梅森公式。 注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。 5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。 状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时，设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。 系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。 6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s W D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ?的矩阵函数［ij W ］ ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。 状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。 现代控制理论在航空航天中应用 01111201 贺辉1120120003 现代控制理论研究对象为多输入、多输出系统，线性、定常或时变、离散系统。解决方法主要是状态空间法（时域方法）。航空航天技术的迅速发展离不开现代控制理论的不断完善。 比如在实现惯性导航系统的过程中，控制技术起到了至关重要的作用。平台系统依靠陀螺仪、稳定回路使台体稳定在惯性空间，而捷联系统中惯性仪表采用力反馈回路来实现角速度或加速度等信息的敏感。在平台系统的初始对准中，通过调平回路和方位对准回路分别实现水平对准和方位对准。上述过程的实现，都需要通过设计满足各种性能指标的控制器来实现。目前，随着控制技术的发展，科技工作者对一些新型的控制理论和方法在惯性导航系统中的应用进行了探索，目的是提高惯性导航系统的精度、鲁棒稳定性、可靠性、环境适应性以及满足小型化的需求。 另外，现代控制理论在飞行器轨道优化方面有着重要作用。飞行器的轨道优化与制导规律研究对飞行器设计至关重要。随着燃料的大量消耗，空间飞行器的质心、转动惯量都随之发生变化。飞行器弹道会受到极大的影响，这种情况下用经典理论精确控制几乎是不能满足设计要求的，因此要求控制系统的控制在控制手段上采用现代控制理论及控制技术。防空导弹的弹道优化与制导规律研究的目的是提高导弹的飞行性能，达到精确、有效地拦截目标。轨道优化与制导规律研究是根据给定的技术指标，建立飞行器的运动方程, 并选择主要设计参数, 构造传递函数, 运用现代控制理论及数学原理求解最优参数, 形成制导规律与相应的飞行器飞行轨道。飞行器按照优化的轨道飞行, 可以减轻其飞行质量, 提高飞行速度和可用过载, 缩短飞行时间等。在设计飞行器的初步方案论证阶段, 为了实现规定的技术指标, 需要预估飞行器的几何尺寸、质量、推力大小和气动外形, 然后进行轨道优化与制导规律设计。通过轨道优化与制导规律设计不断调整和确定上述各参数, 直到综合确定出合适的方案为止。因此, 飞行器的轨道优化与制导规律问题将关系到飞行器设计性能的好坏, 关系到能否完成用户所需的技术性能指标要求的问题。轨道优化与制导规律研究内容很广泛, 它与任务要求有关, 随着不同的要求, 给定不同的性能指标, 其结果和形式就不同。 轨道优化与制导规律研究这两方面的内容是紧密联系在一起的, 特别是防空导弹更是如此。防空导弹弹道优化涉及制导规律问题, 设计出良好的制导规律势必达到弹道优化设计的目的。防空导弹的飞行弹道优化问题, 一般可以对一组给定的初始条件和终端条件进行弹道优化, 可以用改变一组参变量求解目标函数, 形成满足预定的边界条件, 并命中目标的最优弹道;可以用改变自变量, 在受附加约束的条件下, 如导弹的质量、推力、气动外形等已确定, 可用过载受限制的条件下, 用改变飞行弹道角的制导规律, 寻求导弹飞行的最大射程,最大平均速度, 最大末速度, 最小燃料消耗量, 最短飞行时间;可以用产生开环控制函数或间断地改变控制参数来优化弹道等各式各样的弹道优化模式防空导弹的制导规律是描述导弹在向目标接近的整个过程中所应遵循的运动规律, 它与目标及导弹的运动参数有关, 它决定导弹的弹道特性及其相应的弹道参数。导弹按不同的制导规律制导, 飞行的弹道特性和运动参数是不同的。 导弹的制导规律有多种多样, 有的建立在早期经典理论和概念上, 有的建立在现代控制理论和对策理论的基础上。建立在早期经典理论的概念基础上的制导规律通常称为经典制导规律。经典制导规律包括三点法, 前置点或半前置点法, 预测命中点法, 速度追踪法, 姿态追踪法, 平行接近法, 比例导引法及其诸多的改进形式的制导规律。建立在现代控制理论和微 现代控制理论实验报告 实验一系统能控性与能观性分析 一、实验目的 1.理解系统的能控和可观性。 二、实验设备 1.THBCC-1型信号与系统·控制理论及计算机控制技术实验平台； 三、实验内容 二阶系统能控性和能观性的分析 四、实验原理 系统的能控性是指输入信号u对各状态变量x的控制能力，如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态引向状态空间的坐标原点，则称系统是能控的。 对于图21-1所示的电路系统，设iL和uc分别为系统的两个状态变量，如果电桥中 则输入电压ur能控制iL和uc状态变量的变化，此时，状态是能控的。反之，当 时，电桥中的A点和B点的电位始终相等，因而uc不受输入ur的控制，ur只能改变iL的大小，故系统不能控。 系统的能观性是指由系统的输出量确定所有初始状态的能力，如果在有限的时间内根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。为了说明图21-1所示电路的能观性，分别列出电桥不平衡和平衡时的状态空间表达式： 平衡时： 由式（2）可知，状态变量iL和uc没有耦合关系，外施信号u只能控制iL的变化，不会改变uc的大小，所以uc不能控。基于输出是uc，而uc与iL无关连，即输出uc中不含有iL的信息，因此对uc的检测不能确定iL。反之式（1）中iL与uc有耦合关系，即ur的改变将同时控制iL和uc的大小。由于iL与uc的耦合关系，因而输出uc的检测，能得到iL的信息，即根据uc的观测能确定iL（ω） 五、实验步骤 1．用2号导线将该单元中的一端接到阶跃信号发生器中输出2上，另一端接到地上。将阶跃信号发生器选择负输出。 2．将短路帽接到2K处，调节RP2，将Uab和Ucd的数据填在下面的表格中。然后将阶跃信号发生器选择正输出使调节RP1，记录Uab和Ucd。此时为非能控系统，Uab和Ucd没有关系（Ucd始终为0）。 3．将短路帽分别接到1K、3K处，重复上面的实验。 六、实验结果 表20－1Uab与Ucd的关系 绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！ 这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 第一章 控制系统的状态空间表达式 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 312 11111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为 []11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为 现代控制理论实验报告 组员： 院系：信息工程学院 专业： 指导老师： 年月日 实验1 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换 [实验要求] 应用MATLAB 对系统仿照[例]编程，求系统的A 、B 、C 、阵；然后再仿照[例]进行验证。并写出实验报告。 [实验目的] 1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法； 2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。 [实验内容] 1 设系统的模型如式示。 p m n R y R u R x D Cx y Bu Ax x ∈∈∈?? ?+=+=& 其中A 为n ×n 维系数矩阵、B 为n ×m 维输入矩阵 C 为p ×n 维输出矩阵，D 为传递阵，一般情况下为0，只有n 和m 维数相同时，D=1。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式示。 D B A SI C s den s num s G +-== -1)() () (()( 式中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的按s 降幂排列的分母。 2 实验步骤 ① 根据所给系统的传递函数或（A 、B 、C 阵），依据系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式，采用MATLA 的编程。注意：ss2tf 和tf2ss 是互为逆转换的指令； ② 在MATLA 界面下调试程序，并检查是否运行正确。 ③ [] 已知SISO 系统的状态空间表达式为，求系统的传递函数。 , 2010050010000100001 0432143 21u x x x x x x x x ? ? ??? ? ??????-+????????????????????????-=????????????&&&&[]??? ? ? ???????=43210001x x x x y 程序: A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 5 0]; B=[0;1;0;-2]; C=[1 0 0 0]; D=0; [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) 程序运行结果: num = 0 den = 0 0 0 从程序运行结果得到:系统的传递函数为: 2 4253 )(s s s S G --= ④ [] 从系统的传递函数式求状态空间表达式。 程序: num =[0 0 1 0 -3]; den =[1 0 -5 0 0]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 程序运行结果: A = 0 5 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 《现代控制理论》实验指导书 俞立徐建明编 浙江工业大学信息工程学院 2007年4月 实验1 利用MATLAB 进行传递函数和状态空间模型间的转换 1.1 实验设备 PC 计算机1台（要求P4-1.8G 以上），MATLAB6.X 或MATLAB7.X 软件1套。 1.2 实验目的 1、学习系统状态空间模型的建立方法、了解状态空间模型与传递函数相互转换的方法； 2、通过编程、上机调试，掌握系统状态空间模型与传递函数相互转换的方法。 1.3 实验原理说明 设系统的状态空间模型是 x Ax Bu y Cx Du =+?? =+?& (1.1) p y R ∈其中：n x R ∈是系统的状态向量，是控制输入，m u R ∈是测量输出，A 是维状态矩阵、是维输入矩阵、是n n ×m n ×n p ×B D C 维输出矩阵、是直接转移矩阵。系统传递函数和状态空间模型之间的关系如式（1.2）所示。 1()()G s C sI A B D ?=?+ (1.2) 表示状态空间模型和传递函数的MATLAB 函数。 函数ss （state space 的首字母）给出了状态空间模型，其一般形式是 SYS = ss(A,B,C,D) 函数tf （transfer function 的首字母）给出了传递函数，其一般形式是 G=tf(num,den) 其中的num 表示传递函数中分子多项式的系数向量（单输入单输出系统），den 表示传递函数中分母多项式的系数向量。 函数tf2ss 给出了传递函数的一个状态空间实现，其一般形式是 [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 函数ss2tf 给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是 [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) 其中对多输入系统，必须确定iu 的值。例如，若系统有三个输入和，则iu 必须是1、2或3，其中1表示，2表示，3表示。该函数的结果是第iu 个输入到所有输出的传递函数。 21,u u 3u 1u 2u 3u 1.4 实验步骤 1、根据所给系统的传递函数或（A 、B 、C 、D ），依据系统的传递函数阵和状态空间模型之间的关系（1.2），采用MATLAB 的相关函数编写m-文件。 2、在MATLAB 界面下调试程序。 例1.1 求由以下状态空间模型所表示系统的传递函数， ?? ? ? ? ?????=?????? ?????+???????????????????????=??????????321321321]001[1202505255100010x x x y u x x x x x x &&& 《现代控制理论》MOOC课程 1.5 离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式 一. 时间离散系统 离散系统的状态空间表达式可用差分方程组表示为 x(k +1)=Gx(k)+Hu (k)y k =Cx k +Du(k) 二. 线性时变系统 其系数矩阵的元素中至少有一个元素是时间t 的函数； 线性时变系统的状态空间表达式为： x =A t x +A t u y=C t x +D t u 三. 非线性系统 x =f (x,u , t ） y=g (x,u,t) 1.非线性时变系统的状态空间表达式 式中，f ，g 为函数向量； x =f (x,u ） y=g (x,u) 2.非线性定常系统的状态空间表达式 当非线性系统的状态方程中不显含时间t 时，则称为非线性定常系统 3.非线性系统的线性化 x =f (x,u ） y =g (x,u) 设是非线性系统x 0，u 0的一个平衡状态, 即。 f (x 0,u 0)=0 , y 0= g (x 0,u 0)若只考虑附近小范围的行为，则可将非线性系统取一次近似而予以线性化。x 0，u 0，y 0将非线性函数f 、g 在附近作泰勒级数展开，并忽略高次项，仅保留一次项： x 0，u 0f x,u =f x 0,u 0 +?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x 0,u 0δu g x,u =g x 0,u 0+?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0 δu 则非线性系统的一次线性化方程可表示为：δx =x ?x 0=?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x 0,u 0δu δy =y ?y 0=?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0 δu 将微增量用符号表示，线性化状态方程就表示为： δx ，δu ，δy ?x ，?u ，?y ?x =A ?x +B ?u ?y =C ?x +D ?u 其中,A =?ef ex x 0,u 0,B =?ef eu x 0,u 0,?C =eg ex x 0,u 0,D =?eg eu x 0,u 0 现代控制理论基础课程总结 学院:__机械与车辆学院_ 学号:____2120120536___ 姓名:_____王文硕______ 专业:___交通运输工程__ 《现代控制理论》学习心得 摘要:从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。现代控制论是用状态空间方法表示,概念抽象,不易掌握。对于《现代控制理论》这门课程,本人选择了最为感兴趣的几个知识点进行分析,并谈一下对于学习这么课程的一点心得体会。 关键词:现代控制理论;学习策略;学习方法;学习心得 在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合,各学科之间相互交叉、相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社会科学的具有横向科学特点的现代控制理论已成为我国理工科大学高年级的选修课和研究生的学位课。 从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。经典控制论限于处理单变量的线性定常问题,在数学上可归结为单变量的常系数微分方程问题。现代控制论面向多变量控制系统的问题,它是以矩阵论和线性空间理论作为主要数学工具,并用计算机来实现。现代控制论来源于工程实际,具有明显的工程技术特点,但它又属于系统论范畴。系统论的特点是在数学描述的基础上,充分利用现有的强有力的数学工具,对系统进行分析和综合。系统特性的度量,即表现为状态;系统状态的变化,即为动态过程。状态和过程在自然界、社会和思维中普遍存在。现代控制论是在引入状态和状态空间的概念基础上发展起来的。状态和状态空间早在古典动力学中得到了广泛的应用。在5O年代Mesarovic教授曾提出“结构不确定 性原理”,指出经典理论对于多变量系统不能确切描述系统的内在结构。后来采用状态变量的描述方法,才完全表达出系统的动力学性质。6O年代初,卡尔曼(Kalman从外界输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力这两方面提出能控制性和能观性的概念。这些概念深入揭示了系统的内在特性。实际上,现代控制论中所研究的许多基本问题,诸如最优控制和最佳估计等,都是以能能控性和能观性作为“解”的存在条件的。 现代控制理论是一门工程理论性强的课程,在自学这门课程时,深感概念抽象,不易掌握;学完之后,从工程实际抽象出一个控制论方面的课题很难,如何用现代控制论的基本原理去解决生产实际问题则更困难,这是一个比较突出的矛盾。 对现代控制理论来说,首先遇到的问题是将实际系统抽象为数学模型,有了数学模型,才能有效地去研究系统的各个方面。许多机电系统、经济系统、管理系统常可近似概括为线 性系统。线性系统和力学中质点系统一样,是一个理想模型,理想模型是研究复杂事物的主要方法,是对客观事物及其变化过程的一种近似反映。现代控制论从自然和社会现象中抽象出的理想模型,用状态空间方法表示,再作理论上的探讨。 线性系统理论是一门严谨的科学。抽象严谨是其本质的属性,一旦体会到数学抽象的丰富含义,再不会感到枯燥乏味。线性系统理论是建立在线性空间的基础上的,它大量使用矩阵论中深奥的内容,比如线性变换、子空间等,是分析中最常用的核心的内容,要深入理解,才能体会其物理意义。比如,状态空间分解就是一种数学分析方法。在控制论中把实际系统按能控性和能观性化分成四个子空间,它们有着确切的物理概念。线性变换的核心思想在于:线性系统的基本性质(如能控性、能观性、极点、传递函数等在线性变换下都不改变,从而可将系统化为特定形式,使问题的研究变得简单而透彻。 在学习现代控制理论教材时,发现不少“引而未发”的问题。由于作者有丰富的教学经验与学术造诣,能深入浅出阐述问题,发人深省。因此,通过自己反复阅读教材,就能理解这些内容。比如,在探讨线性系统的传递函数的零极点相消时,如果潜伏着 第一章线性离散系统 第一节概述 随着微电子技术，计算机技术和网络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到广泛的应用。通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。 一、举例自动测温，控温系统图; 加 热 气 体 图解： 1. 当炉温h变化时，测温电阻R变化→R ?，电桥失去平衡状态，检流计指针发生偏转，其偏转角度为) e； (t 2. 检流计是个高灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦力。当凸轮转动使指针 ）,接触时间为τ秒； 与电位器相接触（凸轮每转的时间为T 3. 当炉温h 连续变化时，电位器的输出是一串宽度为τ的脉冲信号e *τ(t); 4.e *τ(t)为常值。加热气体控制阀门角度调速器电动机放大器h →→→→→→? 二、相关定义说明（通过上例来说明） 1. 信号采样 偏差)(t e 是连续信号，电位器的输出的e *τ(t)是脉冲信号。连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。实现采样的装置成为采样器。 To —采样周期，f s =--To 1 采样频率，W s =2πf s —采样角频率 2．信号复现 因接触时间很小，τo T ??τ， 故可把采样器的输出信号）（t e * 近似看成是一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲，为了去除采样本身带来的高额分量，需要把离 散信号）（t e * 恢复到原信号)(t e 。 实现方法：是在采样器之后串联一个保持器，及信号复现滤波器。 作用：是把）（t e * 脉冲信号变成阶梯信号e h (t) 3.采样系统结构图 r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，）（t e * 为离散信号 )(s G h ，)(s G p ，)(s H 分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。 (t) r 4.采样系统工作过程 现代控制理论实验指导书 实验一：线性系统状态空间分析 1、模型转换 图1、模型转换示意图及所用命令 传递函数一般形式： )()(11101110n m a s a s a s a b s b s b s b s G n n n n m m m m ≤++++++++= ---- MATLAB 表示为：G=tf(num,den)，其中num,den 分别是上式中分子，分母系数矩阵。 零极点形式： ∏∏==--= n i j m i i p s z s K s G 1 1 ) () ()( MATLAB 表示为：G=zpk(Z,P,K)，其中 Z ，P ，K 分别表示上式中的零点矩阵，极点矩阵和增益。 传递函数向状态空间转换：[A,B,C,D] = TF2SS(NUM,DEN)； 状态空间转换向传递函数：[NUM,DEN] = SS2TF(A,B,C,D,iu)---iu 表示对系统的第iu 个输入量求传递函数；对单输入iu 为1; 验证教材P438页的例9-6。求P512的9-6题的状态空间描述。 >> A=[0 1;0 -2]; >> B=[1 0;0 1]; >> C=[1 0;0 1]; >> D=[0 0;0 0]; >> [NUM,DEN] = ss2tf(A,B,C,D,1) NUM = 0 1 2 0 0 0 DEN = 1 2 0 >> [NUM,DEN] = ss2tf(A,B,C,D,2) NUM = 0 0 1 0 1 0 DEN = 1 2 0 给出的结果是正确的，是没有约分过的形式 P512 9-6 >> [A,B,C,D]=tf2ss([1 6 8],[1 4 3]) 现代控制理论基础 １．一个线性系统的状态空间描述( B ) A．是唯一的； B．不是唯一的 C．是系统的内部描述；D．是系统的外部描述 2．设系统的状态空间方程为=X+u，则其特征根为（ D ） A． s1= -2,s2= -3；B． s1= 2,s2= 3；C． s1= 1,s2= -3；D．s1=-1,s2=-2 3．状态转移矩阵（t）的重要性质有（ D）。 A．φ（0）=0； B．φ-1（t）= -φ（t）； C．φk（t）=kφ（t）；D ．φ（t1+t2）=φ（t1）?φ（t2）4．系统矩阵A=,则状态转移矩阵φ（t）= （ C） A． ; B． ; C． ; D． ; 5. 设系统=X+u，y=x，则该系统( A )。 A．状态能控且能观测； B．状态能控但不能观测； C．状态不能控且不能观测 D．状态不能控且能观测； 6．若系统=X+u，y=x是能观测的，则常数a取值范围是（ C）。 A．a ≠ 1；B．a = 1；C．a ≠ 0；D．a = 0； 7. 线性系统和互为对偶系统，则（AD） A．C1=B2T；B． C1=B2；C． C1=C2；D．C1=B2T 8. 李雅普诺夫函数V(x)=（x1+x2）2，则V(x)是(C) A．负定的；B．正定的；C．半正定的；D．不定的 9.单位脉冲响应的拉氏变换为（B） A．； B．; C． 0； D． 1 10.通过状态反馈能镇定的充分必要条件是，渐近稳定的子系统是（B） A．能控； B．不能控; C．能观测； D．不能观测 二.填空题（每空1分，10分） 11.状态方程揭示了系统的内部特征，也称为内部描述。 12.已知系统矩阵，则特征多项式为S2-S+1 。 13.对于完全能控的受控对象，不能采用输出反馈至参考信号入口处的结构去实现闭环极点的任意配置。 14.在状态空间分析中，常用状态结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。 15.为了便于求解和研究控制系统的状态响应，特定输入信号一般采用脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数等输入信号。 16.若已知线性系统的矩阵【A AB A2B】的秩为3，那么该系统是能控的。 17.当且仅当系统矩阵A的所有特征值都具有负实部时，系统在平衡状态时渐近稳定的。 18.同一个系统，状态变量的选择不是唯一的。 19.控制系统的稳定性，包括外部稳定性和内部稳定性。 20.能观测性是反映输出对系统状态的判断能力。 三.名词解释（共20分） 21.状态空间描述（3分） 答：用状态变量构成输入，输出与状态之间的关系方程组即为状态空间描述。 22. 零输入响应（3分） 答：是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 23.稳定（3分） 答：系统稳定性包括外部稳定和内部稳定；外部稳定是指系统在零初始条件下通过其外部状 1.经典控制理论与现代控制理论的区别与联系 区别: (1)研究对象方面:经典控制系统一般局限于单输入单输出,线性定常系统。严格的说,理想的线性系统在实际中并不存在。实际的物理系统,由于组成系统的非线性元件的存在,可以说都就是非线性系统。但就是,在系统非线性不严重的情况时,某些条件下可以近似成线性。所以,实际中很多的系统都能用经典控制系统来研究。所以,经典控制理论在系统的分析研究中发挥着巨大的作用。 现代控制理论相对于经典控制理论,应用的范围更广。现代控制理论不仅适用于单输入单输出系统,还可以研究多输入多输出系统;不仅可以分析线性系统,还可以分析非线性系统; 不仅可以分析定常系统,还可以分析时变系统。 (2)数学建模方面:微分方程(适用于连续系统)与差分方程(适用于离散系统)就是描述与分析控制系统的基本方法。然而,求解高阶与复杂的微分与差分方程较为繁琐,甚至难以求出具体的系统表达式。所以,通过其它的数学模型来描述系统。 经典控制理论就是频域的方法,主要以根轨迹法与频域分析法为主要的分析、设计工具。因此,经典控制理论就是以传递函数(零初始状态下,输出与输入Laplace变换之比)为数学模型。传递函数适用于单输入单输出线性定常系统,能方便的处理这一类系统频率法或瞬态响应的分析与设计。然而对于多信号、非线性与时变系统,传递函数这种数学模型就无能为力了。传递函数只能反应系统的外部特性,即输入与输出的关系,而不能反应系统内部的动态变化特性。 现代控制理论则主要状态空间为描述系统的模型。状态空间模型就是用一阶微分方程组来描述系统的方法,能够反应出系统内部的独立变量的变化关系,就是对系统的一种完全描述。状态空间描述法不仅可以描述单输入单输出线性定常系统,还可以描述多输入多输出的非线性时变系统。另外状态空间分析法还可以用计算机分析系统。 (3)应用领域方面:由于经典控制理论发展的比较早,相对而言理论比较成熟,并且生产生活中很多过程都可近似瞧为线性定常系统,所以经典控制理论应用的比较广泛。 现代控制理论就是在经典控制理论基础上发展而来的,对于研究复杂系统较为方便。并且现代控制理论可以借助计算机分析与设计系统,所以有其独特的优越性。 联系:(1)虽然现代控制理论的适用范围更多,但并不能定性的说现代控制理论更优于经典控制理论。我们要根据具体研究对象,选择合适的理论进行分析,这样才能就是分析的更简便,工作量较小 (2)两种控制理论在工业生产、环境保护、航空航天等领域发挥着巨大的作用。 (3)两种理论有其各自的特点,所以在对系统进行分析与设计时,要根据系统的特征选取与就现代控制理论基础考试题A卷及答案
现代控制理论实验报告
现代控制理论实验
现代控制理论基础试卷及答案.doc
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论在航空航天中应用
现代控制理论实验报告
现代控制理论课后习题答案
《现代控制理论基础》考试题B卷及答案
现代控制理论实验报告
《现代控制理论》.
现代控制理论 离散时间系统、 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
现代控制理论课程学习心得.
(完整版)现代控制理论
现代控制理论实验报告
现代控制理论基础
经典控制理论和现代控制理论的区别和联系