函数的周期性与对称性.

函数的周期性与对称性

1、函数的周期性

若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|

性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|

性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|

3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2

2)()(b

a x

b x a x +=

-++=

对称推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2

(

c b

a +对称推论1、

b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称

例题分析：

1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则

)5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（）

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1

(2)()

f x f x +=

，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___

5．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x =对称。（1）求(0)f 的值；（2）证明)(x f 是周期函数；

（3）若()(01)f x x x =<≤，求x R ∈时，函数)(x f 的解析式，并画出满足条件的函数)

(x f 至少一个周期的图象。

6.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．

巩固练习：

1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )

A ．(1,3)

B ．(－1,1)

C ．(－1,0)∪(1,3)

D ．(－1,0)∪(0,1)

2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝????121－x

，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝????12x －3

. 其中所有正确命题的序号是________．

3．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈????0，1

2时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ????－32的值等于( )A ．－12 B ．－13C ．－14 D ．－1

4．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．

5、（1）_____)1()(21

21)(=-++=x f x f a

a a x f x x ）对称：，关于点（;

（2）______)()(10122

4)(1=-++--=+x f x f x x f x x ）对称：，关于（

（3）若),2()(x a f x f -=设个不同的实数根，则有n x f 0)(= _________21=+++n x x x .

6．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .

(1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．

7．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，

.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.

8.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.

9.已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -≤≤是奇函数.又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-.

（1）证明：(1)(4)0f f +=；（2）求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；（3）求()y f x =在[4,9]上的解析式.

10.已知)2

121()(+-=x

x x f ，（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）证明：0)(>x f

11、定义在]11

[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围。

12．（重庆文）已知定义域为R 的函数12()2x x b

f x a

+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围。

复习题：

1．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，点(,)n n S 在抛物线231

y x x =+上；各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511

,1632

b b b =

=. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n C a b =,求数列{}n C 的前n 项和n T ．

2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且

2228

ABC b c a S ?+-=（其中ABC S ?为△ABC 的面积）．

（Ⅰ）求2sin cos 22

B C A ++；（Ⅱ）若2b =，△ABC 的面积为3，求a ．

3．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5．现从一批该日

用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，

求a ，b ，c 的值；

（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为1x ，2x ，3x ，等级系数为5

的2件日用品记为1y ，2y ，现从1x ，2x ，3x ，1y ，2y 这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

4. 如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， 2PA AC ==，1BC =. （Ⅰ）求证：⊥AH 平面PBC ；

（Ⅱ）求经过点PABC 的球的表面积。

5.已知抛物线28(8)x y =+与y 轴交点为M ，动点,P Q 在抛物线上滑动，且0MP MQ ?=

（1）求PQ 中点R 的轨迹方程W ；

（2）点,,,A B C D 在W 上，,A D 关于y 轴对称，过点D 作切线l ，且BC 与l 平行，点D 到

,AB AC 的距离为12,d d ，且122||d d AD +=，证明：ABC ?为直角三角形

6. 设函数2ln ()x

f x x

.（1）求()f x 的极大值；（2）求证：2*12ln[(1)(2)21]()(21)()e n n n n n n n N ?-?-?≤++∈

（3）当方程()0()2a f x a R e +

-=∈有唯一解时，方程22

2()()0ax tx t g x txf x x --'=+=也有唯一解，求正实数t 的值；

函数的周期性与对称性

1 2 3 4 5

频率

0．2

0．45

1、函数的周期性

若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|

性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|

性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|

3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）

若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2

2)()(b

a x

b x a x +=

-++=

(

c b

a +对称推论1、

例题分析：

1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则

)5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（）

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1

(2)()

f x f x +=

，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___

5．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x =对称。（1）求(0)f 的值；（2）证明)(x f 是周期函数；

（3）若()(01)f x x x =<≤，求x R ∈时，函数)(x f 的解析式，并画出满足条件的函数)

(x f 至少一个周期的图象。

解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．

(2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]， ∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.

又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．巩固练习：

1．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )

A ．(1,3)

B ．(－1,1)

C ．(－1,0)∪(1,3)

D ．(－1,0)∪(0,1) 解析：选C f (x )的图像如图．

当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；

当x ∈(0,1)时，由xf (x )<0得x ∈?；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．

2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝????121－x

，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝????12x －3

. 其中所有正确命题的序号是________．解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，

则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝????121＋x ，

函数y ＝f (x )的图像如图所示：

当3

f (x )＝f (x －4)＝????12x －3

，因此②④正确，③不正确．答案：①②④

3．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈????0，1

2时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ???

?－3

2的值等于( ) A ．－12 B ．－13C ．－14 D ．－1

解析：选C 由f (t )＝f (1－t )得f (1＋t )＝f (－t )＝－f (t )，所以f (2＋t )＝－f (1＋t )＝f (t )，所以f (x )的周期为2. 又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，

所以f (3)＋f ????－32＝f (1)＋f ????12＝0－????122＝－1

. 4．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．

解析：∵y ＝f (x )为偶函数，且f (x )＝(x ＋1)·(x －a )(－3≤x ≤3)， ∴f (x )＝x 2＋(1－a )x －a,1－a ＝0.

∴a ＝1.f (x )＝(x ＋1)(x －1)(－3≤x ≤3)．f (－6)＝f (－6＋6)＝f (0)＝－1.

5、（1）1)1()(21

21)(=-++=x f x f a

a a x f x x ）对称：，关于点（;

（2）2)()(10122

4)(1=-++--=+x f x f x x f x x ）对称：，关于（

（3）若),2()(x a f x f -=设个不同的实数根，则有n x f 0)(=

na x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(2

221121 .

),212(111a x x a x k n =?-=+=时，必有当

6．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .

(1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (3)＝f (3－4)＝－f (1)＝－1.

(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称．

又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图像关于原点成中心对称，则－1≤x ≤0时，f (x )＝x ，则f (x )的图像如图所示．

当－4≤x ≤4时，设f (x )的图像与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×????1

2×2×1＝4.

7．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，

.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.

解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，

4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f

又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时，

[]).

21(4)1(243)4(2)()

4()(2

≤≤+--=++--=?-=x x x x f x f x f 有

).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f

8.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.

解：由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得

)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，

,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==

故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.

而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点. 9.已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()y f x =(11)x -≤≤是奇函数.又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-.

（1）证明：(1)(4)0f f +=；（2）求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；

（3）求()y f x =在[4,9]上的解析式.

解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，且在[1,1]-上是奇函数，∴(1)(1)(51)(4)f f f f =--=--=-，∴(1)(4)0f f +=. ②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =， ∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤.

③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，

又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤ 而2(1)2(12)53f =--=-，

∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，

从而10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-. ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+. 当69x <≤时，154x <-≤，

∴2

()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=-- ∴2

315,

46()2(7)5,

x x f x x x -+≤≤?=?

--<≤?.

10.已知)2

121(

)(+-=x

x x f ，（1）判断)(x f 的奇偶性；（2）证明：0)(>x f 11、定义在]11

[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围。

12．（重庆文）已知定义域为R 的函数12()2x x b

f x a

+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围。

10(1)偶函数 (2)奇函数 11(1)偶函数 12、3331,2??

-+?????

复习题：

2．已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，点(,)n n S 在抛物线231

y x x =+上；各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511

,1632

b b b =

=. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n C a b =,求数列{}n C 的前n 项和n T ．

2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且

2228

ABC b c a S ?+-=（其中ABC S ?为△ABC 的面积）．

（Ⅰ）求2sin cos 22

B C A ++；（Ⅱ）若2b =，△ABC 的面积为3，求a ．

3．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5．现从一批该日

用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，

求a ，b ，c 的值；

（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为1x ，2x ，3x ，等级系数为5

4. 如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， 2PA AC ==，1BC =. （Ⅰ）求证：⊥AH 平面PBC ；

（Ⅱ）求经过点PABC 的球的表面积。

5.已知抛物线28(8)x y =+与y 轴交点为M ，动点,P Q 在抛物线上滑动，且0MP MQ ?=

（1）求PQ 中点R 的轨迹方程W ；

（2）点,,,A B C D 在W 上，,A D 关于y 轴对称，过点D 作切线l ，且BC 与l 平行，点D 到

,AB AC 的距离为12,d d ，且122||d d AD +=，证明：ABC ?为直角三角形

6. 设函数2

ln ()x

f x x =

.（1）求()f x 的极大值；（2）求证：2*12ln[(1)(2)21]()(21)()e n n n n n n n N ?-?-?≤++∈

（3）当方程()0()2a f x a R e +

-=∈有唯一解时，方程22

2()()0ax tx t g x txf x x --'=+=也有唯一解，求正实数t 的值；

1 2 3 4 5

频率

0．2

0．45

复习题答案：1、解：（Ⅰ）231

n S n n =

+Q ，当1n =时，112a S == 2213135

2(1)(1)1

2222n n S n n n n -≥=-+-=-+当时，

131n n n a S S n -∴=-=-

∴数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，31n a n ∴=-

又各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511

,432

b b b ==

421111

,432b b q b q ∴===

，解得111,22b q ==，1()2

n n b ∴=

(Ⅱ)由题得1(31)()2

n c n =-

211111

25()...(34)()(31)()2222n n

n T n n -∴=?+?++-?+-? ①

231

111112()5()...(34)()(31)()22222n n n T n n +∴=?+?++-?+-? ②

①-②得

23111

11113()()()(31)()22

222n n n T n +??=++++--????L 11

[1()]

14213(31)()1212

n n n -+-=+?--?-15113()(31)()222n n n +=

-?--?

n n

n T +∴=-

………………………………………………12分 2、解析：（Ⅰ）由已知得

A bc A bc sin 2

382cos 2?=即0sin 4cos 3>=A A 53sin =∴A 54

cos =

12cos cos 22cos 2cos 12cos 2sin 22-+=++=++A A A A A C B

592152425162=-?+?=………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知53

sin =A 2,3s i n

1===?b A bc S ABC , A b c a c cos 265222++==∴ 又

135

5222542=???-+=∴a

13=∴a ……………………………………12分

3、.解：（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 ……………1分

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b=

=0.15………3分

等级系数为5的恰有2件，所以c=

=0.1 ……………4分从而a=0.35-b-c=0.1

所以a=0.1 b=0.15 c=0.1 ……………6分（2）从日用品1X ,2X ,3X ,1Y ,2Y 中任取两件，所有可能结果

(

1X ,2X ),(1X ,3X ),(1X ,1Y ),(1X ,2Y ),（2X ,3X ）,( 2X ,1Y ),(2X ,2Y ),(3X ,1Y ), (3X ,2Y ),(1Y ,2Y )共10种， …9分

设事件A 表示“从日用品1X ,2X ,3X ,1Y ,2Y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为(1X ,2X ),(1X ,3X ),(1X ,2X ),(1Y ,2Y )共4个，………11分

故所求的概率P(A)= 4

=0.4 ……………12分

4、（Ⅰ）证明：因为 PA ⊥底面ABC ，BC ?底面ABC ，

所以 PA BC ⊥，

又因为 AC BC ⊥， PA AC A =，所以 ⊥BC 平面PAC ，

又因为 ?AH 平面PAC ，所以 BC AH ⊥. 因为，AC PA =H 是PC 中点，所以 AH PC ⊥，又因为 PC BC C =，

所以 ⊥AH 平面PBC . …………………………6分

（Ⅱ）9S π=……………………12分 5、解：（1）显然直线MP 的斜率存在且不为0，设为k ，设PQ 的中点R (,)x y

∴直线:8MP y kx =-与28(8)x y =+联立解得：2(8,88)P k k -

同理：288(,8)Q k k -- PQ ∴的中点2244

(4,48)R k k k k -+-

2244,448x k k y k k ?

=-??∴??=+-??

∴轨迹方程：24x y =…………………………6分（2）由24x y =得：2x

y '=，设222012012(,

),(,),(,)444x x x D x C x B x 则200(,)4x A x - ∴12011

(),42

BC k x x x =+= ∴1202x x x +=

∴201011(2,(2))4B x x x x -- ∴101

()4AC k x x =-

又011

()4

AB k x x =- 则AC AB k k =- 则DAC DAB ∠=∠ ∴12d d =

又122||d d AD += 则045DAC DAB ∠=∠= ∴ABC ?为直角三角形……………………13分

6、解：（1）43

2ln 12ln ().x x x x

f x x x

--'==由()0f x '=得,x e = x

(0,)e e (,)e +∞

()f x '

+ 0 - ()f x 递增极大值递减

从而()f x 在(0,)e 单调递增,在(,)e +∞单调递减.

()().2f x f e e

极大……………………………………………………4分（2）证明：

1()().2f x f e e ==极大 1()2f x e ∴≤ 2l n 1

2x x e

∴≤

21ln 2x x e

∴≤

22l n e x x

∴≤ 分别令1,2,3,,x n = 22l n 11e ∴≤，22l n 22e ≤， 2

2l n e n n ≤

22222(ln1ln 2ln3ln )123e n n ∴++++≤++++

(1)(21)

2ln[(1)(2)21]6n n n e n n n ++∴?-?-?≤

*12ln[(1)(2)21]()(21)()e n n n n n n n N ∴?-?-?≤++∈…………………………9分

（3）由（1）的结论：方程()0()2a

f x a R e

+-=∈有唯一解 1a ∴= 方程22

2()()0ax tx t g x txf x x

--'=+=有唯一解即：2

2ln 20(0)x t x tx x --=>有唯一解设()G x =22ln 20(0)x t x tx x --=> 2

2()()G x x tx t x

'∴=--

由()0G x '∴=则20x tx t --= 设2

0x tx t --=的两根为12,x x ，不妨设12x x < 0t > 120x x ∴<< 221244,22

t t t t t t

x x -+++∴==

()G x ∴在2(0,)x 递减，2(,)x +∞递增

要使()G x =22ln 20(0)x t x tx x --=>有唯一解，则2()0G x = 即：22222ln 20x t x tx --= ①

又2220x tx t --=② 由①②得：222ln 0t x tx t +-= 即：222ln 10x x +-=

21x ∴= ，又2x 是方程20x tx t --=的根

22412

t t t

x ++∴==

12t ∴=………………………………………………14分

函数对称性与周期性关系

函数对称性与周期性关系【知识梳理】一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称（2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性一、相关结论 1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同） ① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若) (1 )(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反） ①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。 ②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2 ( b a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。 ③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2 ,2(c b a +对称。 4．互对称性 ①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2 (a b -对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5．对称性与周期性的关系 ①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 ②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||4a b -为一个周期。

函数的周期性和对称性(解析版)——王彦文

专题二：函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。【方法点评】一、函数的周期性求法使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步准确求出函数的周期性；第三步运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件) (1 )2(x f x f = +，若5)1(-=f ，则=))5((f f （） A ．5- B ．5 C ．51 D ．5 1- 【答案】D 考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2 ，则()=2016f （） A 、-12 B 、-16 C 、-20 D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性．【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B

函数的周期性与对称性

第5炼函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x +=轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、对称性定义（略），请用图形来理解。 3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称（2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得证。若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称（3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、周期性：（1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）

(完整版)常见函数对称性和周期性

（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称

函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)

函数的对称性与周期性【知识梳理】 1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期； 2. 周期函数的其它形式 ()()f x a f x b +=+? ；()()f x a f x +=-? ；()()1f x a f x +=? ； ()()1f x a f x +=-? ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+? ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+? )()()2(x f a x f a x f -+=+? 1 )(1)(+-=+x f a x f ? ， 3. 函数图像的对称性 1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点对称； 4. 常见函数的对称性 1）函数()()0ax b f x c cx d +=≠+的图像关于点对称； 2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线对称；【例题选讲】题型一根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331 x f x x +=-的图像关于对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于对称； 4. 函数()3sin 23f x x π??=- ?? ?的图像关于直线对称；关于点对称；题型二平移变换后，函数图像的对称性 1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( ) 2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于对称； 3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于对称；题型三函数图像的对称性求函数解析式

函数的对称性和周期性练习题本部

函数的对称性与周期性练习题 1.已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且满足3)()1(=++x f x f ，当[]1,0x ∈-时，()2f x x =+，则)5.2007(-f 的值为（） A ．0.5 B ．1.5 C ． 1.5- D ．1 2．定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()() ()()112,214 f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于（） A. 14 B. 12 C. 13 D. 35 3.已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()()0,11f x f x f x f x +-=-=+，当()0,1x ∈时，()2f x x x =-+，则函数()f x 的最小值为（） A. 14 B. 14- C. 12- D. 12 4.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增，如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（） A. 可正可负 B. 恒大于0 C. 可能为0 D. 恒小于0 5．函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数 C. ()()2f x f x =+ D. ()3f x +是奇函数 6．函数31()1f x x x =++关于点__________对称 7．设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________ 8．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，()242,10,01 x x f x x x ?-+-≤<=?≤

(完整版)函数的周期性与对称性总结

一:有关周期性的讨论在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立周期性规律对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=?

函数的周期性与对称性

函数的周期性与对称性 1、函数的周期性若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b| 3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 ( c b a +对称推论1、 b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称例题分析： 1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则 )5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1 (2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___

函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.

函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0) ()(x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数)(x f y 关于a x 对称)()(x a f x a f )()(x a f x a f 也可以写成)2() (x a f x f 或)2()(x a f x f 若写成： )()(x b f x a f ，则函数)(x f y 关于直线22)() (b a x b x a x 对称证明：设点),(11y x 在)(x f y 上，通过)2()(x a f x f 可知，)2()(111x a f x f y ，即点)(),2(11x f y y x a 也在上，而点 ),(11y x 与点),2(11y x a 关于x=a 对称。得证。说明：关于a x 对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。∵1111(,)(,)a x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )()(x a f x a f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f ∵1111(,)(2,)x y a x y 与关于x a 对称，∴函数)(x f y 关于a x 对称 )2()(x a f x f （2）函数的点对称：函数)(x f y 关于点),(b a 对称b x a f x a f 2)()(

函数对称性与周期性几个重要结论赏析

函数对称性与周期性几个重要结论赏析对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。一、几个重要的结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 4、如果函数 )(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。 5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。 6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。 2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。 3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。 4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。 5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。 6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f 。 7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f 。二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数 )(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时, 512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。 2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。 3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称。 4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于__________ 对称。 5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于__________对称。)(x f y =图象关于__________对称。 6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图象关于__________对称，)(x f y =关于__________对称。 7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（） A 、5 B 、10 C 、15 D 、18 8、设函数 )(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象

抽象函数的对称性与周期性

抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 2a b +对称。推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x) （或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)，又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则函数y=f (x) 的图象关于点( ,)22a b c + 对称。推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数 y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两函数的图象关于直线x=2b a -对称。定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b －x)两函数的图象关于点 (,)22b a c -对称。性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= －f(b －x)成立，则y=f(x)的图象关于点（ 2b a +,0）对称。性质2：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b －x)图象关于点（ 2a b -,0）对称。二、抽象函数的周期性定理5.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为周期的周期函数。定理6.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a ＋b ）为周期的周期函数。定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b （a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a) 为周期的周期函数。定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a) 为周期的周期函数。定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与点(b,0),(a ≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b －a)为周期的周期函数。性质1：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)=f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0),则函数f(x)有周期2(a －b)；性质2：若函数f(x)满足f(a －x)= － f(a ＋x)及f(b －x)=－ f(b ＋x)，(a ≠b,ab ≠0),则函数有周期2(a －b). 特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a. 性质3：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)= － f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0)，则函数有周期 4(a －b). 特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a 。

函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全

函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。 1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),(Y --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-() ()()0,1() f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。() ()-()0,1() f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]?? ?++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f

关于函数的对称性和周期性

关于函数的对称性和周期性邮编：224400 江苏省阜宁中学张敬祝函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2020年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。一、函数的对称性 1、函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称。证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于直线2 a b x +=的对称点（1a b x +-，y 1），当1x a b x =+-时，11111 ()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==，故点（1a b x +-，y 1）也在函数()y f x =图象上。由于点（x 1，y 1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x += 对称。（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。） 2、函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2 a b +，2c ）对称。证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于点（2 a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-，即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。由于点（x 1，y 1）为函数()y f x =图象上的任意一点可知，函数()y f x =的图象关于点（2 a b +，2c ）对称。

函数对称性与周期性

函数对称性与周期性知识归纳：一．函数自身的对称性结论结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b －y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。推论1：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 推论2：的图象关于点对称．推论3：的图象关于点对称．推论4：的图象关于点对称．结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b－x)那么函数本身的图像关于直线x = 对称，反之亦然。证明：已知对于任意的都有f(a+) =f(b－)= 令a+=, b－= 则Ａ（，），Ｂ（，）是函数y=f(x)上的点显然，两点是关于x= 对称的。反之，若已知函数关于直线x = 对称，在函数y = f (x)上任取一点Ｐ（）那么（）关于x = 对称点（a+ b－,）也在函数上故f()=f(a+ b－)f(a+(-a))=f(b-(-a)) 所以有f (a +x) = f (b－x)成立。

函数对称性与周期性几个重要结论

函数对称性与周期性几个重要结论一、几个重要的结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。 2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是 )(x f y =的图象关于直线 T x =对称。 3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+的充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x += -++= 对称。 4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等的常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期的周期函数。 5、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。 6、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于X 轴对称。 2、曲线 )(x f y =与 )(x f y -=关于Y 轴对称。 3、曲线 )(x f y =与 )2(x a f y -=关于直线 a x =对称。 4、曲线 0),(=y x f 关于直线 b x =对称曲线为 0)2,(=-y b x f 。 5、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=++c y x 对称曲线为 0),(=----c x c y f 。 6、曲线 0),(=y x f 关于直线 0=+-c y x 对称曲线为 0),(=+-c x c y f 。 7、曲线 0),(=y x f 关于点 ),(b a P 对称曲线为 0)2,2(=--y b x a f 。二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数 )(x f 恒满足 )1()1(x f x f -=+，且 )0,1(-∈x 时, 51 2)(+ =x x f ,则 =)20(log 2f ________。 2、已知函数 )(x f y =满足 0)2()(=-+x f x f ，则 )(x f y =图象关于__________对

函数的对称性与周期性

高中数学基本方法专题训练函数的对称性与周期性一、相关结论 x yy?x对称轴、原点、1．关于轴、2．周期性（内同） f(x?T)?f(x)f(x)0?TT为一个周期。)(若，则为周期函数，① f(x?a)?f(x?b)f(x)|b?a|ba?为一个周期。为周期函数，()②若，则 f(x?a)??f(x)f(x)2?a0a为一个周期。③，(则为周期函数，若) 1?)?af(xf(x)2a?0a为一个周期。(若④)，则为周期函数，f(x) 3 ．自对称性（内反）a?b?x)(x))?f(b?xff(a?x对称；特别地，若，则的图像关于直线①若 2x?a))f(x)?f(a?x(fa?x a?0为偶函数。，则的图像关于直线对称； a?b,0)()(xx)fxf(a?)??f(b?对称；特别地，若的图像关于点②若，则 2f(a?x)??f(a?x)f(x)(a,0)a?0为奇函数。，则的图像关于点对称； a?bc,)()x(b?x)?cf(?f(a?x)f对称。的图像关于点③若，则22 4．互对称性 b?a?x)?y?f(bx)y?f(a?x对称；与函数的图像关于直线①函数2 b?a,(0))x?a?x)y?f(b?(y?f对称；与函数②函数的图像关于点2 y?f(a?x)y?f(a?x)x?0对称。③函数的图像关于直线与函数 5．对称性与周期性的关系 x?af()f(xx)babx??为周期函数，①若的图像有两条对称轴和()，则1 高中数学基本方法专题训练 2|b?a|为一个周期。 f(x)(a,0)(b,0)f(x)ba?为周期函数，) (的图像有两个对称中心②若，则和2|b?a|为一个周期。x?a(b,0)f(x)f(x)b?a为周期函的图像有一条对称轴(，则若和一个对称中心)4|b?a|为一个周期。数， 6．三角函数图像的对称性(k∈Z) 函数对称中心坐标对称轴方程 y = sin x x = kπ, 0 ) +π/2 ( kπy = cos x x = k( kπ+π/2 ,0 ) π y = tan x 无(k π/2 ,0 )

高中函数对称性和周期性全解析

高中函数对称性和周期性全解析一、单个函数的对称性性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称。证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线 2 a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--== 故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x += 对称。（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。）性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2 c ）对称。证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点（2 a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=- 即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知函数()y f x =的图象关于点（ 2a b +，2c ）对称。（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。）性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称。证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线