对称性与周期性(基础)

对称性与周期性

【复习指导】 本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．

基础梳理

1．奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数()y f x =的定义域内任意一个x ，都有

()()

f x f x -=，那么函数()y f x =就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数()y f x =的定义域内任意一个x ，都有

()()

f x f x -=-，那么函数()y f x =就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称．

2．奇、偶函数的性质 ⑴．奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

⑵．在公共定义域内： ①．两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②．两个偶函数的和、积都是偶函数； ③．一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．

3．对称性

⑴．若对于R 上的任意的x 都有()()f a x f a x +=-或(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称．

⑵．若对于R 上的任意的x 都有：(2)()f a x f x -=-或(2)()f a x f x +=--或

()f a x +=-()f a x -，则()y f x =的图象关于点(,0)a 对称．

⑶．若对于R 上的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，且(2)2()f a x b f x -=-(其中a b <)，则(2)2()f a x b f x +=--，则()y f x =的图象关于点(,)a b 对称．

4．周期性

⑴．周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期．

⑵．最小正周期：如果在周期函数()y f x =的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()y f x =的最小正周期．

一条规律

奇、偶函数的定义域关于原点对称．

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 函数的奇偶性与周期性均为全称命题．

两个性质

⑴．若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =．

⑵．设()y f x =()y g x =的定义域分别是1D ，2D ，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

三种方法

判断函数的奇偶性，一般有三种方法：⑴．定义法；⑵．图象法；⑶．性

质法．

几条结论

⑴．若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=，且(2)()f b x f x -=(其中a b <)，则2()b a -是函数()y f x =的周期．

⑵．若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=-，且(2)()f b x f x -=-(其中a b <)，则2()b a -是函数()y f x =的周期．

⑶．若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=，且(2)()f b x f x -=-(其中a b <)，则4()b a -为函数()y f x =的周期．

⑷．若()()f x a f x +=-或1()()

f x a f x +=或1()()f x a f x +=-，那么函数()y f x =是周期函数，其中一个周期为2T a =；

⑸．若()()()f x a f x b a b +=+≠，那么函数()y f x =是周期函数，其中一个周期为||T b a =-．

双基自测

1．函数1y x x

=-的图象关于_______________对称．

2．函数2x x e e y --=的图象关于_______________对称． 3．(浙江)若函数2()||f x x x a =-+为偶函数，则实数a =_____________． 法一：因()()f x f x -=对于x R ∈恒成立，故||||x a x a -+=+对于x R ∈恒成立，两边平方整理得0ax =对于x R ∈恒成立，故0a =．

法二：由(1)(1)f f -=得，0a =．

4．(福建)对于函数()sin f x a x bx c =++(其中,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组

值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是_____________． ①．4和6 ②．3和1 ③．2和4 ④．1和2

【解】因(1)sin1,(1)sin1f a b c f a b c =++-=--+且c Z ∈，故(1)(1)2f f c +-=是偶数，只有④项中两数和为奇数，故不可能是④．

5．(全国)设()y f x =是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则

5()2

f -=____． 【解】因()y f x =是周期为2的奇函数，故5511()()()2222

f f f -=-=-=-．

考点一 判断函数的奇偶性

【例1】判断下列函数的奇偶性： ①．22()11f x x x =-+-；②．2121x x y -=+；③．11212x y =-+；④．1ln 1x y x -=+． ⑤．ln(1)2x x y e =-++．变题：2ln(1)2

x x y x e =-++． [审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断． 变题：2121x x y +=-；1212x x y -=+；1212

x

x y +=-；1ln 1x y x +=-；1ln 1x y x -=+；1ln 1x y x +=-；ln c x y c x -=+；ln c x y c x +=-；ln x c y x c +=-；ln x c y x c -=+；ln a bx y a bx

-=+． 变：①．函数221

x y =-+的图像的对称中心？ (0,1)- ②．函数121x y =-

+的图像的对称中心？ 1(0,)2- ③．函数221x y =

+的图像的对称中心？ (0,1) ④．函数121x y =+的图像的对称中心？ 1(0,)2

⑤．函数2ln x y x

-=的图像的对称中心？ (1,0) ⑥．函数ln()2x y x =-

+的图像的对称中心？ (1,0)- ⑦．函数ln

1e ex y x -=+的图像的对称中心？ (0,1) ⑧．函数1ln

x y e ex -=+的图像的对称中心？ (0,1)- ⑨．函数1ln

x y x -=的图像的对称中心？ 1(,0)2 ⑩．函数4ln

x y x

-=的图像的对称中心？ (2,0) 【解】 【练习】已知函数()(0,1)x a f x a a a a

=->≠+． ①．证明：函数()y f x =的图像关于点1

1(,)22-的对称；

②．求(2)(1)(0)(1)(2)(3)f f f f f f -+-++++的值．

1231()()()()n f f f f n n n n

-++++ 判断函数的奇偶性的一般方法是：⑴．求函数的定义域；⑵．证

明()()f x f x -=或()()f x f x -=-成立；或者通过举反例证明以上两式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断．

【练习1】判断下列函数的奇偶性：

⑴．22,0,,0

x x x y x x x ?-+≥?=?+

x y =

+-． ⑴．判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需

要的形式，另外，还可利用()()f x f x -±，()()

f x f x -来判断． 【例2】设函数21()ln(1)3,[,](0)2

x f x x e x x t t t =+-+∈->，若函数()f x 的最大值是M ，最小值是m ，则M m +=________．

分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对()f x 求导．事实上，理科学生，求导得'()ln(1)1x

x

x xe f x e x e =++-+，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导．因此，须从考察函数()f x 的性质下手，事实上，令

21()ln(1)2

x g x x e x =+-，易求得()()g x g x -=-，故()g x 是奇函数，故()g x 的最大值与最小值之和是0，从而()f x 的最大值与最小值之和是6．

⑴．求解析式；⑵．画图像；⑶．求值、比较大小、求最极值；⑷．判断单调性(见第5讲)．

【例3】已知函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，并且当0x >时，

1()|1|()2

x f x x =-?，试求()y f x =的解析式．

【练习3】⑴．已知函数()y f x =为奇函数，并且()y g x =为偶函数，且

1()()()2

x f x g x -=，试比较(1)g ，(0)g ，(2)g -的大小． ⑵．设11(),0,112

x f x a a a =->≠+，且[]m 是不超过m 的最大整数，求[()][()]f x f x +-的值域．

【例4】①．已知3()5f x ax bx =+-，且(2)10f -=，则(2)f =_________．

【练习4】⑴．已知函数()y f x =，()y g x =均为奇函数，并且()()()2H x af x bg x =++在(0,)+∞上的最大值为5，则()H x 在(,0)-∞上的最小值为_______________．

【例5】[新课标文]设函数22(1)sin ()1

x x f x x ++=+的最小值为m ，最大值为M ，则M m += __________．

【解】()f x =22sin 11x x x +++，设()g x =()1f x -=22sin 1

x x x ++，则()g x 是奇函数，因()f x 最大值为M ，最小值为m ，故()g x 的最大值为1M -，最小值为1m -，故110M m -+-=，2M m +=．

考点三 函数的对称性与周期性

【例7】已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且()y f x =的图象关于直线2x =对称，当[2,2]x ∈-]时，2()1f x x =-+，

⑴．求证：()y f x =是周期函数；

⑵．当[6,2]x ∈--时，求函数()y f x =的解析式．

[审题视点] ⑴．只需证明()()f x T f x +=，即可说明()y f x =为周期函数； ⑵．由()y f x =在[2,2]-上的解析式及()y f x =图象关于2x =对称求得()y f x =在[6,2]--上的解析式；

变题：当[0,2]x ∈]时，2()1f x x =-+，求当[6,2]x ∈--时，求函数()y f x =的解

析式． ⑴．证明：函数()y f x =为偶函数，则()()f x f x -=，函数()y f x =的图象关于2x =对称，则(4)()()f x f x f x +=-=，故()y f x =是以4为周期的周期函数． ⑵．当[6,2]x ∈--时，那么4[2,2]x +∈-，又函数()y f x =的图象关于2x =对称，那么2()(4)(4)1,[6,2]f x f x x x =+=-++∈--．

判断函数的周期只需证明

()()(0)f x T f x T +=≠便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．

【练习7】已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，求(7.5)f 的值．

考点四 函数的周期性的应用

【例8】(山东)已知()y f x =是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为__________．

【练习8】已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(4)()f x f x +=，且(3)0f =，试求方程()0f x =在区间(0,10)内整数根的个数．

作业：

1．判断下列函数的奇偶性： ①．241x x y =+；②．221ln ln y x x =+；③．11212x y =+-；④．21

x

x e y e =-+； ⑤．222ln(1)x y x x e =-++．

2．已知函数311()()12

x f x x a =+-(0a >且1a ≠)． ⑴．求函数()y f x =的定义域；

⑵．讨论函数()y f x =的奇偶性；

⑶．求a 的取值范围，使()0f x >在定义域上恒成立．

3．已知函数1()21

x f x a =++为奇函数，求a 值． 4．是否存在实数a ，使得2()l n ()f x x e x a =++-为奇函数，同时使

1()()21

x g x x a =+-为偶函数？证明你的结论． 【解】假设存在实数a 满足题设条件，则

22()()ln()ln()f x f x x e x a x e x a +-=++-++--

22ln[()()2ln 2120x e x x e x a e a a =+++--=-=-=，故12

a =，又当12a =时，(21)()2(21)x x x g x +=-，(21)(12)(21)()()2(21)2(12)2(21)

x x x x x x x x x g x g x --+++-==-==---，故()g x 为偶函数．故存在1

2

a =满足题设条件． 5．已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，()y g x =是定义在R 上的奇函数，且()(1)g x f x =-，则(2013)(2015)f f +的值为____________．

【解】由题意得，()(1)g x f x -=--，

又()y f x =是定义在R 上的偶函数，()y g x =是定义在R 上的奇函数，故()()g x g x -=-，()()f x f x -=，则(1)(1)f x f x -=-+，故()(2)f x f x =-+，故(4)()f x f x +=，即()y f x =的周期为4，故(2013)(1)f f =，(2015)(3)(1)f f f ==-，又(1)(1)(0)0f f g =-==，故(2013)(2015)0f f +=．

6．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且5()()2

f x f x +=-，且(1)1f =，(2)2f =，则(3)(4)f f -=____________． 7．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当[2,3]x ∈时，()f x x =，求()y f x =在[5,7]上的解析式．

【解】8,[5,6],4,[6,7]

x x y x x -∈?=?-∈?． 8．设函数()y f x =

是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则(1.5)f ，(3.5)f ，(6.5)f 的大小关系为________________．

9．已知定义在非零实数集上的函数()y f x =满足：()()()f xy f x f y =+，并且()y f x =在(0,)+∞上单调递增．

⑴．求(1),(1)f f -的值；

⑵．求证：()()f x f x -=；

⑶．解关于x 的不等式1(2)()02f f x +-≤．

10．已知奇函数()f x 是R 上最小正周期为3的周期函数，且(2)0f =时，则方程()0f x =在区间(0,6)上解的个数的最小值为________________．

11．已知函数()y f x =的周期为2，当[,1]x ∈-时，2()f x x =，那么函数()y f x =的图像与函数|lg |y x =的图像的交点共有________________个．

【解】本题可用图像法解．易

知共10个交点．

12．设函数()y f x =是定义在

(,)-∞+∞上的偶函数，

(1)(1)f x f x +=-，当12

x ≤≤时，()log (1)a f x x a =>．

⑴．求[1,1]x ∈-时，函数()y f x =的表达式；

⑵．当[21,21]()x k k x Z ∈-+∈时，求()y f x =的表达式；；

⑶．若函数()y f x =的最大值为12，解关于x 的不等式1()4

f x >．

13．已知函数()y f x =为R 上的周期为2的奇函数，当(0,1)x ∈，21()log 1f x x =-，则()y f x =在(1,2)上的单调性为_____________．

14．已知函数1()42x f x =

+．求证：()(1)f x f x +-为定值． 15．设函数2

1

()log 21x f x x =+-，则1234()()()()5555

f f f f +++= 2 16．已知函数221()lo

g 43

x f x x +=-的图像是一个中心对称图形，则()f x 图像的对称中心坐标为 ．1(,1)8

- 17．设11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数21()log 21x f x x =+-的图象上任意两点，且

1(2

OM OA =+ )OB ，已知点M 的横坐标为21．求证：M 点的纵坐标为定值； 【解】因1

()2OM OA OB =+，故M 是AB 的中点．设(,)M x y ，由1211()22x x x =+=

得，121x x +=，则121x x =-或211x x =-．而

12122212

1111()[log ()log ()222121x x y y y x x =+=+++-- 12121222221212121111][1log ()log ()][1log ()][1log ()]21121122

x x x x x x x x x x x x =++=+?=+=----，故M 点的纵坐标为定值21．

18．已知函数sin ()1()1||x f x x R x =-

∈+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=_________．2

[12上海理]已知2()y f x x =+是奇函数，且(1)1f =，若()()2g x f x =+，则(1)g -= ．

【解】因函数2()y f x x =+为奇函数，故(1)(1)2g f =+，又(1)1f =，故(1)3g =，(1)3f -=-，(1)(1)2321g f -=-+=-+=-．

19．[12山东理]定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =．则(1)(2)(2012)f f f +++=

【解】(3)1f -=-，(2)0f -=，(1)1f -=-，(0)0f =，(1)1f =，(2)2f =，而函数的周期为6，3383335)2()1()210101(335)2012()2()1(=+=+++++-+-=+++f f f f f ．

20．[重庆理]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为

[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的( )

A ．既不充分也不必要的条件

B ．充分而不必要的条件

C ．必要而不充分的条件

D ．充要条件

【解】若f (x )为[0，1]上的增函数，则f (x )在[－1，0]上为减函数，根据f (x )的周期为2可推出f (x )为[3，4]上的减函数；若f (x )为[3，4]上的减函数，则f (x )在[－1，0]上也为减函数，故f (x )在[0，1]上为增函数，故选D 项．

规范解答4——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题

【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题．

【解决方案】根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为()f x -与()f x 的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为()f x T +与()f x 的关系，它们都与()f x 有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到．函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题．

【示例】设()y f x =是(,)-∞+∞上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =．

⑴．求()f π的值；

⑵．当44x -≤≤时，求()y f x =的图象与x 轴所围成图形的面积； ⑶．写出(,)-∞+∞内函数()y f x =的单调增(或减)区间．

第⑴问先求函数

()y f x =的周期，再求()f π；第⑵问，推断函数

()y f x =的图象关于直线1x =对称，

再结合周期画出图象，由图象易求面积；第⑶问，由图象观察写出．

【解】⑴．由(2)()f x f x +=-得，(4)[(2)2](2)()f x f x f x f x +=++=-+=，故()y f x =是以4为周期的周期函数，故()(14)(4)(4)(4)4f f f f ππππππ=-?+=-=--=--=-．

⑵．由

()y f x =是奇函数与(2)f x f x +=-，得：[(1)2](f x f x f x -+=--=--，即(1)(1)f x f x +=-．故知函数()y f x =的图象关于直线1x =对称．又01x ≤≤时()f x x =，且()y f x =的图象关于原点成中心对称，则()y f x =的图象如图所示．当44x -≤≤时，()y f x =的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则1

44(21)42

ABO S S ?==??=．

⑶．函数()y f x =的单调增区间为[41,41]()k k k Z -+∈，单调减区间

[41,43]()k k k Z ++∈．

关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和

周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．

【试一试】已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(4)()f x f x -=-，且在区间

[0,2]上是增函数，则(25)f -，(11)f ，(80)f 的大小关系为_________________．

【解】由函数()y f x =是奇函数且()y f x =在[0,2]上是增函数可以推知，()y f x =在[2,2]-上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-?-=--=，故()y f x =以8为周期，故(25)(1)f f -=-，(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，

(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．