二项式定理(基础+复习+习题+练习)

课题：二项式定理

考纲要求：

1.能用计数原理证明二项式定理；

2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习

1.二项式定理及其特例：

()101()()n n n

r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++

+∈，

()21

(1)1n r r

n

n x C x C x x +=++++

+

2.二项展开式的通项公式：r

r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，，

=3.常数项、有理项和系数最大的项：

求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.

4.二项式系数表（杨辉三角）

()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项

式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.

5.二项式系数的性质：

()n a b +展开式的二项式系数是0n

C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）

6.()1对称性．

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m

n n

C C -=）．直线2

n

r =是图象的对称轴. ()2增减性与最大值：

当n 是偶数时，中间一项2n

n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n

C

-，12

n n

C

+取得最大值. ()3各二项式系数和：∵1

(1)1n r r

n n

n x C x C x x +=++++

+，

令1x =，则012

2n r

n n n n n n

C C C C C =+++

++

+ 7.在使用通项公式1r n r r

r n T C a b -+=时，要注意：

()1通项公式是表示第1r +项，而不是第r 项.()2展开式中第1r +项的二项式系数r n C 与

第1r +项的系数不同.()3通项公式中含有1,,,,r a b n r T +五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n . ()4证明组合恒等式常用赋值法.()5要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.()6要注意区分项的系数与项的二项式系数. ()7二项式展开式系数可用通项公式及组合知识.

()8用二项式定理进行近似运算，关键是恰当地舍取不影响精度的项，一般地：当α

很小时，有()()21

1112

n

n n n ααα±≈±+

-. 典例分析：

考点一 二项展开式定理及通项公式的应用

问题

1．()1（2013江西）5

2

32x x ??- ???

展开式中常数项为.A 80.B 80-.C 40 .D 40-

()2求()

10

2x +展开式中系数最大的项

()3求

(

)

100

32

3+x 展开所得x 的多项式中，系数为有理数的项数

考点二 “生成法”的应用

问题2．()1求()6

2123x x +-展开式中5

x 的系数（要求用两种方法解答）.

()2（2012安徽）2521

(2)(1)x x +-的展开式的常数项是.A 3- .B 2- .C 2 .D 3

考点三 “赋值法”的应用

问题3．()1已知()

443322104

3

2x a x a x a x a a x ++++=+

，

则()()2

2

02413a a a a a ++-+=

()2（07安徽文）已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，

则024135()()a a a a a a ++++的值等于 ．

()3（06浙江）若多项式21091001910(1)(1)(1)x x a a x a x a x +=+++???++++，则9a =

.A 9 .B 10 .C 9- .D 10-

()4（05天津）设*n N ∈，则12321666n n n

n n n C C C C -+++???+=

()5（2012浙江）若将函数5()f x x =表示为()()2

012()11f x a a x a x =+++++… ()5

51a x ++， 其中12,,a a ，…，5a 为实数，则3a =

考点四 二项式展开式在其它方面的应用

问题3．()1求51.997的近似值（精确到0.001）

、

()2已知*n N ∈，求证：231222++++…512n -+能被31整除.

问题4．求证：()1322n n n ->+?（n N +∈且2n >）.

课后作业：

1.(

)

7

2

32x y z

--展开式中含432x y z 项的系数是

2.()6

2x y z +-展开式中z y x 23的系数是

3.若()

2009

12x -=2012a a x a x +++…20092009a x +()x R ∈，则

3

1223222a a a +++…200920092a + 的值为 .A 2 .B 0 .C 1-

.D 2-

4.今天是星期日，不算今天，再过902天后的第一天是星期几？

5.1465n n +?+（*n N ∈）被20除后的余数是

6.设5432()5101051f x x x x x x =-+-++ ()x R ∈，则()f x 的反函数1()f x -

.A 1.B 1.C 1-.D 1

7.设()

()()()92201212122x x a a x a x ++=+++++()11

112a x ???++，则012a a a ++

11a +???+的值为 .A 2-

.B 1- .C 1 .D 2

8.若112211

3333(1)3(1)512,n n n n n n n n C C C -----+-???+-?+-=则n =

.A 7 .B 8 .C 9 .D 10

9.（07届西工大附中模拟文）设n 为满足0122450n

n n n n C C C nC +++???+<的最大自然数,

则n =_____

走向高考：

10.(05湖北) 5)21

2(++x

x 的展开式中整理后的常数项为

11.（05全国Ⅱ）()

10

x 的展开式中64

x y 项的系数是

.A 840

.B 840- .C 210 .D 210-

12.（07江西）已知

n

展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比

为64，则n 等于 .A 4 .B 5

.C 6

.D 7

13.（07陕西文）()5

12x +的展开式中2x 项的系数．．

是 （用数字作答）

14.（2012湖北）设a Z ∈，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a = .A 0 .B 1 .C 11 .D 12

15.(2013新课标全国) 已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a

.A 4-

.B 3-

.C 2- .D 1-

16. (2013陕西)

设函数6

1,0

()0

x x f x x x ???

-

≥? ， 则当0x > 时，()f f x ????

表达式的展开式中常数项为 .A 20- .B 2 .C 15-

.D 15

17.（2011安徽）设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则1011a a +=