《一元二次方程》单元教材分析

《一元二次方程》单元教材分析

一. 教学内容：

复习目标：（辅导时各位老师要学生掌握的点，每节课可以视情况巩固两点）

⑴了解一元二次方程的有关概念．

⑵能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、?因式分解法解一元二次方程．

⑶会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．

⑷知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题．

⑸能运用一元二次方程解决简单的实际问题．

⑹了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．

二. 基础知识回顾

1. 方程中只含有_______?个未知数，?并且未知数的最高次数是_______，?这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_____ __（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．

例如：一元二次方程7x－3＝2x2化成一般形式是________?其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．

2. 解一元二次方程的一般解法有

⑴_________；⑵________；⑶?_________；?⑷?求根公式法，?求根公式是______________．

3. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，?它没有实数根．例如：不解方程，判断下列方程根的情况：

⑴x（5x＋21）＝20 ⑵x2＋9＝6x ⑶x2－3x＝－5

4. 设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝_______，x1·x2＝______．

例如：方程x2＋3x－11＝0的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝________；x1·x2＝_______．

5. 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝?_______，?x1·x2＝________．

三. 重点讲解

1. 了解一元二次方程的概念，对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个（强调是三个）特点，即①是整式方程（重点强调）；②化简后只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．

2. 解一元二次方程时，应根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．

（通过教材课后习题的演练，可以很明显的发现利用十字相乘法解方程时二次项系数时常不是一，而有些学生十字相乘法中对于二次项系数不为一的题目会无所适从，不妨多加练习，但厦门近三年的中考中没有出现过类似的题目）

3 .一元二次方程

20(0)

ax bx c a

++=≠的根的判别式正反都成立．利用其可以

⑴不解方程判定方程根的情况（有根，有两个根，有两个不同的根分别代表⊿的取值范围）；

⑵根据参系数的性质确定根的范围（有两正根，两负根，一根正一根负，只有一个根大于某常数）；

针对只有一个根大于某一常数的题型举例如下：

⑶解与根有关的证明题（判断三角形的形状，某一恒等式证明）．

举例如下：

4. 一元二次方程根与系数的应用很多：⑴已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；⑵已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；⑶已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

5. 能够列出一元二次方程解应用题．能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程．

6. 本章解题思想总结：

⑴转化思想

转化思想是初中数学最常见的一种思想方法．

运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等．

⑵从特殊到一般的思想

从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等．

（对于理解力好的学生，可以要求其掌握公式法的求根公式的由来，以及怎样用两根推导根与系数的关系）

⑶分类讨论的思想

一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想（在目前单元测试的压轴性题目中出现的频率较高）． 举例如下：

四. 易错点点拨

易错点1：对一元二次方程的定义的理解．判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉（虽简单，但极易被学生忽略）．

易错点2：一元二次方程的一般形式．在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式（注意同类项的合并与等号右边不为零的情况）．

易错点3：关于解一元二次方程时的易错点．

⑴是在解形如“2

x x =”这样的方程时，千万不能在方程左右两边都除以x ，从而造成方程丢根（告知学生原因，即当x=0时，两边是不能同时除以0的，无意义）；

⑵用配方法时，当二次项的系数不为1时，应将二次项系数化为1，再将方程左边配成完全平方式；

⑶利用公式法求一元二次方程的解时，要先判断24b ac -必须非负才能求解；

举例如下：

⑷利用因式分解法求一元二次方程的解时，方程右边一定要变为0．

易错点4：在用一元二次方程解决有关实际问题时，注意运用转化思想，如图形问题中，如何通过平移，旋转等变换把不规则的图形转化为规则的图形．另外，对于增长率问题，要把握基础数与总数的关系．特别地，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义（两个解并非必须有一个是增根，二者都合适的情况也是存在的）．

【典型例题】

考点1：一元二次方程的概念及一般形式

相关知识：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx ＋c ＝0（a 、b 、c 为常数，?a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．

复习策略：准确理解一元二次方程的定义，一元二次方程首先是整式方程，然后是经过化简后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程．

例1. ⑴下列方程是关于x 的一元二次方程的是 （ ）

A. 23(1)2(1)x x +=+

B. 21120x x +-=

C. 20ax bx c ++=

D. 2221x x x +=-

⑵方程215x x -=的一次项的系数是 ．

【评注】概念性的问题关键是抓住概念的本质．一元二次方程必须符合三个条件：①是整式方程；②化简后只含一个未知数；③未知数的最高次数为2．

考点2：一元二次方程的解

相关知识：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，或叫做一元二次方程的根．

复习策略：要判断一个值是否是一元二次方程的解，只要将这个值代入一元二次方程，看看方程左右两边是否相等即可．相等，则是方程的解；反之，则不是．

例2. 如果关于x 的一元二次方程

22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，求m 的值． 【评注】已知方程的解确定方程中的待定系数的值，是逆向思维的运用，有时将方程的解代入方程中，可能还会出现含两个待定系数的方程，这时要注意整体思想方法的运用．

考点3：了解方程并判定方程根的情况

相关知识：一元二次方程根的判别：⑴当24b ac ->0时，方程有两个不相等的实数根；⑵当24b ac

-＝0时，方程有两个相等的实数根；⑶当2

4b ac -<0时，方程没有实数根．反之也成立．

复习策略：要掌握一元二次方程根的判别式的应用：

①不解方程判别根的情况；

②根据方程解的情况确定系数的取值范围；

③求解与根有关的综合题．

例3. ⑴（2007巴中市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）

A. 有两个相等的实数根

B. 有两个不相等的实数根

C. 只有一个实数根

D. 没有实数根

⑵（2007安徽泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）

A. m

B. m >－1

C. m >l

D. m <－1

考点4：解一元二次方程

相关知识：我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法．而解一元二次方程的关键是判断方程的特点，选择最佳解题方法，其基本思想是“ 降次”，把二次转化为一次．这四种方法各有千秋，在解一元二次方程时可根据方程的特点，选用最佳解法．

复习策略：灵活选用一元二次方程的解法，可从以下几点考虑：

⑴对于形如x 2＝a （a ≥0）或（mx －n ）2＝a （m ≠0， a ≥0）的方程，可根据平方根的意义，用直接开平方的方法求解．

⑵如果一元二次方程缺少常数项，或方程的右边为0，左边很容易分解因式，可考虑用因式分解法． ⑶当一元二次方程的二次项系数为1，一次项的系数是偶数时，可考虑使用配方法．

⑷如果用以上几种方法都不易求解时，可考虑用公式法求解．

例4. 解下列方程： ⑴（x ＋1）2＝1

2

⑵（2x ＋1）（3x －1）＝1 ⑶2x （x ＋2）＋1＝0

⑷16－x 2－4x ＝0 ⑸3（x －2）2＝x （x －2）

由以上解析可以这样来总结：解一元二次方程，首先要把原方程变形为一般形式，然后计算b 2－4ac ，最后考虑用何种方法求解．如果b 2－4ac 是完全平方数，则用因式分解法，如果b 2－4ac 不是完全平方数

且大于零，则用公式法，配方法实际是公式法的推导过程，因此，除题目要求，一般不用配方法． 例5. 解方程：⑴（2007北京）解方程：2

410x x +-=．

⑵（2007浙江嘉兴）解方程：x 2＋3＝3（x ＋1）．

考点5：根据根与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值

相关知识： 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为已知数，a ≠0，240b ac -≥）的两个实数根为12,x x ，则

a c x x ,a

b x x 2121=-=+．即：一元二次方程两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的商的相反数；两个根的积等于常数项除以二次项系数的商．

复习策略：根与系数的关系存在的前提是：①a ≠0，即方程一定是一元二次方程；②b 2－4ac ≥0，即方程一定有实数根．

根据新课标的要求，在课改实验区的中考试题中，运用一元二次方程根与系数的关系的考题主要是求与方程的根有关的代数式的值的题型．

例6. ⑴（2007山东淄博）若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ，且

满足2121x x x x =+．则k 的值为（ ）

（A ）－1或34 （B ）－1 （C ）3

4 （D ）不存在

⑵（2007四川德阳）阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：

12b x x a +=-，a c x x 21=．根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______ 【评注】不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含12x x +，21x x ?的形式，然后把12x x +，21x x ?的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有：

①2221

21212()2x x x x x x +=+- ②12121211x x x x x x ++= ③2121222212

12()211()x x x x x x x x +-+= ④ 22112121212()2x x x x x x x x x x +-+=

⑤

12x x -= 考点6： 一元二次方程的应用

相关知识：应用一元二次方程解决实际问题的步骤：在日常生活实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程这个模型来进行求解，然后回到实际问题中去进行解释和检验．首先要把实际问题加以分析，抽象成数学问题，然后用数学知识去解决它．应用一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为：“设、找、列、解、验、答”：

⑴设：是指设未知数，可分为直接设和间接设．所谓直接设，就是指问什么设什么；在直接设未知数比较难列出方程或者列出的方程比较复杂时，可考虑间接设未知数．

⑵找：是指读懂题目，审清题意，明确已知条件和未知条件，找出它们之间的等量关系．

⑶列：就是指根据等量关系列出方程．

⑷解：就是求出所列方程的解．

⑸验：分为两步．一是检验解出的数值是否是方程的解，二是检验方程的解是否符合实际情况． ⑹答：就是书写答案，一定要遵循“问什么答什么，怎么问就怎么答”的原则．

以上几个步骤中，审题是基础，找出等量关系是解决问题的关键，能否恰当设元直接影响着列方程和

解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步．

复习策略：1. 一元二次方程解应用题应注意：

⑴写未知数时必须写清单位，用对单位；列方程时，方程两边必须单位一致；答必须写清单位．

⑵注意语言和代数式的转化，要把用语言给出的条件用代数式表示出来．

2. 常见的应用题：

⑴几何图形的面积问题：这类问题的面积公式是等量关系，如果图形不规则，应分割或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程．

⑵平均增长（降低）率问题：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新的数据，

解这类问题需牢记公式

2

(1)

a x b

+=或2

(1)

a x b

-=，其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长或

降低率，b表示后来得到的数据，“＋”表示增长，“－”表示降低．

[方法·规律]：⑴解此类问题所列的方程，一般用直接开平方法求解．

⑵增长率不能为负数，降低率不能大于1．

⑶营销问题：解决此类问题首先要清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、打折、利润、利润率等以及它们之间的等量关系．

[梳理·总结]：此类问题常见的等量关系是：“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品的利润×

销售数量，

100

?

售价－进价

利润率＝％

进价”

例7.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008

年的利用率提高到60%，求每年的增长率．≈1.41）

例8. 一块矩形耕地大小尺寸如图1，如果修筑同样宽的两条“之”字形的道路，如图1所示，余下的部分作为耕地．要使耕地的面积为540m2，道路的宽应是多少？

分析：在面积问题中有一些计算题，如采用平移的方法适当改变图形的形状，可以给解决问题带来意想不到的美妙效果．此题如不采用“平移法”，很难人手．若把“之”字道路平移一下位置，变为图2，则此题即可迎刃而解．

图1 图2

考点7：一元二次方程中考阅读理解题例析

与一元二次方程相关的阅读理解问题，是近几年的一种新题型，由于这类问题有助于培养学生的阅读理解能力、创新意识，而备受大家的关注，现略举几例与同学们共赏析．

例9. （2006年福建晋江市）阅读下面的例题：

解方程：x2—|x|—2＝0

解：（1）当x≥0时，原方程化为x2—x—2＝0，解得：x1＝2，x2＝—1（不合题意，舍去）．

（2）当x<0时，原方程化为x2＋x—2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝—2

∴原方程的根是x1＝2，x2＝—2．

请参照例题解方程x2—|x—3|—3＝0，则此方程的根是．

例10. （2006年广东茂名市）先阅读，再填空解题：

（1）方程x2－x－12＝0 的根是：x1＝－3，x2＝4，则x1＋x2＝1，x1·x2＝－12；

（2）方程2x2－7x＋3＝0的根是：x1＝1

2，x

2

＝3，则x1＋x2＝

7

2，x

1

·x2＝

3

2；

（3）方程x2－3x＋1＝0的根是：x1＝，x2＝．则x1＋x2＝，x1·x2＝；

根据以上（1）（2）（3）你能否猜出：

如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、21x x ?与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．

分析：本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第3个方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系．

【中考再现】

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题

1、（2007巴中市）一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）

A. 有两个相等的实数根

B. 有两个不相等的实数根

C. 只有一个实数根

D. 没有实数根

2、（2007安徽泸州）若关于x 的一元二次方程02.

2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）

A. m

B. m>－1

C. m>l

D. m<－1

3、（2007四川内江）用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A. 2(2)2x -= B. 2(2)2x += C. 2(2)2x -=- D. 2(2)6x -=

4、（2007四川成都）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）

A. x 2＋4＝0

B. 4x 2－4x ＋1＝0

C. x 2＋x ＋3＝0

D. x 2＋2x －1＝0

5、（2007湖南岳阳）某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）

A. 200（1＋a%）2＝148

B. 200（1－a%）2＝148

C. 200（1－2a%）＝148

D. 200（1－a 2%）＝148

6、（2007安徽芜湖）已知关于x 的一元二次方程22x m x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）

A. m ＞－1

B. m ＜－2

C. m ≥0

D. m ＜0

7、（2007湖北武汉）如果2是一元二次方程x 2＝c 的一个根，那么常数c 是（ ）

A. 2

B. －2

C. 4

D. －4

二、填空题

1、（2007重庆）已知一元二次方程01322

=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x

2、（2007四川眉山）关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______.

3、（2007浙江温州）方程220x x -=的解是 .

4、（2007湖南怀化）已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =

5、（2007四川成都）已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿．

6、（2007江苏淮安）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。

7、（2007

安徽芜湖）已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根

是 ．

三、解答题

1、（2007湖南株州）已知x ＝1是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求22

22a b a b --的值．

2、（2007湖北天门）已知关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋m －1＝0。

⑴请你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；

⑵设α、β是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2＋β2＋αβ的值。