ll第三章 平面力系
第三章 平面力系
一、填空题
1．力F 作用线向O 点平移时，为不改变它对刚体的作用效果，这时应该 附加一力偶，该力偶的矩等于力F 对O 点的矩。
2．平面任意力系向其作用平面内不同两点简化，所得主矢的关系是相同，所得主矩的关系是力系对新简化中心的主矩等于原力系对原简化中心的主矩加上作用于原简化中心的主矢对新简化中心的矩。
3．平面任意力系平衡方程的二矩式应满足的附加条件是两矩心的连线不垂直于投影轴。 二、选择题
1．一平面任意力系向点A 简化后，得到如图3.1所示的主矢和主矩，则该力系的最后合成结果应是（A ）
(A ) 作用在点A 左边的一个合力 (B ) 作用在点A 右边的一个合力 (C ) 作用在点A 的一个合力 (D ) 一个合力偶
2．在刚体同一平面内A ，B ，C 三点上分别作用1F ，2F ，3F 三个力，并构成封闭三角形，如图3.2所示，此力系是属于什么情况（C ）
(A ) 力系平衡 (B ) 力系简化为合力 (C ) 力系可简化为合力偶 (D ) 无法判断
3．均质杆长为l ，重为W ，在D 处用一绳将杆吊于光滑槽内，则槽壁在A ，B 处对杆产生的反力A F ，B F 有关系（D ） (A ) A B F F > (B ) A B F F < (C ) 0A B F F ==
(D ) 0A B F F =≠ 三、计算题
1．试求图3.4中力P 对点O 的矩，已知60a cm =，20b cm =，3r cm =，400P N =。 解：（a ）()4000.6240O M Pa N m ==?=?P
（b ）o 1
()sin 304000.61202
O M P a N m =-?=-??=-?P
图3.2
图3.1 图
3.3
（c ）o o o ()cos 20cos 204000.03cos 2011.3O M P r Pr N m =-?=-=-?=-?P （d
）o o 1()sin 30cos304000.64000.250.722O M P a P b N m =?-?=??-??=?P
（e
）o o 1()cos 60sin 604000.64000.2189.32
2O M P a P b N m =?+?=
??+
?=?P
2．如图3.5所示，在边长2a m =的正方形平板OABC 的A ，B ，C 三点上作用四个力：13F kN =，25F kN =，36F kN =，44F kN =。求这四个力组成的力系向点O 简化结果和最后合成结果。
解：该力系向O 点简化的主矢为：
'24375
Rx x F F F F kN ==?
+=∑ '123475
Ry y F F F F F kN ==-+?
+=∑
主矢
'R F ==
其方向与x 轴正向的夹角为o 45，如图所示。主矩为
图3.4
(a)
(b)
(c) (d)
(e)
图3.5
a 4F
a 4F R
22334
()1455
O O M M F a F a F a kN m ==-??+??+?=?∑F
其还可以进一步简化，其合力的作用线与x 轴的交点的坐标为
'
1427
O Ry
M d m F =
=
=
说明合力的作用线刚好通过C 点，如图所示。
3．如图3.6所示，梁AB 上受两个力的作用，1220P P kN ==，图中长度单位为m ，不计梁的自重，求支座A ，B 的反力。
解：（1）选梁AB 为研究对象 （2）受力分析如图所示 （3）列平衡方程 由 0x
F
=∑，有
o 2cos 600Ax F P -=
由
0y
F
=∑，有
o
12sin 600Ay B F F P P +--=
由
()0A
M
=∑F ，有
o 1272sin 6050B F P P ?-?-?=
联立求解，可得
10Ax F kN =，19.2Ay F kN =，18.1B F kN =
4．简支梁AB 的支承和受力情况如图3.7所示。已知分布载荷集度20/q kN m =，力偶矩的大小20M kN m =?，梁的跨度4l m =。不计梁的自重，求支座A ，B 的反力。
解：（1）选梁AB 为研究对象 （2）受力分析如图所示 （3）列平衡方程 由 0x F =∑，有
图3.6 B
图3.7
q
o 30
q B
o sin 300Ax B F F -=
由
()0A
M =∑F ，有
o cos30024
B l l
F l q M ?-??-=
由
()0B
M
=∑F ，有
302
4
Ay l l F l q M -?+?
?
-=
联立求解，可得
8.7Ax F kN =，25Ay F kN =，17.3B F kN =
5．求图3.8所示所示的悬臂梁的固定端的约束反力和反力偶。已知2M qa =。
解：（1）选梁AB 为研究对象 （2）受力分析如图所示 （3）列平衡方程 由 0x
F
=∑，有
0Ax F =
由
0y
F
=∑，有
20Ay F q a -?=
由
()0A
M
=∑F ，有
20A M M q a a +-??=
联立求解，可得
0Ax F =，2Ay F qa =，2A M qa =
6．水平组合梁的支承情况和载荷如图 3.9所示。已知500P N =，250/q N m =，500M N m =?。求梁平衡时支座A ，B ，E 处反力。
（图中长度单位：m ）
图3.8
F q
图3.9
Ey Ey
解：（1）分别选整体和梁CE 为研究对象 （2）受力分析如图所示 （3）分别列平衡方程 整体：由
0x
F =∑，有
0Ax F =
由 0y
F
=∑，有
40Ay Ey F F P q +--?=
由
()0A
M
=∑F ，有
81440Ey F P q M ?-?-??-=
梁CE ：由
()0C
M
=∑F ，有
4210Ey F q M ?-??-=
联立求解，可得
0Ax F =，250Ay F N =-，1500By F N =，250Ey F N =
7．连续梁由AB 和BC 两部分组成，其所受载荷如图3.10所示。试求固定端A 和铰链支座C 处的约束反力。
解：（1）分别选整体和梁BC 为研究对象 （2）受力分析如图所示
（3）分别列平衡方程 整体：由 0x F =∑，有
o o sin 30cos 600Ax C F F P --=
由
0y
F
=∑，有
o o cos30sin 6020Ay C F F P q a +--?=
由
()0A
M
=∑F ，有
o o cos304sin 60230A C M F a P a q a a M +?-?-??-=
梁BC ：由
()0B
M
=∑F ，有
o cos30220C F a q a a ?-??=
联立求解，可得
23Ax P
F =
+
，2Ay F P qa =
+
，222A M M Pa qa =+
+
，3
C F qa =
8．图3.11所示支架中，1AB AE ED m ===，滑轮半径0.3r m =。滑轮和各杆自重不计，若重物重100P kN =，求支架平衡时支座A ，B 处的约束反力。
图3.10
C
F q
C
解：（1）分别选整体和梁BC 为研究对象 （2）分别画出它们的受力图 （3）分别列平衡方程 整体：由
0x
F =∑，有
0Ax Bx F F +=
由
0y
F
=∑，有
0Ay By F F P +-=
由
()0A
M
=∑F ，有
1 2.30Bx F P ?-?=
梁BC ：由
()0E
M
=∑F ，有
110.30Bx By C F F F ?-?-?=
联立求解，可得
230Ax F kN =-，100Ay F kN =-，230Bx F kN =，200By F kN =
9．图3.12所示支架由两杆AD 、CE 和滑轮等组成，B 处是铰链连接，尺寸如图所示。在滑轮上吊有重1000Q N =的物体，求支座A 和E 处约束反力的大小。
解：（1）分别选整体和杆CE 为研究对象 （2）分别画出它们的受力图 （3）分别列平衡方程 整体：由 0x F =∑，有
0Ax Ex F F +=
由
0y
F
=∑，有
图
3.11
图3.12
E Ey F
C
0Ay Ey F F Q +-=
由
()0A
M
=∑F ，有
1 2.0750Ex F Q ?-?=
杆CE ：由
()0B
M
=∑F ，有
110.150Ex Ey C F F F ?+?+?=
其中2
C Q F =
。联立求解，可得
2075Ax F N =，1000Ay F N =-，2075Ex F N =-，2000Ey F N =
10．图3.13所示支架D 处是铰链连接。已知12Q kN =。不计其余构件自重，求固定铰支座A 和活动铰支座B 处约束反力，以及杆BC 的内力。
解：（1）分别选整体和杆CE 与滑轮组成的系统为研究对象 （2）分别画出它们的受力图 （3）分别列平衡方程 整体：由
0x
F =∑，有
0Ax E F F -=
由
0y
F
=∑
，有
0Ay B F F Q +-=
由
()0A
M
=∑F ，有
4(2)(1.5)0B E F Q r F r ?-?+--
=
杆CE 与滑轮组成的系统：
由 ()0D M =∑F ，有
2 1.5(1.5)02.5
CB E F Q r F r -?
?-?-?-=
其中E F Q =。联立求解，可得
12Ax F kN =， 1.5Ay F kN =，10.5B F kN =，15CB F kN =-
11．匀质杆AD 重P ，与长为2l 的铅直杆BE 的中心D 铰接，如图3.14所示。柔绳的下端吊有重为G 的物体M 。假设杆BE 、滑轮和柔绳的重量都忽略不计，连线AB 以及柔绳的CH 段都处于水平位置，求固定铰链支座A 的约束反力。
解：（1）分别选整体和杆AD 为研究对象 （2）分别画出它们的受力图 （3）分别列平衡方程
图3.13
C
整体： 由 ()0B
M
=∑F ，有
o o 2cos30(2)cos300Ay HC F l G r F l r P l -?-?--+?=
杆AD ：
由
()0D
M
=∑F ，有
o o o 2sin 302cos30cos300Ax Ay F l F l P l -?-?+?=
其中HC F G =。联立求解，可得
2Ax F G =
，2
Ay P F =
-
12．支架CDE 上受均布载荷作用，载荷集度100/q N m =，支架的一端E 悬挂重为500W N =的物体。尺寸如图3.15所示。求支座A 的约束反力以及BD 杆所受的压力。
解：（1）分别选整体和杆CD 为研究对象
（2）分别画出它们的受力图 （3）分别列平衡方程 整体：由 0x F =∑，有
o cos300Ax CG F F -=
由
0y
F
=∑，有
o sin 3030Ay CG F F q W +-?-=
Bx
M
Dx
图
3.15
4
1m 1m
由 ()0A
M =∑F ，有
o cos3043 1.530CG F q W ?-??-?=
杆CE ：
由
()0C
M
=∑F ，有
o sin 4523 1.530DB F q W ?-??-?=
联立求解，可得
487.5Ax F N =，518.5Ay F N =，1379DB F N =
13．光滑圆盘D 重147G N =，半径10r cm =，放在半径50R cm =的半圆拱上，并用曲杆BECD 支撑（见图3.16）。求销钉B 处反力及活动支座C 的反力。
解：（1）分别选整体和曲杆BECD 与圆盘组成的系统为研究对象 （2）分别画出它们的受力图 （3）分别列平衡方程 整体：由
()0A
M
=∑F ，有
()0C F r R GR +-=
曲杆BECD 与圆盘组成的系统：
由 0x F =∑，有
0Bx C F F -=
由
()0D
M
=∑F ，有
()0Bx By F R r F R ++?=
联立求解，可得
122.5Bx F N =，147By F N =-，122.5C F N =
14．已知力P ，用截面法求图3.17所示各桁架中杆1、杆2和杆3的内力。
图3.16
图
3.17
a a (a)
3 (b)
解：对于（a ）图，我们直接采用截面法求解。
（1）用m m -截面假想地将桁架截断，并取截面以上部分为研究对象 （2）受力分析如图所示 （3）列平衡方程
由 0x F =∑，有
20F -=
由
0y
F
=∑，有
130F F P ---=
由
()0G
M
=∑F ，有
3320F a P a -?-?=
联立求解，可得
13P
F =-
，20F =，32
3
F P =- 对于（b ）图，我们先求支座B 处的约束反力
选整体为研究对象，受力分析如图所示，列平衡方程
由 ()0A M =∑F ，有
3 2.5360B F P P ?-?-?=
求得 4.5B F P =。再用截面法求解杆1、杆2和杆3的内力。 用m m -截面假想地将桁架截断，并取截面右边部分为研究对象 受力分析如图所示 列平衡方程
a a
3
F B
F C
由 0x
F =∑，有
o 123cos 450F F F ++=
由
0y
F
=∑，有
o 2sin 45 2.50B F F P P +--=
由
()0B
M
=∑F ，有
1330F P ?-?=
联立求解，可得
1F P =，2 1.41F P =-，30F =
平面任意力系习题
第三章 习题3-1．求图示平面力系的合成结果，长度单位为m。 解：(1) 取O点为简化中心，求平面力系的主矢： 求平面力系对O点的主矩： (2) 合成结果：平面力系的主矢为零，主矩不为零，力系的合成结果是一个合力偶，大小是260Nm，转向是逆时针。 习题3－2．求下列各图中平行分布力的合力和对于A点之矩。
解：(1) 平行力系对A点的矩是： 取B点为简化中心，平行力系的主矢是： 平行力系对B点的主矩是： 向B点简化的结果是一个力R B和一个力偶M B，且： 如图所示； 将R B向下平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R B。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的矩形面积，作用点通过矩形的形心。 (2) 取A点为简化中心，平行力系的主矢是：
平行力系对A点的主矩是： 向A点简化的结果是一个力R A和一个力偶M A，且： 如图所示； 将R A向右平移一段距离d，使满足： 最后简化为一个力R，大小等于R A。其几何意义是：R的大小等于载荷分布的三角形面积，作用点通过三角形的形心。 习题3－3．求下列各梁和刚架的支座反力，长度单位为m。
解：(1) 研究AB杆，受力分析，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核：
结果正确。 (2) 研究AB杆，受力分析，将线性分布的载荷简化成一个集中力，画受力图： 列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 (3) 研究ABC，受力分析，将均布的载荷简化成一个集中力，画受力图：
列平衡方程： 解方程组： 反力的实际方向如图示。 校核： 结果正确。 习题3－4．重物悬挂如图，已知G=1.8kN，其他重量不计；求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。
第三章 平面一般力系
第三章平面一般力系 教学目的及要求 1．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。 2．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3．能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系统的平衡问题。 4．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。 5．理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 §3-1 平面一般力系向作用面内一点简化 教学重点：1.平面一般力系如何向作用面内一点简化 2. 主矢与主矩的概念 教学难点：对力的平移定理的理解和应用 教学内容： 首先对什么是平面一般力系进行分析。对于平面一般力系如何向其作用面内一点简化，从而引出力的平移定理。 1．力的平移定理 作用在刚体上的力可以向任意点平移，但必须附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原来的力对平移点（新作用点）的矩，它是一般力系向上点简化的依据。2．基本概念 1) 合力矢：汇交力系一般地合成为一合力，合力的作用线通过汇交点，合力矢等于力系的主矢。 2）主矢：平面力系各力的矢量和，即 3．应用力的的平移定理将平面一般力系向作用面内一点简化 用图形来进行讲解力系向一点简化的方法和结果。最终平面一般力系向一点简化可以得到两个简单的力系：平面汇交力系和平面力偶系。应用前两章学过的内容，这两个简单的力系还可以进一步简化成一个主矢和对简化中心的主矩。 结论：平面一般力系向作用面内任选一点O简化，可得到一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O，这个力偶的矩等于该力
系对于点O的主矩。 注意：主矢与简化中心无关；而主矩与简化中心有关，必须指明对于哪一点的主矩。 4．固定端约束 它是平面一般力系向作用面内一点简化的一个典型应用。可以将固定端支座的约束反力向作用平面内点A简化得到一个力和一力偶，这个力用两个未知分力来代替。 它限制了物体在平面内的转动，所以比铰支座多了一个给反力偶。 §3-2 平面一般力系简化结果与分析 教学重点：平面一般力系向作用面内一点简化的结果 教学难点：将一个力系向指定点简化的具体应用。 教学内容： 1．平面力系的简化步骤如下： 1)选取简化中心O：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上） 2) 建立直角坐标系Oxy 3) 求主矢 4) 求主矩：逆正顺负，画在图中 5) 简化结果讨论 2．平面力系的简化结果 一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选取有关。 平面一般力系向作用面内一点简化结果，有四种情况： 1) 简化为一个力偶的情形： 力系的主矢等于零，而力系对于简化中心的主矩不等于零。即： F R′=0，M o≠0 2) 简化为一合力的情形 力系向点O简化的结果为主矩等于零，主矢不等于零。即： F R′≠0，M o=0 3)若F R′≠0，M o≠0 平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩M o 度量，这时主矩与简化中心的选择无关。 原力系合成为作用点为O′的力F R，合力作用线在点O的哪一侧，由主矢和
《工程力学》第三章平面一般力系试卷 答案
《工程力学》第三章平面一般力系试卷 一、单项选择题 1.(2 分)A 2.(2 分)B 3.(2 分)D 4.(2 分)C 5.(2 分)D 6.(2 分)B 7.(2 分)C 8.(2 分)B 9.(2 分)C 10.(2 分)C 二、判断题 11.(2 分)错误 12.(2 分)正确 13.(2 分)正确 14.(2 分)正确 15.(2 分)错误 16.(2 分)错误 17.(2 分)错误 18.(2 分)错误 19.(2 分)错误 20.(2 分)正确
三、填空题 21.答案：相互垂直；均为零；任意点；代数和也等于零(4 分) 22.答案：平面平行(1 分) 23.答案：二个；两个(2 分) 24.答案：A．B．C三点不在同一直线上(1 分) 25.答案：未知力；未知力(2 分) 四、简答题 26.(10 分)由F R=F1+F2+ … +F n可知: 平面汇交力系简化结果为一合力,此合力的作用线通过简化中心O,其大小和方向决定于原力系中各力的矢量和。 27.(10 分)不能在杆的B点加上一个力使它平衡。还须加上一个力偶才能使它平衡。 五、计算题 28.(10 分)解题方法分析:取杠杆AOB为研究对象, 由于已知杠杆B端对阀门的作用力为400N, 所以阀门对杠杆B处的反作用力N B也是400N。受力图和坐标建立如图所示,所求未知力为F、R OX、R OY。 列平衡方程 ∑F X=0:R0X-F sin(α-β)=0(1) ∑F Y=0:-R0Y+N B+F cos(α-β)=0(2) ∑m0(F)=0:F·cosα×500-N B×300=0(3) 由式(3)得F===277.13(N)
3-第三章力系的简化和平衡解读
第三章 力系的简化和平衡 引言 力系分为：空间一般力系（空间汇交系、空间平行力系）和平面一般力系（平面汇交力系、平面平行力系）。 研究物体受力情况→作用在物体上的一组复杂力系→简化及合成→平衡条件研究。 §3.1 力线平移定理 力线的平移定理：作用在刚体上O 点的力F 可平移到任意O '点，但必须附加上一个相应的力偶(称附加力偶)，这个附加力偶矩失等于原来的力F 对新作用点O '和矩。且 ()d F F M M O ?==' (d 是力偶臂) 力线平移定理不仅是力系简化的依据，也是分析力所物体效应的一个重要方法。注：力线平移定理只能适应于静定刚体 证明：如F 图所示 a. 力F 作用于刚体上O 点； b. 在刚上'O 处加上一对平衡力(F F ''',)，且F F F ''-='=。根据加减平衡力系原理：（F F F ''',,）中（F F '',）等值反向不共线，是一对力偶, 这个力偶称为附加力偶。附加力偶距失()F M d F M O '=?= b a
§3.2 力系的简化、主矢与主矩 一、力系的简化 在工程中，最常见的力系是不同一平面内，不完全相交，也不完全平行的空间的一般力系。在对作用于物体的力系的研究过程当中，首先将力系向任意一点进行简化。 如图所示：空间力系(1F ,2F ,…n F )，O 点为任取的简化中心 1) 根据力线平移定理，将力系中各力1F ,2F ,…m F 平移到O 点→作用于O 点的空间汇力系(1'F ,2'F ,…n F ')及附加力偶系(1M ,2M ,…n M ) 11'F F =，22'F F =,… n n F F '= ()11F M M O = ()22F M M O = … ()n O n F M M = 2) 将以上两个力系分别合成 F F F F F F F R n n ∑=+++=+++=' 2121 n O M M M M +++= 21 ()()()()i O n O O O F M F M F M F M ∑=+++= 21 R ':原力系主矢，是空间一般力系中各力的矢量和，与简化中心无关。 O M :原力系的主矩，空间力系中各力对简化中心O 点的矩的矢量和。O M 与简化 中心有关。 总结： y M y ) M O
第3章 平面任意力系
第3章 平面任意力系 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．某平面力系向两A 、B 点简化，主矩都为零，则此力系一定平衡。 ( × ) 2．力沿其作用线移动不改变力对点之矩的效果。 ( √ ) 3．力系简化的最后结果为一力偶时，主矩与简化中心无关。 ( √ ) 4．用截面法解桁架问题时，只需截断所求部分杆件。 ( √ ) 5．判断结构是否静定，其根据是所有的未知量能否只通过列平衡方程全部求出。 ( √ ) 6．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R 'F =0，而主矩0O M ≠，则原力系简化的结果为一个合力偶，合力偶矩等于主矩，此时主矩与简化中心位置无关。 ( √ ) 7．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R 'F ≠0，而主矩O M =0，则原力系简化的结果为一个合力， 且合力通过简化中心。 ( √ ) 8．在一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可以得到一个合力和一个合力偶矩。 ( × ) 9．已知作用于刚体上所有力在某一坐标轴上投影的代数和等于零，则这些力的合力为零，刚体处于平衡。 ( × ) 10．平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对任何一点的主矩都等于零。 ( √ ) 11．桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力以后几何形状可以发生改变。 ( × ) 二、填空题 1．在简化一已知平面任意力系时，选取不同的简化中心，主矢相同主矩不相同。 2．一般情况下，对于由n 个物体所组成的物体系统可以列出 3n 独立平衡方程。 3．主矢与简化中心位置无关，而主矩与简化中心位置有关。 4．在平面任意力系中，合力对任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和，即R ()()O O M M = ∑F F ， 称之为合力矩定理。 5．若物体系中所有未知量数目不超过独立方程个数，则所有未知量可由平衡方程解出，这类问题称为静定问题；反之则为静不定问题。 6．如果从桁架中任意消除一根杆件，桁架就会活动变形，称这种桁架为静定桁架；反之则为超静定桁架。 7．在平面静定桁架中，杆件的数目m 与节点的数目n 之间的关系是m=2n -3。 8．计算平面静定桁架杆件内力的两种基本方法是节点法和截面法。 三、选择题 1．如图3.18所示平面力系向A 点简化得主矢R A 'F 和主矩A M ，向B 点简化得主矢R B 'F 和主矩B M 。以下四种说法，哪一个是正确的？( D ) (A) R R A B ''=F F ，A B M M = (B) R R A B ''≠F F ，A B M M = (C) R R A B ''≠F F ，A B M M ≠ (D) R R A B ''=F F ，A B M M ≠
第三章-平面任意力系
第三章 平面任意力系 [习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。 解： 因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。 又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。 一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。 因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。 又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。即AB 与y 垂直。 由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： α cos a b =
[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ?=12，m kN M B ?=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。 解：由公式（3-5）可知： )(212R O O O F M M M += )(R B A B F M M M += )()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++= 依题意0=Rx F ，故有： )(Ry B A B F M M M += )24(1215-?+=Ry F 32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1== )(85 .112 m F M a R A === 故C 点的水平坐标为：m x 6-=。 [习题3--3] 某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力F P ＝250ｋＮ，屋顶传来的力F Q ＝30ｋＮ，试将该两力向底面中心O 简化。图中长度单位是ｍｍ。
《理论力学》第三章 力系的平衡习题解
《理论力学》第三章力系的平衡习题解
C 45α α O R C R P F 2 l B l C A A R 'C R 第三章 力系的平衡习题解 [习题3－1] 三铰拱受铅直力F 作用，如拱的重量不计，求A 、B 处支座反力。 [解]: （1）画受力图如图所示。 （2）因为BC 平衡，所以 ①0 =∑ix F sin 45cos 0=-αB C R R 10 14492sin 2 2 = += l l l α 10 34 4923cos 2 2 = +=l l l α ? ?= =B B C R R R 5 1sin 2α ②0 =∑iy F cos 45sin 0=-+P B C F R R α P B C F R R =+10321 P B B F R R =+ 10 32 15 1
F W A R θ A B C O P P B F F R 79.04 10 == P P C F F R 35.079.05 1=?= （3）由AC 的平衡可知：P P C A F F R R 35.079.05 1'=?= = [习题3－2] 弧形闸门自重W ＝150ｋＮ，试求提起闸门所需的拉力F 和铰支座处的反力。 解： )(=∑i A F M 6860sin 260cos 00=?+?-?-W F F 061508866.0=?+?--F F 900 928.7=F ) (522.113kN F =
F B R T A R C F T B R 0 =∑ix F 60cos 0=-Ax R F ) (761.565.0522.113kN R Ax =?= （←） =∑iy F 60sin 0=-+W R F Ay ) (690.51866.0522.11315060sin 0kN F W R Ax =?-=-= （↑） ) (77.7669.51761.5622kN R A =+= 323.42761 .5669 .51arctan ==θ [习题3－3] 已知F ＝10ｋＮ，杆AC 、BC 及滑轮重均不计，试用作图法求杆AC 、BC 对轮的约束力。
ll第三章 平面力系教学提纲
第三章 平面力系 一、填空题 1．力F 作用线向O 点平移时，为不改变它对刚体的作用效果，这时应该 附加一力偶，该力偶的矩等于力F 对O 点的矩。 2．平面任意力系向其作用平面内不同两点简化，所得主矢的关系是相同，所得主矩的关系是力系对新简化中心的主矩等于原力系对原简化中心的主矩加上作用于原简化中心的主矢对新简化中心的矩。 3．平面任意力系平衡方程的二矩式应满足的附加条件是两矩心的连线不垂直于投影轴。 二、选择题 1．一平面任意力系向点A 简化后，得到如图3.1所示的主矢和主矩，则该力系的最后合成结果应是（A ） (A ) 作用在点A 左边的一个合力 (B ) 作用在点A 右边的一个合力 (C ) 作用在点A 的一个合力 (D ) 一个合力偶 2．在刚体同一平面内A ，B ，C 三点上分别作用1F ，2F ，3F 三个力，并构成封闭三角形，如图3.2所示，此力系是属于什么情况（C ） (A ) 力系平衡 (B ) 力系简化为合力 (C ) 力系可简化为合力偶 (D ) 无法判断 3．均质杆长为l ，重为W ，在D 处用一绳将杆吊于光滑槽内，则槽壁在A ，B 处对杆产生的反力A F ，B F 有关系（D ） (A ) A B F F > (B ) A B F F < (C ) 0A B F F == (D ) 0A B F F =≠ 三、计算题 1．试求图3.4中力P 对点O 的矩，已知60a cm =，20b cm =，3r cm =，400P N =。 解：（a ）()4000.6240O M Pa N m ==?=?P （b ）o 1 ()sin304000.61202 O M P a N m =-?=-??=-?P 图3.2 图3.1 图 3.3
理论力学 陈立群 第3章 平衡问题 解答
第三章平衡问题：矢量方法习题解答 3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。 题3.1图 解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB 杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。 （2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。所以，AD梁是2次静不定。 （3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是3次静不定。 （4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是6次静不定。 （5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。 平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。 （6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。 除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。 3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。设跑车A、操作架和所有附件总重量为P，作用于操作架的轴线。试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？
第三章_平面任意力系
第三章 平面任意力系 [习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。 解： 因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。 又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。 一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。 因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。 又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。即AB 与y 垂直。 由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： α cos a b =
[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ?=12，m kN M B ?=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。 解：由公式（3-5）可知： )(212R O O O F M M M += )(R B A B F M M M += )()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++= 依题意0=Rx F ，故有： )(Ry B A B F M M M += )24(1215-?+=Ry F 32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1== )(85 .112 m F M a R A === 故C 点的水平坐标为：m x 6-=。 [习题3--3] 某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力F P ＝250ｋＮ，屋顶传来的力F Q ＝30ｋＮ，试将该两力向底面中心O 简化。图中长度单位是ｍｍ。
第三章 力系简化的基础知识演示教学
第三章 力系简化的基础知识 作用在物体上的一组力称为力系。 如果某力与一力系等效，则此力称为该力系的合力。 本章将介绍力学中的几个重要基本概念：力对点的矩；力偶和力偶矩；力的等效平移等。这些概念不但是研究力系简化的基础知识，而且在工程问题中得到广泛应用。 § 3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件 力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。在工程中经常遇到。例如在施工中起重机的吊钩所受各力就构成一个平面汇交力系，如图3-1（a ）、（b ）所示。 图3-1 一、两汇交力的合成 二、平面汇交力系的合成 1．平面汇交力系合成的几何法 如图)(33a -示，可以先将力系中的二个力按力的平行四边形法则合成，用所得的合力再与第三个力合成。如此连续地应用力的平行四边形法则，即可求得平面汇交力系的合力，具体作法如下： 任取一点a ，作矢量1__F ab =，过b 点作矢量2__F bc =，由力的三角形法则，矢量21__1F F ac R +==，即为力1F 和2F 的合力矢量。再过c 点作矢量3___F cd =，矢量32131__2F F F F R ad R ++=+==，即为力21F F 、和3F 的合力矢量。最后，过d 点作矢量4__F de =,则矢量432142F F F F F R R +++=+= ，即为力系中各力矢量的合矢量。 图3-3 上述过程示于图)(33b -。可以看出，将力系中的各力矢量首尾相连构成开口的力多边形abcde ，然后，由第一个力矢量的起点向最后一个力矢量的末端，引一矢量R 将力多边形封闭，力多边形的封闭边矢量R 即等于力系的合力矢量。这种通过几何作图求合力矢量
第三章平面力系平衡方程应用
第三章平面力系平衡方程的应用 第1节物体系统的平衡问题 一、外力、内力的概念 (1)外力。系统外任何物体作用于该系统的力称为这个系统的外力。 (2)内力。所研究的系统内部各物体间相互作用的力称为内力，内力总是成对地作用于同一系统上。因此，当取系统为研究对象时，不必考虑这些内力。 二、静定与静不定概念 (1)静定系统。系统中所有未知量的总数小于或等于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静定系统。这类系统仅应用刚体的静力平衡条件，就可以求得全部未知量的解。 (2)静不定系统。系统中所有未知量的总数大于系统独立的平衡方程的总数时，称这系统为静不定系统或超静定系统。这类问题仅应用刚体的静力平衡条件，不能求得全部未知量的解。 三、物体系统的平衡问题 常见的物体系统的平衡问题有三类，即构架；多跨静定梁；三铰拱。 这三类问题都有其相应的求解特点，在求解过程中能总结归纳。在求解这三类问题时通常要注意以下情况，如固定端约束、铰上受力、分布荷载计算、二力构件等。 例1 图3-1-1-1所示结构由AB、CD、DE三个杆件铰结组成。已知a＝2m，q＝500N/m，F ＝2000N。求铰链B的约束反力。 图3-1-1-1 解： 取整体为研究对象，其受力如图3-1-1-2所示。
图3-1-1-2 列平衡方程，有 ∑ F y =0, F Ay ?F?qa=0 得 F Ay =300N ∑ M C (F)=0,?3a F Ay ?a F Ax +aF+×qa=0 得 F Ax =?5500N 分析AEB杆，受力图如图3-1-1-3所示。 图3-1-1-3 ∑ F x =0, F Ax + F Bx =0 故 F Bx =? F Ax =5500N ∑ M E ( F → )=0, F By a+ F Bx a+ F Bx a? F Ay a=0 则得 F By = F Ay ? F Bx =?2500N 例2 求图3-1-1-4所示多跨静定梁的支座反力。梁重及摩擦均不计。
第三章_平面任意力系..
由直角三角形OAB 可知，B 点离0点的距离为: a - COSPt 第三章平面任意力系 [习题3-1] x 轴与y 轴斜交成a 角，如图3-23所示。设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有送M jA =0，送M jB = 0 ,且送F iy =0, 2 F i ^ 0。 已知0A = a ，求B 点在x 轴上的位置。 解: 因为M A =2 M iA =0，但S F ix H 0 ,即卩F^Q ，根据平面力系简化结果的 讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：F R 是原力系的合力，合力F R 的作 用线通过简化中心A 。 又因为M B =S M iB=0，但送F ix^O ，即卩F R HQ ，根据平面力系简化结果 的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：F R 是原力系的合力，合力F R 的 作用线通过简化中心B 0 一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。 因此，合力F R 的作用线同时能过A 、B 两点。 又因为F Ry =5： F iy =0，所以合力F R 与y 轴垂直。 即AB 与y 垂直。 图 3-23
500 ［习题3-2］如图3-24所示，一平面力系（在oxy 平面内）中的各力在X 轴上投影之 代数 和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为 M A =12kN .m, M B =15kN ”m，A 、B 两 点的坐标分别为（2, 3）、（4, 8）,试求该力系的合力（坐标值的单位为m ）。 解：由公式（3-5）可知: M O2 =M O1 中 M O2(F R ) M B =M A +M B (F R ) F R M B =M A +M B (F RX )+ M B (F Ry ) 依题意F RX =0，故有: k*---- C(-6,3) a =8m M B =M A +M B (F Ry ) 15 =12+F Ry>q 4-2) 2F Ry =3 F Ry =1.5(kN) F R =F Ry =1.5kN F R 1.5 故C 点的水平坐标为：X = -6m 。 F R A M B 厂、 F R . M A !' F A (2,3) I 题3-24图 ［习题3--3］某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力 F P = 250 kN,屋顶传来的力F Q = 30kN ，试将该两力向底面中心O 150150 F Q |H ^ n “ B(4,8 ) F P 简化。图中长度单位是mm 。 200 题3-25图
平面任意力系
第三章 平面任意力系 一、目的要求 1．掌握平面任意力系向一点简化的方法，会应用解析法求主矢和主矩，熟知平面任意力系简化的结果。 2．深入理解平面力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3．能熟练地计算在平面任意力系作用下单个刚体和物体系统平衡问题。 4．正确理解静定与静不定的概念，会判断物体系统是否静定。 5.理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法及其综合作用。 二、基本内容 1.力的平移定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平行移到任一点B ，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶矩等于原来的力F 对新作用点B 的矩。 2．平面力系的简化 步骤如下： ①选取简化中心O ：题目指定点或自选点（一般选在多个力交点上） ②建立直角坐标系Oxy ③主矢：平面力系各力的矢量和，即 ∑∑∑===+==n i n i n i i R Y X 111'j i F F 其中 ?????∑∑=∑+∑=??????∑=∑=X Y Y X Y X R Ry Rx αtan :)()(:2 2'''方向大小F F F 其中α为F R 与x 轴所夹锐角，所在象限由ΣX 、ΣY 符号确定，并画在简化中心O 上。 主矩：平面力系中各力对于任选简化中心之矩的代数和，即 11()()n n o o i i i i i i i M M x Y y X ====-∑∑F 一个力系的主矢与简化中心的选取无关；一般情况下，主矩与简化中心的选
取有关。 ④简化结果讨论 a. 若 0 ,0'≠=o R M F ：平面力系与一力偶等效，此力偶为平面力系的合力偶，其力偶矩用主矩M o 度量，这时主矩与简化中心的选择无关。 b. 若0 ,0'=≠o R M F ：平面力系等效于作用线过简化中心的一个合力F R ，且有F R =F 'R 。 c. 若0 ,0'≠≠o R M F ：平面力系简化结果为一合力F R ，其大小、方向与主矢相同，作用线在距简化中心O 为'R o F M d = 处。 d. 0 ,0'==o R M F ，则该力系为平衡力系。 3．平面力系的平衡条件和平衡方程 平面力系平衡的充分必要条件是该力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩同时为零。其解析表达式有三种形式，称为平衡方程。 1）基本形式 ?????=∑=∑=∑0)(0 00F M Y X 2）二矩式 ?????=∑=∑=∑0)(0 )(0F F B A M M X 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴 3）三矩式 ?????=∑=∑=∑0)(0 )(0)(F F F C B A M M M 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线 特殊力系的平衡方程 1）共线力系：0=∑i F 2）平面汇交力系：???=∑=∑00Y X
第三章：平面任意力系
第三章 平面任意力系 一、要求 1、 掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力 系简化的结果。 2、 深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3、 能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。 4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。 二、重点、难点 1、 本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。平面任意力系 平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。物体及物体系平衡问题的解法。 2、 本章难点：主矢与主矩的概念。物体系的平衡问题。 三、学习指导 1、 力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。一个力平移后，它对物体的作用效果 发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。 2、 平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理， 将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。两个力系合在一起与原力系等效。这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。然后，分别求平面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。 3、 主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即 ∑== n i i F R 1 平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即
)(1 i n i o O F m M ∑== 关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕O 点转动的作用效果。（3）主矢与简化中心的选择无关。从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。主矩与简化中心的选择有关。这说明附加力偶随简化中心而改变。因此，对于力系的主矩，必须指出它是力系对于哪一点的主矩。 4、 平衡条件和平衡方程 （1）平衡条件：平面任意力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点O 的主矩都等于零，即0'=R ，0=o M 。所谓平衡的必要条件是：如果物体平衡，则平面任意力系的'R 和o M 都等于零。用反证法证明，因为，假如0'≠R ，平面任意力系必能简化为一合力，则物体不能平衡；又若0≠o M 、0'=R ，平面任意力系简化为一合力偶，物体也不平衡。因此，'R 和o M 都等于零是平面任意力系平衡的必要条件。所谓平衡的充分条件是：如果平面任意力系的'R 和o M 都等于零，则物体平衡。因为平面任意力系向一点简化只有三种可能的结果：合力、合力偶、平衡。0'=R ，0=o M 说明力系既不能简化为一个合力，也不能简化为一个合力偶，故物体必定平衡。因此，'R 和o M 都等于零是平面任意力系平衡的必要和充分条件。y （2）平衡方程：三种形式的平衡方程是平面任意力系平衡条件的解析表达式。见下表：
第三章 力系的平衡
第三章 力系的平衡 力系的平衡条件及其应用是刚体静力学研究的重点内容，在工程实践中有广泛的应用。本章首先介绍各种力系的平衡方程，然后应用平衡方程研究物体及物体系统的平衡问题。 3.1 力系的平衡方程 ● 空间力系的平衡方程 根据1.4中力系的简化结果分析，空间任意力系n F F F ,,21平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对于任意简化点的主矩均等于零矢量。即 01 =∑=n i i F ，0)(1 =∑=n i i O F M (3–1) 以任意简化中心为原点建立直角坐标系Oxyz ，并将以上二式分别投影到各个坐标轴上，得到空间任意力系平衡条件的解析表达式。 )(0 )(0 )(0 1 1 1111======∑∑∑∑∑∑======n i i z n i i y n i i x n i ix n i ix n i ix F M F M F M F F F (3–2) 式(3–2)称为空间任意力系的平衡方程。一般情况下共有6个独立方程。对于空间特殊力系，式(3–2)中的某些方程将变成恒等式，独立方程的个数相应减少。 例3–1：如图3–1(a)，镗刀杆在根部被夹具固定，刀头在镗削工件时受到切向力z P 、径向力y P 和轴向力x P 作用，其 大小分别为N 5000 、N 1500和N 750，方向如图。刀尖B 位于Axy 平面内。试求刀杆根部约 束力的各个分量(图中 尺寸单位为mm )。 解：如图3–1建立坐标系。夹具对镗刀杆构成空间固定端约束，镗刀杆受力如图3–1(b)所示。现在镗刀杆受空间任意力系作用，根据平衡方程(3–2)，故有 00=-=∑x Ax x P N F 00=-=∑y Ay y P N F (a) (b) 图3–1 例3–1图
理论力学：第3章 力系的平衡
1 第3章 力系的平衡 3.1 主要内容 空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩等于零，即 0=R F 0=O M 空间力系平衡方程的基本形式 0,0, 0=∑=∑=∑z y x F F F 0)(, 0)(, 0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M 空间汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力 0=R F 空间汇交力系平衡方程的基本形式 0,0,0=∑=∑=∑z y x F F F 空间力偶系平衡的必要和充分条件是：各分力偶矩矢的矢量和 0=∑i M 空间力偶系平衡方程的基本形式 0)(,0)(, 0)(=∑=∑=∑F F F z y x M M M 平面力系平衡的必要和充分条件:力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即： 0=∑='F F R ;0)(=∑=F O O M M 平面力系的平衡方程有三种形式： 基本形式： 0)(,0,0=∑=∑=∑F M F F O y x 二矩式： 0)(,0)(,0=∑=∑=∑F M F M F B A x （A 、B 连线不能与x 轴垂直） 三矩式： 0)(, 0)(, 0=∑=∑=∑F M F M M C B A （A 、B 、C 三点不共线） 平面力系有三个独立的平衡方程，可解三个未知量。 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零，即 0=∑=F F R 平衡的解析条件：各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即 0,0=∑=∑y x F F
两个独立的平衡方程，可解两个未知量。 平面力偶系平衡的必要和充分条件为：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即 ∑=0 M i 一个独立的平衡方程，可解一个未知量。 3.2 基本要求 1．熟练掌握力的投影，分布力系的简化、力对轴之矩等静力学基本运算。 2．能应用各种类型力系的平衡条件和平衡方程求解单个刚体和简单刚体系统的平衡问题。对平面一般力系的平衡问题，能熟练地选取分离体和应用各种形式的平衡方程求解。 3．正确理解静定和超静定的概念，并会判断具体问题的静定性。 3.3 重点讨论 主要研究单个刚体和刚体系统受平面力系而平衡的问题。 在研究系统的平衡问题时，首先应进行静定性的判断。刚体静力学，只研究静定的系统。 求解单个刚体平衡时，应选择合适的平衡方程的形式。对投影轴的取向及矩心和取矩轴的位置也要灵活选择，以便列一个平衡方程就能求出一个未知量。如列力矩方程时，把矩心选在一个未知力的作用线上或两个未知力的交点上；列投影方程时，选择投影轴与一个力或几个未知力垂直，则在方程中不会出现这些未知力，可使方程所含未知力数目减少。 求解刚体系统平衡时，原则上讲，可以将刚体系拆成单个刚体，对每一单个刚体列写平衡方程，再将所有平衡方程联立求解。如果刚体系是静定的，由所列方程能解出全部位置量。这种方法比较规范，但求解联立方程的计算量大，只适用于计算机求解，而且物理概念不清楚，也不适用于只求解某几个指定的未知量的情况。在理论力学学习阶段，应重视物理概念，并主要靠手工运算求解；因此，应灵活选取研究对象，灵活列写平衡方程，尽量做到列一个平衡方程就解出一个未知量。 求解力系平衡问题的方法和步骤。 1．选取研究对象； 2．分析研究对象受力，画受力图； 3．根据力系的类型列写平衡方程，选取适当的坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少； 4．求未知量，分析和讨论计算结果。 2
第三章：平面任意力系
第三章 平面任意力系 一、要求 1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力系简化的结果。 2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式。 3、能熟练地计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题。 4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。 二、重点、难点 1、本章重点：平面任意力系向作用面内任一点的简化，力系的简化结果。平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。物体及物体系平衡问题的解法。 2、本章难点：主矢与主矩的概念。物体系的平衡问题。 三、学习指导 1、力的平移定理，是力系向一点简化的理论基础。一个力平移后，它对物体的作用效果发生了改变，要想保持原来力的作用效果，必须附加一个力偶。 2、平面任意力系向一点简化的方法：平面任意力系向一点简化，是依据力的平移定理，将作用在物体上的各力向任一点（称为简化中心）平移，得到作用在简化中心的一个平面汇交力系和平面力偶系（附加力偶系）。两个力系合在一起与原力系等效。这样，一个复杂的力系就分解成了两个简单的力系。然后，分别求平
面汇交力系的合力和平面力偶系的合力偶，则原力系由作用在简化中心的一个力和一个力偶所代替，该力的大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩等于力系的主矩。于是，平面任意力系的简化就成了计算力系的主矢和主矩的问题。 3、主矢和主矩：平面任意力系中，各力的矢量和称为力系的主矢，即 平面任意力系中，各力对于简化中心的力矩的代数和称为力系的主矩，即 关于主矢和主矩，需要弄清楚以下几点：（1）主矢不是力，主矩不是力偶。主矢和主矩是描述平面任意力系对物体作用效果的量。（2）主矢是自由矢量，只有大小和方向，描述平面任意力系使物体平动的作用效果。平面任意力系的主矩是代数量，只有大小和正负，描述平面任意力系使物体绕 点转动的作用效果。（3）主矢与简化中心的选择无关。从这个意义上讲，主矢是力系的一个不变量。主矩与简化中心的选择有关。这说明附加力偶随简化中心而改变。因此，对于力系的主矩，必须指出它是力系对于哪一点的主矩。 4、平衡条件和平衡方程 （1）平衡条件：平面任意力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点 的主矩都等于零，即 ， 。所谓平衡的必要条件是：如果物体平衡，则平面任意力系的 和
《理论力学》第三章力系的平衡习题解
第三章力系的平衡习题解 [习题3- 1]三铰拱受铅直力F作用，如拱的重量不计, 求A、B处支座反 力。 ［解 ］： (1)画受力图如图所示。 (2)因为BC平衡，所以 ①' F ix = 0 R C cos45°-R B sin : =0 sin :-二 ,9 丄 2 2 l2 -+ — 4 1 10 31 cos 2- .4 4 _ 3 .10 R C"2R B sin：5 R B ②二F iy = 0 R C sin 45°R B cos ： - F P = 0 R C -^+』R B下 2 ,10 A B I、”邱 R「主F P"79F P 4 R c 10.79F P=0.35F P -.5 B F P C C a 450 1 2 l R B
(3)由AC的平衡可知：R A二R C 二10.79F P =0.35F P <5 ［习题3-2］弧形闸门自重W= 150 kN,试求提起闸门所需的拉力F和铰支座处的反力。 -Fcos60°2-Fsi n 60°8 W 6=0 -F -0.866F 8 150 6 =0 7.928F =900 F =113.522(kN) 、F ix " F cos60°- R Ax = 0 R AX -113.522 0.5 =56.761(kN) O) 、F, -0 Fsin 60°R Ay-W = 0 R AX二W-Fsin60°=150 -113.522 0.866 = 51.690(kN) (f) R A二‘56.761251.692= 76.77(kN) 丄51.69 --arctan 42.323 56.761 ［习题3-3］已知F= 10kN,杆AC B(及滑轮重均不计，试用作图法求杆AC BC寸轮的约束力。