大数运算的C 语言实现

大数运算的C语言实现

作者：方玉阁，07秋软件工程；学号:v07254643119；指导教师：贾磊

毕业实践是学校根据专业教学的要求，对学员已学部分理论知识进行综合运用的培训，其目的在于让学生接触社会，加强学生对社会的了解，培养和训练学生认识、观察社会以及分析、解决问题的能力，提高学生的专业技能，使之很快地融入到实际工作中去。2009年5月份大数运算方面的实践。

在不到一个月的时间内，要想整个完全实现所有功能的算法过程是不易的。我主要采用了“多搜、多问、多学、多悟”四多的方式，基本了理清了整个流程的操作实现。现将此次实践活动的有关情况报告如下：

一、实践的内容与过程

实践内容是关于大数开n次方的以及过程中所用到的大数的四则运算和一些辅助函数如大数合法性的验证、大数的逻辑运算等等数学运算。考虑到这是一个非常有用的方法，目前C及C++语言最大支持的数据类型为八字节长度的长整型long，所以当我们要在程序里运算一个较大的数时，就无从着手，在C语言提供的函数库里没有此功能的函数，可见实现一个此类功能的方法对实现大数运算的功能可见是很有用的，可为众多软件开发者提供方便、捷径，用较短的时间做更多的事，然而每件事情并不是那么简单的，要考虑的严禁，不出逻辑问题，又要考虑执行效率，安全健壮性，未免不是一件难事，对于实现其功能很有挑战性，技术性的提高。虽说现在很多地方都实现了这个功能，但算法都有所不同，也许他们用的算法有好有坏，但我还是要有必要写一个，或许不同的这个算法，别人还没有实现，也算得是开源吧，因为这个中国古代的一个笔算算法，要用程序来实现它，不仅精度可以控制主要是运算精度，效率很高。

首先，要了解该类功能实现的整个流程，先什么，后什么，主次要分清楚，还有功能的合理划分，及可扩充性，程序的健壮性。通过资料查询和逻辑够思，大至总结出此类需要什么函数及各个函数方法之间的联系，细节性的在实现中逐步添加，主要功能还是大数开n次方的运算，而其它加减乘阶乘除则是为其服务的，在此类基础上可以推导出许多运算的实现，就相当于基类中的一个部件，还有通常的数学运算，比如模运算和一些稍微复杂运算方法，如开方，乘方等等这些，各种方法的具体实现用简单的做不出来效果，就换复杂的来做，一种方法不通，就尝试用其它方法来达到所需效果，即有简则不复杂，提高编程效率，前提

注重质量下。另外就是可扩充性，目前凭个人已有经验要做的完美无缺是不现实的，只能尽量减少失误，方便添加新功能，修改已有功能，如命名规则，接口，公有、保护、私有方法或属性和多态性的使用等。

整个实践过程分四个阶段进行，第一阶段资料和算法搜集，可行性判断，第二阶段类的方法、属性，数据存储结构的设计，第三个阶段方法的实现，即算法的代码实现，第四阶段收尾工作，程序的测试，保证写出来的程序可以运行，有问题返回继续。

（一）资料搜集

首先，资料准备阶段，搜集实践过程中要用到的算法，技术文章和参考文献，做好准备式作，第一算法收集，经过资料查询，我决定用我们中国古代笔算算法，因为它可以控制精度，不仅精度高而且效率还高，虽说复杂繁锁一点，但实现它很有价值性，说起来是我们中国人自己的算法，第二，技术文章准备，因为在实践过程中可能会遇到很多问题，不是知识没学过，是学过不过有些细节性的东西可能没记得那么细，书上要更详细点，边实践边学习，可以事倍功半学到更多东西，甚至书上都没提到过的知识点，有些好的方法都是工作中总结出来的。若在书上找不到，就需从网上搜了，实在是找不到了，就得请教资历高深、经验非富的老师，把所需知识点给理清楚，记录下来，用什么方法能直接或间接实现，边学边用活学活用融会贯通，第三就是参考文献了，别人或许可以否认你设计的程序逻辑，但都会相信肯有权威性的参考文献中的标准文章，因为那是官方最原始的未经任何人修改过的，更具有高的可信的价值性。

其次，将收集来的资料归类，要不等需要用到时，再去找会很麻烦的，或许有可能都找不到，忘了放在哪里了，也许一不小心就把它删掉了，这会做又得重新搜寻，白花费时间精力。下面最主要的核心算法。

开方笔算算法：其实开方的笔算法中国古代就已经被发现了，方法也不难，就是计算特别烦琐。旧的初中教材里有笔算开平方的方法，我觉得笔算开n次方的方法也不难，就介绍我知道的笔算开n次方的方法：

①把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向由每隔n位为一段，用撇号分开；②根据左边第一段里的数，求得开n次算术根最高位的数，假设这个数为a；③从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；④把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；⑤设试商为b。如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止；⑥用同样

的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a 要取为全部k位数字）。

例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。

397 1.1929

5√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000

243

________________________________________________

74465432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商

65924199......................................39^5-30^5

_____________________________________________

854123319876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商

839297061757................................397^5-390^5

____________________________________________

1482625811954321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商

1242655709408851..........................3971^5-3970^5

___________________________________________

239970102545470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商

12433443520609199551....................39711^5-39710^5

_________________________________________

11563566733937800449

00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商

1119117001570432051621599..............397119^5-397110^5

_________________________________________

37239671823347993278401

00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商

2487041901386565548357443232........3971192^5-3971190^5

_______________________________________

1236925280948233779482656768

00000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商

111917049019214028715187411930649..39711929^5-39711920^5

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11775479075609349233078264869351

这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。

（二）结构设计

首先，大数类结构的设计，方法属性的命名，扩充功能的接口预留，一个合理的结构设计不仅写起程序实现简单，使程序的可读性也更简洁明了，后期修改也方便，另外就是大数的存储结构，由于大数的长度不确定，用数组存储有长度数组长度限制的，所以需采用链式存储结构。完了之后就需逐步实现各个函数的功能，考虑其运行效率的同时还要顾及到代码的逻辑，精简，安全性，接下来第一步做的是大数类的建立，方法属性的命名，扩充功能的接口预留，数据结点、链表的创建及如何回收，有效利用内存，合理地使用内存，若没有合理释放链表所使用的内存空间就会造成内存碎片，内存泄漏，会影响程序的运行（内存不足），为回收碎片结点就需建立一条碎片链，来记录所有已开辟的空间结点，这样就有效利用了已用过的链结点，在创建结点的时候访问碎片链一次，看是否有现成空间可用，有则利用，无则新创建，这样就有效节约了创建结点所需的时间，另一个就是数据存储结构，一个好的存储结构不仅可以节约内存的使用，更能提高程序的运行效率，经过几种结构的比较和程序测试，才确定下来一种较为合理的存储结构，既有指向前驱结点的指针域prior，又有指向后继结点的指针域next，和储存数据的数据结点域，和另外一些辅助变量，如静态结点，使不同对象之间通信。本来大数的运算不复杂的，但要想做的完美，比如实数的运算，考虑的越多，程序就越复杂，实现起来就越困难。

接下来就是每个模块的功能的代码实现，以及为其以后派生，继承某些功能所需要的一些接口，还要考虑程序的安全性，健壮性，正是一个面向对象程序所提到的其本思想，每二步，链表的运算，大数的运算，并不是每个大数都是合格的能转换成像一个实数那样的，因此在转换字符串到大数链的还要检测一下字符串的合法性，是否能转换成一个合格的大数，即类似于实数的大字符串，仿似数学上的运算，比如减数不足向前借位，不了则进位等性质，在实现各函数的同时，各函数之间关系都要明确，借用一些辅助函数，这些函数对外是不可访问的，其

目的就是为了代码的安全，可读性，方便修改，假如该功能的某处代码有所改动，就要改动多处，有一处错就影响整个程序的运行。为了减少不必要的麻烦，能简单则不复杂，代码越精简起好，可读性高；另外就是一个命名规则，好的命名规则会让整个程序清晰可见，简而易懂，方便维护的修改，总之最主要还是各个函数的链接，相当于程序运行必不可少的枢纽中心。

（三）方法实现

实现方法分以下几步进行

1.将字符串转换成一个大数进行验证，检查它是否是一个合格的大数，能否将它转换成一个大数链（可以像整数或小数一样参加运算，只不过位数不同），转换成大数链以便进行操作，检查一个大数是否为正确的要从以下几步去看，一、有正负号没，有了只能在第一位，二、有小数点没,有了只能有一个，三、以上两点判断完后就判断是除了+-.0123456789外是否还有其它字符，三个条件都通过后则说明此字符串是一个合格的大数。这三个条件是检查一个大数的必要条件。

2.建立数据结点，并前后挂链，使从前驱结点可以找到后继结点，从后继结点也可以找到前驱结点，最后一个结点的指向后继结点的next（指向大数结点的指针）域为空，标志大数链的结束，头结点的next域指向大数链的第一个结点，指向前驱结点的prior域指向大数链的最后一个结点，因为数的运算都是从后向前运算，大数也不例外，这样做可以方便从头结点找到最后的结点，并从后向前检索访问，就不必再头结点向后搜索到最后结点从而再向前进行操作而节约时间。

3.碎片链，或许会小看这东西，刚开始我也不晓得什么叫内存碎片，随着了解的越多就明白了为什么会要这东西，谈起链表的创建及回收就会想到内存的动态申请开辟及释放，有借有换，若借来的内存都没有还回给系统，少则没多大影响，无关紧要，多则就不行了，系统没有足够的内存空间给分配给其它处于等待申请的程序或线程，或许会造成为争夺资源而资源枯竭而陷入死机状态，或者会影响程序的运行（内存不足），好的程序一定要注意这问题，有效利用内存，为回收碎片结点就需建立一条碎片链，来记录所有已开辟空间结点，在创建结点的时候访问碎片链一次，看是否有现成空间可用，有则利用，无则新创建，因而我在这里使用碎片链来解决内存使用问题。当要释放回收结点时，我们可以不真接释放，而是用碎片链表来存起，每添加一个新的结点就在碎片链头部，从而使其变成碎片链的头，当我们需要开辟新结点时，就先访问碎片链上看有没有可用结点空间，有了真接取出，并使碎片链的头为其链上的下一个结点，这样不仅有效合理利用了内存，更为程序申请释放空间节约了时间，提高程序运行效率。

4.辅助函数的实现，在字符串验证并转后成大数链后就要开始对其进行操作了，目的是为了给实现主要功能做辅助功能，我称它为辅助函数，辅助函数有以下几个，大数加法，大数减法，乘法及除法这四个，其中加法是最好实现的，两个数从个位起开始运算，相加大于10、100，1000、10000（要看程序设置的标志量）了，就向前进位，留个标志，待指针运行到要进位的位置上时就使其加1而达到进位目的，一条链到头而另一条链没有到头就把另一条链剩下的依次复制出来到结果链上就完成了，减法要稍以复杂一点，那个做减数那个做被减数，虽说结果的绝对值是一样的，但当两个数相减后有可能会出现前后的多位为零的情况（例：000123.1000），这就得做另一个函数来清理结果上不需要的零了，额外还需加上逻辑运算的几个函数，判断两个大数之间的关系，是大于、等于还是小于关系。乘法运算要复杂程序在这四个中占第三位吧，小数点在运算中只起到间隔作用，不参加运算，如果说真接参加运算，程序写起来比较困难，因为每次运算都得把小数点考虑进去，还不如先把小数点处理出来，记录小数点的位置，待两个数运算完毕后计算小数点位置然后添加进去就成了。第四除法运算，算是这四个中最复杂的一个，难度也是相当高，就说内存使用情况就相当于其它的几倍，需要一条链来保存运算得到的结果，一条试商链来保存被除结果与除数的乘积用于得到试商结果，一条试商结果链来保存试商结果用于重新生成被除数继续除法运算，直到精度达到要求运行停止。

5.主要功能大数开n次方的方法的实现，根据上述笔算算法加上述辅助功能及技术的处理就很容易得到结果，布骤如下，1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向由每隔n位为一段，用撇号分开；2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。也许会为得到结果上的位数而发愁，因为都涉及到开方运算，而现在开方运算还没有实现咋个做，不愁有办法是想出来的，因为每个结果最高位是9，这就好办了，就不用开方或除法去计算该位上的数，用乘法从0试到9就行了或者从9试到0，这样方便程序实现，至此整个方法实现完了，告一段落，接下来就是测试了。

6.程序测试

直接检验测试，清晰可见简而易懂就可以看到结果，如下：

二、实践成功获得的主要经验

两学期来，虽说编程上学到了很多理论东西，但很少有在实践中运用，与实际还有些距离，经过这次的实践，明白有那些不足之处和那些程序设计中的优点可取之处。

（一）类结构、方法属性命规则、接口等合理的设计

好的结构使程序看起来更简洁明了，读起来简而易懂，有助于提高程序的可读性，并为功能扩充留下接口，方便功能添加和修改。

（二）链表的挂链、插入、删除

挂链是一个抽象的概念，对很多初学C语言的都很难理解，经过这次的实践，掌握了一些独特的方法，对以后设计其它的程序方便有利，如双向链表完成结点交换不需要临时指针就行了，可以通过逻辑与运算符的功能来达到目的。

（三）多个函数协同工作，其功能的划分及其管理

每个函数有不同的功能，不同功能在程序中起着不同作用，各个函数之间的协同工作，通信交互，共同来达到所需功能，合理的功能划分使程序条理清晰有序，提高程序的可读性，把多处用到的相同功能的代码放在某一函数里，减少代码的冗余，方便程序修改，若哪处功能有所改动，一改全改，就不用一处一处改动，减少不必要的修改错误，为编程提高效率。

（四）程序的健壮性

防止程序出现意外而异常终止，好的话只是程序终止，坏的情况下则导致系

统崩溃带来严重后果，这是程序开发者一定要注意的问题，这也并不是一两个函数所能完成的任务，要在每个有可能出现异常的函数里加入异常处理功能，至于怎么处理，要视情况而定，所实现的功能就是保持程序的健壮。

三、实践过程中存在的主要问题

虽然这次社会实践时间很短，但从中学到了很多东西，这是平常都没注意到的，尤其在链表的操作上的程序设计思路比较不错，由于现在高手如运，大数运算类更是多的是，要使开发人员使用这个的类，就得有吸引力的地方，比如速度，精度等，目前速度，精度不是问题，我认为这套算法主要存在的问题：

①算法的执行效率是一重要问题，算法好并不一定实现方法是最好的，有待优化；②键壮性，可能哪里存在着漏洞不过尚未发现，有待众人检测。

四、实践的收获和体会

经过此次实践，发现自己与实际工作还有一定的距离，还有许些不足，该怎么弥补不足，还要拟定个计划，学习那些内容，我们平常在学校学的东西，在实践中都能用到，但还有所不足，这次实践它使我们走出课堂，走向社会，走上了与实践相结合的道路，让我们在实践中施展才华，增长才干，磨练意志，在实践中检验自己，通过实践，一方面，我们锻炼了自己的能力，在实践中成长，另一方面，我们找到了与社会的接触之路，但在实践过程中，我们也表现经验不足，处理问题不够成熟，书本知识与实际结合不够紧密等问题，所以我们一定要珍惜在校学习时光，努力学习文化、技术知识，为把我们的祖国变得更繁荣昌盛而努力奋斗！