集合论的发展
谈谈集合论的发展历程
集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的发展历程和数学史上最有争议的人物之一康托尔是联系在一起的。他是集合论的创立者，19世纪末20世纪初德国数学家。他从事的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和传统的理解。但数学的发展最终证明康托尔是正确的。集合论不仅影响了现代数学，也深深影响了许多方面。
2、集合论背景
集合论诞生原因来自现今数学分析这门课程。在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，还使无穷概念在数学中信誉扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。19世纪发展起来的极限理论解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。但并没有彻底完成微积分的严密化。19世纪后期的数学家们发现产生逻辑矛盾的原因在奠定微积分基础的极限概念上。柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，只是建立在纯粹严密的算术的基础上。很多数学家致力于分析的严格化。这一过程都涉及到对微积分的基本研究对象——连续函数的描述，涉及关于无限的理论。无限集合在数学上的存在问题又被提出来了。这自然导致寻求无限集合的理论基础工作。它成了集合论产生的一个重要原因。
集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系开始：若o是A的元素，可表示为o∈A。由于集合也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集合的关系。
另外一种二个集合之间的关系，称为包含关系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为B的子集，符号为A?B。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定义，任一个集合也是本身的子集，不考虑本身的子集称为真子集。集合A为集合B的真子集当且仅当集合A为集合B的子集，且集合B不是集合A的子集。
数的算术中有许多一元及二元运算，集合论也有许多针对集合的一元及二元运算：比如
1.集合A和B的并集、交集。
2.集合U和A的相对差集，符号为U \ A，是在集合U中,但不在集合A中的所有元素，相对差集{1,2,3} \ {2,3,4} 为{1} ，而相对差集{2,3,4} \ {1,2,3} 为{4} 。当集合A是集合U的子集时，相对差集U \ A也称为集合A在集合U中的补集。
3.集合A和B的对称差，符号为A△B或A⊕B，是指只在集合A及B中的其中一个出现，没有在其交集中出现的元素。例如集合{1,2,3} 和{2,3,4} 的对称差为{1,4} ，也是其并集和交集的相对差集(A∪B) \ (A∩B)，或是二个相对差集的联集(A \ B) ∪(B \A)。
3、集合论的建立
康托进入柏林大学后，对数论较早产生兴趣，集中精力对高斯留下的问题作了深入的研究。他的毕业论文就是关于素数的问题。然而，他很快接受了数学家海涅(1821—1881)的建议转向了其他领域。海涅鼓励康托研究一个有趣也是较困难的问题：任意函数的三角级数的表达式是否唯一?对康托来说这个问题是使他
建立集合论的最直接原因。1822年傅立叶(1768—1831)提出了函数可用三角级数表示。此后对于间断点的研究，越来越成为分析领域中引人注目的问题，1870年，海涅证明，如果表示一个函数的三角级数在区间[-π，π]中去掉函数间断点的任意小邻域后剩下的部分上是一致收敛的，那么级数是唯一的。至于间断点的函数情况如何，海涅没有解决。康托开始着手解决这个以如此简洁的方式表达的唯一性问题。他跨出了集合论的第一步。
集合论的难点是无穷集合这个概念本身。这种集合的本质看来是矛盾的，很难象有穷集合那样来把握它。早在16世纪，伽俐略(1564—1642)就注意到了相关的问题。康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应的比较手段，因为它将出现部分等于全体的矛盾。
康托于1895年和1897年先后发表了两篇有决定意义的论文。他用集合作为基本概念。引进了它们的符号；规定了它们的加法、乘法和乘方……。在1895年的文章中遗留下两个悬而未决的问题：一个是连续性假说；另一个是所有超穷基数的可比较性。他虽然认为超穷基数有最小数而没有最大数，但没有明显叙述其矛盾之处。—直到1903年罗素(1872—1970)发表了他的著名悖论。集合论的内在矛盾才突出出来，成为20世纪集合论和数学基础研究的出发点。
那什么是罗素悖论呢？
罗素悖论就是假设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x ?x}”。那么问题是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，则不符合x?S，则S不包含于S；其次，若S不包含于S，则符合x?S，S包含于S 形象的讲就如理发师悖论中的一样。
理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
4、集合论的意义
但总之集合论仍然是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等数学分支以及物理学等一些自然科学领域，为这些学科提供了基础的方法。如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，对现代数学的发展也有深远的影响。
语文发展史作业
作业一：选题：胡适文言教学与当代文言教学的误区
作业三：小论文 胡适文言教学法与当代文言教学的误区 蒲沛君 西南大学文学院，重庆 400715 摘要:时至今日语文发展已有百年历史，然而文言教学仍然是语文教学的一大难点。但我们也并非无律可循，早在1915年胡适发表的《如何可使吾国文言易于教授》就提出了文言教学中实施有效的教学方法，但是当代文言教学却误解了胡适先生，认为这是文言内容的选择。从而使得文言教学在内容上存在几个误区。 关键词：胡适、文言文、教学法、误区 Misunderstanding of classical Chinese teaching method and Hu Shi contemporaryclassical Chinese Teaching Pu Peijun The College of Southwestern University, Chongqing 400715 Abstract: today, the Chinese has hundreds years of history, but the classical Chinese teaching is still a difficulty in Chinese teaching. But we are not without law to follow, first published in 1915 Hu Shi's "how to make our Chinese languageeasily taught" put forward the implementation of effective teaching method inclassical Chinese teaching, but the contemporary classical Chinese teaching but misunderstood Mr. Hu Shi, think this is the classical content selection. So there are some misconceptions in classical Chinese teaching content. Keywords: Hu Shi, classical Chinese, teaching method, error 文言是中国文化历史长河的一大瑰宝，它是一种生生不息的语言。几千年过去了仍然活跃在语文教学的舞台上和我们的生活中，但是对于现代的学生来说却是一怕文言文，二怕周树人，但怕作文。文言文成为了学生学习的一大难点，同时也成为了教师教学的难点。但是我们并不是无教法可依，胡适先生对国文教学提出的问题，其中涉及文言教学的有很多处，很多方法被我们沿用至今，特别是他在1915年发表的《如何可使吾国文言易于教授》提出了文言教学方法的关键，他认为： （1）历来文言文教授在教法上的四大弊端：一是“以为徒事朗诵，可得字义”，忽视了译释字义的重要；二是教者不懂文字学，不知推究字源；三是忽视文法探讨；四是不讲究句读、标点，致使文法不易解，字义不易定； （2）文言文教法上应当与教外国文字略相似，“须用翻译之法”； （3）应当重视字源学的教学，重视文法分析； （4）教文言文应当重视句读和标点。 文言之教学在于翻译，将文言翻译成白话文，在某种意义上他的目的在于推崇白话文，但确实是为我们的文言教学提供了有效的教学方法。这样使得文言更加贴学生的生活，有一
中国近现代诗歌发展史
诗歌发展史（二） 一、现代诗歌的概念 （一）定义 现代诗歌是指“五四运动”至中华人民共和国成立以来的诗歌，又称新诗。它适应时代的要求，以接近群众的白话语言反映现实生活，表现科学民主的革命内容，打破旧体诗格律形式束缚。 （二）分期 第一个十年（1917-1927） 第二个十年（1927-1937） 第三个十年（1937-1949） 二、第一个十年的诗歌创作 （一）尝试中的新诗 胡适——“第一个白话诗人” 胡适，原名嗣穈，字希疆，笔名胡适，字适之。着名思想家、哲学家。徽州绩溪人，倡导白话、领导新文化运动。 《蝴蝶》 两个黄蝴蝶，双双飞上天。 不知为什么，一个忽飞还。 剩下那一个，孤单怪可怜。 也无心上天，天上太孤单。 （二）开一派诗风的新诗创作 郭沫若——白话诗歌的成熟 郭沫若，原名郭开贞，生于四川乐山文学家、历史学家、新诗奠基人之一。 《女神》——以情感的大解放、诗体的大解放宣告诗坛“胡适的时代”的结束，和真正的现代自由体新诗时代的到来。 《天上的市街》 （三）提倡格律的新月派 闻一多——“五四”时期唯一的爱国诗人 闻一多，本名闻家骅，湖北黄冈人，中国现代伟大的爱国主义者，坚定的民主战士。1946年在云南昆明被国民党特务暗杀。 新格律诗理论——走出“绝端的自由”的散文化误区 《七子之歌》 （四）早期象征派的诗歌 三、第二个十年的诗歌创作
（一）左翼诗派 （二）后期的新月派 1.徐志摩 徐志摩，原名徐章垿，出生于浙江省海宁县。小时候，有一个名叫志恢的和尚，替他摩过头，并预言“此人将来必成大器”，其父望子成龙心切，即替他更此名。 徐志摩是徐家的长孙独子，自小过着舒适优裕的公子哥的生活。金庸是徐志摩的姑表弟，琼瑶是徐志摩的表外甥女。 《再别康桥》 2.卞之琳 （三）现代派 1.戴望舒 戴望舒，浙江余杭人，中国现代派象征主义诗人，翻译家。《雨巷》 1936年10月，戴望舒与卞之琳、冯至等人创办了《新诗》月刊，是新月派、现代派诗人共同交流的重要场所。 2.废名 废名，原名冯文炳，师从周作人，被视为“京派文学”的鼻祖。 “以禅写诗” 四、第三个十年的诗歌创作 （一）艾青 艾青，原名蒋海澄，浙江金华人。现代文学家、诗人。代表作《大堰河——我的保姆》。 为什么我的眼里常含泪水？因为我对这土地爱得深沉。——《我爱这土地》（二）七月诗派 田间，原名童天鉴，安徽省无为县人。其诗作《假使我们不去打仗》传遍全国，被闻一多称为“擂鼓诗人”、“时代的鼓手”。 假使我们不去打仗， 敌人用刺刀 杀死了我们， 还要用手指着我们骨头说： “看，这是奴隶！” （三）九叶派 穆旦，原名查良铮，曾用笔名梁真。祖籍浙江海宁。爱国主义诗人、翻译家。 “穆旦现象”：50年代以来，穆旦频受政治运动打击，身心遭到极大摧残，被迫从诗坛上销声匿迹，转而翻译外国诗歌，直到去世。多年以后，才逐渐被重新认识。人们出版他的诗集和纪念文集，举行“穆旦学术讨论会”，给予他很高的评价。“二十世纪中国诗歌大师”排行榜，穆旦名列榜首。
集合论的发展史
集合论的发展史 集合是什么，通俗地说它是一些元素组成的集体，是一些确定而又可分的“物”的集体。集合并不指具体的“物”，而是由物的集体所组成的新对象。20世纪以来的研究表明，不仅微积分的基础——实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。集合论最重要的创建者是康托尔（Georg Cantor，1845—1918）。在19世纪人们很少怀疑微积分的基础应该建立在严密的实数理论上，而严密的实数理论可以由集合论推出。但是微积分本质上是一种“无限数学”。那么无限集合的本质是什么？它是否具备有限集合所具有的性质？ 从19世纪60年代起，法国数学家康托尔承担了这一工作，他清楚地看到以往数学基础中的问题，都与无穷集合有关。康托尔的集合论的建立，不仅是数学发展史上一座高耸的里程碑，甚至还是人类思维发展史上的一座里程碑。它标志着人类经过几千年的努力，终于基本上弄清了无限的性质，找到了制服无限“妖怪”的法宝。苏联著名数学家柯尔莫戈洛夫说：“康托尔的不朽功绩在于向无限冒险迈进。”德国数学大师伯特赞扬康托尔的理论是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动最美的表现之一”。 然而事情并非总是顺利的。1900年左右，正当康托尔的思想逐渐被人接受，并成功地把集合论应用到了许多别的数学领域中去，大家认为数学的“绝对严格性”有了保证的时候，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。1903年英国哲学家兼数学家罗素（Russell, B.A.W,1872—1970）提出了一个悖论，“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果说是，即包含自身，属于这个集合，那么它就不包含自身；如果说否，它不包含自身，那么它理应是这个集合的元素，即包含自身。 可能有人看不懂罗素悖论，没关系，罗素本人就用通俗的“理发师悖论”作了比喻；理发师自称，他给所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不给任何自己刮胡子的人刮胡子。试问理发师该不该给自己刮胡子？如果他从来不给自己刮胡子，就属于“自己不刮胡子的人”。根据他的自称，他就应该给自己刮胡子，但是，一旦他给自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。还是根据他的自称，他就不应该给自己刮胡子。所以不管理发师的胡子由谁来刮，都会产生矛盾。罗素悖论以其简单、明确震动了整个西方数学界和逻辑学界，逻辑学家费雷格收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术基础法则》第二卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难甚的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当这本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。”弗雷格对罗素悖论的迅速反应是惊恐地感到：“算术开始受难。” 数学史上第三次危机来临了，数学王国的居民们惶惶不安，因为数学家们一贯追求严密性，一旦发现他们自称绝对严密的数学的基础——集合论并不严密，竟然出现了“悖论”这种自相矛盾的结果，可以想像，他们是多么震惊。震惊之余，数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其他有关的“悖论”。现在，各种成功地解决悖论的方案都对集合的“无限扩张”进行了限制，因此现在任何一种形式的集合论，实质上都包
离散数学集合论部分常考××题
离散数学常考题型梳理 第2章关系与函数 一、题型分析 本章主要介绍关系的概念及运算、关系的性质与闭包运算、等价关系、相容关系和偏序关系三个重要关系、函数以及函数相关知识等内容。常涉及到的题型主要包括： 2-1关系的概念理解以及关系的并、交、补、差以及复合和逆关系等运算2-2关系自反和反自反、对称和反对称等性质的概念理解与判定；自反、对称和传递闭包运算。 2-3等价关系 2-4偏序关系和哈斯图 2-5 函数的概念和性质 因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道： 1．有序对和笛卡尔积 （1）有序对：所谓有序对就是指一个有顺序的数组，如< x , y >，x , y的位置是确定的，且< a , b >< b , a >。 （2）笛卡尔积：把集合A，B合成集合A×B，规定： {,|} ?=<>∈∈ 且 A B x y x A y B 由于有序对< x , y >中x，y 的位置是确定的，因此A×B 的记法也是确定的，不能写成B×A 。 笛卡儿积的运算一般不满足交换律。 2．二元关系的概念和表示、几种特殊的关系和关系的运算 （1）二元关系的概念：二元关系是一个有序对集合，设集合A，B ，从集合A 到B的二元关系 R∈ x ∈ < y =且 > } , x {B | y A 记作xRy。 二元关系的定义域：A Ram? R ) (。 ) R Dom? (；二元关系的值域：B 二元关系R 是一个有序对组成的集合．因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示；反过来说，一个集合未必是一个二元关系，仅当集合是由有序对元素组成的，才能当做二元关系。 常用关系的表示法包括了集合表示法、列举法、描述法、关系矩阵法和关系图法。关系矩阵和关系图是有限集合上的二元关系的表示方法。
2019-2020学年高中历史人教版必修《中外历史纲要》下册作业1文明的产生与早期发展
课时分层作业(一) 文明的产生与早期发展 (建议用时：40分钟) [合格基础练] 1．人类从食物的采集者变成食物的生产者，人类由游牧到定居生活方式的变化，主要 由于( ) A．农耕和畜牧业产生 B．早期城市出现 C．私有制逐渐产生D．国家开始形成 A [农耕和畜牧业产生后，人类从食物的采集者变成食物的生产者，故A项正确；早期 城市出现是由于人们过上了定居生活，一些较大的定居点发展为早期城市，B项不符合题意， 可排除；私有制产生，国家形成都是在人类变成食物生产者和定居以后，排除C、D两项。] 2．西亚的两河流域是世界古文明的重要发源地之一。下列属于古代西亚地区文明的是( ) ①种姓制度 ②《汉谟拉比法典》 ③基督教 ④楔形文字 A．①②B．②③ C．②④D．①④ C [本题主要考查对历史知识的识记、理解运用的能力。结合所学知识可知，②④符合 要求，故选C项。] 3．当你漫步法国罗浮宫时，解说员指着一根黑色的石柱说：“这是现存世界上最早的 比较完备的成文法典。”该法典诞生在( ) A．尼罗河流域B．两河流域 C．印度河流域D．黄河流域 B [本题考查《汉谟拉比法典》的相关知识。《汉谟拉比法典》是世界上现存的第一部 比较完备的成文法典，诞生在两河流域。] 4．下图是某地仿建的古代建筑，该建筑的“真实版”见于( ) A．古阿拉伯文明B．古埃及文明 C．古印度文明D．古希腊文明 B [题干中图片很明显是狮身人面像和金字塔，该建筑的“真实版”见于古埃及文明， 故选B项。] 5．古代埃及是世界文明古国，有辉煌的文化成就，下列文化成就属于古代埃及的是( ) A．《吉尔伽美什》是目前所知最早的史诗 B．诞生了著名的洪水和方舟传说
流形概念的演变与理论发展
流形概念的演变与理论发展 一、引言 流形是20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。〔1〕53物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。 流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是“软” 的，因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形（该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入）的原因。 流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？是如何解决的？谁解决的？形成了什么理论？这是几何史的根本问题。目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、细致的分析，并对上述问题给予解答。 二、流形概念的演变 流形概念的起源可追溯到高斯
（ C.F.Gauss,1777-1855）的内蕴几何思想,黎曼（C.F.B.Riemann,1826-1866）继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特（D.Hilbert,1862-1943）用公理化方案改良了黎曼对流形的定义，最终外尔（H.Weyl,1885-1955）给出了流形的严格数学定义。 1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系 十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。1817 年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长，并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。高斯在绘制地图中创造了高斯-克吕格投影，这是一种等角横轴切椭圆柱投影，它假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各3°或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，然后将椭圆柱面展开成平面。 采用分带投影的方法，是为了使投影边缘的变形不致过大。当大的控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。高斯-克吕格投影相当于把地球表面看成是一块块平面拼起来的，并且相邻投影带的坐标可以进行换算。这种绘制地图的方式给出了“流形”这个数学概念的雏形。 大地测量的实践导致了高斯曲面论研究的丰富成果。由于地球表面是个两极稍扁的不规则椭球面，绘制地图实际上就是寻找一般
中国文学发展史作业
中国文学发展史作业 ——浅谈中国文学进展史 中国文学进展史 一、摘要 文学史是文学进展的“历史”，是对文学的动观而非静视。把文学现象、文学流变和文学作品放在文学进展的长流中作通观凝视，在宏观的视角下确定其价值和意义，这是文学 史研究与写作差不多的学理要求。
先秦两汉时期，文学尚未取得独立地位，往往与政治、思想、哲学、历史融为一体，较为纯粹意义上的作家还不多见，文体以诗歌、散文为主，风格上要紧表现出典重淳厚、磅礴大气的特点。 魏晋至两宋时期，中国古代文学进入自觉期和鼎盛期。此一时期文人有着较高的地位和一定的独立进展的空间，文学的地位也大大提升，诗、词的兴盛并进展到臻于极致的美的境域标志着文人主体精神的充分张扬，审美上论结构的恢张、气概的博大虽已无法与先秦两汉文学相提并论，但词采之美、体式之纯、性情之真、韵味之厚却是它独具的魅力。 元明清时期，为中国文学的转型期和新变期。受专制政治和程朱理学的严峻束缚和世俗文化的极大冲击，文人地位一落千丈，思想缺乏自由，精神惶恐落魄，而整个民族精神既失去了先秦两汉时期的雄大之势，又没有了魏晋以来直到宋代的灵动之气，作为士人雅文学标志的诗词和散文开始走向衰落，而受俗文化滋养的散曲、戏剧、小讲却大放异彩。 由此看来，文学史的编著虽不可幸免要涉及文学的分期，但绝不是分期文学的排列，而必定要将时期之变与作家之变、文体之变、文风之变、审美之变等等种种因素作真切的把握和深刻的揭示，进而深入探求整个文学系统深层结构的演变和文学进展的全然走向。 文学史的进展观往往体现出对文学认识的联系观和系统观。对文学现象的认识通常有两种不同的态度，一是“孤立”的看待，另一是“联系”的看待。中国古代文学的许多咨询题如果采纳前一种态度，就不免就事论事，从而得出流于狭隘、片面和简单化的结论；相反，后一种态度则注重将每一文学环节纳入文学进展的系统中去凝视，由此确定它应有的位置，认识它产生的因由和存在的意义。文学史研究和写作的总体趋向是抛弃前一种认识观，自觉地接纳后一种认识观。 正文 古代文学的进展 （1）早期
集合论介绍
集合论介绍 一．集合论的历史 1.基本概念 关于集合的理论是19世纪末开始形成的。当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论。 康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）康托尔1845年出生于俄国的圣彼得堡，后来离开俄国迁入德国，其家庭是犹太人后裔。 集合是什么呢？用康托尔的话说，集合就是把具体的或思想上的一些确定的、彼此不同的对象聚集成的整体。简单说来，集合就是一组事物。 有一些集合，它们的元素是有穷的，如｛1，4，9，……100｝，｛里根，布什，克林顿｝，这种集合称为有穷集合。而有些集合则有无穷多个元素，如整数的集合等，这种集合称为无穷集合。无穷集合的基数大于任何有穷集合的基数。由上节的分析可以看出，无穷集合可以通过一一对应的方法进行比较，但却出现了令人惊讶的结果，如偶数集合与自然数集合的元素一样多，一条线上点的集合与平面上点的集合其元素也是相等的。康托尔把无穷集合的概念作为集合理论的基础，并证明无穷集合的一个显著特点就是无穷集合自身可与其部分具有一一对应关系。 为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。他还引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合。 有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集共有4个，一般地，有n个元素的集合其子集有2n个,n个元素的集合其基数为n，而其所有子集组成的集合的基数为2^n ，显然2^n＞n。因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。 2.康托尔悖论 据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。 3.罗素悖论 悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的基础，康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！ 把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A∈A}，Q={A∣A?A} 问，Q∈P还是Q ∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A?A的性质，因为Q∈Q，所以Q?Q，引出矛盾。若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=Φ，所以Q?Q，还是矛盾。这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。 4.理发师悖论 由著名数学家伯特兰?罗素（Bertrand A.W. Russell，1872—1970）提出的悖论与之相似： 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 5.数学的三次危机 第一次无理数, 无限不循环小数. 第二次,无穷小无穷小是零还是非零第三次,无穷大,A是非A,导致无限循环. 第三次数学危机是由“罗素悖论”引起的。 背景：大概是这样的。在第二次数学危机结束后，数学的进一步发展表明，一切问题都可以化归到集合论。比如，几何由于解析几何化归到了代数，代数又可化归到解方程，解方程可化归到实数理论，进而到自然数论，最后到集合论。 对于当时的一些不能解决的问题，存在几个派别，其中有一派是以希尔伯特为代表的形式公理派。他认为，
发展史作业
I 摘要 阶级的产生把人类从原始平等状态推入了不平等的深渊。但从那一刻开始，人类就从未放弃过对平等理想的追求。平等只能是相对的，没有绝对的完全平等。作为以马克思主义思想为指导的社会主义国家，对于马克思恩格斯平等观的追溯和回归，显得尤为重要。因此，本文从恩格斯对杜林的平等观批判的基础上，立足文本，解析恩格斯平等观的内涵真谛，用以指导我国市场经济条件下存在的不平等现象的哲学反思，旨在对社会主义和谐社会构建中处于转型时期的人们如何树立正确的平等观予以探讨。 关键词：平等；恩格斯平等观；社会主义和谐社会 引言 “无产阶级平等要求的实际内容都是消灭阶级的要求。”——恩格斯语，“随着阶级差别的消灭，一切由这些差别产生的社会的和政治的不平等也自行消失。”——马克思语。 我国关于平等理论方面的研究相对于西方较为滞后。自上世纪末尤其从 90 年代中期理论界有关平等理论的研究才日渐升温，有关这方面的论文专著也相继发表出版。理论与实践往往是同步的，我国经济和社会发展中不平等问题日益突出，从而导致对平等、公平与正义等价值追求受到普遍关注。社会主义市场经济条件下贫富差距日益扩大的现实不得不引起我们对平等的追求和争取。我国现实经济生活中体现较为突出的不平等现象主要集中于区域经济发展和个人分配不平等两方面。“让一部分人先富起来”可以很快实现，而“先富带动后富实现共富”则需要很长很长时间（几十年乃至上百年）。这在我们社会主义国家是说不过去的。我国在不同的社会时期所采取的个人收入分配的原则恰是问题的症结之所在。从十三大的“在促进效率提高的前提下体现社会公平”；到十四大提出的“兼顾效率与公平”；再到十五大是“坚持效率优先，兼顾公平”；经十六大则进一步发展为“初次分配注重效率，再分配注重公平”；直至十七大中第一次正式提出“初次分配和再分配都要处理好效率和公平的关系”。在我国发展市场经济的过程中，随着人们收入差别的扩大，社会平等问题又一次成为社会普遍关注的焦点。深入研究马克思主义平等理论，可为我国构建社会主义和谐社会的实践提供有力的理论支持。恩格斯平等观在其整个思想发展史上的地位。关于理论基础方面有关问题论述。马克思主义平等理论以唯物史观为哲学基础，以历史主义为基本方法，坚持了平等的价值性与事实性的具体的历史的统一。 一、恩格斯对杜林平等观的批判 恩格斯在《反杜林论》中讲到“平等”问题时，首先批判了杜林用数学方法研究社会问题的先验主义，认为杜林用这种先验主义方法建立起来的道德和法的学说，是抽象的、空洞的。指出研究社会生活领域问题不能用先验的方法，而必须尊重社会事实及其历史发展，阐明历史唯物主义的方法论。杜林的方法概括地说就是:第一步把每一类认识对象分解成最简单的要素；第二步把同样简单的不证自明的公理应用于这些最简单的要素，然后是要素加上公理就得出他的结论。杜林认为对待社会问题、历史问题、道德和法的问题也“应当从单个的、简单的基本形式上，按照公理来解决，正如对待简单的??数学的基本形式一样。”恩格斯指出，杜林的这种方法就是先验主义方法，其基本特点是:研究某一对象的特性不是从对象本身去认识，而是从对象的概念中逻辑地推论出来。“它不是从现实本身推论出现实，而是从观念推论出现实。”先是从对象构成对象的概念，然后颠倒过来，再用对象的概念去衡量对象。这样研究的结果，不是概念应当和对象相适应，而是对象去适应概念。关于平等问题，杜林同样根据他的先验方法，首先把社会分解为它的最简单的要素，而且在这里他发现最简单的社会至少由两个人组成。然后，杜林的公理是“两个人的意志，就其本身而言，是彼此完全平等的，而且一方不能一开始就向另一方提出任何肯定的要求。”由此，杜林得出他的结论“道德上的正义的基本形式就被表达出来了”；同样，“法上的正义的基本形式也被表达出来了”，因为，杜林认为“为了阐发法的基本概念，我们只要有两个人的十分简单的和基本的关系就够了”。也就是说，按照杜林的观点只要有两个人这样简单和基本的关系，而不需要别的什么，道德上的正义和法上的正义就可以实现了。恩格斯指出杜林的这“两个人”只能是“摆脱了一切现实，摆脱了地球上发生的一切民族的、经济的、政治的和宗教的关系，摆脱了一切性别的和个人的特性。”最后只剩下“人”这个光秃秃的概念的两个人。显然，这样的两个人是根本不存在的，这只能是完全脱离现实的幻想，杜林所提出的“两个人的意志完全平等”的公理不可避免的使自己陷入了无法自拔的自相矛盾之中。在《反杜林论中》恩格斯通过“三个退却”揭示批判了杜林平等学说的自相矛盾性。杜林的第一个退却是，两个人意志实际上存在不平等。首先杜林
近现代我国经济的发展历程
近现代中国经济的发展历程 近代中国的经济举步维艰，1929年至1933年间资本主义国家普遍陷入经济危机,为转嫁危机,西方各国采用货币、倾销等政策向中国倾销商品,严重影响了中国工商业的发展尤其1931至1934年间,中国工商业经历了艰难的发展过程,主要表现在:对外贸易的严重入超,银行钱庄挤兑风潮频发,丝织业停产倒闭,制茶行业举步维艰等方面,致使中国经济出现了严重的衰退。国民政府面对困境采取了相应的措施, 希望通过改革,达到减轻经济危机对中国经济影响的目的,这些措施一定程度上促进了中国币制的改革,但没有从根本上改变中国工商业发展的困境。我国的经济发展经历了曲折的道路，终于获得了今天的成果，中国的国际地位也得到很大的提升。当然，中国现在仍处于社会主义的初级阶段，中国的经济发展仍然面临着各种各样的挑战与机遇。 一、鸦片战争后中国社会经济结构的变动 1、自然经济开始解体1842年五口通商以后，西方商品输人与日俱增，尤其是洋纱洋布的输入，摧毁了东南沿海地区中国传统的家庭手工棉纺织业，造成纺与织、织与耕的分离。传统的小农业与家庭手工业相结合的自给自足的自然经济开始解体。其后，随着更多的通商口岸的开放，洋纱洋布得以倾销，进而为机器棉纱纺织业的产生和发展准备了一定的原料和产品市场；陷入破产与失业的农民和手工业者，则为近代机器工业提供了劳动力市场。传统的自给自足的自然经济开始瓦解只是发生在沿海局部地区，内地广阔的农村封建生产关系基本没变。另外，在东南沿海地区，棉纺等中国传统的手工业部门也同时受到打击和排挤，这些部门的资本主义萌芽受到遏制。 2、近代机器工业的出现19世纪40年代外国资本的近代机器工业在中国出现。60年代开始的洋务运动，标志着中国工业近代化的开始。鸦片战争后，外国商人为了贸易和航运的需要，在通商口岸私自创办了一批船舶维修厂、砖茶厂和机器缫丝厂等。外国企业在中国的开办，给中国带来了先进的机器与技术，打开了中国人的眼界，从而为中国资本主义机器工业的产生起了诱导的作用。自19世纪60年代始，李鸿章、左宗棠等洋务派大官僚，先后创办了江南制造总局、金陵机器局、福州船政局、天津机器局等军事工业，清政府各省当局大多也创办了自己的军火生产机构。这些军事工业从外国购进设备生产船舰、枪炮、弹药，将大机器工业引入了中国。洋务派在这一时期所创办的上海机器织布局、汉阳铁厂等民用工业，也都属于使用机器生产的近代企业。除制造业外，洋务派大官僚李鸿章等人创办了上海轮船招商局、开平矿务局、天津电报总局，修筑了铁路，从而建立了中国自己的近代采矿、航运、铁路和通讯事业。 二、民国时期我国的经济状况 中国民国时期，处于半殖民地、半封建社会，中国社会长期处于各种予盾的激烈斗争之中，社会经济在动荡、曲折中缓慢前进。民国时期中国社会经济曲折发展的历程，各种经济势力此消彼长的现象改革开放前后我国的经济状况。民国时期，在华外国资本主义经济、封建地主经济、国家垄断资本主义经济，是阻碍中国近代经济发展的主要障碍。在民国时期的中国，外国资本主义经济控制了中国财政经济命脉，他们利用政治上、经济上的特权，疯狂地掠夺中国的资源，并对中国民族资本主义经济进行压制、打击。封建地主经济占有农村绝大部分土地，对农民进行残酷的剥削和压迫，造成农民生活困苦，农村经济萎缩。国家垄断资
集合论的创立与发展
三次数学危机与集合论的创立 一、 前言 每一门学科都有其自己的历史。数学，常被认为是一门完善的自然学科也有着自己的发展历程。同一切事物一样，数学在其发展的过程中，并非是一帆风顺的，而是经历了很多次问题的出现和解决才逐步发展起来的。无论是概念还是体系，内容还是方法，理论还是应用，都是伴随着各种问题的斗争和解决而进步和发展的。比如无理数，连续，无穷等概念的出现，没一个新问题的提出都刺激着数学的发展。 1、数学危机 虽然总是不断的有新问题的出现，但是就数学的整个历史发展历程来说，曾遇到过三次数学危机。第一次危机是由无理数的发现引发的；第二次危机是由于无穷小量引发的；第三次危机则是由罗素悖论产生的。每一次危机的出现都猛烈冲击着原有的理论体系，都是对原有理论体系内在矛盾的揭示，通过对其中逻辑矛盾的发现，启发人们对原有理论的缺陷或局限性进行思考。 危机的出现刺激着人们更加深入的研究，而每一次危机的解决都是对科学的进一步的改正、完善、补充和促进，对数学的发展有重要的意义，也必将推动数学的快速发展。正如人们常说，“危机是一种激化了的非解决不可的矛盾冲突，每一次危机都大大推动了数学的发展。” 2、集合论简介 集合论作为整个现代数学的基础，是数学中有着极为重要的作用。集合论是19世纪70年代由德国数学家康托尔G.Cantor 1845 - 1918创立的。集合论到现在已经被应用到了各个科学领域，并成为了数学的基础，产生了很多数学分科。 3、集合论与数学危机的联系 集合论的出现，使得第一第二次数学危机得到了很好的解决，成为了其理论基础。而第三次数学危机的出现对作为根基的集合论提出了矛盾，从而形成了更大的危机。 二、 三次数学危机 1、 第一次数学危机 第一次数学危机是由希泊索斯（Hippasis ）对无理数的发现而引发的。 在公元前580～568年之间的古希腊，当时“万物皆数”是在学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派的一个信条。他们认为一切都可以归结到整数或整数比，也就是说世上只有有理数。当时毕达哥拉斯学派还有一大贡献就是毕达哥拉斯定理，即勾股定理。然而希泊索斯发现了不可公度性的两条线段——等腰直角三角形的腰长与斜边，致使毕达哥拉斯学派内部的理论体系中产生了矛盾。 假设等腰直角三角形腰长a b =，而其斜长c 为有理数。 反证法：可知，2222 2c a b a =+=。不妨设a 和c 互素，则可以知道 c 为偶数，必有a 为奇数。取2c p =，得到222a p =，a 为偶数。得到矛盾。 对于第一次危机的研究，人们把几何建立在古典逻辑的基础上，不再把几何与数密切联系起来（数形分离），促进了几何学的发展。对于这个危机要么勾股定理不对，要么就承认有理数的不完备，进而预示着无理数的存在。 2、 第二次数学危机 （1）危机产生
10秋自然科学发展简史史形考作业
科学发展简史练兵题（一） 一.单选题 1. 战国末期秦国（）父子完成都江堰水利工程 石申 姬昌 荀子 李冰 2.阿拉伯最著名的医学家伊本?森纳 (980～1037,) 完成了一部百万字的百科全书式的医学著作，它是（）。 《医典》 《医药》 《血液循环》 《外科》 3. 《黄帝内经》《脉经》.《针灸甲乙经》《神农本草经》是秦汉经三国,两晋到南北朝时期的医学著作，其中哪一本书的作者是“王叔和”。 《黄帝内经》 《针灸甲乙经》 《脉经》 《针灸甲乙经》 4. 郑和下西洋发生在 明代 清代 民国 元代
5. 世界上第一套拼音字母文字是由（）创造的 古代苏美尔人 古代腓尼基人 古希腊人 古巴比伦人 6. 公元前384年—前322年，古希腊思想家。马克思称其为“古代最伟大的思想家恩格斯说他是“古希腊最博学的人”。 泰勒斯 毕达哥拉斯 苏格拉底 亚力士多德 7. 根据考古学和人类学的研究，在大约（）年前，地球上出现了最早的生物，即原核细胞的菌藻类。 30亿 六、七千万 三千万 一千万 8. 如果说，古希腊人对自然哲学作出了巨大贡献的话，古罗马人则在（）上取得了重要成果。 科学 技术 理论 哲学 9. 古代埃及人发现每当天狼星与太阳同时在地平线上升起的时候,尼罗河水就
开始泛滥.这种历法将尼罗河泛滥的那一天作为一年的开始,一年分为12个月,年终加5天,一年为365天.这是一种（） 太阳历 太阴历 农历 公历 10. 恩格斯在1876年指出，人与动物之间的根本区别在于( )。能否制造工具是人与猿之间本质的分界线。 大脑 劳动 行走 住宅 11. 隋代工匠李春设计完成了一项伟大的工程，它是： 赵州桥 洛阳城 长安城 大明宫 12. 司戊母鼎重1000公斤，它是在中国（）铸造的。 商代 夏代 周代 春秋战国 二.多选题 1. 东汉中期，张衡在前人制作的基础上，大胆创新，先后设计并制造了（）。 恽天仪
世界近现代资本主义发展史(1).
世界近现代资本主义发展史(1) １、世界资本主义发展历程：（1）萌芽——简单协作时期(14—16 世纪)：重大事件：新航路开辟、早期殖民扩张、文艺复兴、宗教改革（2）兴起——工场手工业时期(17—19世纪初期)：重大事件：早期资产阶级革命(英 法美三大革命)、欧洲封建国家改革、启蒙运动（3）发展——蒸汽时代 (19 世纪初～1870年）：重大事件：工业革命、资产阶级革命与改革运动(美国内战、日俄改革、意德统一)、社会主义运动(马克思主义诞生、第一国际、巴黎公社)、民族解放运动(亚洲革命风暴) （4）成熟——电气化时代前期 (1870年—1917年)：重大事件：第二次工业革命、垄断组织产生、列强掀起瓜分世 界狂潮、资本主义世界市场最终形成、资本主义经济政治发展不平衡加剧导致一战爆发。（5）相对稳定发展——电气化时代后期(1918～1945年）：①战 后初期(1918～1923)，一战给欧洲资本主义国家造成严重破坏，美国开始取代英国掌握世界经济霸权②二十年代(1923--1929)，经济复苏，相对稳定繁荣 ③三十年代(1929--1939)，爆发世界经济大危机，法西斯上台并对外侵略扩张 ④二战时期(1939--1945)，法西斯与反法西斯的矛盾成为世界主要矛盾（6）进一步发展——信息时代、知识经济时代 (1945 年～至今)：①1945－1950年，西欧、日本经济快速复苏并达到战前水平，美国掌握世界经济霸权 ②1950—1973年，主要资本主义国家经济高速增长，经济发展不平衡加强(西德、日本经济崛起)，经济格局由美国独霸发展美日欧三足鼎立③1973－80年代初，经济停滞与通货膨胀相互交织(“滞胀”阶段) ④1980初－90年代初，经济回升并增长⑤90年代后，经济全球化和区域经济集团化趋势加强、知识 经济兴起２、资本主义世界市场的形成（1）形成过程：①开始形成：新航路开辟后原因：新航路开辟后，世界由分散走向整体,加强各地之间的联系,早期殖民扩张使世界市场开始形成②初步形成：19世纪六七十年代原因：第一次工业革命促进社会生产力发展,推动工业资产阶级对外强占商品市场与原料产地,世界各地许多国家和地区被沦为列强的经济附庸,世界市场初步形成。其标志是1857年第一次世界性经济危机的爆发。③最终形成：二十世纪初原因：第二次工业革命推动主要资本主义国家向垄断资本主义过渡,列强加紧对外侵略扩张，掀起瓜分世界的高潮,世界被瓜分殆尽,世界市场最终形成（2）世界市场的作用（评价）①资本主义世界体系的形成有利于世界经济的增长，促进了生产力的提高和发展，并使世界成为一个密不可分的整体；②列强对世界其它地区国家的侵略、宰割，使亚非拉国王地区陷入长期落后状态，但客观上把资本主义生产方式扩展到世界各地，冲击了当地落后的社会生产方式③加强了世界各国经济的相互联系，导致世界经济体系的形成【知识归纳】世界资本主义体系包括经济体系（世界市场）、政治体系（政治制度）和殖民体系三大部份。其形成可分为工场业时期（萌芽）、蒸汽机时代（初步形成）、电气时代（最终形成）三个阶段，贯穿着整个世界近代史。３、世界资本主义经济格局的演变（1）19世纪中期，英国成为世界工厂①确立原因：a、英国最早发生工业革命，经济实力最强；b、英国拥有广阔的殖民地丧失原因：a、19世纪末 20世纪初，向帝国主义过渡过程中，资本家不愿采用新技术和新设备；b、
城市集合住宅的发展历程
城市集合住宅的发展历程 真正意义上的城市集合住宅最早的探索成果出现于法国巴黎中产阶级住宅中。19世纪末到20世纪的头十余年问，雏形期的城市集合住宅在欧洲及美国各大城市相继出现。此时正值新艺术运动时期，集合住宅的设计带有明显的这一时代的风格。 20世纪初期，设计的出发点明确定位为为多个家庭提供住宅，对艺术造型的处理 取得了很高的成就。城市集合住宅刚刚面世便因其更适合现代都市生活的合理性 表现出令人瞩目的生命力。但此时的城市集合住宅服务对象主要为中产阶层，其 相关理论以及技术条件获得初步发展，对现代社会和城市的巨大价值开始显现。 20世纪20到30年代，第一代现代主义建筑师实现了一个观念的巨大转变： 首次将“社会"和“公众”作为最主要的服务对象，并将城市集合住宅看作现代 工业社会的根基和现代建筑学的中心问题。勒·柯布西耶旗帜鲜明地指出：“设 计为普通而平常的人使用的普通而平常的住宅，这是时代的标志"Ⅲ。到20年 代末，欧洲各国建筑师展开了一场关于住宅密度与形态问题的大讨论，这场讨论 为城市集合住宅的发展奠定了理论基础，城市集合住宅开始肩负起其真正的历史 使命。 二战以后到七十年代由于各国住宅普遍数量上的严重不足，城市集合住宅成 为这一时期住宅建设的重点，各国都把城市与住宅的恢复和建设看作当务之急， 城市集合住宅迎来了它恢复和发展的新时期。工业化的浪潮不可阻挡，城市集合 住宅的理论和实践毁誉参半，各国走过了十分相似但又各具特色的发展之路。 70年代中期随着经济高度增长的结束，各国经济进入平稳增长时期。《马丘 比丘宪章》的颁布标志着城市规划和居住空间理论开始了一个新的时代，各国集 合住宅的建设产生了由量转向质的巨大转变。高层逐渐向中低层过渡：由新区开 发转向旧城改造；集合住宅逐渐回归城市街道；功能趋向复合：设计日趋多样化； 公众的参与越来越成为公共集合住宅设计的重要组成部分。在人本主义与新的社 区理论的影响下，城市集合住宅终于从一味强调功能主义和技术主义的思想中解 脱出来，向着更加丰富于人性和多元的方向迈进。
离散数学之集合论
第二篇集合与关系 集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。 随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。 现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。集合论可作为数学学科的通用语言，一切必要的数据结构都可以利用集合这个原始数据结构而构造出来，计算机科学家或许也可以利用这种方法。 本篇介绍集合论的基础知识，主要内容包括集合及其运算、性质、序偶、关系、映射、函数、基数等。 第2-1章集合及其运算 §2-1-1 集合的概念及其表示 一、集合的概念 “集合”是集合论中的一个原始的概念，因此它不能被精确地定义出来。一般地说，把具有某种共同性质的许多事物，汇集成一个整体，就形成一个集合。构成这个集合的每一个事物称为这个集合的一个成员（或一个元素），构成集合的这些成员可以是具体东西，也可以是抽象东西。例如：教室内的桌椅；图书馆的藏书；全国的高等学校；自然数的全体；程序设计语言C的基本字符的全体等均分别构成一个集合。通常用大写的英文字母表示集合的名称；用小写的英文字母表示元素。若元素a属于集合A记作