高一物理竞赛班的试题.doc

2 0 1 4年—— 2 0 1 5年高一物理竞赛阶段测试二

姓名：得分：

1、如图，一根轻杆两端各固定了一个质点，质量均为m。在杆上钉一个钉子，使得杆可以

绕着钉子转动。钉子到两端距离分别为 l 1和 l2。轻轻敲一下杆，值得其做小角度来回摆动。你可能

不知这样的摆的振动周期，但是你可以对周期的形式有一个估计。以下四个答案中正确的

是哪一个（）

2 、一个质量为m 质点，连在劲度系数k 的弹簧上，沿着弹簧方向做简谐振动。将弹簧

原长位置记为原点，即x = 0 。在任意一个时刻，可以记录物体的位移x 和速度v ，以 x 为横轴，以 v 为纵轴，可以把质点的状态对应到平面的一个点上。随着时间推移，这个点也会

移动。以下说法正确的是（）

A．在A点的时候质点受到的合外力为0

B．可以通过能量守恒知道，这个图形是椭圆

C．这个点随着时间推移，会沿着A→ B→C→D→A 的顺序移动 m

D．图形中BD与AC的比值为

3、在一根长的水平杆上穿着 5 个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地

运动。初始时若各个珠子可以有任意的速度大小和

方向，则它们之间最多可以碰撞（）次。

A． 4 B．5 C． 8 D．10

4、如图一个倾斜角为30 的斜面上，有一个质量为m 半径为r 的匀质圆筒，圆筒与斜面之

间的摩擦系数为 3 / 3 。一根长为 r 的轻木棒一端铰接在距离圆心

3

r 处的A点，另一端3

通过一块橡皮支撑在斜坡上。

（1）若橡皮于斜坡之间摩擦系数足够大，则OA 与竖直方向夹角处于什么范围，才能保持系统静止。

（ 2）若要求OA 与竖直方向夹角取到上一问的所有取值，则橡皮于斜坡之间摩擦系数' 至少为多少？5、质量为 M 、半径为 R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，

盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为m 的小青

O

蛙 ( 可

处理成质点 )，小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一 A 致，将

青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为v x，竖直向arctan 上的分

B

速度记为 v y，合成的初始速度大小记为 v，将圆盘后退的速度记为 u。

(1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。

(1.1)对给定的 v x，可取不同的 v y，试导出跳起过程中青蛙所做功W 的取值范围，答案中可包含的参量为M 、R、 m、g(重力加速度 )和 v x。

(1.2)将 (1.1)问所得W 取值范围的下限记为W0，不同的v x对应不同的W0值，试导出其中最小者W min，答案中可包含的参量为M 、 R、 m 和 g。

(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后

瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆

盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为W’，试求 W’与 (1.2)问所得W min间的比值γ=W‘/W min，答案中可包含的参量为M 和 m。

6、如大家所知，海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用，而在较小一些的程度上也来自太阳的

引力作用。为使问题简化，作如下假设:

a)地球和月球组成 1 个封闭系统；

b)月球到地球的距离为l 个常量；

c)地球完全由海洋覆盖；

d)不计地球的自转。

l、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮沙力。设月球质量为M，地月中心间

距离为 r，万有引力常量为 G，地球半径为 R。

2、求地球上任意位置处的水位变化h(θ)

7、如图有两根光滑的固定细杆，方向水平夹角均为 30 ，斜向下。初始时刻有两个质量为 m 的小圆 AB 环套在杆上，距离 O 均为 l 。用根长度为 l 的不可伸长的细线把 A 和 B 都系在一个质量为 2m 的质点 C 上。重力加速度竖直向下为 g 。

（ 1）初态三个 ABC 静止释放，求释放瞬间绳AC 上的张力。

（ 2）初态三个物体静止，给 C 一个向下的冲量J ，使得 C 的速度变为v0。求 J ，并求此后瞬间绳子拉力 T 。

8、一个质量为m的宇宙飞船在太阳风中行驶，风速为3u / 2。初始时刻风速和飞船速

u/

3u/2

度相对惯性系S 的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小于3u 的时候，飞船发动

机推力恒定为 F ，否则发动机推力恒定为 2F 。飞船可以向任意方向加速，要求飞船达到末状态

为：相对于太阳风，速度为 2u ，方向垂直于风速向上。

（ 1）以风速为参照系，v x和v y为坐标轴（原风速方向沿v x方向），画出飞船初态、末态速度的位置，标记出飞船受力为 F 的范围。

（ 2）求到达末态所需要的最小时间，并在上图中标记历经的状态。

9、如图所示，在一个光滑的底面积为S 1dm2高为 H0.2m 的固定圆柱形容器内，有一个可以自由上下滑动活塞（活塞下方于大气联通），活塞质量为m0 1.0kg ，活塞下方用一根劲度系数为 k 200N/m ，原长为l00.3m 的轻质弹簧连接到容器底。初始时刻活塞位于距离底面 h 0.1m 高的位置，上方盛满方有密度为 1 10 3kg/m 3的水，

用手拉住保持活塞静止然后释放。假设水一旦满出容器就

立刻流走，不再对下方的活塞和水有作用力。

（1）求释放活塞上升最大位移

（2）求从释放到活塞运动到最高点所需时间。

10、如图 91a 所示 ,均质角尺 AB=BC=l，各段质量均为M ，平放于光滑的水平面上，一质量为m

的小球以 v o的速度沿水平面运动，且v o⊥AB，并与 AB 的中点 D 相碰，恢复系数 e=0.5。试求

质量比 M/m 为何值时，小球能恰好与角尺的 C 端相碰。

如图，一根轻杆两端各固定了一个质点，质量均为m。在杆

上钉一个钉子，使得杆可以绕着钉子转动。钉子到两端距离分别

为l1和l 2。轻轻敲一下杆，值得其做小角度来回摆动。你可能

不知这样的摆的振动周期，但是你可以对周期的形式有一个估

计。以下四个答案中正确的是哪一个（）

一个质量为m 质点，连在劲度系数k 的弹簧上，沿着弹

簧方向做简谐振动。将弹簧原长位置记为原点，即x = 0 。在任

意一个时刻，可以记录物体的位移x 和速度v ，以 x 为横

轴，以v 为纵轴，可以把质点的状态对应到平面的一

个点上。随着时间推移，这个点也会移动。以下说法正

确的是（）

A．在A点的时候质点受到的合外力为0

B．可以通过能量守恒知道，这个图形是椭圆

C．这个点随着时间推移，会沿着A→B→C→D→A的

顺序移动 m

D．图形中BD与AC的比值为

在一根长的水平杆上穿着 5 个质量相同的珠子，珠子可以在水平杆上无摩擦地运动。初始时若各个珠子可以有任意的速度大小和方向，则它们之间最多可以碰撞

次。

A．4B．5C． 8D．10

质量为 M 、半径为R 的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆

盘中心处有一只质量为m 的小青蛙 (可处理成质点 )，小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为v x，竖直向上的分速度记为 v y，合成的初始速度大小记为，将圆盘后退的速度记为。

v u

(1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。

(1.1)对给定的v x，可取不同的v y，试导出跳起过程中青蛙所做功W 的取值范围，答案中可包含的参量为M 、R、 m、g(重力加速度 )和 v x。

(1.2)将 (1.1)问所得W 取值范围的下限记为W0，不同的v x对应不同的W0值，试导出其中最小者W min，答案中可包含的参量为M 、R、m 和 g。

(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为45°，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为W’，试求 W’与 (1.2)问所得W min间的比值γ=W‘/W min，答案中可包含的参量为M 和 m。

如大家所知，海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用，而在较小一些的程度上也来自太阳的引

力作用。为使问题简化，作如下假设:

a)地球和月球组成 1 个封闭系统；

b)月球到地球的距离为l 个常量；

c)地球完全由海洋覆盖；

d)不计地球的自转。

l、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮沙力。设月球质量为M，地月中心间距离为 r，万有引力常量为G，地球半径为R。

2、求地球上任意位置处的水位变化h(θ)

如图一个倾斜角为30 的斜面上，有一个质量为m 半径为r的匀质圆筒，圆筒与斜面之间

的摩擦系数为 3 / 3 。一根长为 r 的轻木棒一端铰接在距离圆心

3 r 处的A点，另一端通

3

过一块橡皮支撑在斜坡上。

（ 3）若橡皮于斜坡之间摩擦系数足够大，则OA与竖直方向夹角处于什么范围，才能保持系统静止。

（ 4）若要求OA 与竖直方向夹角取到上一问的所有取值，则橡皮于斜坡之间摩擦系数' 至

少为多少？

【解答】

(1)由于AB是轻杆，只在两端点受力，所以AB 对球作用力沿杆方向。（1分）

由于球不滑动，所以斜坡对球的支持力和摩擦力的合力与法向（垂直于斜面方向）不大于

arctan30（2分）

由于球是力矩平衡的，所以支持力摩擦力合力、重力、杆对球的支持力三力交与一点。

这样 AB 的于过 O 点的重力所在的线的交点只能位于左图中红色阴影区域。（3分）

情景一交点在下端点处。由平面几何可知这时候 A 恰好位于重力线和支持力摩擦力合力所在

直线的交点处（因为VHOA 中恰好OHA HOA 30 ，这样使得OA 3 r ）

3

于是这个临界情景OA 与竖直夹角为0（3分）

情景二交点在无穷远处，这时候三个力都沿竖直方向。由平面几何

r 3 r

cos( 30 ) 2 ；46.6 （ 4 分）

OA

由此可知 OA 与竖直夹角应位于[0,46.6 ] （ 3 分）

(2)由前一问可知，AB 与法线最大夹角为60

因此 B 点摩擦系数不应当小于' tan60 3 （ 4 分）

题二、（ 24 分）如图有两根光滑的固定细杆，方向水平夹角均为30 ，斜向下。初始时刻有两

个质量为 m 的小圆AB环套在杆上，距离O均为l。用根长度为l的不可伸长的细线把 A 和 B 都系在一个质量为2m 的质点 C 上。重力加速度竖直向下为g 。

（ 3）初态三个 ABC 静止释放，求释放瞬间绳AC 上的张力。

（ 4）初态三个物体静止，给 C 一个向下的冲量J ，使得 C 的速度变为v0。

以 A 为参考系，对 C 在垂直 AC方向根据牛顿第二定律2mg 2 ma T

3

3a 2m

2 （

3 分）

地面系中，分析 A 受力有

1

mg ma （ 1 分）

T

2

解得 a a ' g

4

T

3

mg （ 2 分）

2

（ 2）设绳的冲量为 I

由速度关联，A、 C 沿绳方向速度相等

V

V A cos V0 cos V A V0 （ 1 分）

A B

动量定理

I J

I

I J 2 I cos 2mV0 （ 1 分）

C

V 0 I cos mV

（ 1 分）

J 4mV0 （ 2 分）

a

' '

设 A 加速度a，C加速度a，由对称性， a 竖直向下，沿绳向加速mg

度等于向心加速度，即

T T T

3V0

2

mg

a' cos a cos （ 2 分）

V 0 V0

l

a

'

a

2ma

' 牛顿第二定律

2mg

2mg 2ma' T 3 2m 3 a 3 a' （ 3 分）

2 2 2

地面系中，分析 A 受力

求J ，并求此后瞬间绳子拉力 T 。【解答】

（1）由几何关系，可知 VAOC,VBOC 为等边三角

角均为 60o （ 1 分）

设C 加速度 a ，由对称性， a 竖直向下

设A 加速度a'，由对称性，两绳上张力相等，设其以 A 为系

O

a

'

A

B

T

C

T

mg

a

形，各内

为T .

T cos mg cos ma' （ 1 分）

2

g

a 3V0

l 4

解得

3V0 2 g

'

a

l 4

3 2

6mV0

（ 3 分）

Tmg

由静止释放时，A、C 无相对速度，故 C 无沿绳方

a

向加速度

2ma

'

a' cos a cos 0 a' a （ 2 2mg 分）

3 3

2l

一个质量为m 的宇宙飞船在太阳风中行驶，风速为3u / 2 。初始时刻风速和飞船速度相对惯性系 S 的大小和方向如图所示。当飞船与太阳风相对速度小于3u 的时候，飞船发动机推力恒

定为 F ，否则发动机推力恒定为 2F 。分船可以向任意方向加速，要求飞船达到末状态为：相对

于太阳风，速度为 2u ，方向垂直于风速向上。 （ 3） 以风速为参照系，

v x 和 v y 为坐标轴（原风速方向沿

v x 方向），画出飞船初态、末态速

度的位置，标记出飞船受力为

F 的范围。

（ 4） 求到达末态所需要的最小时间，并在上图中标记历经的状态。【解答】

v y

（ 1）虚线圆内受力为 F （圆心原点半径

3u ）

（ 5 分）

uuuv

v 末 =2 u

（ 2）设速度变化量在圆内部分长：

Vv 1

uuuv

v 初 =u 设速度变化量在圆外部分长： Vv 2

v x

则初速至末速历时 mVv 1 mVv 2 （ 3 分）

t

2 F

F

若时间类比光学中的光程， Vv 类比光线路径长， m f 类比

折射率，由于费马原理则原问题可等效为：

1

( 0,2 )

如图，求 A 点发出的光线中可到达

B 点的光线的光程及轨迹

n=

B

2

（ 5 分）

P

R= 3

考察 A 正上方点 P ，由几何关系

OPA 30o ，

BPO 90o

A

3 1 （ 2 分）

, 2

n=1

2 1 1

（ 2 分）

O

sin BPO n 外 =1

= 1=sin OPA n 内

2 2

满足折射定律故折线 APB 即为所求轨迹

带回原问题，得到 Vv 1 u ,Vv 2 u

（ 2 分） 3 mu

（ 1 分）

故最短用时： t

F

2

如图所示，在一个光滑的底面积为

S 1dm 2 高为 H 0.2m 的固定圆柱形容器内，有一个可以

自由上下滑动活塞（活塞下方于大气联通） ，活塞质量为 m 0 1.0kg ，活塞下方用一根劲度系

数为 k 200N/m ，原长为 l 0

0.3m 的轻质弹簧连接到容器底。初始时刻活塞位于距离底面

h 0.1m 高的位置，上方盛满方有密度为1 103 kg/m 3 的水，用手拉住保持活塞静止然后

释放。假设水一旦满出容器就立刻流走，不再对下方的活塞和水有作用力。

（ 3） 求释放活塞上升最大位移

（ 4） 求从释放到活塞运动到最高点所需时间。【解答】

以地面为原点，向上为 x 坐标，描述活塞运动在水未完全溢出前，活塞及水有牛顿第二定律注意：水也在加速！

m 0 s H x a k l 0 x m 0 g

s H x g （ 3 分）

带入数据得到

a 10m s 2 . 为匀加速运动。

（ 2 分）

到达瓶口时，活塞速度为

v 1 2 m s （ 2 分）

经历时间为

t 1

2 10s （ 2 分） 后活塞作简谐运动，平衡位置在容器口上 h '

0.05m 处

（ 2 分）

由能量守恒求得其振幅

得

A

5

（ 3 分）

m

20 从瓶口上升至最大振幅处，参考圆转过角度

arcsin

5 5

2

（ 3 分）

故

t 2

arcsin 5 5

m

（ 1 分）

2

0.14s

k

综上：（ 1）上升最大位移

S

H h

h '

A

3

5 m 0.26m

（ 2 分）

20

（ 2）经历时间

T t 1 t 2

0.29s

（ 2 分）

如图 91a 所示 ,均质角尺 AB=BC=l ，各段质量均为 M ，平放于光滑的水平面上，一质量为 m 的小

球以 v o 的速度沿水平面运动，且

v o ⊥ AB ，并与 AB 的中点 D 相碰，恢复系数 e=0.5。试求质量

比 M/m 为何值时，小球能恰好与角尺的 C 端相碰。