(完整)自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间
一、单项选择题
1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ）
的列向量构成的向量组，则必有( )
A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关
B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关
C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关
D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关
2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组
4321,,,αααα的秩为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ )
A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ）
A 。α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关
C.α1，α2，α3，α4线性相关
D.α2，α3，α4线性相关
5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）
A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组
B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量
C ．s ααα,,,21 全是非零向量
D ．s ααα,,,21 全是零向量
6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。如果|A ｜=2，则|—2A |=（
）
A.-32
B.-4
C 。4 D.32
7。设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ )
A. α1，α2，α3，α4一定线性无关
B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出
C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。 α1，α2，α3一定线性无关
8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ）
A.1 B 。2
C.3
D.4
9。下列命题中错误．．的是（ ）
A 。只含有一个零向量的向量组线性相关
B 。由3个2维向量组成的向量组线性相关
C 。由一个非零向量组成的向量组线性相关
D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
10.已知向量组α1,α2，α3线性无关,α1,α2,α3，β线性相关，则（ ）
A.α1必能由α2,α3，β线性表出
B.α2必能由α1,α3，β线性表出
C.α3必能由α1,α2，β线性表出
D.β必能由α1,α2,α3线性表出 11.设α1，α2,α3，α4都是3维向量，则必有（ )
A 。α1,α2，α3，α4线性无关
B 。α1，α2,α3，α4线性相关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示
D.α1不可由α2，α3,α4线性表示 二、填空题
1．已知向量α=（3，5，7,9），β=（-1，5，2，0),如果α+ξ=β，则ξ=_________。
2。设向量组1α=(a ，1,1）,2α=（1,—2，1）, 3α=(1,1，-2)线性相关，则数a =________。
3.向量组的秩为)2,1,1,0(),0,1,0,1(),2,0,1,1(321-===ααα_____________.
4．已知向量组T T T a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a ______。
5．设向量组T T )0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则向量组21,ββ的秩为______.
6。实数向量空间V ={（x 1，x 2,x 3）|x 1+x 2+x 3=0｝的维数是_________。
7。设4维向量=α（3,—1,0,2）T ,β=（3，1，-1，4）T
，若向量γ满足2+αγ=3β,则γ=__________.
8.设α=（—1,2,2），则与α反方向的单位向量是_________________.
9.设A 为5阶方阵，且r (A ）=3，则线性空间W =｛x ｜ Ax =0｝的维数是______________. 三、计算题
1．求向量组α1=（1，4,3,—2），α2=(2，5,4，-1）,α3=(3，9，7，-3）的秩。
2。求向量组1α=（1，1，1,3）T ，2α=（-1,-3,5，1）T ,3α=（3，2,-1，4）T ，4α=（—2,-6,10，2）T
的一
个极大无关组,并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出。
3.设向量组为 )3,1,0,2(1-=α
)1,1,2,3(2--=α
)9,5,6,5(3--=α )5,3,4,4(4--=α 求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组.
4．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα,
求该向量组的秩及一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示．
5。设向量α=（3，2）,求(αT α）101.
6。设向量组α1=(1，2,3，6），α2=（1,—1，2，4)，α3=（—1，1,-2，-8）,α4=（1，2,3，2)。
(1）求该向量组的一个极大线性无关组；
(2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合。
7.设向量组,,,,T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1))(-1,1,-3,0(1,2,0,1)(2,1,3,1)=α=α=α=α求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。
8.求向量组α1=(1,2，-1，4），α2=（9,100，10，4）,α3=（-2，-4，2，-8）的秩和一个极大无关组。
四、证明题
1．设向量组α1，α2,α3线性无关，β1=α1+α2,β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1，β2,β3线性无关。
2. 证明:若向量组,,,,,,,3232121121 ααβααβααβααα+=+=+=n n 而线性无关 1-=n n αβ+αn ，则向量组为奇数线性无关的充要条件是n n βββ,,,21 .
3．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若1k ≠0，则向量组32,,ααβ也线性无关．
4. 已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4,α4—α1线性无关.
5。 若α1,α2，α3是Ax=b （b ≠0）的线性无关解，证明α2-αl ，α3-αl 是对应齐次线性方程组Ax =0的线性无关解.
线性代数第三章向量复习题答案
第三章 向量复习题 一、填空题： 1.当t ____3t ≠-时，向量123(1,2,2),(4,,3),(3,1,1)T T T t ααα=-==-线性无关. 3. 如果n ααα,,,21???线性无关，且1+n α不能由n ααα,,,21???线性表示，则 121,,,+???n ααα 的线性 无关 4. 设T )5,2(1=α , T a )1(2，=α，当=a 时，21,αα线性相关. 5. 一个非零向量是线性 无关；的，一个零向量是线性 相关的. 6. 设向量组A: 321,,ααα线性无关，31αα+，12αα-，32αα+线性 相关 7. 设A 为n 阶方阵，且1)(-=n A r ， 21,αα是AX=0的两个不同解，则21αα，一定线性 相关 8. 向量组1,,l ββL 能由向量组1,,m ααL 线性表示的充分必要条件是 12(,, )m R ααα 等于 1212(,,,)m l R αααβββ,,,。(填大于，小于或等于) 9.设向量组()11,1,1α= ,()21,2,3α= ,()31,3,t α=线性相关，则t 的值为 5t =。 二、选择题： 1. . n 阶方阵A 的行列式0=A ,则A 的列向量（ A ） Ａ．线性相关 Ｂ．线性无关 Ｃ．0)(=A R Ｄ．0)(≠A R 2. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（A ） A 、必有r 个行向量线性无关 B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组 C 、任意r 个行向量线性相关 D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示 3. 设有n 维向量组（Ⅰ）：12,, ,r ααα和（Ⅱ）：12,, ,()m m r ααα>，则（ B ）． A 、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关
线性代数练习题集--向量与空间向量
线性代数练习题 第三章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠
(完整版)历年全国自考线性代数试题及答案
浙02198# 线性代数试卷 第1页（共25页） 全国2010年7月高等教育自学考试 试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R (A )表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。 1.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量， 若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.12 2．计算行列式 =----3 23 2 020005 1020203 （ ）A.-180 B.-120C.120 D.180 3．设A =? ? ? ???4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有 A. α1，α2，α3，α4线性无关 B. α1，α2，α3，α4线性相关 C. α1可由α2，α3，α4线性表示 D. α1不可由α2，α3，α4线性表示 5．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B 3C ．4 D ．5 6．设A 、B 为同阶矩阵，且R (A )=R (B )，则（ ）A ．A 与B 相似 B ．|A |=|B | C ．A 与B 等价 D ．A 与B 合同 7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为2，l ，0则|A +2E |=（ ）A ．0 B ．2C ．3 D ．24 8．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ ）A ．A 与B 等价 B ．A 与 B 合同C ．|A |=|B | D ．A 与B 有相同特征 9．若向量α=(1，-2，1)与β= (2，3，t )正交，则t =（ ）A ．-2 B ．0C ．2 D ．4 10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2，l ，0，则（ ）A ．A 正定 B ．A 半正定C ．A 负定 D ．A 半负定 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1l.设A =??? ? ? ?????-421023,B =??????--010112，则AB =________. 12．设A 为3阶方阵，且|A |=3，则|3A -l |=________. 13．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________. 14．设α=(-1，2，2)，则与α反方向的单位向量是______． 15．设A 为5阶方阵，且R (A )=3，则线性空间W ={x |Ax =0}的维数是______． 16．设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，21 ，l ，则|5A -1|=_______． 17．若A 、B 为同阶方阵，且Bx =0只有零解，若R (A )=3，则R (AB )=________． 18．二次型f (x 1，x 2，x 3)=21x -2x 1x 2+2 2x -x 2x 3所对应的矩阵是________.
(完整)自考线性代数第三章向量空间习题
第三章 向量空间 一、单项选择题 1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A ,B ） 的列向量构成的向量组，则必有( ) A ．若(I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 B ．若（I)线性无关，则（Ⅱ）线性相关 C ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性无关 D ．若（Ⅱ)线性无关，则（I ）线性相关 2．设4321,,,αααα是一个4维向量组,若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合,且表示法惟一,则向量组 4321,,,αααα的秩为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设向量组4321,,,αααα线性相关,则向量组中（ ) A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4,其中α1,α2，α3线性无关，则( ） A 。α1，α3线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α2，α3，α4线性相关 5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量 D ．s ααα,,,21 全是零向量 6.设α1,α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1,α2，α3,α4）。如果|A ｜=2，则|—2A |=（ ） A.-32 B.-4 C 。4 D.32 7。设α1,α2,α3，α4 是三维实向量，则（ ) A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关 D 。 α1，α2，α3一定线性无关 8.向量组α1=（1，0，0)，α2=（1，1，0），α3=（1,1，1）的秩为（ ） A.1 B 。2 C.3 D.4 9。下列命题中错误．．的是（ ） A 。只含有一个零向量的向量组线性相关 B 。由3个2维向量组成的向量组线性相关 C 。由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 10.已知向量组α1,α2，α3线性无关,α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出
空间向量的习题及答案
空间向量的习题及答案 空间向量是线性代数中的重要概念之一，它在解决几何问题时起到了关键作用。本文将通过一些典型的习题来探讨空间向量的性质和应用，并给出详细的答案 解析。 1. 习题一：已知向量a = (1, 2, -3)，向量b = (-2, 1, 4)，求向量a与向量b的数 量积和向量积。 解析：向量a与向量b的数量积为：a·b = 1*(-2) + 2*1 + (-3)*4 = -2 + 2 - 12 = -12。 向量a与向量b的向量积为：a×b = (2*(-3) - 1*4, 1*(-3) - (-2)*4, 1*1 - (-2)*(-3)) = (-6 - 4, -3 + 8, 1 + 6) = (-10, 5, 7)。 2. 习题二：已知向量a = (2, -1, 3)，向量b = (3, 4, -2)，求向量a与向量b的夹 角的余弦值。 解析：向量a与向量b的夹角的余弦值为：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)。 其中，a·b为向量a与向量b的数量积，|a|为向量a的模，|b|为向量b的模。 计算得到：a·b = 2*3 + (-1)*4 + 3*(-2) = 6 - 4 - 6 = -4，|a| = √(2^2 + (-1)^2 + 3^2) = √(4 + 1 + 9) = √14，|b| = √(3^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(9 + 16 + 4) = √29。 代入公式得到：cosθ = (-4) / (√14 * √29)。 3. 习题三：已知向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 5, 6)，求向量a与向量b的和、 差和模长。 解析：向量a与向量b的和为：a + b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)。 向量a与向量b的差为：a - b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)。
(完整版)线性代数第三章向量试题及答案
第三章 向量 1、基本概念 定义1：由n 个数构成的一个有序数组[]n a a ,,a 21ΛΛ称为一个n 维向量， 称这些数为它的分量。分量依次是a 1,a 2,? ,a n 的向量可表示成： =α[]n a a ,,a 21ΛΛ，称为行向量，或=T α[]T n a a ,,a 21ΛΛ称为列向量。 请注意，作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样(左边是1?n 矩阵，右边是n ?1矩阵)。习惯上把它们分别(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别)。 一个m ?n 的矩阵的每一行是一个n 维向量，称为它的行向量；每一列是一个m 维向量，称为它的列向量，常常用矩阵的列向量组来写出矩阵，例如当矩阵A 的列向量组为m ααα,,21ΛΛ时(它们都是表示为列的形式!)可记A =（m ααα,,21ΛΛ ）。 矩阵的许多概念也可对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。 两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等. 2、向量的线形运算 3、向量组的线形相关性 定义2：向量组的线性组合:设m ααα,,21ΛΛ是一组n 维量,m k k k ΛΛ21,是 一组数，则m m k k k αααΛΛ++2211为m ααα,,21ΛΛ的线性组合。 n 维向量组的线性组合也是n 维向量。 定义3：线形表出：如果n 维向量β能表示成m ααα,,21ΛΛ的一个线性组 合，即=βm m k k k αααΛΛ++2211，则称β可以用量组m ααα,,21ΛΛ线性表示。 判别β是否可以用m ααα,,21ΛΛ线性表示? 表示方式是否唯一？就是问：向量方程βααα=++m m x x x ΛΛΛ2211是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以()βαααM ΛΛm 21,为增广矩阵的线性方程组。反之，判别 “以 ()βM A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？的问题又可转化为 β是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题。 定义4：线性相关：对m 个n 维向量m ααα,,21ΛΛ，若存在一组不全为0 的数m k k k ΛΛ21,，使得m m k k k αααΛΛ++2211=0成立，则称向量组 m ααα,,21ΛΛ线性相关。 包含0向量的向量组肯定线性相关，有相等向量或成比例向量的向量组线性相 关，单个向量是0向量时线性相关。 定义5：线性无关：向量组m ααα,,21ΛΛ，只有当m k k k ΛΛ21,全为0时， 才有m m k k k αααΛΛ++2211=0成立，则称向量组m ααα,,21ΛΛ线性无关。 单个向量是非0向量时线性无关。 向量组m ααα,,21ΛΛ “线性相关还是无关”也就是向量方程 m m k k k αααΛΛ++2211=0 有没有非零解（仅有0解）,也就是以m ααα,,21ΛΛ为系数矩阵的齐次线性方程组有无非零解（仅有0解）. ?????? ?=+++=+++=+++0 002211222212112121 11m nm n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
自学考试线性代数试卷及答案
10月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184线性代数（经管类）试卷 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。 说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 转置矩阵，* A 表示矩阵A 伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 行列式，()A r 表示矩阵A 秩。 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出四个备选项中只有一个是符合题目要求，请将其代码填写在题后括号内。错选、多项选择或未选均无分。 1.设3阶行列式1 1 1 232221 13 1211 a a a a a a =2，若元素ij a 代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 第3行乘以2 1 -得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.2 1 - C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出
4.设3阶矩阵⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则以下向量中是A 属于特征值2-特征向量为 【 】 A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011 B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201 D.⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛211 5.二次型212 322213214),,(x x x x x x x x f +++=正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题空格中填上正确答案。错误、不填均无分、 6.设1 3 12)(--= x x f ，则方程0)(=x f 根是 7.设矩阵⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=0210A ,则* A = 8.设A 为3阶矩阵，2 1-=A ,则行列式1 )2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=4321B ,⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T )2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出 表示式为 11.设向量组T T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关， 则数=k 12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+00 32 21x x x x 基础解系中所含解向量个数 为
线性代数同步习题(ch3)
线性代数同步第三章向量组习题 一、填空题 7. 解: 因为|αT βT γT |=35-7m , 当35-7m =0时向量组线性相关, 所以m =5。 8. 解: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛---11 1111111α αα→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+--+---αα10 1 01100 111 ααα→⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝ ⎛--+--+-αα11 01010 111 ααα ,若秩为 3, 则α≠-1。 9. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-60 03210 4 321 x , 若秩为3, 则x ≠6。 10. 求α=(6,2,-7)在基a 1=(1,0,1), a 2=(0,2,0), a 3=(0,0,-1)下的坐标。 解: 设α=x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3, 由⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛--71 12020 6001 →⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛131 010106001 →x 1=6, x 2=1, x 3=13,所以 α=6a 1+a 2+13a 3, 即α在基a 1,a 2,a 3下的坐标为(6,1,13)。 二、选择题 3. 解: 因为AB =O ,所以R (A )+R (B )≤n 。 三、计算题 1. 解: 因为|3|=3≠0, 所以R (A )≥1; 因为1 1 13-=-4≠0, 所以R (A )≥2;1 2 1 431 211--=14≠0, 所以R (A )≥3; 而|A |=0, 所以R (A )=3。 2. 解: (α1T ,α2T ,α3T )=⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛01 1 012121 → ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛10 010011, R (α1,α2)=2, R (α1,α2,α3)=3, R (α1,α2)≠R (α1,α2,α3), 不等价。 3. 解: (1)(α1,α2,α3,α4,α5)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛10 4 3 112112 10321 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛---00 1 1 012530 10321 →⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛--12 2 000110 10321,向 量组的秩为3;
线性代数自考第三章历年试题
线性代数(经管类)第三章历年试题 1．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．若向量组α1=（1，t+1，0），α2=（1，2，0），α3=（0，0，t 2+1）线性相关，则实数t=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．设A 是4×5矩阵，秩（A ）=3，则（ ） A ．A 中的4阶子式都不为0 B ．A 中存在不为0的4阶子式 C ．A 中的3阶子式都不为0 D ．A 中存在不为0的3阶子式 4．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出（ ） A ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 B ．α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例 C ．α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 D ．α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合 5.设β可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中β只能是 A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0,-1,0） 6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s 2≥)的充分必要条件是（ ） A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量 C. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量 7．向量组α1，α2，…αs ，(s ＞2)线性无关的充分必要条件是（ ） A ．α1，α2，…，αs 均不为零向量 B ．α1，α2，…，αs 中任意两个向量不成比例 C ．α1，α2，…，αs 中任意s-1个向量线性无关 D ．α1，α2，…，αs 中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 8.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ ） A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示 D. 43,αα线性无关 9.向量组s 21,,ααα 的秩为r ，且r线性代数机械工业出版社第三章答案
线性代数练习册第三章答案 A 卷 一、填空题 1、如果齐次线性方程组⎩⎨ ⎧=+=+020 221 21χχχλχ错误!未找到引用源。有非零解，则=λ1± 解：由克莱姆法则可得 0212 =λ λ 0222=-∴λ解得错误!未找到引用源。 2、设线性方程组⎪⎩⎪ ⎨⎧=++-=+-=++a 3213132143120 χχχχχχχχ错误!未找到引用源。有解，则a=-1 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10001320011143111020111~a a A 错误!未找到引用源。 方程组有解 () ()2~ ==∴A R A R 01=+∴a 1-=∴a 3、线性方程组()⎪⎪ ⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=++=+++11242424434 324321λχλλχχχχχχχχχ 无解，则=λ0 解：A=() ⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-+110002 1 1 0041120 41111 2 λλλ 方程组无解 ()() A R A R ~ <∴ ∴()⎩ ⎨⎧≠-=+01012λλλ⇒0=λ 4、若向量组⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=83,221,201321k ααα线性相关,则k=_1_______ 解：321,,ααα 错误!未找到引用源。线性相关 321 ααα∴=k k k k 2200 20 31 12 40 203 118 4 2 20 3 11--=-=- ∴错误!未找到引用源。1错误!未找到引用源。2错误!未找到引用源。(2-2k)=0 错误!未找到引用源。 k=1
5、已知向量组()∏与向量组()I 1α=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛43 21，2α=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432，3α=⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭⎫ ⎝⎛2100等价，则()∏的秩 3？ 解： ()() I =∏∴I ≅∏R R ⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00010001-002 120010001-002 123-012 -001 -002 1254143032021 ()3=I R ，∴()3=∏R 6、向量β= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110 ，在基⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,110,011321ααα下的坐标为()T 101-。 解：设⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=c b a β ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-+-+-+→⎪⎪ ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2221000 100012100110101110110101110011101b c a a c b c a b c a b a b a c a b a c b a ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪ ⎨⎧=-==⇒=-+=-+-=-+∴110120212c b a b c a a c b c a b 即β =⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-110 二、单项选择题 1、设A 是m ×n 矩阵，则线性方程组AX=b 有唯一解的充要条件是（ C ）. (A) R(A)=n (B) R(A)=m (C) R(A)=R(Ab)=n (D) m=n 解：∵A 为m ×n 矩阵，Ax=b ，有唯一解 ∴秩(A ~ )=秩(A)=n ∴R(A)=R(Ab)=n ，故选C
线性代数作业习题
线性代数作业习题 第一章：行列式1、计算下列行列式 1 2 2 … 2 2 2 2 2 … 2 2 2 2 3 … 2 2 ：：：：： 2 2 2 … n-1 2 2 2 2 … 2 n 解：首先利用每一行元素分别减去第二行元素得到：-1 0 0 0 2 2 2 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0.......n-2 可利用代数余子式求出：（-1）*2*（n-2）！ 2、计算下列行列式： |x y x+y| |y x+y y| |x+y y xl 解：|x y x+y| |y x+y y| |x+y y x| =x|x+y y|+y(-1)| y y|+(x+y)| y x+y| | y x| |x+y x| |x+y y | =x(x2+xy-y2)-y(xy-xy-y2)+(x+y)(y2-x2-2xy-y2) =x(x2+xy-y2)-y(-y2)+(x+y)(-x2-2xy) =x3+x2y-xy2+y3-x3-x2y-2x2y-2xy2 =y3-2x2y-3xy2 =y(y2-2x2-3xy)
3、计算下列行列式： 1 2 -5 1 -3 1 0 -6 2 0 -1 2 4 1 -7 6 解：根据行（列）与行（列）之间互换，行列式值改变符号。 所以第一列与第二列互换，得出 2 1 -5 1 1 -3 0 -6 0 2 -1 2 1 4 -7 6 根据行列式倍加不变原理。第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列，结果如下。 0 -7 9 -11 0 -7 7 -12 0 2 -1 2 1 4 -7 6 根据行列式倍加不变原理。第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列 0 -7 9 -11 0 -7 7 -12 - 0 2 -1 2 1 4 -7 6 根据计算，得出= （-14）+49-62=-27 4、求二阶行列式 1-x^2 2x ----- ----- 1+X^2 1+X^2 解：原式＝（[1-x2]2+4x2）/（1+x2）2＝（1+x2）2/（1+x2）2＝1
线性代数第三章习题解
线性代数第三章习题解 1. 计算下列行列式: 1) 4 321; 2) 2 2b b a a ; 3) 7 04 0- 解: 1) 26432414 321-=-=⨯-⨯=; 2) )(222 2a b ab b a ab b b a a -=-=; 3) 0)4(0707 40=-⨯-⨯=-. 2. 计算下列三阶行列式: 1) 241130 4 21--; 2) 320001753-; 3) b a c a c b c b a 解: 1) 将行列式按第一列展开 81021 34 2124131241130 421=+-=⨯-⨯-=-- 2) 将行列式按第二行展开 172353 27 5320 001753=⨯-⨯== - 3) 3333333c b a abc c b a abc abc abc b a c a c b c b a ---=---++= 3. 计算下列行列式:
1) 0 00 0000005 5 4433 2222211111b a b a b a e d c b a e d c b a ; 2) x y y x y x y x D n 0 0000 000 00 =; 3) f e d c b a 00000000 解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D =0. 2) 将行列式按第一列展开得 n n n n n y x y x y x y y x y x y x x D 11)1(0 00000)1(0 0000++-+=-+= 3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得 abdf badf f e d ba f e d a b D -=-=-=-=00 000 4. 利用行列式的性质计算下列行列式 1) 2 60 5 232112131412 -; 2) ef cf bf de cd bd ae ac ab ---; 3) 2 2 2 2 2222 2 2222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 解: 下面都将所求行列式的值设为D . 1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D =0; 2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a ,d ,f , 再从第1,2,3列提取公因子b ,c ,e , 得 abcdef abcdef adfbce ef cf bf de cd bd ae ac ab 40 20 200 1111 1 1 111111=-=---=--- 3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得
自考线性代数试题附标准答案
8.设三P—3， A. _2 阶矩阵A有特征值0、1、亡牡］ 1 2 01 2,其对应特征向量分别为］、；、 3,令则P‘AP=( 0 B. 0〕 0 C. ■0 01 0 D. _2 01 全国2012年7月高等教育自学考试 、单项选择题(本大题共 10小题，每小题2分，共20分) 1.设A为三阶矩阵，且A」=3，贝V -3A () A.-9 B.-1 C.1 D.9 2.设A - la^,32,aj ,其中a i(i =1,2,3) 是三维列向量，若A =1 ,则[43!,2—3a2 , a3 -() A.-24 B.-12 C.12 D.24 3.设A、B均为方阵，则下列结论中正确的是() A.若AB =0,则 A=0或 B=0 B.若AB =0,则A =0或B =0 C.若 AB=0,则 A=0或 B=0 D.若 AB^ 0，贝U A 工 0或B 工 0 4.设A B为n阶可逆阵，则下列等式成立的是( ) A. (AB)J =A J B J B. (A B) J =A J B J C. (AB)X D. (A + B)」=A」+ B」 | AB 5.设A为m K n矩阵，且m< n,则齐次方程AX=0必() A.无解 B.只有唯一解 C.有无穷解 D.不能确定 1 2 3 1 1 1 6•设A = 则r(A)= 0 2 1 卫0 3 一 A. 1 B. 2 C.3 D. 4 7.若A为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是( ) 1 T A. A B. 2 A C. A2 D. A'
■-n 「1〕 17. 设a = 1 ,P=2,且a 与P 正交，则t = 一1 j t 18. 方程x 1 x 2 -x 3 =1的通解是 19. 二次型f(X 1,X2X,X 4)二乂必• X 2X 3 • X 3X 4 • 5X 42所对应的对称矩阵是 丄］ 0 是正交矩阵，则x = x 三、计算题 (本大题共6小题，每小题9分，共54分) - 1 1 1 21 21.计算行列式 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 10.设二次型 f(x 1,x 2,x 3) =x 12 2x 2^2x 1x 2 x 32则 f 是() A.负定B.正定C.半正定D.不定 二、填空题(本大题共 10小题，每小题2分， 11.设A 、B 为三阶方阵， A =4, B =5, 1 2 0 ,B= | 共20分) 则 2AB = 13.设 A = 14.若 ■ 2 15.设 ai ■1〕 〕- 1【 0 01 0 2 11 4 t 则A A 且 r(A) =2,则t= ■-21 -2 维数是 16.设A 为三阶方阵，其特征值分别为 ，则 A T B 则由a 1,a 2,a 3生成的线性空间L(a 1,a 2,a 3)的 1、2、3，贝y —E = 20.若 A = 0 1
线性代数第五版第三章常见试题及解答
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设α 1=[1，2，1]，α 2 =[0，5，3]，α 3 =[2，4，2]，则向量组α 1 ，α 2 ，α 3 的秩是（） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 2．若向量组α1=（1，t+1，0），α2=（1，2，0），α3=（0，0，t2+1）线性相关，则实数t=（） A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 3．设A是4×5矩阵，秩（A）=3，则（） A．A中的4阶子式都不为0 B．A中存在不为0的4阶子式 C．A中的3阶子式都不为0 D．A中存在不为0的3阶子式 答案：D 4．设向量组α1，α2，…，αs线性相关，则必可推出（） A．α1，α2，…，αs中至少有一个向量为零向量 B．α1，α2，…，αs中至少有两个向量成比例 C．α1，α2，…，αs中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 D．α1，α2，…，αs中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合 答案：C 5.设β可由向量α1=（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中β只 能是 A.（2，1，1） B.（-3，0，2） C.（1，1，0） D.（0,-1,0） 答案：B 6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s2 ≥)的充分必要条件是（） A.α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 B. α1 ，α2，…，αs 全是零向量 C. α1 ，α2，…，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出 D.α1 ，α2，…，αs中至少有一个零向量 答案：C 7．向量组α1，α2，…αs，(s＞2)线性无关的充分必要条件是（） A．α1，α2，…，αs均不为零向量 B．α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例 C．α1，α2，…，αs中任意s-1个向量线性无关 D．α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 答案：D
线性代数练习册附答案
第1章 矩阵 习 题 1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)⎩⎨⎧==01 1y x x ； (2) ⎩⎨ ⎧+=-=ϕ ϕϕ ϕcos sin sin cos 11y x y y x x 2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α，⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛--=150421321 B ，求3AB -2A 和A T B . 4. 计算 (1) 2 210013112⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛
(2) ⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1)1,,(2 1 22212 11211y x c b b b a a b a a y x 5. 已知两个线性变换 32133212311542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪ ⎨⎧+-=+=+-=323 3122 11323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表 示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.
6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m - 1+…+ a m E . 当f (x )=x 2 -5x +3，⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=3312A 时，求f (A ). 7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O . (2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .
自考线性代数(经管类)章节作业
章节作业 第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式sin cos cos sin x x x x -= ( ). A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 2.行列式22 031 k k --≠--的充分必要条件是 ( ). A. 1k ≠- B. 4k ≠ C.1k ≠-且4k ≠ D. 1k ≠-或4k ≠ 3.行列式120 103111-= ( ). A. 1 B. 0 C. -1 D. 5 4.行列式123 231312= ( ). A. 1 B. 0 C. -18 D. 6 5.若1112 132122 233132331a a a a a a a a a =，则1111121213 21212222233131323233 232323a a a a a a a a a a a a a a a ----=-- ( ). A. 1 B. -2 C. -3 D. 6 6.若三阶行列式||ij D a m ==，则1||ij D ma =-= ( ). A. m 2 B. -m 2 C. m 4 D. -m 4
7.设12 3112 31234a a a D x x x y y y ==，1 2 3 2123123 1b b b D x x x y y y ==，则 112233 12312 3 222222a b a b a b x x x y y y +++= ( ). A. 5 B. 10 C. 20 D. 6 8.若1112 1311111213 2122 231212122233132 3331313233 42351,42354235a a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a a a -===--，则D 1= ( ). A. 8 B. -60 C. 24 D. -24 9.行列式1050 1740 24106311 λ--中，元素λ的代数余子式的值为 ( ). A. 24 B. 42 C. -42 D. -24 10.设四阶行列式D 的第三列元素为-1，2，0，1，它们的余子式的值依次分别为-2，-5，-9，4，则D = ( ). A. -4 B. 8 C. 16 D. 12 11.当（ ）成立时，(2)n n >阶行列式的值为零. ( ). A. 行列式的主对角线上的元素全为零 B. 行列式中零元素的个数多于n 个 C. 行列式中每行元素之和都相等 D. 行列式中每行元素之和都为零
线性代数课本第三章习题详细答案
第三章 课后习题及解答 将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合： 1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 14321=+++k k k k 24321=--+k k k k 14321=-+-k k k k 14321=+--k k k k 解得.41 ,41,41,454321-=-=== k k k k 所以43214 1 414145ααααα--+= . 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 02321=++k k k ，04321=+++k k k k ， 0342=-k k ，1421=-+k k k . 解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.
判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解： 3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即 ⎪⎩⎪ ⎨⎧=++=++=+0650320321 32131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关. 4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧=++=++=+-=+0 142407203033213212 131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件. 解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性 无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是 0=α. 6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，
历年自考线性代数试题真题及答案分析解答
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 4．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3332 312322 21131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100030001P ，⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ 5．已知A 是一个43⨯矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关