计算方法及答案
《计算方法》练习题一
一、填空题
1.Λ14159.3=π的近似值3.1428,准确数位是( )。 2.满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R ( )。 3.设)}({x P k 为勒让德多项式,则=))(),((22x P x P ( )。 4.乘幂法是求实方阵( )特征值与特征向量的迭代法。 5.欧拉法的绝对稳定实区间是( )。
6.Λ71828.2=e 具有3位有效数字的近似值是( )。 7.用辛卜生公式计算积分?≈+1
01x dx
( )
。 8.设)()1()
1(--=k ij k a A
第k 列主元为)1(-k pk a ,则=-)1(k pk
a ( )。 9.已知??
?
?
??=2415A ,则=1A ( )。 10.已知迭代法:),1,0(),(1Λ==+n x x n n ? 收敛,则)(x ?'满足条件( )。 二、单选题
1.已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε,则=)(ab ε( )。
A .)()(b a εε B.)()(b a εε+ C.)()(b b a a εε+ D.)()(a b b a εε+ 2.设x x x f +=2
)(,则=]3,2,1[f ( )。
A.1 B.2 C.3 D.4 3.设A=??
?
?
??3113,则化A为对角阵的平面旋转=θ( ). A.
2π B.3π C.4π D.6
π 4.若双点弦法收敛,则双点弦法具有( )敛速.
A.线性 B.超线性 C.平方 D.三次 5.改进欧拉法的局部截断误差阶是( ).
A .)(h o B.)(2
h o C.)(3
h o D.)(4
h o 6.近似数2
1047820.0?=a 的误差限是( )。 A.
51021-? B.41021-? C.31021-? D.2102
1
-? 7.矩阵A满足( ),则存在三角分解A=LR 。
A .0det ≠A B. )1(0det n k A k <≤≠ C.0det >A D.0det 8.已知T x )5,3,1(--=,则=1 x ( ) 。 A.9 B.5 C.-3 D.-5 9.设)}({x P k 为勒让德多项式,则=))(),((53x P x P ( )。 A. 52 B.72 C.92 D.11 2 三、计算题 1.求矛盾方程组:??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2.用4=n 的复化梯形公式计算积分 ? 2 1 1 dx x ,并估计误差。 3.用列主元消元法解方程组:??? ??=++=++=++4 26453426352321 321321x x x x x x x x x 。 4.用雅可比迭代法解方程组:(求出) 1(x )。 ???? ? ?????=????????????????????----131410*********x x x 5.用切线法求0143 =+-x x 最小正根(求出1x )。 6.已知)(x f 数表: 求抛物插值多项式,并求)5.0(f 近似值。 7.已知数表: 求最小二乘一次式。 8.已知求积公式: )2 1 ()0()21()(21 1 10f A f A f A dx x f ++-≈?-。求210,,A A A ,使其具有尽可能高代数精度,并指出代数精度。 9.用乘幂法求???? ? ?????=410131014A 的按模最大特征值与特征向量。 10.用予估-校正法求初值问题:???=-='1 )0(2y y x y 在4.0)2.0(0=x 处的解。 四、证明题 1. 证明:若)(x f ''存在,则线性插值余项为: 1010),)((! 2) ()(x x x x x x f x R <<--''= ξξ。 2. 对初值问题:?? ?=-='1 )0(10y y y ,当2.00≤ 3.设)(A ρ是实方阵A的谱半径,证明:A A ≤)(ρ。 4.证明:计算)0(>a a 的单点弦法迭代公式为:n n n x c a cx x ++=+1,Λ,1,0=n 。 《计算方法》练习题二 一、填空题 1.近似数3 0.6350010a =?的误差限是( )。 2.设|x|>>1, =( ),计算更准确。 3.用列主元消元法解:121223 224 x x x x +=?? +=?,经消元后的第二个方程是( )。 4.用高斯—赛德尔迭代法解4阶方程组,则(1) 3 m x += ( )。 5.已知在有根区间[a,b]上,'(),''()f x f x 连续且大于零,则取0x 满足( ),则切线法收敛。 6.已知误差限(),(),a b εε则()ab ε=( )。 7.用辛卜生公式计算积分 1 02dx x ≈+?( ) 。 8.若T A A =。用改进平方根法解Ax b =,则jk l =( )。 9.当系数阵A 是( )矩阵时,则雅可比法与高斯—赛德尔法都收敛。 10.若12λλ=-,且)3(1≥>i i λλ,则用乘幂法计算1λ≈( ) 。 二、选择题 1.已知近似数a 的()10/0r a ε=,则3 ()r a ε=( )。 A. 10/0 B. 20/0 C. 30/0 D. 40/0 2.设{()}K T X 为切比雪夫多项式,则22(().())T X T X =( )。 A.0 B 4π. C.2 π D. π 3.对6436A ?? =? ??? 直接作三角分解,则22r =( )。 A. 5 B. 4 C.3 D. 2 4.已知A=D-L-U ,则雅可比迭代矩阵B=( )。 A. 1 ()D L U -+ B. 1 ()D L U -- C. 1 ()D L U -- D. 1 ()D U L -- 5.设双点弦法收敛,则它具有( )敛速。 A. 线性 B.超线性 C.平方 D. 三次 6.Λ41424.12=,则近似值 10 7 的精确数位是( )。 A. 1 10- B. 2 10- C. 3 10- D. 4 10- 7.若111221221042,1024r r l r ???? ??=????? ? ?????? 则有22r =( )。 A. 2 B. 3 C.4 D. 0 8.若4114A ?? =???? ,则化A 为对角阵的平面旋转角θ=( ) 。 A. 2π B.3π C.4π D. 6 π 9.改进欧拉法的绝对稳定实区间是( )。 A.[-3,0] B. [-2.78,0] C. [2.51,0] D. [-2,0] 三、计算题 1. 已知()f x 数表 用插值法求()0f x =在[0,2]的根。 2.已知数表 求最小二乘一次式。 3.用n=4的复化辛卜生公式计算积分 1 02dx x +?,并估计误差。 4.用雅可比法求310130003A ????=?????? 的全部特征值与特征向量。 5.用欧拉法求初值问题'2(0)1y x y y =+??=? 在x=0(0.1)0.2处的解。 6 已知函数表: 求埃尔米特差值多项式)(x H 及其余项。 7.求3 ()f x x =在[-1,1]上的最佳平方逼近一次式。 8.求积公式: 1 10 ()(0)(),f x dx Af Bf x ≈+? 试求1x ,A ,B ,使其具有尽可能高代数精度, 并指出代数精度。 9.用双点弦法求3 520x x -+=的最小正根(求出2x )。 . 10.用欧拉法求初值问题:'(0)1 y x y y =-??=?在x=0(0.1)0.2处的解。 四、证明题 1. 证明:A B A B -≤-。 2. 141(4),0,1,...5n n n a x x n x +=+= 3.设0(),...,()n l x l x 为插值基函数,证明: ()1n k k l x ==∑。 4.若1B <。证明迭代法: (1)()() 21,0,1, (33) m m m x x Bx b m += ++= 收敛。 《计算方法》练习题一答案 一.填空题 1.2 10- 2.))((! 2)(b x a x f --''ξ 3.52 4.按模最大 5.]0,2[- 6. 21 102 -?, 7. , 8. 21 x =, 9. () ) (434)1(232)1(131333 1m m m x a x a x a b a ---++ , 10.0()0f x > 二.单选题 1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.B 9.B 三.计算题 1.2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?, 由 0,021=??=??x x ? ?得:???=+=+96292321 21x x x x , 解得14 9 ,71821== x x 。 2.?≈++++≈21697.0]2 1 7868581[81x dx , 96 1 1612)(2= ?≤ M x R 。 3.?? ?? ??????→??????????→??????????1142242644223214264426453426352 回代得:T x )1,1,1(-= 4.因为A为严格对角占优阵,所以雅可比法收敛。 雅可比迭代公式为:??? ? ?????=+=++=+=+++Λ,1,0,) 1(41)3(41)1(41)(2)1(3) (3)(1)1(2) (2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m 。 取T x )1,1,1() 0(=计算得: T x )5.0,25.1,5.0() 1(=。 5.因为0875.0)5.0(,01)0(<-=>=f f ,所以]5.0,0[* ∈x ,在]5.0,0[上, 06)(,043)(2≥=''<-='x x f x x f 。由0)()(0≥''x f x f ,选00=x ,由迭代公式: Λ,1,0,4 3142 3 1 =-+--=+n x x x x x n n n n n 计算得:25.01=x 。 6.利用反插值法得 211 (0)(0)(04)(04)(02) 1.75224 f N ==?+-?++= 7. 由方程组:01014648614102 a a a a +=??+=?,解得:013,6a a ==,所以x x g 63)(* 1+=。 8.1 0118881 []0.4062282910113dx I x = ≈++++≈+?, 21 |()|0.001321216768 M R f ≤=≈? 。 9.因为 2211123,1,4 a a a π θ==== 1 00 2222 310400 01300030 2222 003002 001001 A ??? - ??? ??? ???? ??? ???? =-= ??? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? 所以: 11 22 33 4, 22 3,(0,1,0) 2,( T T T X X X λ λ λ == == == 10.应用欧拉法计算公式: n n n y x y1.1 2.0 1 + = + ,1,0 = n,1 = y。 计算得 12 1.1, 1.23 y y ==。 四.证明题 1.设) )( )( ( ) ( ) ( ) ( ), )( )( ( ) ( 1 1 1 x t x t x k t L t f t g x x x x x k x R- - - - = - - =,有x x x, , 1 为三个零点。应用罗尔定理,) (t g''至少有一个零点ξ, !2 ) ( ) ( ,0 ) ( !2 ) ( ) ( ξ ξ ξ f x k x k f g '' = = - '' = ''。 2.由欧拉法公式得: ~ 1 ~y y oh y y n n n - - = -。 当2.0 0≤ ~ ~y y y y n n - ≤ -。欧拉法绝对稳定。 3.因为A=(A-B)+B,A A B B ≤-+, 所以A B A B -≤-, 又因为B=(B-A)+A, B B A A ≤-+ 所以B A B A A B -≤-=- B A A B -≤- 4 5 0x a -=的实根, 将54 (),'()5f x x a f x x =-=代入切线法迭代公式得: 5144 1(4),0,1,...55n n n n n n x a a x x x n x x +-=-=+=。 《计算方法》练习题二答案 一、 填空题 1.2 10-, 2. ()1G ρ<, 3. 11 1n n n n x x a n x x x --+++= ),2,1(Λ=n , 4. 1.2, 5.2(,)22 n n n n f x y k + + 6. ||()||()b a a b εε+, 7. 73 180, 8.kj kk r r , 9. 严格对角占优 10.2 1)() 2(??? ? ? ?+k i k i x x 二、 单选题 1.C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.A 7.B 8.C 9.D 三、 计算题 1 .sin 0.58285π ≈≈ ,2 2()0.5821052400 R π-≤≈?。 2.222 (,)(4)(3)(26)x y x y x y x y ?=+-+--+--,由 0,0x y ?? ??==?? 得6219235 x y x y -=?? -=?,解得:474 ,147x y ==。 3.由 22 11 10482 n -≤?解得3n ≥,取n=3, 复化梯形公式计算得:1011661 []0.4067262783 dx x ≈+++≈+?。 . 4.120112011201231201100110012101210011????????????→-→-????????????--?????? 回代得:(1,1,1)T X =- 5.因为3311122,1,4 a a a π θ==== 100201300222 20 100200100201020010 2 222A ?-????? ????????==??? ????? ????????????-???????? 所以T x )2 2,0,22( ,311==λ T x )0,1,0(,322==λ T x )2 2,0,22(,333- ==λ 6 222()(12(1))(2)(1)(2)(1)22H x x x x x x x =+--?-+--?=-。 (4)22() ()(1)(2),(12)4! f R x x x ξξ=--<< 7.设***1 01 1()()()g x a p x a p x =+,则11*3* 40 1111330,,225 a x dx a x dx --====?? 所以* 13()5 g x x =。 8.设求积公式对2 ()1,,f x x x =精确得: ??? ? ????? ===+31211211Bx Bx B A ,解得:1 231,,344x B A ===。 所以求积公式为: 1 132 ()(0)()443 f x dx f f ≈ +? , 再设3 ()f x x =,则左12 49 = ≠=右。此公式具有3次代数精度。 9.因为(0)20,(0.5)0.3750,f f =>=-< 故* [0,0.5]x ∈,在[0,0.5]上, . 3)(max ,25.4)(min 21=''=='=x f M x f m ,213 0.51219 M KR m ≤ ?=<,应用双点弦法迭代公式: 3 1133 11 ()(52) ,1,2,...(52)(52)n n n n n n n n n n x x x x x x n x x x x -+----+=-=-+--+计算得:20.421x ≈。 10.10.10.9,0,1n n n y x y n +=+=,由01y =,计算得:120.9,0.82y y ==。 四、 证明题 1.设p x x ∞ =,则有∑∑==≤≤n i i p n i i x x x n 1 22 1 2 1, 22x x x ∞ ≤≤ 2.因为迭代函数是()(),'()1'()x x f x x f x ?α?α=-=-, 当1 2 0m α<< 时则有11'()1f x α-<-<,即 |1'()||'()|1f x x α?-=<,所以迭代法收敛。 3.设()1f x =,则有0)()! 1() ()()1(=+= +x n f x R n ωξ, 所以有 ∑===n k k x f x l 1)()(。 4.因为迭代矩阵为21 ,133 G I B B =+<, 所以2121 13333 G I B I B =+≤+<,所以迭代法收敛。 【 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数, 则 a =( ), b =( ), c =( )。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l 0)(( ), ∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ; 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ?,则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:, 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); ( 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ,1 ,进行两步后根的所在区间为 , 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ,该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具 有( 12+n )次代数精度。 《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1.什么是计算方法?(狭义解释) 答:计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算,以便在计算机上编程上机,求出问题的数值解,并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2.一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么? 答:一个实际问题当利用计算机来解决时,应采取以下五个步骤: 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4.利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值,并编程获得解。 解:400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ,从而 所以,多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5.叙述误差的种类及来源。 答:误差的种类及来源有如下四个方面: (1)模型误差:数学模型是对实际问题进行抽象,忽略一些次要因素简化得到的,它是原始问题的近似,即使数学模型能求出准确解,也与实际问题的真解不同,我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 (2)观测误差:在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的,由于仪器的精密性,实验手段的局限性,周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素,而使数据必然带有误差,这种误差称为观测误差。 (3)截断误差:理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到,而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似,这样引起的误差称为截断误差(或方法误差)。 (4)舍入误差:在数值计算过程中还会用到一些无穷小数,而计算机受机器字长的限制,它所能表示的数据只能是一定的有限数位,需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6.掌握绝对误差(限)和相对误差(限)的定义公式。 答:设* x 是某个量的精确值,x 是其近似值,则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差(简称误差)。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ,称这个数ε为近似值x 的绝对误差限(简称误差限或精度)。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差,称 数值计算方法试题一 一、填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分()次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在()。 3、已知是三次样条函数,则 =( ),=(),=()。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则 ( ),( ),当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中,则。 8、给定方程组,为实数,当满足,且时,SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设,当()时,必有分解式,其中为下三角阵,当其对角线元素满足()条件时,这种分解是唯一的。 二、二、选择题(每题2分) 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是()。(1), (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1),(2),(3),(4), (1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定,步长的取值范围为()。 (1), (2), (3), (4) 三、1、 2、(15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 (2)用的复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算出该积分的近似值。 四、1、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式;(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。 2、(8分)已知方程组,其中 , (1)(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 (2)(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。 五、1、(15分)取步长,求解初值问题用改进的欧拉法求的值;用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、(8分)求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、(下列2题任选一题,4分) 1、1、数值积分公式形如 (1)(1)试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时,如何选择参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题:(共16分,每小题2分) 1、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯一成立。() 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,则 a =( ), b =( ), c =( )。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l )(( ),∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当2≥n 时= ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族, 其中1)(0=x ?,则?=1 04)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时, SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=??=?的改进欧拉法?????++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设 ?? ????????=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解是唯 一的。 二、 二、选择题(每题2分) 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是( )。 (1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式: ? ∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中,当系数) (n i C 是负值时, 速算24点的技巧 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 速算24点的技巧 “巧算24点”是一种数学游戏,游戏方式简单易学,能健脑益智,是一项极为有益的活动. “巧算24点”的游戏内容如下:一副牌中抽去大小王剩下52张,(如果初练也可只用1~10这40张牌)任意抽取4张牌(称牌组),用加、减、乘、除(可加括号)把牌面上的数算成24.每张牌必须用一次且只能用一次,如抽出的牌是3、8、8、9,那么算式为(9—8)×8×3或3×8+(9—8)或(9—8÷8)×3等. “算24点”作为一种扑克牌智力游戏,还应注意计算中的技巧问题.计算时,我们不可能把牌面上的4个数的不同组合形式——去试,更不能瞎碰乱凑.这里向大家介绍几种常用的、便于学习掌握的方法: 1.利用3×8=24、4×6=24求解. 把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6,再相乘求解.如3、3、6、10可组成(10—6÷3)×3=24等.又如2、3、3、7可组成(7+3—2)×3=24等.实践证明,这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法. 2.利用0、11的运算特性求解. 如3、4、4、8可组成3×8+4—4=24等.又如4、5、J、K可组成11×(5—4)+13=24等. 3.在有解的牌组中,用得最为广泛的是以下六种解法:(我们用a、b、c、d 表示牌面上的四个数) ①(a—b)×(c+d) 如(10—4)×(2+2)=24等. ②(a+b)÷c×d 如(10+2)÷2×4=24等. ③(a-b÷c)×d 如(3—2÷2)×12=24等. ④(a+b-c)×d 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足,而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字,其误差限,相对误差限 有2位有效数字, 有5位有效数字, 3.下列公式如何才比较准确? (1) (2) 解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。 (1) (2) 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用:式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值 误差限,因 ,故 二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值 误差限 ,故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h 应取多少? 解:用误差估计式(5.8), 令 因 得 3. 若,求和. 解:由均差与导数关系 于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有 而当P=n+1时 于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精度 为( 5 ); 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式1999 2001- 数值计算方法习题一(2) 习题二(6) 习题三(15) 习题四(29) 习题五(37) 习题六(62) 习题七(70) 2009.9,9 习题一 1.设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。 解:由自变量的误差对函数值引起误差的公式: (())(())'()()()() f x x f x f x x f x f x δδ?= ≈得 (1)()f x = 11 ()()*2%1% 22x x δδδ≈ ===; (2)4 ()f x x =时 44 4 ()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈ === 2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出他们各有几位有效数字。 (1)12.1x =;(2)12.10x =;(3)12.100x =。 解:由教材9P 关于1212.m n x a a a bb b =±型数的有效数字的结论,易得上面三个数的有效 数字位数分别为:3,4,5 3.用十进制四位浮点数计算 (1)31.97+2.456+0.1352; (2)31.97+(2.456+0.1352) 哪个较精确? 解:(1)31.97+2.456+0.1352 ≈2 1 ((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ?+?+ =2 (0.3443100.1352)fl ?+ =0.3457210? (2)31.97+(2.456+0.1352) 2 1 (0.319710(0.245610))fl fl ≈?+? = 21 (0.3197100.259110)fl ?+? =0.34562 10? 易见31.97+2.456+0.1352=0.3456122 10?,故(2)的计算结果较精确。 4.计算正方形面积时,若要求面积的允许相对误差为1%,测量边长所允许的相对误差限为多少? 24点计算的奥密及计算要领 巧算24点 “算24点”是一种数学游戏,正如象棋、围棋一样是一种人们喜闻乐见的娱乐活动。 它始于何年何月已无从考究,但它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受。这种游戏方式简单易学,能健脑益智,是一项极为有益的活动。 “算24点”的游戏内容如下:一副牌中抽去大小王剩下52张,(如果初练也可只用1~10这40张牌)任意抽取4张牌(称牌组),用加、减、乘、除(可加括号)把牌面上的数算成24。每张牌必须用一次且只能用一次,如抽出的牌是3、8、8、9,那么算式为(9—8)×8×3或(9—8÷8)×3等。 “算24点”作为一种扑克牌智力游戏,还应注意计算中的技巧问题,不能瞎碰乱凑。这里向大家介绍几种常用的、便于学习掌握的方法: 1.利用3×8=24、4×6=24求解。 把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6,再相乘求解。如3、3、6、10可组成(10—6÷3)×3=24等。又如2、3、3、7可组成(7+3—2)×3=24等。实践证明,这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。 2.利用0、11的运算特性求解。 如3、4、4、8可组成3×8+4—4=24等。又如4、5、J、K可组成11×(5—4)+13=24等。 3.最为广泛的是以下七种解法(我们用a、b、c、d表示牌面上的四个数) ①(a—b)×(c+d)如(10—4)×(2+2)=24等。 ②(a+b)÷c×d 如(10+2)÷2×4=24等。 ③(a-b÷c)×d 如(3—2÷2)×12=24等。 ④(a+b-c)×d 如(9+5—2)×2=24等。 ⑤a×b+c—d 如11×3+l—10=24等。 ⑥(a-b)×c+d 如(4—l)×6+6=24等。 ⑦(a×b)÷(c+d)如(6×8)÷(1+1)=24等。 需要说明的是:一副牌(52张)中,任意抽取4张可有1820种不同组合,其中有458个牌组算不出24点,如A、A、A、5。 “巧算24点”能极大限度地调动眼、脑、手、口、耳多种感官的协调活动,对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助,还能帮助提高数学成绩。 你也来试试“巧算24点”吧,相信你会很快喜欢上它的! 例题参考: 1118 (1+1+1)*8=24 1126 (1+1+2)*6=24 1127 (1+2)*(1+7)=24 1128 (1*1+2)*8=24 1129: (1+2)*(9-1)=24 11210: (1+1)*(2+10)=24 1134: (1+1)*3*4=24 1135: (1+3)*(1+5)=24 1136: (1*1+3)*6=24 1137: (1*1+7)*3=24 1138: (1-1+3)*8=24 1139: (1+1)*(3+9)=24 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数 为 ,拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f(4)=5.9,则二次Ne wton 插值多项式中x 2系数为 ( 0.15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该 24= 2x12 24=48^ 2 笫一类:利用乘除常见算式进行凑数’=3x8 =72^3 =4x 6 =96+4 水“这几个乘除算式记得越懿悉,凑数的时候对数字就越敏感! 【例】利用虹感乘庞(可以任意添加括号).用乙7.头10四个数字计算出24,每个数字必须都使用一次且仅使用一次(下同)。 【解析】第一步;2.人9、10中岀现了数字2,考虑是否可以利用技12 = 24进行凑数。笫二规既然想利用2x12 = 24进行凑数,那么己知4个数中的2就要甫勝在外,即需用人乂10凑岀1人显然9-7+10 = 12,故最后结果为:2刈今-? + 10)二24 【例】灵3. 4. 9 【解析11第一步,给定4个数字中有3,可以考虑是否可以利用3x1 24逬行凑数。 第二步;既然想利用衣,茁进行凑数,那么己知4个数中的一个3就要排除在外, 即需用氛罷9凑出鴿己知有个数字9比8多1,那么用剩下的氣斗凑出 一个1 即可◎显然4-3=1,故最后结果为:3x(9-(4-3)) = 3x(9+3^4)=24【解析2】第一歩*给定4个数字中有4,可以考虑是否可以刑用4x424进行凑数。 第二步:既然想利用仆2加逬行湊数,那么己知4个数中的4就要排除在外,即需用3> 3. 9凑岀6.显然3+3=6,这样多出来个9、如何将多岀的9消耗掉呢? 因为9是3的平方〔详见后面的技巧3),即9-3=3,故最后结果为: 4x(2 3 + ?) 二24 【例】4. 4, 10, 10 【解析】第一步’给定4个数字中有二很想利用4x6 = 24进行凑数,但用4、10, 10很难凑岀么故只能另想办法。显然,不可能利用3x8=24或"12 “4进行凑数, 于是不妨 考虑采用除法进行凑数。 第二扒己知数中有丄考虑能否利用96-4 = 2^1逬行湊数 笫三歩:既然想利用96^4=24进行凑数’那么己知4个数中的一个4就要桦除在外, 即需用4. 10. 10凑出96.显然10x10-4 = 96 T故最后结果为; (10*10-4)+4 = 24 【例】6, 10. lh 12 【解析】第一步:出现了数字6,考虑是否可以利用4x6二24进行凑数,即需用16 11. 12 凑出斗,显然不可能。 第二步:因为基本乘法算式中有2xl2 = 24,且有现成的数字口可以考虑能否用2x12 = 24进行凑数。 第三步’既然想利用2x12 = 24进行凑数,那么需用& 10. 11凑出2.显悠 10^(11-6>2,故最后结果为’ 10^(11-6)x12-24 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。 (1)用单项式基底。 (2)用Lagrange插值基底。 (3)用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解:(1)用单项式基底 设多项式为: , 所以: 所以f(x)的二次插值多项式为: (2)用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为: 所以f(x)的二次插值多项式为: (3) 用Newton基底: 均差表如下: xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为: 所以f(x)的二次插值多项式为: 由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求ex的近似值,要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h应取多少? 解:以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差,则有 式中 令得 插值点个数 是奇数,故实际可采用的函数值表步长 8、,求及。 解:由均差的性质可知,均差与导数有如下关系: 所以有: 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明:利用[xk,xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可; 当时,,构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理,存在及使得 在,,上对使用Rolle定理,存在,和使得 再依次对和使用Rolle定理,知至少存在使得 而,将代入,得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有: 确定误差限: 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk,xk+1]上有 而最值 进而得误差估计: 16、求一个次数不高于4次的多项式,使它满足,,。 24点游戏规则和解题方法 “巧算24点”的游戏内容如下:一副牌中抽去大小王剩下52张,其中J、Q、K、A 分别相当于10、11、12、13(如果初练也可只用1~10这40张牌),任意抽取4张牌(称牌组),用加、减、乘、除(可加括号)把牌面上的数算成24。每张牌必须用一次且只能用一次,如抽出的牌是3、8、8、9,那么算式为(9—8)×8×3或3×8+(9—8)或(9—8÷8)×3等。 “算24点”作为一种扑克牌智力游戏,还应注意计算中的技巧问题。计算时,我们不可能把牌面上的4个数的不同组合形式——去试,更不能瞎碰乱凑。这里向大家介绍几种常用的、便于学习掌握的方法: 1.利用3×8=24、4×6=24求解。 把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6,再相乘求解。如3、3、6、10可组成(10—6÷3)×3=24等。又如2、3、3、7可组成(7+3—2)×3=24等。实践证明,这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。 2.利用0、11的运算特性求解。 如3、4、4、8可组成3×8+4—4=24等。又如4、5、J、K可组成11×(5—4)+13=24等。 3.在有解的牌组中,用得最为广泛的是以下六种解法:(我们用a、b、c、d 表示牌面上的四个数) ①(a—b)×(c+d)如(10—4)×(2+2)=24等。 ②(a+b)÷c×d如(10+2)÷2×4=24等。 ③(a-b÷c)×d如(3—2÷2)×12=24等。 ④(a+b-c)×d如(9+5—2)×2=24等。 ⑤a×b+c—d 如11×3+l—10=24等。 ⑥(a-b)×c+d 如(4—l)×6+6=24等。 游戏时,同学们不妨按照上述方法试一试。 需要说明的是:经计算机准确计算,一副牌(52张)中,任意抽取4张可有1820种不同组合,其中有458个牌组算不出24点,如A、A、A、5。 (1)一般情况下,先要看4张牌中是否有2,3,4,6,8,Q, 如果有,考虑用乘法,将剩余的3个数凑成对应数。如果有两个相同的6,8,Q,比如已有两个6,剩下的只要能凑成3,4,5都能算出24,已有两个8,剩下的只要能凑成2,3,4,已有两个Q,剩下的只要能凑成1,2,3都能算出24,比如(9,J,Q,Q)。如果没有2,3,4,6,8,Q,看是否能先把两个数凑成其中之一。总之,乘法是很重要的,24是30以下公因数最多的整数。 (2)将4张牌加加减减,或者将其中两数相乘再加上某数,相对容易。 (3)先相乘再减去某数,有时不易想到。例如(4,10,10,J) (6,10,10,K) (4)必须用到乘法,且在计算过程中有分数出现。有一个规律,设4个数为a,b,c,d。必有ab+c=24或ab-c=24d=a或b。若d=a 有a(b+c/a)=24 或 a(b-c/a)=24 如最常见的(1,5,5,5), (2,5,5,10)因为约分的原因也归入此列。(5,7,7,J) (4,4,7,7)(3,3,7,7)等等。(3,7,9,K)是个例外,可惜还有另一种常规方法,降低了难度。只能用此法的只有10个。 (5)必须用到除法,且在计算过程中有分数出现。这种比较难,比如(1,4,5,6),(3,3,8,8)(1,8,Q,Q)等等。 只能用此法的更少,只有7种。 (6)必须用到除法,且在计算过程中有较大数出现,不过有时可以利用平方差公式或提公因数等方法不必算出这个较大数具体等于几。比如(3,5,7,K),(1,6,J,K)等等。只能用此法的只有16种。 (7)最特殊的是(6,9,9,10),9*10/6+9=24,9是3的倍数,10是2的倍数,两数相乘的积才能整除6,再也找不出第二个类似的只能用此法解决的题目了。试一试,你也是算24的专家了。 (1,3,4,6)(1,4,5,6)(1,5,5,5)(1,5,J,J) 计算方法模拟试题 一、 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.近似值210450.0?的误差限为( )。 A . 0.5 B. 0.05 C . 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为( )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足( )时,则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ,使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ,则=∞A ( )。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ,则乘幂法计算公式1e =( )。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 14159.3=π,具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ,则=-?)(21x x 。 3.已知1)(2-=x x f ,则差商=]3,2,1[f 。 4.雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。数值计算方法试题及答案
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