微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)解答

专题30 圆锥曲线中的最值问题

【考情分析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展

【备考策略】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】

1．已知双曲线122

22=-b

y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲

线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞

2． P 是双曲线

22

1916

x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7

3．抛物线y=-x 2

上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是

43

4．已知抛物线y 2

=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12

+y 2

2

的最小值是 32 .

5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，

所求方程为：22

x y 122

－＝ （x >0）

（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，

此时A （x 0，20x 2－），B （x 0，－2

0x 2－），O

AO B ?＝2

当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，

代入双曲线方程22x y 122

－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2

－2＝0

依题意可知方程1?有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则

2222122

2122

44(1)(2)02012

01k b k b kb x x k b x x k ?

??=--?--≥?

?

+=>?-?

?+=>?-?

解得|k |>1， 又OA OB ?＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）

＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2

＝22

22k 242k 1k 1

＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ?的最小值为2

【典型示例】

求抛物线2

y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x ,-x

20

)，

由点到直线的距离公式得P 到直线的距离d(0x )=5

|

834|2

00--x x =5320)32(320+-x 34≥，

当0x =32时，d(0x )取得最大值3

4,

分析二：设抛物线上点P(0x ,-

x 2

)到直线4x+3y-8=0距离最小，

则过P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，

故y '

( 0x )=-2 0x =-34,∴0x =32,∴P(32,-9

4

), 此时d=5

|

8943324|--?+?）（=34，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0

则当l 与抛物线相切时l 与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，

由?????=++-=0

342

C y x y x 得4x-3x 2+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-34,此时

d=

3

45|

34

8|=---）（ 【分类解析】

例1:已知椭圆22

1259

x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求

5

||||4

PA PB +的最小值；

（2）求||||PA PB +的最小值和最大值 分析：（1）A 为椭圆的右焦点。作PQ ⊥右准线于点Q ， 则由椭圆的第二定义

||4

||5

PA e PQ ==， ∴

5

||||||||4

PA PB PQ PB +=+， 显然点P 应是过B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小

值为

174

。 （2）由椭圆的第一定义，设C 为椭圆的左焦点，

则||2||PA a PC =-∴||||||2||10(||||)PA PB PA a PC PB PC +==-=+-，

根据三角形中两边之差小于第三边，当P 运动到与B 、C 成一条直线时，便可取得最大和最小值。 当P 到P"位置时，||||||PB PC BC -=，||||PA PB +有最大值，最大值为10||10210BC +=+；当P 到'

P 位置时，|||||P B P C B C -

=-，||||PA PB +有最小值，最小值为

10||10210BC -=-.

（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）

变式: 点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2

=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|PA|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。 解：抛物线y 2

=4x 的准线方程为x=-1，

设P 到准线的距离为d ，则|PA|+|PF|=|PA |+d 。 要使|PA|+|PF|取得最小值，由图3可知过A 点

的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2

代入y 2

=4x ，得P （1，2）。

例2: 已知椭圆的中心在O,右焦点为F ，右准线为L ，若在L 上存在点M ，使线段OM 的垂直平分线经过点F ，求椭圆的离心率e 的取值范围?

解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM 的垂直平分线经过点F ，则,c OF MF ==利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距

离），则有 2c ≥c

a 2

e ∴≥22，

A

P F O d X=1

x y

∴椭圆的离心率e 的取值范围椭圆的离心率e 的取值范围为???

????1,22 变式1: 已知双曲线22

221,(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，

且|PF 1|=4|PF 2|,求此双曲线的离心率e 的最大值? 解：双曲线的离心率e 的最大值为

5

3

变式2: 已知椭圆方程为 122

22=+b

y a x ，（b a <<0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在为椭圆

上的任意一点，且|PF 1|=4|PF 2|,求此椭圆的离心率e 的最小值? 解：椭圆的离心率e 的最小值为

5

3

例3: 已知P 点在圆x 2

+(y -2)2

=1上移动，Q 点在椭圆2

219

x y +=上移动,试求|PQ|的最大值。 解：故先让Q 点在椭圆上固定，显然当PQ 通过圆心O 1时|PQ|最大，因此要求|PQ |的最大值，

只要求|O 1Q |的最大值.设Q (x ，y )，则|O 1Q |2= x 2+(y -4)2

①

因Q 在椭圆上,则x 2=9(1-y 2

) ②

将②代入①得|O 1Q |2= 9(1-y 2)+(y -4)2

2

18272y ??=-++ ???

因为Q 在椭圆上移动，所以-1≤y ≤1，故当1

2

y =时，1max

33OQ = 此时max 331PQ =+

【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

。 变式1: 设P 是椭圆2

2x a

+2y = 1 ( a > 1 ) 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点,

求| PQ | 的最大值.

解法1: 依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ), 则| PQ | = 22(1)x y +-. 又因为Q 在椭圆上, 所以 2x = 2a (12y -) .

2||PQ = 2a (12y -) + 2y －2y + 1

= (12a -)2y －2y + 1 + 2a

= (12a -) 221()1y a -

-2

11a -

- + 1 + 2

a . 因为 | y | ≤ 1, a > 1,

若a ≥2, 则211a -≤1, 当y = 2

1

1a -时, | PQ | 取最大值22211a a a --;

若1< a <2, 则当y = －1时, | PQ | 取最大值2 . 解法2:

设P (0, 1 ), Q (cos a θ, sin θ), 则 2||PQ = 2a 2cos θ + 2(sin 1)θ- = (12a -)2sin θ－2sin θ+2a + 1 = (12a -)22

1(sin )1a θ-

-－2

11a -+2

a + 1. 注意到 |sin θ| ≤ 1, a > 1. 以下的讨论与解法1相同.

变式2:已知△OFQ 的面积为26，OF FQ m ?= （1）设646m ≤≤，求∠OFQ 正切值的取值范围；

（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），26

||,(1)4

OF c m c ==- 当 ||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程。

解析：（1）设∠OFQ =θ

||||cos()1

||||sin 26

2

OF FQ m

OF FQ πθθ??-=?

???=??46tan m θ?=- 646m ≤≤ 4tan 1θ-≤≤-

（2）设所求的双曲线方程为

22

111122

1(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b -= >> =-则 ∴11

||||262

OFQ S OF y ?=?=，∴146y c =±

又∵OF FQ m ?=，∴21116

(,0)(,)()(

14

OF FQ c x c y x c c c ?=?-=-?=- ) 222

11126963,||12.48

c x c OQ x y c ∴= ∴=+=+≥

当且仅当c=4时，||OQ 最小，此时Q 的坐标是(6,6)或(6,6)-

2

222

226614

1216

a a

b b a b ??-==??∴ ???=???+=?

，所求方程为22 1.412x y -= 【精要归纳】

圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：

（1）当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；

（2）范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？例2中可以利用方程和垂直平分线性质构建。利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程，认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。

（3）.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。 （4）利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。 【课后训练】

1．已知P 是椭圆2

214

x y +=在第一象限内的点，A （2，0），B （0，1），O 为原点，求四边形OAPB 的面积的最大值

2

2．给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆

2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53AB BF +取得最小值时，则B 点的坐标为 。53

(,2)2

- 3．抛物线y 2

=2x 上到直线x-y +3=0距离最短的点的坐标为__________2

1(，1）

4．如图，已知A 、B 是椭圆

22

1169

x y +=的两个顶点， C 、D 是椭圆上两点，且分别在AB 两侧，则四边形ABCD

面积的最大值是_______122

5．如图所示，设点1F ，2F 是22

132

x y +=的两个焦点，过2F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点，求△1F AB 的面积的最大值，并求出此时直线的方程。 解

：

12112F F B

F AB

F F A

S

S

S

=+，设

11(,)

A x y ，

22(,)

B x y ，则

1

1212121

||||||(1)

2

F A B F F y y y y c S

=?-

=

-

=

设

直

线

AB 的

方

程

为

1x k y =

+代

入

椭

圆

方

程

得

22(23)440k y ky ++-=1212

2244,2323

k y y y y k k --?+=

=++

即2122

2243(1)43||123

211

k y y k k k +- =

=

+++

+

令211t k =+≥，∴1

4312F AB

t t

S +=

，1

2t t +（1t ≥）利用均值不等式不能区取“＝” ∴利用1()2f t t t

=+（1t ≥）的单调性易得在1t =时取最小值

1

F AB S

在1t =即0k =时取最大值为

43

3

，此时直线AB 的方程为1x = 6． P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆x y 2

2

2

1+=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点。已知PF →与FQ →共线，MF →与FN →

共线，且PF MF →→=·0。求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。

分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。

解：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （0，1），且PQ ⊥MN ，直线PQ 、

MN 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点F （0，1），故PQ 方程为y kx =+1。代入椭圆方程得(

)22102

2

++-=k

x

kx

设P 、Q 两点的坐标分别为()()

x y x y 1122，，，，则：

x k k k x k k k 1222

2

2

22222

2=--++=-+++，

从而()()()

()

(

)PQ

x x y y k

k PQ k k 2

122

122

22

22

2

2

8122212=-+-=

++=

++，

①当k ≠0时，MN 的斜率为-

1

k

，同上可推得

MN k k =+-?? ??????????

?+-?? ??

?22112122

故四边形面积()

()

S PQ MN k k k k k k k k

==++?? ??

?++?? ??

?=

++

?

? ?

?

?++12411122142152222222222·

令u k k

=+

2

2

1，得()S u u u =++=-+?? ???425221152

因为u k k

=+

≥2

2

12，此时k u S =±==1216

9，，，且S 是以u 为自变量的增函数，所以16

9

2≤

222，

S PQ MN =

=1

2

2· 综合①②知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为

169

。