强对偶性,运筹学中的术语。如果x-是原问题的最优解,y-是对
强对偶性，运筹学中的术语。如果x*是原问题的最优解，y*是对
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强对偶性。强对偶性。运筹学中的术语。如果x*是原问题的最优解。对偶y*是对偶问题的最优解。那么有如下关系：cx*=y*b。
中文名,强对偶性。别称,cx*=y*b。应用学科,运筹学。
定律定义。矩阵形式的线性规划问题的原问题为：。
其对偶问题为：若原问题及其对偶问题均有可行解。则两者均具有最优解。且它们最优解的目标函数值相等：其中X*和Y*是最优解。T上标表示转置。
推导过程。由于原问题和对偶问题均有可行解。
根据弱对偶性的推论。原问题的目
标函数值具有上界。而对偶问题的目标函数值具有下界。因此不可能具有无界解的情况。而且“可行解”的前提也保证了没有无解的情况。所以两者都一定具有最优解。既然原问题有最优解。初始单纯形表进过若干步迭代变成最终单纯形表后。对偶其非基变量的检验数均小于等于0：。将上式变形。T≥CT。ATT≥CT。将此式与对偶问题的约束条件ATY≥CT做比较。
可以看出初始基变量Xs的检验数-CBB-1的相反数。若原问题是极小化问题Xs的检验数即为CBB-1。恰好是其对偶问题的一个可行解Y=T。由此可知。原问题有最优解时。其对偶问题有可行解使得对偶问题的可行解的目标函数值w等于原问题最优目标函数值z。w=YTb=CBB-1b=z存在两者的可行解。使得原问题和对偶问题的的目标函数值相等。由对偶问题的最优性。这时令两者的目标函数值相等的可行解均为最优解。即此时原问题和对偶问题它们最优
解下的目标函数值相等。
适用范围。无论原问题是极大化问题和极小化问题均适用。
定律定义推导过程
由于原问题和对偶问题均有可行解，根据弱对偶性的推论，原问题的目标函数值具有上界，而对偶问题的目标函数值具有下界，因此不可能具有无界解的情况，而且“可行解”的前提也保证了没有无解的情况，所以两者都一定具有最优解。
将上式变形，T≥CT，ATT≥CT，将此式与对偶问题的约束条件ATY≥CT做比较，可以看出初始基变量Xs的检验数-CBB-1的相反数，若原问题是极小化问题Xs的检验数即为CBB-1，恰好是其对偶问题的一个可行解Y=(CBB-1)T。由此可知，原问题有最优解时，其对偶问题有可行解使得对偶问题的可行解的目标函数值w等于原问题最优目标函数值z，w=YTb=CBB-1b=z
存在两者的可行解，使得原问题和
对偶问题的的目标函数值相等，由对偶问题的最优性，这时令两者的目标函数值相等的可行解均为最优解，即此时原问题和对偶问题它们最优解下的目标函数值相等。
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运筹学大作业 哈工大
课程名称：对偶单纯形法 一、教学目标 在对偶单纯形法的学习过程中，理解和掌握对偶问题；综合运用线性规划和对偶原理知识对对偶单纯形法与单纯形法进行对比分析，了解单纯形法和对偶单纯形法的相同点和不同点，总结出各自的适用范围；掌握对偶单纯形法的求解过程；并能运用对偶单纯形法独立解决一些运筹学问题。 二、教学内容 1) 对偶单纯形法的思想来源(5min) 2) 对偶单纯形法原理(5min) 3) 总结对偶单纯形法的优点及适用情况(5min) 4) 对偶单纯形法的求解过程(10min) 5) 对偶单纯形法例题(15min) 6) 对比分析单纯形法和对偶单纯形法(10min) 三、教学进程： 1）讲述对偶单纯形法思想的来源： 1954年美国数学家C.莱姆基提出对偶单纯形法（Dual Simplex Method ）。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 2）讲述对偶单纯形法的原理 A.对偶问题的基本性质 依照书第58页，我们先介绍一下对偶问题的六个基本性质： 性质一：弱对偶性 性质二：最优性。如果 x j （j=1...n)原问题的可行解，y j 是其对偶问题可 行解，且有 ∑=n j j j x c 1 =∑=m i i i y b 1 ，则x j 是原问题的最优解，y j 是其对偶问题的最
优解。 性质三：无界性。如果原问题（对偶问题）具有无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 性质四：强对偶性。如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有最优解。 性质五：互补松弛型。在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。 性质六：线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w. B.对偶单纯形法（参考书p64页） 设某标准形式的线性规划问题，对偶单纯形表中必须有c j -z j ≤0（j=1...n),但b i (i=1...m)的值不一定为正，当对i=1...m ，都有b i ≥0时，表中原问题和对偶问题均为最优解，否则通过变换一个基变量，找出原问题的一个目标函数值较小的相邻的基解。 3）为什么要引入对偶单纯形法 从理论上说原始单纯形法可以解决一切线性规划问题，然而实际问题中，由于考虑问题的角度不同，变量设置的不同，便产生了原问题及其对偶问题，对偶问题是原问题从另外一个角度考虑的结果。用对偶单纯形法求解线性规划问题时，当约束条件为“≥”时，不必引入人工变量，使计算简化。 例如，有一线性规划问题： min ω =12 y 1 +16y 2 +15 y 3 约束条件 ?? ?? ???≥=≥+≥+0)3,2,1(3522 423121 i y y y y y i
运筹学试卷及答案.doc
运 筹 学 考 卷 1 / 51 / 5
考试时间: 第十六周 题号一二三四五六七八九十总分 评卷得分 ： 名 一、单项选择题。下列每题给出的四个答案中只有一个是正确的，将表示正确 姓 答案的字母写这答题纸上。（10 分, 每小题2 分） 1、使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数j 0 ，在 线 基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题（） A. 有唯一的最优解； B. 有无穷多个最优解； C. 无可行解； D. 为无界解 2、对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（）： 号 A．b 列元素不小于零B．检验数都大于零 学 C．检验数都不小于零D．检验数都不大于零 3、在产销平衡运输问题中，设产地为m 个，销地为n 个，那么基可行解中非 零变量的个数（） 订 A. 不能大于(m+n-1)； B. 不能小于(m+n-1)； C. 等于(m+n-1)； D. 不确定。 4、如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足（） A. d 0 B. d 0 C. d 0 D. d 0,d 0 5、下列说法正确的为（） ： 业 A．如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解 专 B．如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解 装 C．在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原 问题可行解的目标函数值都一定不超过其对偶问题可行解的目标函数 D．如果线性规划问题原问题有无界解，那么其对偶问题必定无可行解 ： 院
学 2 / 52 / 5
二、判断下列说法是否正确。正确的在括号内打“√”，错误的打“×”。（18 分，每 小题2 分） 1、如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点。（） 2、单纯形法计算中，如不按最小比列原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一 个基变量的值为负。（） 3、任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题。（） 4、若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其最偶问题也一定具有无穷多最优解。 （）5、运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之 一：有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。（） 6、如果运输问题的单位运价表的某一行（或某一列）元素再乘上那个一个常数k ， 最有调运方案将不会发生变化。（） 7、目标规划模型中，应同时包含绝对约束与目标约束。（） 8、线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式。（） 9、指派问题效率矩阵的每个元素都乘上同一常数k，将不影响最优指派方案。（） 三、解答题。（72 分） max z 3x 3x 1 2 1、（20分）用单纯形法求解 x x 1 2 x x 1 2 4 2 ；并对以下情况作灵敏度分析：（1）求 6x 2 x 18 1 2 x 0, x 0 1 2 5 c 的变化范围；（2）若右边常数向量变为2 b ，分析最优解的变化。 2 20 2、（15 分）已知线性规划问题： max z x 2x 3x 4x 1 2 3 4 s. t. x 2x 2x 3x 20 1 2 3 4 2x x 3x 2x 20 1 2 3 4 x x x x , , , 0 1 2 3 4 其对偶问题最优解为y1 1.2, y2 0.2 ，试根据对偶理论来求出原问题的最优解。
《运筹学》第3章习题
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k n σ（标准形为 求最小值），其经济意义是什么？ 8．将i j j i b c a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>* i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。 8．对于i j j i b c a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0《运筹学》第3章习题
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、 思考题 1． 对偶问题和对偶变量的经济意义是什么 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么 3．什么是资源的影子价格它和相应的市场价格之间有什么区别 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k n σ（标准形为 求最小值），其经济意义是什么 8．将i j j i b c a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化有多少种不同情况如何去处理 二、 判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=*i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。 8．对于i j j i b c a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0运筹学_第2章_对偶理论习题
第二章线性规划的对偶理论 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2 + 3x3 ≤30 4x1 + 2x2 + 4x3≤80 x1、x2，x3≥0 解：其对偶问题为 min w=30y1+ 80y2 y1+ 4y2≥2 3y1 + 2y2 ≥2 3y1 + 4y2≥－4 y1、y2≥0 2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题 min z=2x1+8x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 －x1 + 5x2 + 4x3 = 80 4x1 + 2x2－4x3≤50 x1≤0、x2≥0，x3无限制 解：其对偶问题为 max w=30y1+80 y2+50 y3 y1－y2 + 4 y3≥2 3y1+5y2 + 2y3≤8 －3y1 + 4y2－4y3 =－4 y1≥0，y2无限制，y3≤0 2.3已知线性规划问题 max z=x1+2x2+3x3+4x4 x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤20 2x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20 x1、x2，x3，x4≥0 其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。 解：其对偶问题为
min w=20y1+ 20y2 y1 + 2y2≥1 （1） 2y1 + y2 ≥2 （2） 2y1 +3y2≥3 （3） 3y1 +2y2≥4 （4） y1、y2≥0 将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以 2x3*+3x4* = 20 3x3* +2x4* = 20 解得x3* = x4* = 4。故原问题的最优解为 X*=（0，0，4，4）T 2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划 min z=4x1+2x2+6x3 2x1 +4x2 +8x3 ≥24 4x1 + x2 + 4x3≥8 x1、x2，x3≥0 解将问题改写成如下形式 max（－z）=－4x1－2x2－6x3 －2x1－4x2 －8x3 + x4=－24 －4x1－x2－4x3+x5 =－8 x1、x2，x3，x4，x5≥0 显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。整个问题的计算过程列在表2—7中。
运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案
运筹学作业2（第二章部分习题）答案 2．1 题 （P . 77） 写出下列线性规划问题的对偶问题： （1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++? ? ++≥??++≤? ? ++≤? ≥≥??无约束，； 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为： 123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++??++≤??++≤? ?++=? ≥≤≤?? （2）111 1 m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j n ij ij j j ij z c x c x a i m c x b j n x i m j n ====?=? ? ? ==????==??≥==??∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为： 11m ax 1,,;1,,m n i i j j i j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==? =+???+≤? ?==? ??∑∑ j 无约束，v 无约束 2．2判断下列说法是否正确，为什么？ （1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：错。 因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
例如原问题 12 12212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥??≤? ?≥≥?有可行解，但其对偶问题 12 11212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥??+ ≥??≤≥?无可行解。 （2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； 答：错，如（1）中的例子。 （3） 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或求极小，原问题可 行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值。 答：错。正确说法是：在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，求极大的问题可行解的目标函数值一定不超过求极小的问题可行解的目标函数值。 （4） 任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 答：正确。 2．5给出线性规划问题 123 123123123123m ax 221.. 22 0,0,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =+++-≤? ?-+=?? ++≥??≥≥≥? 写出其对偶问题；（2）利用对偶问题性质证明原问题目标函数值1z ≤ 解：（1）原问题的对偶问题为： 123 123123123123m in 22212.. 10,,0w y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥? ?-+≤?? -++=? ?≥≤?无约束 （2）取()011T y =，既1230,1,0y y y ===，经验证，()011T y =是对偶问题的一个可行解，并且1w =。由对偶问题的性质可得1z w ≤= 2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： （2）123 123123 123m in 524324..63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥??++≥??≥? ,
强对偶性,运筹学中的术语。如果x-是原问题的最优解,y-是对
强对偶性，运筹学中的术语。如果x*是原问题的最优解，y*是对 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 强对偶性。强对偶性。运筹学中的术语。如果x*是原问题的最优解。对偶y*是对偶问题的最优解。那么有如下关系：cx*=y*b。 中文名,强对偶性。别称,cx*=y*b。应用学科,运筹学。 定律定义。矩阵形式的线性规划问题的原问题为：。 其对偶问题为：若原问题及其对偶问题均有可行解。则两者均具有最优解。且它们最优解的目标函数值相等：其中X*和Y*是最优解。T上标表示转置。 推导过程。由于原问题和对偶问题均有可行解。 根据弱对偶性的推论。原问题的目
标函数值具有上界。而对偶问题的目标函数值具有下界。因此不可能具有无界解的情况。而且“可行解”的前提也保证了没有无解的情况。所以两者都一定具有最优解。既然原问题有最优解。初始单纯形表进过若干步迭代变成最终单纯形表后。对偶其非基变量的检验数均小于等于0：。将上式变形。T≥CT。ATT≥CT。将此式与对偶问题的约束条件ATY≥CT做比较。 可以看出初始基变量Xs的检验数-CBB-1的相反数。若原问题是极小化问题Xs的检验数即为CBB-1。恰好是其对偶问题的一个可行解Y=T。由此可知。原问题有最优解时。其对偶问题有可行解使得对偶问题的可行解的目标函数值w等于原问题最优目标函数值z。w=YTb=CBB-1b=z存在两者的可行解。使得原问题和对偶问题的的目标函数值相等。由对偶问题的最优性。这时令两者的目标函数值相等的可行解均为最优解。即此时原问题和对偶问题它们最优
解下的目标函数值相等。 适用范围。无论原问题是极大化问题和极小化问题均适用。 定律定义推导过程 由于原问题和对偶问题均有可行解，根据弱对偶性的推论，原问题的目标函数值具有上界，而对偶问题的目标函数值具有下界，因此不可能具有无界解的情况，而且“可行解”的前提也保证了没有无解的情况，所以两者都一定具有最优解。 将上式变形，T≥CT，ATT≥CT，将此式与对偶问题的约束条件ATY≥CT做比较，可以看出初始基变量Xs的检验数-CBB-1的相反数，若原问题是极小化问题Xs的检验数即为CBB-1，恰好是其对偶问题的一个可行解Y=(CBB-1)T。由此可知，原问题有最优解时，其对偶问题有可行解使得对偶问题的可行解的目标函数值w等于原问题最优目标函数值z，w=YTb=CBB-1b=z 存在两者的可行解，使得原问题和
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四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省 ? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当 于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3