相似三角形整章教案汇总

图形的相似

一、教学目标：

1.通过观察生活中的实例，让学生体会相似图形的概念。

2.经历探究相似多边形特征的过程，掌握相似多边形的特征。

3.在探究相似多边形特征的过程中，培养学生归纳、猜想、合作交流等方面的

能力，提高数学思维水平。

二、重点、难点

1．重点：相似多边形的主要特征的识别．

2．难点：正确地运用相似多边形的特征解决一些实际问题。

三、教学过程

一、创设情境感知相似

同学们初二时，我们研究了全等形的有关知识，在我们生活中，除了全等形之外，我们还经常会见到这样的图形，我们称这样的两个图形是相似的。从本节课开始我们将开始进入对第27章相似的学习，今天我们先来研究图形的相似。

1、（师）：再请仔细观察下列几幅图片……

你发现这四组图形之间有什么共同点？（ppt出示一组图片）

（通过实例让学生观察相似图形的特点，感受形状相同的概念。）（个人口答）

2、在数学上我们把“形状相同的图形叫做相似图形”（教师板书）

3、提问：生活中有很多的相似图形，你能举出一些例子与大家分享吗？（个人口答）

（让学生寻找生活中的例子，体会生活中的相似，进一步了解相似形的概念。

（师）老师呢也找了几个生活中的几个实例，你们来看看他们是否是相似的

4、系统训练：1、如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?

2、如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？（个人口答）

3、如图，图形a～f中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？

（个人口答.）

（让学生通过比较，体会相似图形与不相似图形的“形状”特点。）

（师）刚才我们通过观察发现有些图形是相似的，但仅仅凭观察有时会有误差，

所以我们要进一步研究相似图形有哪些与众不同的特征，我们先来研究相似多边形的特征。

三、自主探究 研学相似

探究一：△A 1B 1C 1是正△

（师）这两个图形相似吗？那么请同学们独立思考一下：

1、自主学习：这两个相似的正三角形，它们的对应角有什么关系？对应边的比呢？为什么？（把你的想法，在师徒之间交流一下。）

2

、师徒互助：交流答案

说说理由（正三角形的每个角都相等，所以对应角相等；正三角形的三条边的都相等，因此他们的比之相等）

3、小组学生说：对应角：∠A=∠A 1,∠B=∠B 1,∠C=∠C 1 （我们小组认为 ） 对应边：

1

11111C A AC

C B BC B A AB ==

（同学们你能用一句完整的话来归纳一下相似正三角形对应角对应边的关系吗？） 5、提问：图中两个相似的正六边形， 你是否也能得出类似的结论？（口答）

1、 提问：那么相似的正八边形是否有这样的结论呢？正n 边形呢？

通过刚才的研究我们可以发现相似正多边形有什么特征吗？ 你能用一句完整的话来概括一下吗？

2、生：相似正多边形的对应角相等，对应边的比相等

3、（师）相似正多边形的对应角相等，对应边的比相等

那么、同学们我们大胆的猜想一下一般的相似多边形是否也具有这样的特征呢？我们一起来验证一下。

探究二：

1、 （师）图中两个三角形是相似的，两个的四边形也是相似的，现在我们分成

两组1、2两组研究三角形，3、4两组研究四边形，研究他们的对应角，对应边的比有什么关系。并在图上写出各个角的度数和各边的长度

、

A B

C

A1

B1C1

D1

C1

B1A1

D

C

B A

2、自主学习（（分成两组个进行探究）

它们对应角之间有什么关系？对应边的比存在怎样的关系？ 3、 师徒互助：汇报你们一组的探究结果

4、 提问：通过刚才对一般多边形相似的研究，发现我们的猜想正确吗？

5、 你能总结出相似多边形的性质吗？

板书：相似多边形的性质：

相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

（师徒之间把相似多边形的性质：相互说两遍。）

提问：以三角形为例你能说出性质的符号语言吗?

∵△ABC 与△A 1B 1C 1 相似

∴111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠．

1

11111C A AC

C B BC B A AB =

= （学生说老师板书） 教师点拨（1）相似比：相似多边形对应的比称为相似比．（板书） 提问：同学们通过刚才相似三角形的度量，△ABC 与△A 1B 1C 1 的

相似比是多少? △A 1B 1C 1与△ABC 的相似比是多少?

同学们如果两个图形的相似比是1？他们是什么图形？ 你能说出相似图形与全等形之间的关系吗？：

同学们刚才表现都不错，相信系统训练的第一题一定难不倒你们。

1、如图，△ABC 与△A 1B 1C 1相似，其中A 、B 、C 与A 1、B 1、C 1分别对应

且∠A=50°∠B 1=100°，求未知边x,y 的长度和∠C 的度数。

81

B

同学们刚才我们研究了相似多边形的性质，你能说出他的逆命题吗？

相似多边形的判定：

反过来：如果两个多边形对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似

（师）就是我们判断两个多边形相似的方法之一请师徒之间相互将这个判定说两遍，（并思考要说明两个多边形相似，需要几个条件。）

同学们来看一看下列说法是否正确，并说说你的理由

（1）所有的矩形都相似（）

（2）所有的等腰三角形都相似（）

（3）所有的正方形形都相似（）

（4）所有的等腰直角三角形都相似（）

2、如图，试着在右边的格点图中画出一个与左边的四边形相似的图形。

三、课堂小结

请同学们回顾一下本节课所学的内容，师徒之间相互说说本节课你有哪些收获？

四、课堂检测

同学们刚才表现都很好，老师想看看你们到底掌握的怎么样，我们来做个课堂检测！

线段的比、成比例线段

，并且AD AB ＝AE

AC ，

等腰三角形两腰的比是多少？等腰三角形的腰与底

相似三角形教案

【教学目标】

1、掌握相似三角形的定义，预备定理及三个判定定理

2、能熟练运用判定定理找到并证明两个相似的三角形

【知识梳理】

概念：如果两个三角形的三个角对应相等、三条边对应成比例，这两个三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比。（相似三角形的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。）

课本原话：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

注意：“∽”注意对应顶点字母的位置；

判定定理：

预备定理-----平行于三角形一边的直线截其他两边所在直线（或其他两边的延长线），截得的三角形与原三角形相似。

AA-----两角对应相等，两个三角形相似。

SAS------两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

SSS------三边对应成比例，两个三角形相似。

HL------斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

【课前热身】

1．下列各组图形一定相似的是（C ）．

A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形

C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形

2．已知，如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有___4_____对相似三角形．

3．如图，若∠ACD=∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________，∠

ADC=________．

4、已知点P 是△ABC 的边BC 的中点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似，那么这样的直线最多有( B )条。 A.5 B.4 C.3 D.2

5．如图，若∠BEF=∠CDF ，则△_______∽△________，△______∽△_______．

【例题讲解】

例1．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．

例2、在ABC ∆中，AB=AC ，CD 是边AB 上的高，且CD=2，AD=1，四边形BDEF 是正方形，求证：CEF ∆∽BDC ∆

答案：SAS

例3、如图，△ABC 和△DEF 均为正三角形，D ，E 分别在AB ，BC 上，请找出一个与△DBE 相似的三角形并证明．

例4：如图所示，D 是△ABC 内一点，E 是△ABC 外一点，,DBA EBC ∠=∠

.DAB ECB ∠=∠ 求证：BAC BDE ∠=∠

。

答案与解析：

反推法：BAC BDE ∠=∠→BDE ∆∽BAC ∆→

BC

BE AB BD =→ABD ∆∽CBE ∆→ ,DBA EBC ∠=∠.DAB ECB ∠=∠

【方法提炼】

应用各个判定定理证明两个三角形相似的过程中， 判定定理应用顺序如下：

①根据已知条件判定，若关于角的条件较多，一般先用AA 得到相似，再由相似得出的比例关系用SAS 最后证明。

②若关于线段、边长的条件较多，一般用SSS 和SAS 。 ③另外相似三角形的传递性也很重要。 ④直角三角形中还要考虑HL 。

【课堂练习】

1、（1）已知:如图，直线BE,DC 交于A, ∠E=∠C.求证:DA ·AC=BA ·AE.

2、如图，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连接CF 交AD•于点E ． （1）求证：△CDE ∽△FAE ．（2）当E 是AD 的中点且BC=2CD 时，求证：∠F=∠BCF ．

3、BE 是等腰三角形ABC 的角平分线，0

90=∠ACB ，延长BC 到点D ，使CD=CE ，连结AD 与BE 的延长线交于点F ，求证：2

2AF AC AE =⋅

答案与解析：

反推法：2

2AF AC AE =⋅→2AF=AD →ACD ∆≌BCE ∆

22AF AC AE =⋅→AD AF AC AE ⋅=⋅→AEF ∆∽ADC ∆

4．如图，AB=BC=CD=DE ，∠B=90°，则∠1+∠2+∠3等于（ D ）．

A ．45°

B ．60°

C ．75°

D ．90°

【课堂总结】

【课后测试】

1、下列各图有可能不相似的是( A )

A.各有一个角是45°的两个等腰三角形

B.各有一个角是60°的两个等腰三角形

C.各有一个角是105°的两个等腰三角形

D.两个等腰直角三角形

2、如图3,点D 为△ABC 的AB 边一点（AB>AC ）,下列条件不一定能保证△ACD ∽△ABC 的是（C ）．A ．∠ADC=∠ACB B ．∠ACD=∠B C ．

.

DC AD

AD AC

D BC AC

AC AB

== 3、如图4，等腰三角形ABC 中，∠A=36°，若BC 2=CD·CA ，则∠DBC= 36度 ，图中有3 个等腰三角形．

图3 图4 图6

4、△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、BC 上，已知BD=23，DA=21，BE·BC=3，∠A+∠B=135°。

则∠BDE= 450 。

5、如图6，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DF ⊥AB 交BC 于E 点，交AC 的延长线于F 点，连结CD 。若CD=6，DE=4，则DF= 9 .

课题：相似三角形的判定

教学目的：

1．掌握三角形相似的判定定理2、定理3的证明 2．会用判定定理解决问题

教学重点：判定定理的应用、三角形相似的判定方法 教学难点：三角形相似的证明及运用 教学方法：探究法、讨论法 教学步骤： 一、复习

1、 相似三角形和相似比的定义

2、 相似三角形的判定定理1，回忆全等三角形的判定方法(SAS ，ASA,AAS,SSS) 二、新授

1、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么着两个三角形相似

应用：例题1，如图已知CE 与BD 交于点A 并且AE=5，AD=6，AC=10，AB=12，求证:△AD E ∽△ABC

（注意引导学生如何正确书写，把过程表达清楚）

证明：∵

21

105==AC AE , ，21

126==AE AD ∴AE

AD

AC AE =. 又∵∠DAE=∠BAC, ∴△ADE ∽△ABC

2、判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

例题：在△ABC 与△'''

C B A 中，已知AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm ，，cm 18''

=B A

cm 30cm 24',''==A C C B ，，求证：△AB C ∽△'''C B A 证明：∵

31

186''==B A AB ,

31

248''==C B BC ’

3

1

3010''==C A AC

∴

'

'''''C A AC

C B BC B A AB == ∴ △AB C ∽△'''

C B A

阶段性小结：相似三角形的判定方法：1 AA 2 SAS 3 SSS

练习1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行三角形的第三边

3、 如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且满足AE

AC

DE BC AD AB ==, 求证:△ABD ∽△ACE ；.

课堂小结：相似三角形的判定方法:从角度开始分析从两角对应相等，到只有边对应成比

例

三、作业 分层次布置，练习书本50页练习1三个小题，有余力的做学案思考题1.2

相似三角形的性质

一、教学目标：

掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质. 二、重点与难点：

1、重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质。

2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质。 三、教学过程： 知识要点： 三角形相似的性质：

1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.

3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方. 重要方法：

1、相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.

2、相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立.

例题 1、已知：如图，△ABC ∽ △A ′B ′C ′, △ABC 与 △A ′B ′C

A ′D ′是对应高。 求证：AD

A ′D ′

＝k

求相似比或周长比则要开方。

3、如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于

点F.若AD ＝3，AB ＝5，求： （1）

AG

AF

； （2）△ADE 与△ABC 的周长之比；

（3）△ADE 与△ABC 的面积之比.

4、 如图：是某市部分街道图，比例尺为1∶10000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC 的实际周长和面积.

B ′A B

C D

E F

A

B

C

D

问题解决：如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m, ΔABC 的周长为80m ，面积为100m 2,求ΔADE 的周长和面积

能力训练

1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 。

2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是 ，周长比是 。

3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm ，面积为12cm 2，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？

4、在△ABC 中，DE ∥BC ，E 、D 分别在AC 、AB 上，EC=2AE ，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 的比为______

5、如图， △ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ＝DF ＝FB ，则S △ADE :S 四边形DFGE :S 四边形FBCG =______

6.已知:梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BA,CD 交于点O,OF ⊥BC,交AD 于E,EF=32cm,则OF=_______.

7、ΔABC 中，AE 是角平分线，D 是AB 上的一点，CD 交AE 于G ，∠ACD=∠B ，且

AC=2AD.则ΔACD ∽Δ______.它们的相似比K =_______.

8、△ABC 中，BC=54cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，另一个与它相似的三角形的最短边为15cm ，则周长为_______________。

9、在△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，DE ∥AC ，AB ：DB=2：1，F 为AC 上任一点，△DEF 面积为22，则S △ABC =_________________。

10、如图，DE 是△ABC 的中位线，FH 是梯形BCDE 的中位线。DE ：AE ：AD=4：5：6。试比较△AFH 的周长与梯形BCDE 的周长的大小。

A B

C D E F G A

B C D E O A B C

D

E