信号与系统超有用知识总结3天之内学懂应对考试

第一次课：

自我介绍 课程安排

1.自己考研的一些经历，时间安排，复习重点

复习时间安排：总共复习100天，每天半小时——1个半小时，越到后面花时间越少 每天复习内容：部分公式推导，题3道左右，题仅限历年考题，不再做多余的题，重点在于通过做题还有自己推导公式，使自己对公式理解深刻，运用灵活

专业课特点：知识点少，用时少，分数高，是考验取得好成绩的可靠保障

考试要点：考前不用大量训练，但需要全面的回顾知识点及题型；考试时，题量小，所以切记急躁，宁可做慢一点，因为大片大片地做错再去改非常影响考试状态；专业课考试没有难题，考的是细心。

2.基础，基本概念，基本函数（离散的部分比较简略）

2.1系统：

其实就是一个函数)(t h （)(jw H …）。它与输入信号)(t x 相卷积得到输出信号)(t y ，

做题时，知道系统就是)(t h ，就可以了。重点把握：形如n

t

s z e 0,0的信号经过系统)(t h 后的

表达式为)(),(0000z H z s H e

n

t

s ，这也是FS 的意义所在；另外要会列电路频域方程，解电路

的部分放在讲题的地方统一讲

2.2特殊函数：∑+∞

-∞

=-n n

jw t

jw nT t e

e

n u t u n t o )(,

,],[),(],[),(0δδδ

2.2.1?+∞

∞

-=1)(dt t δ，)0(0)(≠=t t δ，只需记住这个，具体定义不管

???<≥=0,00,1)(t t t u ，

?

∞

-=

=

t

d t u t u dt

d t ττδδ)()(),()(，这两个式子很少考，作为了解

用于移位：?-=--=-*)()()()()(00

0t t x d t

t x t t t x ττδτδ，

因为式中τ只能为0t 时被积函数才不为0

用于积分：?

?

∞

-+∞

∞

-=

-=

*t

d x d t u x t u t x τττττ)()()()()(，式中t <τ时被积函数不

为0

离散情况类似，求导对应差分，积分对应求和，不再重复

2.2.2 t

jw e

0，n

jw e

0极其常见，用于各种地方，如基本公式，FS ，移位等。

t

jw e

0为周期函数，周期为

2w π

n jw e 0

怎样理解它的周期性？若周期为N ，则10

00==jw N

jw

e

e ，则0Nw 必须是π2的

整数（m)倍，所以N

m w π20=，否则为非周期。离散的情况不是很重要，考的几率很小，

但要理解

欧拉公式：j

e e

t w e e

t w t

jw t

jw t

jw t

jw 2)sin(,2

)cos(000000---=

+=

，我一般记这个表达式，

因为用得较多，尤其用于信号的调制（时域做乘法，频域向两边移位移位），反变化较少使用

2.2.4

∑+∞

-∞

=-n nT t )(δ冲击串，很重要的函数，后面会细讲

2.3卷积的性质：

?

+∞

∞

--=

*τττd t h x t h t x )()()()(基本公式一般有两种应用：

公式型的证明题；已知图形，求卷

∑+∞

-∞

=-=

*m m n h m x n h n x ][][][][除以上应用，也可能直接求，因为加法比较容易算

运算律同四则运算：分配，交换，结合

卷积最重要的性质：时域卷——频域乘，时域乘——

π

21频域卷（注意系数），利用这

个知识点与奇异函数的性质可以得到移位，微分，积分等性质。估计一半以上的题都多少会用到这个性质。

3.各种变换，推导过程讲一部分，主要讲公式间的联系以及应用 FT 与FS 联系，FT 与L T 联系，DTFT 与ZT 联系，LT 的收敛域与ZT 收敛域的联系，单边变换与双边变换的联系，入手点还是最基础的FT 3.1 FT

3.1.1基本变换式：

?

?

∞

+∞

-+∞

∞

--=

=

dw

e

jw X t x dt

e

t x jw X jwt

jwt

)(21)()()(π

这个是最基础的东西，应用非常广，这个记不住就别考了，在一些其他公式记不清的时候，用这个去推，熟练后是非常快的 3.1.2jw

a t u e jw

a t u e

at

at

-→

-+→

-1)(,1)(，0>a

推导：jw a jw a dt e

dt e

t u e

t

jw a jwt

at

+=

+--=

=

??

+∞

∞

-+∞

+---1)

(10)(0

)(

常用于已知频域函数)

()()(jw X jw Y jw H =

反求时域：先拆成简单因子相加的形式，如

jw

b B jw

a A ±+

±，再严格套用上面的公式

3.1.3)(1)(,1)(w jw

t u t πδδ+→

→，基础，注意)(t u 的频域表达式

jw

t u t u t sign 2)()()(?

--=，看到

jw

1就该想到这个，想要少记一个公式也可以通

过)(t u 去推导 )(2,)(000

w w e

e

t t t

jw jwt

o -→→--πδδ，常用于移位，之所列出第二个公式，是由于

在题中，时域往往要乘上)cos(0t w ，再用欧拉公式…………

之前已提到：卷积)(0t t -δ等效于移位；通过这些联系，避免记错移位方向及正负号 3.1.4应用欧拉公式，)sin(),cos(00t w t w 的性质即可得到，这里有两点需要注意：一是要注意系数，欧拉公式本身有系数

2

1，再加上)(20w w e

t

jw o -→πδ存在系数π2，所以有

))()(()cos(000w w w w t w -++?δδπ，而这个变换往往应用于信号调制，即)

cos()(0t w t x ，时域乘法对应了

π

21频域卷积，所以有

2

))

()(()()cos(000w w X w w X t x t w -++?

；第二要注意sin 变换中的j 的位置和X 正负号

的问题，j

w w w w t w ))

()(()sin(000+--?

δδπ，我一般习惯把j 放在分母，这样，正半轴

为正冲击，负半轴为负冲击。可以按自己的习惯来，但这两点一定要注意，非常容易出错。 3.1.5门函数w

wT sin 2

→，

→t

t

w π0sin 门函数

首先要把系数记牢，其次要记得门限为0,w T ±±，而没有

2

1

由于图形简单，有图的题里经常出现，可以算是必考，考到注意多用用图形

3.1.6冲击串-采样函数

∑∑+∞

-∞

=+∞

-∞

=-?

-n n nw

w T

nT t )(2)(0

δπδ

最重要的用途：通过卷积，将非周期与周期信号联系起来，通过乘法，将连续与离散

信号联系起来，不过多一个δ的增益。常出现于公式推导型证明题，画图题

做周期信号的FT ，

)()(2)()()(00

jw X nw

w T

nT t t x t x n n T ∑∑+∞

-∞

=+∞

-∞

=-?

-*

=δπδ，一

般能量无限信号的FT 是没有意义的，但是周期信号还是可以通过上面这样去求FT

3.2 FS

∑?

∞

+-∞

=-=

=

k t jkw k

T T

t

jkw T k e

a

t x dt

e

t x T

a 00)()(1

FS 与FT 的联系：设∑+∞

-∞

=-*=n T nT t t x t x )()()(δ，)()(jw X t x ?

则有：

?

?

+∞

∞

---=

=

=

T

jkw X dt e t x T

dt e

t x T

a t

jkw T

t

jkw T k )

()(1)(1000

由于FS 限于周期信号，所以没什么需要记的变换对，考试基本也仅限于它的基本变换公式

3.3 LT

3.3.1

??

∞

+∞

-+∞

∞

--=

=

j j st

st

ds

e s X t x dt

e

t x s X σσ

π

)(21

)()()(正变换掌握，反变换只需了解

3.3.2注意由时域求频域有唯一表达式，但需标明收敛域，而由频域求时域的时候，根据收敛域不同（右边、左边、右边+左边或有限信号，没有无限信号），会求出不同的时域表达式，如：

a

s +1 收敛域为{}a s ->Re ，则为)(t u e

at

-，若为{}a s -

at

---，

一般考题收敛域以大于为主（一般都是因果的），但小于的情况也必须知道。另外，这个a 一般为实数，不需a>0，与FT 区别 3.3.3{}),(:Re ,1)(+∞-∞?s t δ {}0Re ,!)(,1)(1

>?

?

+s s

n t u t s

t u n n

推导：第一个只需记住，同时注意与FT 的频域相区别；第二个推导过程：

?-?-?-?-??

+1

2

1)

1()()(1)

1()(1)(n n

n s

t u t s

t tu s

t u 由这个推导得到的启示在于，

每当我们在做题时看到如下形式)(),(s H s t h t n

n

，要求LT 变换时（一般n 比较小，其中)(),(s H t h 为已知的，常用的变换对），应该想得到用求导的方法。另外，第二个公式很少会考到，推导也简单，可不记。

3.3.4

{}0

Re ,)()sin()()cos(20

2

002

2

0>+?

+?

s w

s w t u t w w s s t u t w

推导

2

2

002

2

0)1

1

(

21

2)

()()()sin()11(

212

)

()()()cos(s

w w s

jw s jw j j

t u e

t u e

t u t w s w s s jw s jw t u e

t u e

t u t w o o t

jw t

jw o o o t

jw t

jw o o o o o +=

+-

+-?

-=

+=

+-+

+?

+=

--，很

容易得到，熟悉推导过程，注意区别，避免记错分子。

考试中可能遇到的变换对，一定可以根据基本公式和常用变换对再加上移位、求导、积分等性质得到，注意掌握他们的特点，下面只列出已知频域求时域的情况：因子→s 求导；

→s

1积分；→-0

st e

移位；

)(1t u e

s

a at

-→+；

t w t w w

s 0020

2

sin ,cos ?→+

3.3.5收敛域。不包含极点，一般先求出极点，然后根据时域信号判断，右边信号-->极点右边，左边信号-->极点左边，双边信号-->两极点之间（这里举个3个极点的例子），有限信号，能量有限-->全域；此外，注意两个性质，因果-->右边，稳定（有FT ）-->包含jw 轴

3.3.6画图，举例22

22

)

1(2)1(31)

1(6)1(422

3642)(s s s s s s s s s H ++-+=

++-+=，我一般习惯将式子化为这种形式（分母常数项为1），因为画图中要用到积分器s

1

。分为分子分母画图，然后结合

3.3.7单边LT ?

?

+∞

∞

--+∞

-=

=

-

dt e

t u t x dt e

t x s X st

st

I )()()()(0

可不写收敛域，

凡是求)(s X I 都可以通过)(t u 变为求)(s X ，例求)1()

1(++-t u e t a 的单边变换

)0()()()('-

-?x s sX t u t x I

不严密推导：)()(')()()('))'()(()()()(s sX t u t x t u t x t u t x s X t u t x I I ?+=?? )0()()()('x s sX t u t x I -??便于理解，强化记忆

s

d x s

s X t u d x t

I ?

?

-

∞

-∞

-+

?

)()()()(ττττ，解电路

推导：ττττττττττd u t u x t u d u t u x t u d x t

?

?

?+∞

∞

-+∞

∞

--=

-=

-)()()()()()()()()(0

s

s X t u t u t x I )

()()()(?

*=

单边变换应用较少，只需记住基本概念和上面两式

3.4 ZT

∑

+∞

-∞

=-=

n n

z n x z X ][)( 反变换不管

a z az

n u a a z az

n u a n

n <-→

--->-→

--,11]1[,,11

][1

1

，

基本公式，收敛域不同，推导过程其实就是简单的序列求和，一般也是右边序列使用较多，其他可根据这个来推导 收敛域，性质类似于L T ，但对于有限信号，可能不包含0点和无穷点

画图，同L T

单边ZT ∑∑+∞

-∞

=-+∞

=-=

=

n n

n n

I z

n u n x z

n x z X ][][][)(0

下面给一个简单推导便于理解

举例

∑∑∑+∞

-+∞

----+∞

-+-==

-?

-1

1

1

][]1[][]1[][]1[m

m

n

z

m x z

x z

z

m x z

n x n u n x

)(]1[1z X z x I -+-=

这个比单边L T 还冷门，基本就不会考，掌握基本概念就够了

3.5 DTFT （不重要）

?∑=

=+∞

-∞

=-π

π

2

)(21][][)(dw

e

e

X n x e

n x e

X jwn

jw

n jwn

jw

一般变换对参照Z 变换，将Z 换成jw

e 得到，如：

1,11][<-?

-a ae

n u a jw

n ，

另外注意频域一定为周期信号，例如∑+∞

-∞

=--?m n

jw m w

w e

)

2(20

0πδπ

4.一些性质

4.1 线性，略

4.2 时移，频移

))

(()(2)(21)()()()()(000000

w w j X w w jw X e

t x e

jw X t t t x t t x t

jw jwt

-=-*?

?-*=--πδπ

δ

联系δ函数，注意正负号，考试中会频繁使用 4.3 对偶，卷积

对偶步骤：w 变为t ，t 变为w -，变换后的频域乘上π2，有时题上要求的东西和我们所记的公式形式相反，这时用对偶的方法可以快速求出对应的公式。

卷积定理不再重复 4.4 奇偶虚实

由于)()(jw X t x -?-，且对于实信号)()(*jw X jw X =-推出其他公式：

{}

{}

)(Im 2

)

()(2

)

()()(Re 2

)

()(2)

()(**

jw X j jw X jw X t x t x jw X jw X jw X t x t x =-?

--=+?-+

看到求实部虚部的题就用这个了 4.5 尺度)(

1)(a jw X a at x ?

考得较少，记一下

4.6 微分，积分

微分通过基本公式可以推导求，例如

?

?=jw jw X jwdw e

jw X dt

t dx jwt

)()(21)(π

，应该熟悉这个过程，以免正负号记错

积分通过奇异函数)(t u 来求，例如

)()0()())(1)(

()()()(w j X jw

jw X w jw

jw X t u t x d x t

δππδττ+=

+?*=?

∞

-注意与LS

区别，同时，LS 更常用一些

做题过程中，对于积分微分不能直接求的信号，都是转换为另一域来求 4.7 能量守恒，初值终值

?

?

+∞

∞

-+∞

∞

-=

dw jw X dt t x 2

2

)(21)(π

∑

?

+∞

-∞

==

n k

T

T a dt t x T

2

2

)(1

?∑

=

+∞

-∞

=π

π

2

2

2

)(21][dw e

X n x jw

n

以上三式，注意区别，尤其是FS ，凡是发现对信号的平方求积分，必定会用 )(lim )(),(lim )0(0

s sX x s sX x s s →∞

→+

=∞=

)()1(lim ][),(lim ]0[1

z X z x z X x z z -=∞=→∞

→

以上两式，只用于0,

第二次课：

讲题，详讲一道，其余略讲

给出的解题思路也是，一道详细，其余简略

范围：2009—2010真题

另外，下面的解题思路都是我在看答案前自己的想法，有些地方和答案不同，大家可以进行对比。

题型1：推公式证明题，给少量已知条件，（1）证明一个等式；（2）计算一个表达式 （2009—4,2010—7）

常用：基本变换公式；

∑∑+∞

-∞

=+∞

-∞

=-?

-n n nw

w T

nT t )(2)(0

δπδ；积分；求和；卷积

2009-4：已知)()(w F t f ?

（1）证：

∑

∑

+∞

-∞

=+∞

-∞

==

+n k t

jkw e

kw F T

nT t f 0)(1)(0

（2）求

∑

+∞

-∞

=+k k 2

)

2(12π

思路：（1）等式左边是一个周期信号，等式右边是求和，并注意因子t

jkw e 0。由此可以想到

FS 的基本公式。因此只需证明T

kw F a k )

(0=

；

（2）证明题两问一般都会联系，考虑用（1）的公式来解。看到都有求和，我们考虑

把

2

)

2(12πk +代入（1）式，观察发现只能代入右边)(0kw F 的部分（一个小技巧，求和因

子为k ，而等式右边也为k ，多半是右边）。另1,20==T w π，带入后得

∑

∑

+∞

-∞=+∞

-∞

=+=

+n k kt

j e

k n t f ππ22

)

2(12)(，为得到我们要求的式子，需使0=t ，得到

∑

∑

+∞

-∞=+∞

-∞

==

+n k n f k )()

2(122

π，因此我们需要得到)(n f 的表达式，考虑到2

12)(w

w F +=

，

通过反变换得到t

e

-（这个算是比较典型的变换对，可以记住，也可以拆分

2

12w

+推导出）

最后得到1

12

11)

2(12--+∞

-∞

=-+∞

-∞

=-+=

=

+∑∑

e

e e

k n n

k π

2010-7：已知ττ

τπ

d t x j

t x t z x ?

+∞

∞

--+

=)()()(

（1）证)()()(t f t x t g *=时，)()(2

1)(t z t z t z f x g *=

（2）若21210),cos()cos()(w w t w t w t x <<=，算)(t z x

思路：（1）首先，考虑到第一问里有很多卷积，条件中的积分含因子ττ-t ,，因此也变为卷积)()()(t x t

j

t x t z x *+

=π。我发现直接求似乎并不复杂，于是有了以下的尝试：

)()()()()(t f t x t

j

t f t x t z g **+

*=π

)()(**)()(2

)()()()(t f t x t

j

t j t f t x t j t f t x t z t z f x *+

*+

*=*πππ

对比以上两式，发现只需证

)(t t

j

t j

δππ=*

，通过频域即可得证（

)(w sign t

j

?π）

（2）通过频域，画图。

题型2：关于系统的题，往往已知关于系统的一些条件以及输入)(t x ，求)(t y 或某些特殊式子，如能量（2009-5，2009-9）

常用：基本变换对中的)(0t t -δ，三角函数和门函数；时频对应关系——卷积和乘法，往往换一条道路解题会简单很多；题稍难的时候再反变换时可能用到积分微分相关性质 2009-5：已知)()(1t dt

d t h δ=

，)

2(1

)(2-=

t t h π（图画黑板上）

（1）求)(jw H ，画)(jw H （2）若t

t t x ππ)

sin()(=

，求?

+∞

∞

-dt t y )(2

思路：（1）无需思路，直接求w

j w

j e

w w sign je jw jw H 22))(()(--=-?=

（2）看到平方的积分，且明显频域信号更简单，用能量公式。根据所记变换对，)(jw X 的门限为π，幅度为1，),(,)(ππ-∈=w w jw Y ，代入能量公式：

3

21)(2

2

2

π

π

π

π=

=

??

-

∞

+∞

-dw w

dt t y ，这种属于送分题，仔细点就可以了，比如)(2t h 的变换，

能量公式的系数，往往做题做高兴了就容易出错。 2009-9：已知)cos()(1t t x =，)3cos(

)(2t t x =，jw

jw H +=

11)(因果稳定

（1）求)(),(21t y t y

（2）)()(),()(22221111t t x A t y t t x A t y -=-=，比较11,t A 与22,t A 大小，说明原因 思路：（1）可以通过频域求，但是考虑到输入为t jw e 0

的形式，求输出的时域，输出为

)(00w H e

t

jw ，所以有

)4

cos(2

1)sin (cos 2

1]22

[

2

1)11(21)(1π-

=

+=

-+

+=-++=---t t t j

e e

e e j e

j e

t y jt

jt

jt

jt

jt jt

同理，))3

3(3cos(2

1)(2π-

=

t t y 。

（2）要比较的是时域幅度增益与延时，将)(w H 变为)

()(w H j e

w H ∠的形式，得到

)

(2

11)(w jatg e w

w H -+=，同时已知3,121==w w ，带入)(w H 得21A A >。时延为

w

w atg )(，单调减函数，所以21t t >

题型3：画图求解的题，一般也必定会涉及系统，利用图形求)(),(),(t y t h t x 或某些特殊式子，一般这种题用画图解会很简单（2009-7，2010-4）

常用：时频——卷积和乘法的转换，图形求卷积，图形的移位、尺度变换等，门函数，三角

函数，

∑∑+∞

-∞

=+∞

-∞

=-?

-n n nw

w T

nT t )(2)(0

δπδ即图形的周期化（总的来说，和题型2用到的

差不多，因为都是关于系统的题） 2009-7：∑+∞

-∞

=-=

=n n t t g t t x )2()(),4

sin(

)(δπ

，且)(),(1

jw H

t h 如图

（1）画出)(t r 的频谱 （2）求)(1t y 的表达式 （3）画出)(2t y 的图

思路：（1）周期化，三个要点：正负号，幅度，周期

（2）截取一段，反变换，)4

3sin 4

(sin

2

1)(1t t t y π

π-= （3）)(t h 时域为方波，频域很复杂，因此还是用时域，∑

+∞

-∞

=-=

n n n t t r )2

sin(

)2()(π

δ，

∑∑

+∞

-∞

=+∞

-∞

=+--=-=

*n n

n n t h n n t h t h t r ))12(2()

1()2

sin(

)2()()(π

，画图

2010-4：已知∑∞

+-∞=?

??><=-=

+=n w w jw H n t t p t t t x 2,02

,1)(),2()(),9cos(2)5.7sin()(π

δ 画出)(jw R ，求)(t y

思路：此题画图时有一点比较特殊，就是在周期化的时候，周期小于信号宽度，因此会产生重叠。然后通过)(jw H 截取一个周期，反变换得到)(t y

题型4：电路。实际就是求)(s H ，再进行一些后续运算，不过通过电路求稍微特殊一点，所以单独列出（2009-8（2010-6和此题几乎一模一样，除了求)(s H 的方式变为微分方程。由此也可以看出，电路仅仅是用来求)(s H ，不再涉及更难的运算，而后续的几问只是单纯的计算问题））

常用：电路频域图；基本的解电路方法，串联分压，并联分流 2009-8：如图，已知1,1==C L ，电流)(t x 输入，电压)(t y 输出 （1）求)(s H 。讨论如何选择R 取值，使极点为复数

（2）1=R ，求)(jw H 最大值max 0)(jw H ，指出)0(00≥w w （3）令max 021)(2

1)()(jw H jw H jw H ==，且201w w w <<，R 、L 、C 不变，

求-3dB 带宽12w w w -=?

思路：（1）主要是画频域图与解电路，Cs

C Ls L R R 1,,→

→→。对于本题，则有

R

s Rs Rs s H s Y Cs

Ls R s X ++=

?=++2

)()(/1/11

)(，极点为复数，则0412

<-R ，

21

>R （2）1

)(2

++-=

jw w jw jw H ，2

21/11

)(w

w jw H +-=

，求导求最值，得10=w ，

1)(0=jw H

（3）要求21,w w ，令

2

11/112

2

=

+-w

w ，解得2

15±±=

w ，根据已知条件

201w w w <<，取0w 左右两点，所以2

15,2

1521+=

-=

w w ，1=?w

关键是解好第一步，其余是数学问题。

题型5：通过微分、差分方程求系统函数)(),(z H s H ，画方框图，零、极点图，判断收敛域，是否因果，是否稳定；一般这些还不够一道题的分量，所以还要加一点其他运算（2010-9，2010-6，2009-10）

常用：标准方框图的画法，零极点图画法；各种判决准则；常用变换对 2010-9：已知线性因果系统][41]2[]2[4

1][n x n x n y n y -

-=--

（1）画图零极点图，指出系统是否稳定 （2）求系统单位阶跃响应

（3）输入]5[][][--=n u n u n x ，计算

∑

+∞

-∞

=n n y ][2

思路：（1）求得4

/14

/1)(2

2

----=

z z

z H ，画图

（2）显然，用时域求和方法很复杂，因此用频域，1

11][--=

z

n u ，做乘法后拆分为

][)2

1(85][)21(815][2

/18/52

/18/15111

1

1

n u n u n u z

z

z

n

n -+-?++

--+

---- （3）用能量公式

?

?

∑

∞

+∞

-∞

+∞

-+∞

-∞

==

=

dw jw H jw X dw jw Y n y n 2

2

2

)()(21)(21][π

π

，分别

考虑)(,)(jw H jw X ，)(jw X 比较复杂，)(jw H 为1，所以变为

?

+∞

∞

-dw jw X 2

)(21π

，

由于)(jw X 复杂而]5[][][--=n u n u n x 非常简单，因此再用能量公式，得

5][2

=∑

+∞

-∞

=n n y 。

这一问很好地考察了频域和时域的灵活转换，所以做题时，遇到某一域比较复杂时，

与其耐心地解出来，不如花一点时间考虑另一域是否简单。 2010-6：已知因果系统

)()()()(2

02

2t x dt

d b

t y w t y dt

d b

t y dt

d =++

（1）求)(s H ，画方框图； 后面两问省略，和前面一样 2009-10：这个不讲了，大同小异

题型6：纯计算题，主要都是单纯地根据已知条件去求某些表达式的值，有些很简单，有些需要灵活运用所学知识（2010-5,2009-6,2010-8） 常用：各种性质

2010-5：已知)()(jw X t x ?，如图 （1）求)(t x

（2）另)2()()(w j X jw Y t y =?，计算dt t t y )2

cos(

)(?

+∞

∞

-

思路：（1）这一问显然不需要用图形去求解，由于已知条件只有)(jw X ，先把他转换为表达式)2,2(,)(2

/2/-∈=???=???-=-w jw jw jw we

we jw X j j ππ，如果没有)2,2(-∈w ，则时域非常容易得到

，用一个

门函数

)

(jw G ，则

)

()(jw jwG jw X =，

2

)

2sin()2cos(22sin )()(t

t t t t t dt

d t g dt

d t x ππ-=

=

=。这题也可以直接用基本公式去求，稍微

复杂一点。

（2）看到要求的表达式，想到用频域0=w 去求。尺度变换得到)(jw Y ，频域做卷积

))2

1()2

1(()(21-

++

*t t jw Y δδππ

，通过图形得到0=w 时为1。笔记上用的是奇偶虚实的

性质，难易度差不多，感觉要难想到一点。

2009-6：已知离散时间LTI 系统（1）若在73≤≤n 区间外0][=n x ，则在9,3>

4]7[,3]1[==s s

（1）计算][n h ，并画图； （2）画系统方框图；

（3）若)()()(w j jw jw e e H e H θ=，求)(,)(w e H jw θ

思路：（1）根据条件1，通过画图，得到][n h 从0到2。根据条件2，得到0]2[]1[]0[=+-h h h 。根据条件3，得到4]2[]1[]0[,3]1[]0[=++=+h h h h h ，所以1]2[,2]1[,1]0[===h h h 。

（2）2

1

21)(--++=z

z z H ，图略。

（3）jw

jw jw jw

w

j jw

e

w e

e

e

e

e

z H -----=+=++=)2/(cos 4)(21)(222

/2

/2

第一问是这道题特别的地方，后面都已讲过了。 2010-8:已知{}0Re ,)

(1)(>+=

-s e e s s X s

s

（1）求)(t x 并画图；

（2）若)2()()(--=t u t u t h ，画出)()()(t h t x t y *=的图。

思路：（1）看到因子s

e

-，能想到的变换对只有一个，∑∞

--?

-0

11)(sT

e

nT t δ，因此进行

变换s

s s

s

s

s

s

e

e

s e

e

s e

e e s s X 4221111

)

(1)(--------=

+=

+=

，通过移位、积分的性质可以得到

))43()41(())43()41(()(0

∑?∑∑+∞

=∞

+∞

-+∞=+∞

=-----=-----=

n n n n t u n t u ds n t n t t x δδ，

到这一步，就可以很容易地得到图形，同时还可以进一步化简为∑+∞

=---0

)21()1(n n n t u 。我在做这

一题时没有想到

s

e

211-+也有与其对应的变换∑+∞

=--0

)2()1(n n n t δ，而是严格的套用公式，还

是能够得到正确结果。

（2）图形都很简单，因此直接用图形求积分，题上不要求)(t h 的表达式，因此没必要写出。

2010-10：已知∑+∞

-∞

=+=

k xx n k x k x n ][][][φ

（1）求)(z xx Φ与)(z X 的关系； （2）证明][n xx φ最大值为]0[xx φ；

（3）若][)2

1

(][n u n x n =，求)(jw

xx e Φ表达式以及]1[xx φ。

思路：（1）形式像卷积，但差个负号，因此做变换

∑∑+∞

-∞

=+∞-∞

=--=+k k k n x k x n k x k x ][][][][，

相当于][][n x n x *-，因此)()()(1

z X z X z xx -=Φ。

（2）完全是个数学问题。几乎没有任何已知条件，我们需要构造一个显然成立的不等

式，往往考虑“平方>0”的形式，结合本题，考虑

0])

[][(2

>+-∑+∞

-∞

=k n k x k x ，展开后得到

0)(2)0(2])[][2][][(2

2

>-=+-++∑+∞

-∞

=n n k x k x n k x k x

xx xx k φφ，得证。

（3）时域卷积明显不好算，用频域，用到第一问的结论，则2

/112/11)(1

z z

z xx --=

Φ-

2

/2/4/51

1

z z

--=

-，因此)

cos(4/51)

(2/14/51

)(w e

e

e

jw

jw

jw

xx -=

+-=

Φ-。由于Z 变

换反变换不要求，不可能通过频域来求]1[xx φ，因此直接用时域求，因此有

3

2)

21

(]1[)2

1

]([)21

(]1[0

1

21

=

=

+=

∑∑

+∞

=++∞

-∞

=+k k k k k

xx k u k u φ

第三次课：

题型1：证明题。

2008-4：设)()()(t h t x t y *=，且?

+∞

∞

-=dt t y S y )(，?

+∞

∞

-=

dt t x S x )(，?

+∞

∞

-=

dt t h S h )(。

（1）试证明：h x y S S S ?=； （2）设t

t t x )sin()(π=

，)]1()1()[2()(--+-=t u t u t t h ，计算y S 的值。

思路：（1）令他们的FT 为)(),(),(jw H jw Y jw X ，则有)()()(jw H jw X jw Y =，同时，看到没有平方的一个简单积分如?

+∞

∞

-dt t x )(的形式，应该立即想到想到)0(j X ，因此我们得

到h y x S j H S j Y S j X ===)0(,)0(,)0(，所以)0()0()0(j H j X j Y =，所以h x y S S S ?=。 注：笔记上用基本公式求，显然比较复杂。 （2）用到上一问的结论，由于π==)0(j X S x ， 3)2(2)]1()1()[2(1

=-=--+-=

??

+∞

∞

-dt t dt t u t u t S h

所以π3=?=h x y S S S

注：证明题中，后面的小问最容易用到前面的结论，使得解答过程变得很简单。否则，以此题为例，若想先求出)(jw Y ，再利用)0(j Y S y =来解，求)(jw H 的步骤会比较复杂。 题型2：关于系统。

2007-5：已知系统如图。 （1）当t

t t x )sin()(π=

时，求)(t y ；

（2）当

)

3sin()2

3cos(1)(t t t x ππ++=，求)(t y 并画粗略图形。

思路：（1）此题唯一需要注意的就是系统的相位问题，在明白这一点的前提下，先求出

),(,)()()(2

)

(πππ-∈==-∠w e

e

jw H jw X jw Y w j

jw H j ，2

w j

e

-相当于时域右移

2

1，因此得到

2

/1))

2/1(sin()(--=t t t y π

（2） ++

+-

+=)]2

3()2

3([)(2)(t t t t w jw X πδπδππδ，由于)3sin(t π得部分在

门限以外，所以可以忽略。因此])2

3()2

3([)(2)(2

2

π

π

πδπδππδj

j

e

t t e t t w jw Y +

+-+=-，

化简)2

3sin(

1)]2

3()2

3([)(2)(t t t j t t j w jw Y ππδπδππδ+?+

+--+=

2008-9：系统如图。

（1）求单位阶跃响应)(t s ，并画图。

（2）若输入)2()()(T t u t u t x --=，画出)(t y 的波形。

（3）若∑∞

=---=1

)()1(2)()(n n nT t u t u t y ，求输入因果信号)(t x 。

思路：（1）直接把)(t u 代入系统，则)()()(T t u t u t f --=，为一方波，积分后明显要分段，

??

?

??≥<≤<==

?

∞

-T t T t t T t d f T

t s t

00

,,,0)(1)(ττ，图略。

（2）由线性，)2()()(T t s t s t y --=，不用求表达式，直接画图。 （3）需要求到系统单位冲击响应，输入)(t δ，得到)]()([1)(T t u t u T

t h --=

，所以

)1(1)(sT

e

Ts

s H --=，同时求出)12

1(1)(sT

sT e

e

s

s Y --+--=

，所以得到

∑∞

+=-------+-?→←-+=-++==

2)]2()2([1311121)

()()(n T

s sT sT

sT

sT T nT t nT t T e

e T

e

e e

T

s X s Y s X δδ，其

中用到了条件“输入因果信号”。

注1：开始做第（3）问时也考虑过直接用时域，但是发现)(t f 得到以后，由于其波形并不特殊，)()()(t f T t x t x =--，)(t x 并不好求，观察法既不容易看出结果，也不够严谨，所以才考虑用频域。

注2：第（3）问结果与笔记不同，笔记上的解答似乎看错一个正负号，其结果对应于

∑∞

=--+=1

)()1(2)()(n n

nT t u t u t y ，同学们可以下来仔细看看。

题型3：画图题。

2008-7：已知条件如图

（1）画出)(t r 的频谱)(w R 。并求)(t w 表达式。 （2）画出)(t g 的频谱)(jw G 。

（3）设计理想低通滤波器)(3w H ，使)()(t x t y =。给出)(3w H 的图形和截止频率的可选范围。

思路：按照系统由输入到输出的顺序，依次画图，由于题中用到sin ，注意符号的问题。 题型4：电路。 2006-6：LTI 电路如图

（1）求)(s H ，如何选择R 、L 、C 的关系才能使阶跃响应不产生振荡信号？ （2）若R=2，L=1，C=1，求单位冲击响应。 （3）求阶跃响应)(t s 的初值)0(+s 和终值)(∞s 。 思路：（1）画出频域图，根据串联分压，2

11

/1/1)(CLs

CRs Cs

Ls R Cs s H ++=

++=

。要使

阶跃响应不产生振荡信号，则极点为实数（我也没管为什么，当时就这样记了）。容易得到

C

L R CL R C 4042

2

2

≥

?≥-。

（2）2

2

)1(1211)(s s

s s H +=++=

，实际的系统肯定是因果系统，这相当于一个隐藏

的条件。

)()

1(1)(112

t u te s t u e s

t t

---?+-??+，)()(t u te t h t

-=。

（3）根据初值终值定理，需要得到2

)

1(1)(s s s S +=

，0))

1(1(lim )0(2

=+?

=∞

→+s s s s s ，

1))

1(1(lim )(2

=+?

=∞→s s s s s

题型5：微分、差分方程，零极点，收敛域，方框图相关问题。

2008-8：已知双边信号),(:]Re[),()(βαs s X t x LT

?→←，)(s X 为有理分式并仅有两个极点和一个零点，分布如图，且1)0(=X 。 （1）求)(t x 的表达式。

（2）若另一因果信号)(t g ，)()(jw X jw G =，画出)(s G 的零、极点图，求)(t g 。

思路：（1）由条件)

)(()()(d s c s b s a s X ---=，根据图与1)0(=X ，得到

1

6/52

3/1)

1)(2(2)4()(--+

+=

-++-

=s s s s s s X 根据收敛域，得)(6

5)(3

1)(2t u e t u e

t x t

t

-+

=

-。

注1：答案与笔记不同。

（2）根据性质，因果信号—>右边信号，有频谱说明包含jw 轴。考虑前面用到过的式子)

)(()()(d s c s b s a s X ---=

，)

)(()(2

2

2

2

22d w c w b

w a

jw X +++=，可以看出在零、极点以及

幅度a 绝对值相等时，频谱幅度相等。所以)

1)(2(2)4()(++±±

=s s s s G ，再求反变换。

注2：笔记上采用全通函数),1(:]Re[,1

1)(∞-+-=s s s s A ，)()()(s A s X s G =

注3：笔记上的答案只有)

1)(2(2)4()(+++±

=s s s s G ，并且注明只有这种情况才给分。但是若

给出全通函数),1(:]Re[,)

4)(1()4)(1()(∞-++--=

s s s s s s A ，就可以得到另外一种结果。

2008-10：已知因果离散序列][]8

1[

][7

8

2n u e

n x l nl

j

∑==π

（1）求][n x 的Z 变换)(z X ，画出收敛域，零极点图。

（2）将][n x 输入差分方程如下的因果系统：][]1[5.0][n x n y n y =-+，计算系统零状态响应在10=n 处的数值。

思路：（1）我们记的常用变换对只有][n u a n

，其他的都是直接用基本公式求。看到题中的

表达式，需要先化简：

∑∑∞

+-∞

=?=-=

?

??≠==--=

r n

j

n j l nl

j

r n r n r

n e

e e

]8[88,0,1118

18

18

28

827

8

2δπππ。由此，我们

得到∑+∞=-=

]8[][r r n n x δ。8

800

11]8[)(-+∞

=-+∞

=-+∞

=-=

=-=

∑∑∑z

z

z r n z X r r

n n

r δ。

零点：8-z 无穷大，则0=z ，注意是8阶的； 极点：18

=z ，1=z ，所以7,1,0,8

2 ==k e

z k

j

k π图略。

注1：我们往往习惯于∑+∞

=-0

)(n nT t δ的形式，即连续的形式，遇到离散∑+∞

=-0

][r rT n δ往往做

起来会觉得比较别扭，应该要通过练习来习惯。

注2：sT

LT

n e

nT t -+∞

=-?→

←-∑11)(0

δ，T

ZT

r z

rT n -+∞

=-?→←-∑11][0

δ，一般从左向右大家会

觉得很简单，并且根本不需要记。而由于LT 和ZT 反变换基本式是不要求的，所以在做反向运算的时候，没有记住这个公式会比较恼火，这里建议还是背下来。 （2）1

5.011)(-+=

z

z H ，][)5.0(][n u n h n

-=，零状态响应∑+∞

=-=

][][][m m n h m x n y ，

所以1024

2572

12

1)5.0()5.0(]10[2

10

210=

+

=-+-=y 。

题型6：计算。

2008-5：已知实偶信号w

FT

e

w F t f -=?→←)()(。

（1）计算)(t f 的能量。 （2）令)()(t f dt

d t y =

，求)(t y 表达式，画出频谱相位图。

（3）令∑

+∞

-∞

=-=

n n t f t g )2()(π，计算)0(g 。

思路：（1）算能量用能量公式：π

π

π211

)(21)(0

22

2

=

=

=

?

?

?+∞

-+∞

∞

-+∞

∞

-dw e

dw w F dt t f w

（2）由2

12w

e

FT

t

+?→

←-，得到

w

FT e

t

-?→←+2

12

21

π，2

2)

1(2)(t t

t y +-=

π。

w

FT jwe

w jwF t f dt

d -=?→←)()(，因此相位只有两个值，当0>w 时，相位为2

π

，当0

π

-

，图略。

（3）由∑∑∑

+∞

-∞

=+∞

-∞

=+∞

-∞

=-?→←-*

=-=

n FT

n n n w w F n t t f n t f t g )()()2()()2()(δπδπ

1

1112121)(21)(21)0(--+∞

-∞

=-∞

+∞

-+∞

-∞=-∞

+∞

--+=

=

-=

=

∑?

∑?

e

e e

dw

n w e

dw jw G g n n

n w

ππ

δπ

π

。若不用

此方法，直接进行计算，则有∑

∑

+∞

-∞

=+∞

-∞

=+=

=

n n n n f g 2

)

2(1221)2()0(ππ

π，不好算。

2007-8：某连续时间稳定实系统单位冲击响应)(t h 满足如下条件： （a ）)(t h 为偶函数；

（b ）)(s H 有四个极点，没有零点；

（c ）)(s H 的一个极点在4

12

1π

j

e

s =

（d ）4)(=?+∞

∞-dt t h 。

试求)(s H ，并说明该系统是哪一类滤波器。

思路：由于我们所熟悉的奇偶虚实性质都是对于FT 而非L T ，所以可以自己推导L T 的性质。 首先，)(t h 为实，则有)()(**s H s H =。 根据条件（a ），)()(s H s H -=

根据条件（b ），有)

)()()(()(4321s s s s s s s s A

s H ----=。

根据条件（c ），有4

12

1π

j

e s =

。

根据以上条件，已经可以确定四个极点的值，由于

)()

)()()(()(*4

*3

*2

*

1

*

*

s H s s s s s s s s A

s H =----=

，4

*1

22

1π

j

e

s s -=

=也是系统的极点。再由

)()(s H s H -=，得到4

32

1π

j

e

s -

=，4

42

1π

j

e

s --

=也是极点。

最后，根据条件（d ），416)0()(===?+∞

∞

-A H dt t h ，4

1=

A 。

为了得到滤波器类型，求出)

16/1(41)(4

+=w jw H ，低通。

注1：结果与笔记不同。 总结： 1.求能量：dt t x ?

+∞∞

-)(2

，几乎是必用能量公式，甚至用两次。用了之后会发现积分非常容易

得到。如2010-9,2009-5 2.求积分：dt t x ?+∞∞

-)(，复杂一点可能是dt t t x ?

+∞

∞

-)cos()(。也不会让大家直接求，一般是通

过)0()(j X dt t x =?

+∞∞

-这种变换来求（当然也可能有其他方法，但是推荐此方法），如2010-5。

反之，求)0(),0(j X x 也应懂得变换，而不是直接算。 3.求幅度，相位，)

()(w j e

jw H θ。一般)(jw H 形式都比较特殊，如实数、纯虚、

w

j jw

e

e 221++。

若)(jw H 很复杂，往往只要求)(jw H 而不要求相位，直接用定义求即可。如