第二节 函数的单调性与值域(一)(知识梳理)

第二节

函数的单调性与值域

(一)

复习目标学法指导

1.增函数、减函数的概念.

2.函数的单调性、单调区间.

3.函数的最大值和最小值. 1.单调性是研究函数中的变量之间的大小关系的重要指标,要学会从数与形两个角度理解与应用单调性.

2.单调区间是单调性存在和应用的范围,要注意辨析其表述形式的差异,区分其意义的不同,能根据函数结构的不同求解单调区间.

3.能依据函数式特征选择相应性质与方法求解值域(或最值).

一、函数的单调性

1.单调函数的定义

增函数减函数

定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2

当x1

么就说函数f(x)在区间D上是

增函数

当x1f(x2),那

么就说函数f(x)在区间D上是

减函数

图象

描

述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.

1.概念理解

(1)单调性是函数的局部性质,是针对定义域I内某个区间D而言的,即D I;

(2)定义的核心是判定两个不等关系的“异同”,标准是“同增异减”.

(3)应用定义判定或证明函数的单调性时,x1,x2必须表示任意的自变量,切忌用特殊值代替.

(4)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应用逗号间隔,一般不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.

(5)区分两种叙述形式:“函数在区间D上单调”与“函数的单调区间是D”,二者意义不同:前者中D是函数单调区间的子集,后者中D是函数唯一的单调区间.

2.与判定函数单调性相关的结论

(1)利用定义判断或证明函数的单调性的等价形式 设任意x 1,x 2∈[a,b]且x 1

1212

()()f x f x x x -->0?f(x)在[a,b]上是增函数;

1212

()()f x f x x x --<0?f(x)在[a,b]

上是减函数.

②(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x 1-x 2)[f(x 1)-f(x 2)]<0?f(x)在[a,b]上是减函数. (2)判断复合函数单调性的方法

复合法可简记为“同增异减”,即内、外函数的单调性相同时复合函数是增函数,相异时复合函数是减函数. (3)运算性质

①若f(x),g(x)均是区间D 上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间D 上的增(减)函数.

②若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反.

③函数f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与1

()f x 的单调性相反;单调性相同. 二、函数的最值

条

件

(1)

对于任意的x∈I,都有

f(x)≤M;

(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.

(3)对于任意的x∈I,都有

f(x)≥M;

(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M. 结

论

M为最大值M为最小值

基本初等函数的值域

(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.

(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:

当a>0时,值域为[2

4

4

ac b

a

-,+∞);

当a<0时,值域为(-∞, 2

4

4

ac b

a

-].

(3)y=k

x

(k≠0)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).

(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).

(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.

(6)y=sin x,y=cos x的值域是[-1,1].

(7)y=tan x的值域是R.

1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A )

1

x+(B)y=(x-1)2

(C)y=2-x(D)y=log0.5(x+1)

解析:显然1

x+是(0,+∞)上的增函数;

y=(x-1)2在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;

y=2-x,即y=(1

2

)x在R上是减函数;

y=log0.5(x+1)在(0,+∞)上是减函数.

故选A.

2.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是( C )

(A)y=1

()

f x

在R上为减函数

(B)y=|f(x)|在R上为增函数

(C)y=2-f(x)在R上为减函数

(D)y=-[f(x)]3在R上为增函数

解析:根据题意,依次分析选项:

对于A,对于函数f(x)=x,y=1

()

f x =1

x

,在R上不是减函数,A错误;

对于B,对于函数f(x)=x,y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;

对于C,令t=f(x),则y=2-f(x)=(1

2)f(x)=(1

2

)t,

t=f(x)在R上为增函数,y=(1

2

)t在R上为减函数,

则y=2-f(x)在R上为减函数,C正确;

对于D,对于函数f(x)=x,y=-[f(x)]3=-x3,

在R上为减函数,D错误.故选C.

3.函数y=x2-2ax+b在(-∞,1]上单调递减,则实数a的取值范围是;若其单调递减区间是(-∞,1),则实数a的值

是.

解析:函数y=x2-2ax+b的递减区间是(-∞,a],

所以(-∞,1] (-∞,a],故a≥1.

其单调递减区间是(-∞,1)时,a=1.

答案:[1,+∞) 1

4.已知函数f(x)=x(2x-1

2x

),若f(x-1)>f(x),则x的取值范围是.

解析:当x>0时,f(x)在(0,+∞)上递增,

而f(-x)=f(x),f(x)是偶函数,

故f(x)在(-∞,0)上是减函数,

若f(x-1)>f(x),则|x-1|>|x|,

即(x-1)2>x2,解得x<1

2

.

答案:(-∞,1

2

)

5.若函数f(x)=3x+a x(a>0且a≠1)是偶函数,则函数 f(x) 的值域为.

解析:由f(x)为偶函数可得,f(-1)=f(1),

即1

3+1

a

=3+a,解得a=1

3

,

所以f(x)=3x+1

3x

, 因为3x>0,

所以3x+1

3x ≥2(当且仅当3x=1

3x

,即x=0时取等号),

所以f(x)≥2,

即f(x)的值域为[2,+∞). 答案:[2,+∞)

考点一函数单调性的判定

[例1] 判断函数f(x)=2

1

ax x -(其中a>0)在x ∈(-1,1)时的单调性. 解:设-1

2

1

1ax x --2

22

1ax x -

=2212

1212

22

12(1)(1)

ax x

ax ax x ax x x --+--

=2

1

12

2

21

2

()(1)

(1)(1)

a x x x x x x -+--. 因为-1

所以x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(21

x -1)(22

x -1)>0.

因此当a>0时,f(x 1)-f(x 2)>0,

即f(x 1)>f(x 2),此时函数f(x)在(-1,1)上为减函数.

利用定义判定函数单调性的步骤

(1)取值:任取所给区间上两个变量x 1,x 2; (2)作差,若f(x)>0(或<0),也可以作商; (3)变形:化简后的代数式中须出现“x 1-x 2”;

(4)定号:判定差的正负或商与1的大小,必要时分类讨论; (5)判定:注意完整的叙述.

(2019·北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( A ) (A)y=12

x (B)y=2-x (C)y=1

2

log x (D)y=1x

解析:y=12

x =

x ,y=2

-x

=(12)x ,y=1

2

log x,y=1

x

的图象如图所示.

由图象知,只有y=12x在(0,+∞)上单调递增.故选A.

考点二求函数的单调区间

[例2](1)函数f(x)=

log(x2-4)的单调递增区间为( )

1

2

(A)(0,+∞) (B)(-∞,0)

(C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)

(2)函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=f(log a x)(0

]

(A)[0,1

2

a

,+∞)

(C)(-∞,0)∪[1

2

a ]

a1

解析:(1)函数y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),

因为函数y=f(x)是由y=

log t与t=g(x)=x2-4复合而成,

1

2

又y=

log t在(0,+∞)上单调递减,

1

2

g(x)在(-∞,-2)上单调递减,

所以函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增,故选D.

(2)因为u=log a x(0

又因为g(x)递减,

所以此时y=f(u)需为增函数,

]上递增,

由图可知,f(u)在[0,1

2

,

所以0≤log a x≤1

2

所以a≤x≤1,故选B.

求函数单调区间的常见方法

(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间.

(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解.

(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.

(4)导数法:利用导数确定函数的单调区间.

1.f(x)=ln(x2-3x+2)的递增区间是( D )

)

(A)(-∞,1) (B)(1,3

2

,+∞) (D)(2,+∞)

(C)(3

2

解析:令t=x2-3x+2=(x-1)(x-2)>0,

解得x<1或x>2,

故函数的定义域为{x|x<1或x>2},f(x)=ln t单调递增,

根据复合函数单调性知原函数f(x)=ln(x2-3x+2)的递增区间是(2,+∞).故选D.

2.已知函数y=|4x-m|在区间[1,+∞)上单调递增,则m的取值范围为.

解析:由于

y=|4x-m|=4(),4

4(),4

m

x m x m m x x ?

-≥??

?

?-

m ), 所以要使函数y=|4x-m|在区间[1,+∞)上单调递增,则4m ≤1,解得m ≤4,

故m 的取值范围为(-∞,4]. 答案:(-∞,4]

考点三 求函数的最值(值域)

[例3] (1)f(x)=xlg x 在区间[2,10]上的最大值为 ,最小值为 . (2)函数

≥0)的最大值为 .

(3)函数f(x)=28

1

x x +-(x>1)的最小值为 .

解析:(1)g(x)=x 在[2,10]上递增且为正数,h(x)=lg x 在[2,10]递增且为正数,所以f(x)=xlg x 在区间[2,10]上递增,所以最大值为f(10)=10,最小值为f(2)=2lg 2. (2)令

则

t ≥0,所以y=t-t 2=-2

1()2t -+1

4

, 结合图象知,当t=12,即x=14时,y max =1

4

. (3)f(x)=

281x x +-=2(1)2(1)9

1

x x x -+-+- =(x-1)+91x -+2

≥+2

=8,

当且仅当x-1=91x -,即x=4时,f(x)min =8. 答案:(1)10 2lg 2 (2)14

(3)8

求函数最值(值域)的常用方法及适用类型

(1)单调性法:易确定单调性的函数,利用单调性法研究函数最值(值域).

(2)图象法:能作出图象的函数,用图象法,观察其图象最高点、最低点,求出最值(值域).

(3)基本不等式法:分子、分母中一个为一次,一个为二次函数结构以及两个变量(如x,y)的函数,一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件,用基本不等式法求最值(值域).

(4)换元法:对解析式较复杂的函数,可通过换元转化为以上类型中的某种,再求解.

用换元法时,一定要注意新“元”的范围.

1.(2018·台州模拟)若函数f(x)=a-221x

- (a ∈R)是奇函数,则

a= ,函数f(x)的值域为 . 解析:函数f(x)=a-221x

-(a ∈R)是奇函数,

f(-x)+f(x)=0, 即

a-221x -+a-221x --=2a-(221x -+2

21x --)=2a+2(21)21

x x --=0,

解得a=-1;

令y=-1-221x

-?1-2x =2

1y

+, 即有2x =11

y y -+>0,

解得y>1或y<-1,

故f(x)=-1-221x

的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).

答案:-1 (-∞,-1)∪(1,+∞)

2.(2018·江苏卷)若函数f(x)=2x 3-ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为 .

解析:f ′(x)=6x 2-2ax=2x(3x-a)(x>0). ①当a ≤0时,f ′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增, 又f(0)=1,

所以f(x)在(0,+∞)上无零点. ②当a>0时,由f ′(x)>0解得x>3a , 由f ′(x)<0解得0

a , 所以f(x)在（0,3a ）上递减,在（3

a ,+∞）上递增. 又f(x)只有一个零点,

所以f （3

a ）=-3

27a +1=0, 所以a=3.

此时f(x)=2x 3-3x 2+1,f ′(x)=6x(x-1),

当x ∈[-1,1]时,f(x)在[-1,0]上递增,在[0,1]上递减. 又f(1)=0,f(-1)=-4,

所以f(x)max +f(x)min =f(0)+f(-1)=1-4=-3. 答案:-3

考点四 易错辨析

[例4] 判断函数f(x)= 223

x x --的单调性.

解:设t=x 2-2x-3, 因为t>0, 所以x<-1或x>3, 因为y=

t

=12

t -

在(0,+∞)上单调递减,

且t=x 2-2x-3在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增. 所以函数f(x)=223

x x --在(-∞,-1)上单调递增,在(3,+∞)上单调递

减.

(1)易忽略函数的定义域,只求解二次函数的单调区间;

(2)错用复合函数的单调性法则或错用“外层函数”的单调性.

1.已知单调函数f(x),对任意的x ∈R 都有f[f(x)-2x ]=6,则f(2)等于( C )

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

解析:设t=f(x)-2x ,f(t)=6,且f(x)=2x +t, 令x=t, 则f(t)=2t +t=6,

因为f(x)是单调函数,所以t=2, 即f(x)=2x +2,则f(2)=22+2=6. 故选C. 2.已知f(x)=1,1

,1

x

x a x a a x ?-+>??

+≤??(a>0且a ≠1),若f(x)有最小值,则实数a 的

取值范围是 .

解析:当a>1时,x≤1时,

f(x)=a x+a在(-∞,1]上递增,则f(x)∈(a,2a],

x>1时,f(x)=|x-a|+1≥1,当x=a时取得最小值1,

则f(x)的值域为[1,+∞),

可得a>1时f(x)取得最小值1;

当0

x>1时,f(x)=|x-a|+1=x-a+1递增,

可得f(x)>2-a,

,

若f(x)存在最小值,可得2-a≥2a,即a≤2

3

可得0

.

3

综上可得a>1或0

.

3

答案:（0,2

]∪(1,+∞)

3